שורש ומידת המשימה. שורש התואר n: הגדרות בסיסיות

מזל טוב: היום ננתח את השורשים - אחד הנושאים המטריפים ביותר של כיתה ח'. :)

אנשים רבים מתבלבלים לגבי השורשים, לא בגלל שהם מורכבים (וזה מסובך - כמה הגדרות ועוד כמה מאפיינים), אלא בגלל שברוב ספרי הלימוד השורשים מוגדרים דרך פראים כאלה שרק מחברי ספרי הלימוד עצמם יכול להבין את השרבוט הזה. וגם אז רק עם בקבוק וויסקי טוב. :)

לכן, כעת אתן את ההגדרה הנכונה והמוכשרת ביותר של השורש - היחידה שבאמת צריך לזכור. ורק אז אסביר: מדוע כל זה נחוץ וכיצד ליישם זאת בפועל.

אבל ראשית, זכרו נקודה חשובה אחת, שמסיבה כלשהי מהדרים רבים של ספרי לימוד "שוכחים" ממנה:

השורשים יכולים להיות בדרגה זוגית ($\sqrt(a)$ האהוב עלינו, כמו גם כל $\sqrt(a)$ ואפילו $\sqrt(a)$) ומדרגה אי זוגית (כל $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ וכו'). והגדרת השורש של מדרגה אי זוגית שונה במקצת מהזוגיות.

כאן ב"קצת שונה" המזוין הזה מסתתר, כנראה, 95% מכל השגיאות ואי ההבנות הקשורות לשורשים. אז בואו נבהיר את הטרמינולוגיה אחת ולתמיד:

הַגדָרָה. אפילו שורש נמהמספר $a$ הוא כל לא שלילימספר $b$ כך ש$((b)^(n))=a$. והשורש של תואר אי זוגי מאותו מספר $a$ הוא בדרך כלל כל מספר $b$ שעבורו מתקיים אותו שוויון: $((b)^(n))=a$.

בכל מקרה, השורש מסומן כך:

\(א)\]

המספר $n$ בסימון כזה נקרא מעריך השורש, והמספר $a$ נקרא הביטוי הרדיקלי. בפרט, עבור $n=2$ נקבל את השורש הריבועי ה"אהוב" שלנו (אגב, זה שורש של מדרגה זוגית), ועבור $n=3$ נקבל שורש מעוקב (מידה אי זוגית), שגם נמצא לרוב בבעיות ובמשוואות.

דוגמאות. דוגמאות קלאסיות לשורשים מרובעים:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

אגב, $\sqrt(0)=0$ ו-$\sqrt(1)=1$. זה די הגיוני שכן $((0)^(2))=0$ ו-$((1)^(2))=1$.

גם שורשים מעוקבים נפוצים - אל תפחד מהם:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

ובכן, כמה "דוגמאות אקזוטיות":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

אם אינך מבין מה ההבדל בין דרגה זוגית ואי-זוגית, קרא שוב את ההגדרה. זה מאוד חשוב!

בינתיים, נשקול תכונה אחת לא נעימה של השורשים, שבגללה היינו צריכים להציג הגדרה נפרדת למעריכים זוגיים ואי-זוגיים.

למה אנחנו צריכים שורשים בכלל?

לאחר קריאת ההגדרה, תלמידים רבים ישאלו: "מה עישנו מתמטיקאים כשהם עלו על זה?" ובאמת: למה אנחנו צריכים את כל השורשים האלה?

כדי לענות על השאלה הזו, נחזור לרגע לבית הספר היסודי. זכרו: בזמנים הרחוקים ההם, כשהעצים היו ירוקים יותר והכופתאות היו טעימות יותר, הדאגה העיקרית שלנו הייתה להכפיל נכון את המספרים. ובכן, משהו ברוח "חמש על חמש - עשרים וחמש", זה הכל. אבל אחרי הכל, אתה יכול להכפיל מספרים לא בזוגות, אלא בשלישיות, ארבע ובאופן כללי קבוצות שלמות:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

עם זאת, לא זו הנקודה. הטריק הוא אחר: מתמטיקאים הם אנשים עצלנים, אז הם היו צריכים לרשום את הכפל של עשר חמישיות כך:

אז הם הגיעו עם תארים. למה לא לכתוב את מספר הגורמים ככתב עילי במקום מחרוזת ארוכה? כמו זה:

זה מאוד נוח! כל החישובים מצטמצמים בכמה פעמים, ואי אפשר לבזבז חבורה של דפי קלף של מחברות כדי לרשום איזה 5 183 . ערך כזה נקרא תואר של מספר, נמצאו בו חבורה של נכסים, אבל האושר התברר כקצר מועד.

לאחר אלכוהול גרנדיוזי, שאורגן בדיוק על "גילוי" התארים, שאל לפתע איזה מתמטיקאי סקול במיוחד: "מה אם אנחנו יודעים את המידה של מספר, אבל אנחנו לא יודעים את המספר עצמו?" ואכן, אם אנו יודעים שמספר מסוים $b$, למשל, נותן 243 בחזקת 5, אז איך נוכל לנחש למה שווה המספר $b$ עצמו?

הבעיה הזו התבררה כהרבה יותר גלובלית ממה שהיא עשויה להיראות במבט ראשון. כי התברר שעבור רוב התארים ה"מוכנים" אין מספרים "ראשוניים" כאלה. תשפטו בעצמכם:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

מה אם $((b)^(3))=50$? מסתבר שצריך למצוא מספר מסוים, שכאשר מכפילים אותו שלוש פעמים, ייתן לנו 50. אבל מה זה המספר הזה? ברור שהוא גדול מ-3 כי 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. כלומר. המספר הזה נמצא איפשהו בין שלוש לארבע, אבל למה הוא שווה - איור תבין.

זו בדיוק הסיבה למתמטיקאים הגיעו לשורשים של $n$-th. לכן הוצג הסמל הרדיקלי $\sqrt(*)$. לסמן את אותו מספר $b$, אשר בעוצמה שצוינה, ייתן לנו ערך ידוע קודם לכן

\[\sqrt[n](a)=b\חץ ימינה ((b)^(n))=a\]

אני לא מתווכח: לעתים קרובות שורשים אלה נחשבים בקלות - ראינו כמה דוגמאות כאלה לעיל. אבל בכל זאת, ברוב המקרים, אם אתה חושב על מספר שרירותי, ואז מנסה לחלץ ממנו את השורש של תואר שרירותי, צפוי לך באמר אכזרי.

מה יש שם! אפילו את $\sqrt(2)$ הפשוט והמוכר ביותר לא ניתן לייצג בצורה הרגילה שלנו - כמספר שלם או כשבר. ואם תכניס את המספר הזה למחשבון, תראה את זה:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

כפי שניתן לראות, לאחר הנקודה העשרונית יש רצף אינסופי של מספרים שאינם מצייתים לשום הגיון. אתה יכול כמובן לעגל את המספר הזה כדי להשוות במהירות למספרים אחרים. לדוגמה:

\[\sqrt(2)=1.4142...\approx 1.4 \lt 1.5\]

או הנה עוד דוגמה:

\[\sqrt(3)=1.73205...\approx 1.7 \gt 1.5\]

אבל כל העיגולים האלה הם, ראשית, גסים למדי; ושנית, אתה גם צריך להיות מסוגל לעבוד עם ערכים משוערים, אחרת אתה יכול לתפוס חבורה של שגיאות לא ברורות (אגב, מיומנות ההשוואה והעיגול נבדקת בהכרח בבחינת הפרופיל).

לכן, במתמטיקה רצינית אי אפשר בלי שורשים - הם אותם נציגים שווים של קבוצת כל המספרים הממשיים $\mathbb(R)$, כמו גם שברים ושלמים המוכרים לנו מזה זמן רב.

חוסר האפשרות לייצג את השורש כשבר מהצורה $\frac(p)(q)$ פירושה ששורש זה אינו מספר רציונלי. מספרים כאלה נקראים אי-רציונליים, ולא ניתן לייצג אותם במדויק אלא בעזרת רדיקל, או מבנים אחרים שתוכננו במיוחד לכך (לוגריתמים, מעלות, גבולות וכו'). אבל עוד על זה בפעם אחרת.

שקול כמה דוגמאות שבהן, לאחר כל החישובים, מספרים אי-רציונליים עדיין יישארו בתשובה.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

באופן טבעי, לפי הופעת השורש, כמעט בלתי אפשרי לנחש אילו מספרים יבואו אחרי הנקודה העשרונית. עם זאת, אפשר לחשב במחשבון, אבל גם מחשבון התאריכים המתקדם ביותר נותן לנו רק את הספרות הראשונות של מספר אי-רציונלי. לכן, הרבה יותר נכון לכתוב את התשובות כ-$\sqrt(5)$ ו-$\sqrt(-2)$.

בשביל זה המציאו אותם. כדי שיהיה קל לרשום תשובות.

למה צריך שתי הגדרות?

הקורא הקשוב כנראה כבר שם לב שכל השורשים המרובעים המובאים בדוגמאות לקוחים ממספרים חיוביים. טוב, לפחות מאפס. אבל שורשי קובייה מופקים בשלווה מכל מספר - אפילו חיובי, אפילו שלילי.

למה זה קורה? תסתכל על הגרף של הפונקציה $y=((x)^(2))$:

הגרף של פונקציה ריבועית נותן שני שורשים: חיובי ושלילי

בואו ננסה לחשב $\sqrt(4)$ באמצעות הגרף הזה. לשם כך מצייר בגרף קו אופקי $y=4$ (מסומן באדום), שחותך את הפרבולה בשתי נקודות: $((x)_(1))=2$ ו-$((x) _(2)) =-2$. זה די הגיוני, שכן

הכל ברור עם המספר הראשון - הוא חיובי, ולכן הוא השורש:

אבל אז מה לעשות עם הנקודה השנייה? האם ל-4 יש שני שורשים בבת אחת? אחרי הכל, אם נרבוע את המספר −2, נקבל גם 4. למה לא לכתוב $\sqrt(4)=-2$ אז? ולמה מורים מסתכלים על תקליטים כאלה כאילו הם רוצים לאכול אותך? :)

הצרה היא שאם לא ייקבעו תנאים נוספים, אז לארבעה יהיו שני שורשים מרובעים - חיובי ושלילי. ולכל מספר חיובי יהיו גם שניים מהם. אבל למספרים שליליים לא יהיו שורשים כלל - ניתן לראות זאת מאותו גרף, מכיוון שהפרבולה לעולם אינה נופלת מתחת לציר y, כלומר לא לוקח ערכים שליליים.

בעיה דומה מתרחשת עבור כל השורשים עם מעריך שווה:

1. באופן קפדני, לכל מספר חיובי יהיו שני שורשים עם מעריך זוגי $n$;
2. ממספרים שליליים, השורש עם אפילו $n$ אינו מופק כלל.

לכן ההגדרה של שורש זוגי $n$ קובעת במפורש שהתשובה חייבת להיות מספר לא שלילי. כך נפטרים מהעמימות.

אבל עבור $n$ מוזר אין בעיה כזו. כדי לראות זאת, בואו נסתכל על הגרף של הפונקציה $y=((x)^(3))$:

הפרבולה המעוקבת מקבלת כל ערך, כך שניתן לקחת את שורש הקובייה מכל מספר

מהגרף הזה ניתן להסיק שתי מסקנות:

1. הענפים של פרבולה מעוקבת, בניגוד לזו הרגילה, הולכים עד אינסוף בשני הכיוונים - גם למעלה וגם למטה. לכן, בכל גובה שנצייר קו אופקי, הקו הזה בהחלט יצטלב עם הגרף שלנו. לכן, תמיד אפשר לקחת את שורש הקובייה, לחלוטין מכל מספר;
2. בנוסף, צומת כזה תמיד יהיה ייחודי, כך שאתה לא צריך לחשוב על איזה מספר לשקול את השורש "הנכון" ואיזה לקלוע. לכן ההגדרה של שורשים לדרגה אי זוגית פשוטה יותר מאשר לזוגיות (אין דרישת אי שליליות).

חבל שהדברים הפשוטים האלה לא מוסברים ברוב ספרי הלימוד. במקום זאת, המוח שלנו מתחיל להמריא עם כל מיני שורשים אריתמטיים ותכונותיהם.

כן, אני לא מתווכח: מה זה שורש אריתמטי - גם צריך לדעת. ועל כך אדבר בפירוט בשיעור נפרד. היום נדבר גם על זה, כי בלעדיו, כל ההשתקפויות על שורשי הריבוי $n$-th לא יהיו שלמות.

אבל קודם אתה צריך להבין בבירור את ההגדרה שנתתי לעיל. אחרת, בגלל שפע המונחים, יתחיל בלגן כזה בראש שבסופו של דבר לא תבין כלום בכלל.

וכל מה שאתה צריך להבין הוא את ההבדל בין מספרים זוגיים ואי-זוגיים. לכן, שוב נאסוף את כל מה שאתה באמת צריך לדעת על השורשים:

1. שורש זוגי קיים רק ממספר לא שלילי והוא עצמו תמיד מספר לא שלילי. עבור מספרים שליליים, שורש כזה אינו מוגדר.
2. אבל השורש של מידה אי-זוגית קיים מכל מספר ויכול בעצמו להיות כל מספר: עבור מספרים חיוביים הוא חיובי, ועבור מספרים שליליים, כפי שהכובע רומז, הוא שלילי.

זה קשה? לא, זה לא קשה. ברור? כן, זה ברור! לכן, כעת נתאמן מעט בחישובים.

מאפיינים והגבלות בסיסיות

לשורשים יש הרבה תכונות והגבלות מוזרות - זה יהיה שיעור נפרד. לכן, כעת נשקול רק את ה"שבב" החשוב ביותר, אשר חל רק על שורשים עם מעריך שווה. אנו כותבים את המאפיין הזה בצורה של נוסחה:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

במילים אחרות, אם נעלה מספר לחזקה זוגית, ואז נחלץ מזה את השורש של אותה תואר, לא נקבל את המספר המקורי, אלא את המודולוס שלו. זהו משפט פשוט שקל להוכיח (מספיק לשקול בנפרד $x$ לא שליליים, ואז לשקול בנפרד את השליליים). מורים כל הזמן מדברים על זה, זה ניתן בכל ספר לימוד בבית הספר. אבל ברגע שזה מגיע לפתרון משוואות לא רציונליות (כלומר משוואות המכילות את הסימן של הרדיקל), התלמידים שוכחים את הנוסחה הזו ביחד.

כדי להבין את הנושא לפרטי פרטים, בואו נשכח את כל הנוסחאות לדקה וננסה לספור שני מספרים קדימה:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

אלו דוגמאות פשוטות מאוד. הדוגמה הראשונה תיפתר על ידי רוב האנשים, אבל על השנייה, רבים נדבקים. כדי לפתור כל שטות כזו ללא בעיות, שקול תמיד את ההליך:

1. ראשית, המספר מועלה לחזקה רביעית. ובכן, זה די קל. יתקבל מספר חדש, שאף ניתן למצוא אותו בטבלת הכפל;
2. ועתה מן המספר החדש הזה צריך לחלץ את שורש המדרגה הרביעית. הָהֵן. אין "צמצום" של שורשים ומעלות - אלו הן פעולות עוקבות.

בואו נעסוק בביטוי הראשון: $\sqrt(((3)^(4)))$. ברור, תחילה עליך לחשב את הביטוי מתחת לשורש:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

ואז נחלץ את השורש הרביעי של המספר 81:

עכשיו בואו נעשה את אותו הדבר עם הביטוי השני. ראשית, נעלה את המספר −3 בחזקת הרביעית, לשם כך עלינו להכפיל אותו בעצמו פי 4:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

קיבלנו מספר חיובי, מכיוון שמספר המינוסים הכולל במוצר הוא 4 חלקים, וכולם יבטלו אחד את השני (הרי מינוס במינוס נותן פלוס). לאחר מכן, חלץ שוב את השורש:

באופן עקרוני, לא ניתן היה לכתוב שורה זו, שכן אין זה ברור שהתשובה תהיה זהה. הָהֵן. שורש שווה של אותו כוח זוגי "שורף" את המינוסים, ובמובן זה לא ניתן להבחין בתוצאה מהמודול הרגיל:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

חישובים אלו עולים בקנה אחד עם הגדרת השורש של מדרגה זוגית: התוצאה היא תמיד לא שלילית, וגם הסימן הרדיקלי הוא תמיד מספר לא שלילי. אחרת, השורש אינו מוגדר.

הערה על סדר הפעולות

1. הסימן $\sqrt(((a)^(2)))$ אומר שקודם כל נריבוע את המספר $a$, ולאחר מכן ניקח את השורש הריבועי של הערך המתקבל. לכן, אנו יכולים להיות בטוחים שמספר לא שלילי תמיד יושב מתחת לסימן השורש, שכן ממילא $((a)^(2))\ge 0$;
2. אבל הסימן $((\left(\sqrt(a) \right)))^(2))$, להיפך, אומר שקודם נחלץ את השורש ממספר מסוים $a$ ורק אז בריבוע את התוצאה. לכן, המספר $a$ בשום מקרה לא יכול להיות שלילי - זוהי דרישה מחייבת המוטבעת בהגדרה.

לפיכך, בשום מקרה אין לצמצם ללא מחשבה את השורשים והדרגות, ובכך "לפשט" כביכול את הביטוי המקורי. כי אם יש מספר שלילי מתחת לשורש, והמעריך שלו זוגי, נקבל הרבה בעיות.

עם זאת, כל הבעיות הללו רלוונטיות רק לאינדיקטורים אפילו.

הסרת סימן מינוס מתחת לסימן השורש

באופן טבעי, לשורשים עם מעריכים מוזרים יש גם תכונה משלהם, שבאופן עקרוני, לא קיימת עבור זוגיות. כלומר:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

בקיצור, אתה יכול להוציא מינוס מתחת לסימן השורשים של מדרגה מוזרה. זהו מאפיין שימושי מאוד המאפשר לך "לזרוק" את כל המינוסים החוצה:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

נכס פשוט זה מפשט מאוד חישובים רבים. עכשיו אתה לא צריך לדאוג: מה אם ביטוי שלילי נכנס מתחת לשורש, והדרגה בשורש התבררה כשווה? די רק "לזרוק" את כל המינוסים מחוץ לשורשים, ולאחר מכן ניתן להכפיל אותם זה בזה, לחלק אותם ובדרך כלל לעשות דברים חשודים רבים, שבמקרה של שורשים "קלאסיים" מובטח שיובילו אותנו ל- שְׁגִיאָה.

וכאן נכנסת הגדרה נוספת לזירה - זו בדיוק שבאמצעותה רוב בתי הספר מתחילים בלימוד ביטויים לא רציונליים. ובלעדיו הנמקה שלנו לא תהיה שלמה. לִפְגוֹשׁ!

שורש אריתמטי

הבה נניח לרגע שרק מספרים חיוביים או, במקרים קיצוניים, אפס יכולים להיות מתחת לסימן השורש. בוא נקפוץ על אינדיקטורים זוגיים/אי-זוגיים, ניקוד על כל ההגדרות שניתנו לעיל - נעבוד רק עם מספרים לא שליליים. מה אז?

ואז נקבל את השורש האריתמטי - הוא מצטלב חלקית עם ההגדרות ה"סטנדרטיות" שלנו, אבל עדיין שונה מהן.

הַגדָרָה. שורש אריתמטי של התואר $n$th של מספר לא שלילי $a$ הוא מספר לא שלילי $b$ כך ש$((b)^(n))=a$.

כפי שאתה יכול לראות, אנחנו כבר לא מעוניינים בשוויון. במקום זאת הופיעה הגבלה חדשה: הביטוי הרדיקלי הוא כעת תמיד לא שלילי, וגם השורש עצמו אינו שלילי.

כדי להבין טוב יותר כיצד שונה השורש האריתמטי מהשורש הרגיל, עיין בגרפים של הפרבולה הריבועית והקובית שכבר מוכרים לנו:

אזור חיפוש שורש - מספרים לא שליליים

כפי שניתן לראות, מעתה והלאה, אנו מתעניינים רק בחתיכות הגרפים הממוקמות ברבע הקואורדינטות הראשון - כאשר הקואורדינטות $x$ ו-$y$ חיוביות (או לפחות אפס). אתה כבר לא צריך להסתכל על המחוון כדי להבין אם יש לנו את הזכות לשרש מספר שלילי או לא. כי מספרים שליליים כבר לא נחשבים עקרונית.

אתם עשויים לשאול: "ובכן, למה אנחנו צריכים הגדרה כל כך מסורסת?" או: "למה אנחנו לא יכולים להסתדר עם ההגדרה הסטנדרטית שניתנה לעיל?"

ובכן, אני אתן רק נכס אחד, שבגללו ההגדרה החדשה הופכת למתאים. לדוגמה, כלל האקספונציה:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

שימו לב: נוכל להעלות את ביטוי השורש לכל חזקה ובו זמנית להכפיל את מעריך השורש באותה חזקה - והתוצאה תהיה אותו מספר! הנה כמה דוגמאות:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

נו, מה רע בזה? למה לא יכולנו לעשות את זה קודם? הנה למה. חשבו על ביטוי פשוט: $\sqrt(-2)$ הוא מספר שהוא די נורמלי במובן הקלאסי שלנו, אך בלתי מקובל לחלוטין מנקודת המבט של השורש האריתמטי. בואו ננסה להמיר אותו:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

כפי שאתה יכול לראות, במקרה הראשון, הוצאנו את המינוס מתחת לרדיקל (יש לנו את כל הזכות, כי המחוון הוא מוזר), ובשני, השתמשנו בנוסחה לעיל. הָהֵן. מנקודת מבט של מתמטיקה הכל נעשה לפי הכללים.

WTF?! איך אותו מספר יכול להיות גם חיובי ושלילי? אין סיכוי. רק שנוסחת האקספונציה, שעובדת מצוין עבור מספרים חיוביים ואפס, מתחילה לתת כפירה מוחלטת במקרה של מספרים שליליים.

כאן, כדי להיפטר מעמימות כזו, עלו על שורשים אריתמטיים. שיעור גדול נפרד מוקדש להם, שבו אנו רואים בפירוט את כל המאפיינים שלהם. אז עכשיו לא נתעכב עליהם - השיעור ממילא התברר כארוך מדי.

שורש אלגברי: למי שרוצה לדעת יותר

חשבתי הרבה זמן: לעשות את הנושא הזה בפסקה נפרדת או לא. בסופו של דבר החלטתי לעזוב מכאן. החומר הזה מיועד למי שרוצה להבין את השורשים אפילו טוב יותר - כבר לא ברמה "בית ספר" ממוצעת, אלא ברמה הקרובה לאולימפיאדה.

אז: בנוסף להגדרה ה"קלאסית" של שורש התואר $n$-th ממספר והחלוקה הנלווית לאינדיקטורים זוגיים ואי-זוגיים, ישנה הגדרה "מבוגרת" יותר, שאינה תלויה בשוויון וב דקויות אחרות בכלל. זה נקרא שורש אלגברי.

הַגדָרָה. שורש אלגברי $n$-th של כל $a$ הוא קבוצת כל המספרים $b$ כך ש$((b)^(n))=a$. אין ייעוד מבוסס לשורשים כאלה, אז פשוט שים מקף למעלה:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

ההבדל המהותי מההגדרה הסטנדרטית שניתנה בתחילת השיעור הוא שהשורש האלגברי אינו מספר מסוים, אלא קבוצה. ומכיוון שאנו עובדים עם מספרים ממשיים, קבוצה זו היא משלושה סוגים בלבד:

1. סט ריק. מתרחש כאשר נדרש למצוא שורש אלגברי במעלה זוגית ממספר שלילי;
2. סט המורכב מאלמנט בודד. כל השורשים של חזקות אי-זוגיות, כמו גם שורשים של חזקות זוגיות מאפס, נכנסים לקטגוריה זו;
3. לבסוף, הסט יכול לכלול שני מספרים - אותם $((x)_(1))$ ו-$((x)_(2))=-((x)_(1))$ שראינו ב- תרשים פונקציה ריבועית. בהתאם לכך, יישור כזה אפשרי רק כאשר מחלצים את השורש של מדרגה זוגית ממספר חיובי.

המקרה האחרון ראוי לבחינה מפורטת יותר. בואו נספור כמה דוגמאות כדי להבין את ההבדל.

דוגמא. חישוב ביטויים:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

פִּתָרוֹן. הביטוי הראשון פשוט:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

זה שני מספרים שהם חלק מהקבוצה. כי כל אחד מהם בריבוע נותן ארבע.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

כאן אנו רואים קבוצה המורכבת ממספר אחד בלבד. זה די הגיוני, מכיוון שהמעריך של השורש הוא מוזר.

לבסוף, הביטוי האחרון:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

יש לנו סט ריק. כי אין ולו מספר ממשי אחד שכאשר מועלה לעוצמה הרביעית (כלומר אפילו!), ייתן לנו מספר שלילי -16.

הערה אחרונה. שימו לב: לא במקרה ציינתי בכל מקום שאנחנו עובדים עם מספרים אמיתיים. בגלל שיש גם מספרים מרוכבים - בהחלט אפשרי לחשב שם $\sqrt(-16)$ ועוד הרבה דברים מוזרים.

עם זאת, בתוכנית הלימודים של בית הספר המודרני של מתמטיקה, מספרים מרוכבים כמעט ולא נמצאים. הם הושמטו מרוב ספרי הלימוד כי הפקידים שלנו רואים את הנושא "קשה מדי להבנה".

זה הכל. בשיעור הבא, נסתכל על כל תכונות המפתח של שורשים ולבסוף נלמד כיצד לפשט ביטויים לא רציונליים. :)

כדי להשתמש בהצלחה בפעולת חילוץ השורש בפועל, אתה צריך להכיר את המאפיינים של פעולה זו.
כל המאפיינים מנוסחים ומוכחים רק עבור ערכים לא שליליים של משתנים הכלולים תחת סימני שורש.

משפט 1. השורש ה-n (n=2, 3, 4,...) של המכפלה של שתי ערכות שבבים לא שליליות שווה למכפלת השורשים ה-n של המספרים האלה:

תגובה:

1. משפט 1 נשאר תקף למקרה שבו הביטוי הרדיקלי הוא מכפלה של יותר משני מספרים לא שליליים.

משפט 2.אם, ו-n הוא מספר טבעי הגדול מ-1, ואז השוויון

קָצָרניסוח (אם כי לא מדויק) שיותר נוח לשימוש בפועל: שורש השבר שווה לשבר השורשים.

משפט 1 מאפשר לנו להכפיל את m רק שורשים מאותה דרגה , כלומר רק שורשים עם אותו מעריך.

משפט 3. אם ,k הוא מספר טבעי ו-n הוא מספר טבעי הגדול מ-1, ואז השוויון

במילים אחרות, כדי להעלות שורש לכוח טבעי, מספיק להעלות את הביטוי השורשי לכוח זה.
זוהי תוצאה של משפט 1. אכן, למשל, עבור k = 3 נקבל

משפט 4. אם ,k, n הם מספרים טבעיים הגדולים מ-1, ואז השוויון

במילים אחרות, כדי לחלץ שורש משורש, מספיק להכפיל את מעריכי השורשים.
לדוגמה,

הזהר!למדנו שניתן לבצע ארבע פעולות בשורשים: כפל, חילוק, אקספונציה וחילוץ השורש (מהשורש). אבל מה לגבי חיבור וחיסור שורשים? אין סיכוי.
לדוגמה, אתה לא יכול לכתוב במקום Indeed, אבל זה ברור

משפט 5. אם להכפיל או לחלק את האינדיקטורים של השורש וביטוי השורש באותו מספר טבעי, אז הערך של השורש לא ישתנה, כלומר.

דוגמאות לפתרון בעיות

דוגמה 1לחשב

פִּתָרוֹן.באמצעות התכונה הראשונה של השורשים (משפט 1), נקבל:

דוגמה 2לחשב
פִּתָרוֹן.המר את המספר המעורב לשבר לא תקין.
יש לנו שימוש בתכונה השנייה של השורשים ( משפט 2 ), אנחנו מקבלים:

דוגמה 3לחשב:

פִּתָרוֹן.כל נוסחה באלגברה, כפי שאתה יודע היטב, משמשת לא רק "משמאל לימין", אלא גם "מימין לשמאל". אז, התכונה הראשונה של השורשים פירושה שהוא יכול להיות מיוצג כמו, ולהפך, יכול להיות מוחלף על ידי הביטוי. כך גם לגבי המאפיין השני של השורשים. עם זה בחשבון, בואו נעשה את החישובים.

שיעור ומצגת בנושא: "תכונות שורש תואר נ'. משפטים"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, משוב, הצעות! כל החומרים נבדקים על ידי תוכנת אנטי וירוס.

עזרי הוראה וסימולטורים בחנות המקוונת "אינטגרל" לכיתה יא
מדריך אינטראקטיבי לכיתות ט'-י"א "טריגונומטריה"
מדריך אינטראקטיבי לכיתות י'-י"א "לוגריתמים"

תכונות של שורש מדרגה נ'. משפטים

חבר'ה, אנחנו ממשיכים ללמוד את השורשים של המדרגה ה-n של מספר ממשי. כמו כמעט כל האובייקטים המתמטיים, לשורשי המדרגה ה-n יש כמה תכונות, היום נלמד אותם.
כל המאפיינים שאנו רואים מנוסחים ומוכחים רק עבור ערכים לא שליליים של המשתנים הכלולים תחת סימן השורש.
במקרה של מעריך שורש אי זוגי, הם מתקיימים גם עבור משתנים שליליים.

משפט 1. השורש ה-n של המכפלה של שני מספרים לא שליליים שווה למכפלת השורשים ה-n של המספרים האלה: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( ב) $ .

בואו נוכיח את המשפט.
הוכחה. חבר'ה, כדי להוכיח את המשפט, בואו נציג משתנים חדשים, נסמן:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
אנחנו צריכים להוכיח ש$x=y*z$.
שימו לב שהזהויות הבאות מתקיימות גם:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
אז מתקיימת גם הזהות הבאה: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
המעלות של שני מספרים לא שליליים והמעריכים שלהם שווים, ואז הבסיסים של המעלות עצמם שווים. מכאן $x=y*z$, שזה מה שנדרש להוכיח.

משפט 2. אם $a≥0$, $b>0$ ו-n הוא מספר טבעי הגדול מ-1, אזי השוויון הבא מתקיים: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](א))(\sqrt[n](ב))$.

כלומר, השורש ה-n של המנה שווה למנה של השורשים ה-n.

הוכחה.
כדי להוכיח זאת, אנו משתמשים בסכימה מפושטת בצורה של טבלה:

דוגמאות לחישוב השורש ה-n

דוגמא.
חשב: $\sqrt(16*81*256)$.
פִּתָרוֹן. בואו נשתמש במשפט 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

דוגמא.
חשב: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
פִּתָרוֹן. בואו נציג את הביטוי הרדיקלי כשבר לא תקין: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
בואו נשתמש במשפט 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) ) (2)$.

דוגמא.
לחשב:
א) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
ב) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
פִּתָרוֹן:
א) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
ב) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

משפט 3. אם $a≥0$, k ו-n הם מספרים טבעיים הגדולים מ-1, אז השוויון נכון: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

כדי להעלות שורש לכוח טבעי, מספיק להעלות את הביטוי הרדיקלי לכוח זה.

הוכחה.
הבה נבחן מקרה מיוחד עבור $k=3$. בוא נשתמש במשפט 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a) *a)=\sqrt[n](a^3)$.
ניתן להוכיח את אותו הדבר לגבי כל מקרה אחר. חבר'ה, תוכיחו זאת בעצמכם במקרה שבו $k=4$ ו-$k=6$.

משפט 4. אם $a≥0$ b n,k הם מספרים טבעיים הגדולים מ-1, אז השוויון נכון: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

כדי לחלץ שורש משורש, מספיק להכפיל את מעריכי השורשים.

הוכחה.
הבה נוכיח שוב בקצרה באמצעות הטבלה. כדי להוכיח זאת, אנו משתמשים בסכימה מפושטת בצורה של טבלה:

דוגמא.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

משפט 5. אם המדדים של השורש וביטוי השורש מוכפלים באותו מספר טבעי, אז הערך של השורש לא ישתנה: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

הוכחה.
עקרון ההוכחה למשפט שלנו זהה לזה שבדוגמאות אחרות. בואו נציג משתנים חדשים:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (בהגדרה).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (בהגדרה).
אנחנו מעלים את השוויון האחרון לחזקת p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
יש:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
כלומר, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, שהיה צריך להוכיח.

דוגמאות:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (חלקי 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (חלקי 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (כפול 3).

דוגמא.
הפעל פעולות: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
פִּתָרוֹן.
המעריכים של השורשים הם מספרים שונים, ולכן איננו יכולים להשתמש במשפט 1, אך באמצעות יישום משפט 5 נוכל לקבל מעריכים שווים.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (כפול 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (מוכפל ב-4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

משימות לפתרון עצמאי

1. חשב: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. חשב: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. חשב:
א) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
ב) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. פשט:
א) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ב) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ג) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. בצע פעולות: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.