A raiz e o grau da tarefa. Raiz do grau n: definições básicas

Parabéns: hoje vamos analisar as raízes - um dos tópicos mais alucinantes da 8ª série. :)

Muitas pessoas ficam confusas sobre as raízes não porque sejam complexas (o que é complicado - algumas definições e mais algumas propriedades), mas porque na maioria dos livros didáticos as raízes são definidas através de tais wilds que apenas os autores dos próprios livros podem entenda esse rabisco. E mesmo assim só com uma garrafa de bom whisky. :)

Portanto, agora darei a definição mais correta e competente da raiz - a única que você realmente precisa lembrar. E só então explicarei: por que tudo isso é necessário e como aplicá-lo na prática.

Mas primeiro, lembre-se de um ponto importante, que por algum motivo muitos compiladores de livros didáticos “esquecem”:

As raízes podem ser de grau par (nosso favorito $\sqrt(a)$, assim como qualquer $\sqrt(a)$ e até $\sqrt(a)$) e grau ímpar (qualquer $\sqrt(a)$ , $\sqrt(a)$ etc.). E a definição da raiz de um grau ímpar é um pouco diferente do par.

Aqui nesta porra de “um pouco diferente” está escondido, provavelmente, 95% de todos os erros e mal-entendidos associados às raízes. Então, vamos esclarecer a terminologia de uma vez por todas:

Definição. Mesmo raiz n do número $a$ é qualquer não negativo um número $b$ tal que $((b)^(n))=a$. E a raiz de um grau ímpar do mesmo número $a$ é geralmente qualquer número $b$ para o qual a mesma igualdade vale: $((b)^(n))=a$.

Em qualquer caso, a raiz é denotada assim:

\(uma)\]

O número $n$ em tal notação é chamado de expoente raiz, e o número $a$ é chamado de expressão radical. Em particular, para $n=2$ obtemos nossa raiz quadrada “favorita” (a propósito, esta é uma raiz de grau par), e para $n=3$ obtemos uma raiz cúbica (um grau ímpar), que também é freqüentemente encontrado em problemas e equações.

Exemplos. Exemplos clássicos de raízes quadradas:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinhar)\]

A propósito, $\sqrt(0)=0$ e $\sqrt(1)=1$. Isso é bastante lógico, pois $((0)^(2))=0$ e $((1)^(2))=1$.

Raízes cúbicas também são comuns - não tenha medo delas:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinhar)\]

Bem, alguns "exemplos exóticos":

\[\begin(alinhar) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinhar)\]

Se você não entender qual é a diferença entre um grau par e um grau ímpar, releia a definição novamente. É muito importante!

Enquanto isso, consideraremos uma característica desagradável das raízes, por causa da qual precisávamos introduzir uma definição separada para expoentes pares e ímpares.

Por que precisamos de raízes?

Depois de ler a definição, muitos alunos perguntarão: “O que os matemáticos fumaram quando inventaram isso?” E realmente: por que precisamos de todas essas raízes?

Para responder a esta pergunta, vamos voltar para a escola primária por um momento. Lembre-se: naqueles tempos distantes, quando as árvores eram mais verdes e os bolinhos mais saborosos, nossa principal preocupação era multiplicar os números corretamente. Bem, algo no espírito de "cinco por cinco - vinte e cinco", isso é tudo. Mas, afinal, você pode multiplicar números não em pares, mas em trigêmeos, quatros e geralmente conjuntos inteiros:

\[\begin(alinhar) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

No entanto, este não é o ponto. O truque é diferente: os matemáticos são preguiçosos, então eles tiveram que escrever a multiplicação de dez cincos assim:

Então eles vieram com graus. Por que não escrever o número de fatores como um sobrescrito em vez de uma longa string? Como este:

É muito conveniente! Todos os cálculos são reduzidos várias vezes, e você não pode gastar um monte de folhas de pergaminho de cadernos para anotar cerca de 5 183 . Essa entrada foi chamada de grau de um número, várias propriedades foram encontradas nela, mas a felicidade acabou durando pouco.

Depois de uma bebida grandiosa, que foi organizada justamente sobre a “descoberta” dos graus, algum matemático especialmente chapado de repente perguntou: “E se soubermos o grau de um número, mas não soubermos o número em si?” De fato, se sabemos que um certo número $b$, por exemplo, dá 243 à 5ª potência, então como podemos adivinhar a que o próprio número $b$ é igual?

Esse problema acabou sendo muito mais global do que pode parecer à primeira vista. Porque descobriu-se que para a maioria dos diplomas “prontos” não existem esses números “iniciais”. Julgue por si mesmo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinhar)\]

E se $((b)^(3))=50$? Acontece que você precisa encontrar um certo número, que, quando multiplicado por ele mesmo três vezes, nos dará 50. Mas o que é esse número? É claramente maior que 3 porque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ou seja, esse número está em algum lugar entre três e quatro, mas o que é igual a - FIG você entenderá.

É exatamente por isso que os matemáticos criaram $n$-ésimas raízes. É por isso que o ícone radical $\sqrt(*)$ foi introduzido. Para denotar o mesmo número $b$, que, à potência especificada, nos dará um valor previamente conhecido

\[\sqrt[n](a)=b\Seta para a direita ((b)^(n))=a\]

Eu não discuto: muitas vezes essas raízes são facilmente consideradas - vimos vários exemplos acima. Mas ainda assim, na maioria dos casos, se você pensar em um número arbitrário e depois tentar extrair a raiz de um grau arbitrário dele, você terá uma chatice cruel.

O que é aquilo! Mesmo o $\sqrt(2)$ mais simples e familiar não pode ser representado em nossa forma usual - como um inteiro ou uma fração. E se você colocar esse número em uma calculadora, verá isso:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Como você pode ver, após a vírgula há uma sequência infinita de números que não obedecem a nenhuma lógica. Você pode, é claro, arredondar esse número para comparar rapidamente com outros números. Por exemplo:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aprox 1,4 \lt 1,5\]

Ou aqui está outro exemplo:

\[\sqrt(3)=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Mas todos esses arredondamentos são, em primeiro lugar, bastante grosseiros; e em segundo lugar, você também precisa ser capaz de trabalhar com valores aproximados, caso contrário você pode pegar um monte de erros não óbvios (a propósito, a habilidade de comparação e arredondamento é necessariamente verificada no exame de perfil).

Portanto, em matemática séria, não se pode prescindir de raízes - elas são os mesmos representantes iguais do conjunto de todos os números reais $\mathbb(R)$, como frações e inteiros que conhecemos há muito tempo.

A impossibilidade de representar a raiz como uma fração da forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raiz não é um número racional. Esses números são chamados de irracionais e não podem ser representados com precisão, exceto com a ajuda de um radical ou outras construções especialmente projetadas para isso (logaritmos, graus, limites etc.). Mas mais sobre isso em outra ocasião.

Considere alguns exemplos em que, após todos os cálculos, os números irracionais ainda permanecerão na resposta.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Naturalmente, pela aparência da raiz, é quase impossível adivinhar quais números virão após o ponto decimal. No entanto, é possível calcular em uma calculadora, mas mesmo a calculadora de data mais avançada nos fornece apenas os primeiros dígitos de um número irracional. Portanto, é muito mais correto escrever as respostas como $\sqrt(5)$ e $\sqrt(-2)$.

Foi para isso que eles foram inventados. Para facilitar a anotação das respostas.

Por que duas definições são necessárias?

O leitor atento provavelmente já percebeu que todas as raízes quadradas dadas nos exemplos são tiradas de números positivos. Bem, pelo menos do zero. Mas as raízes cúbicas são extraídas com calma de absolutamente qualquer número - mesmo positivo, até negativo.

Por que isso está acontecendo? Dê uma olhada no gráfico da função $y=((x)^(2))$:

O gráfico de uma função quadrática dá duas raízes: positiva e negativa

Vamos tentar calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para fazer isso, uma linha horizontal $y=4$ (marcada em vermelho) é desenhada no gráfico, que intercepta a parábola em dois pontos: $((x)_(1))=2$ e $((x) _(2)) =-2$. Isso é bastante lógico, pois

Tudo está claro com o primeiro número - é positivo, portanto, é a raiz:

Mas então o que fazer com o segundo ponto? O 4 tem duas raízes ao mesmo tempo? Afinal, se elevarmos o número −2 ao quadrado, também teremos 4. Por que não escrever $\sqrt(4)=-2$ então? E por que os professores olham para esses registros como se quisessem comer você? :)

O problema é que, se nenhuma condição adicional for imposta, os quatro terão duas raízes quadradas - positivas e negativas. E qualquer número positivo também terá dois deles. Mas os números negativos não terão raízes - isso pode ser visto no mesmo gráfico, já que a parábola nunca cai abaixo do eixo y, ou seja não assume valores negativos.

Um problema semelhante ocorre para todas as raízes com um expoente par:

1. Estritamente falando, cada número positivo terá duas raízes com um expoente par $n$;
2. De números negativos, a raiz com $n$ par não é extraída.

É por isso que a definição de uma raiz par $n$ estipula especificamente que a resposta deve ser um número não negativo. É assim que nos livramos da ambiguidade.

Mas para $n$ ímpar não existe esse problema. Para ver isso, vamos dar uma olhada no gráfico da função $y=((x)^(3))$:

A parábola cúbica assume qualquer valor, então a raiz cúbica pode ser tirada de qualquer número

Duas conclusões podem ser tiradas deste gráfico:

1. Os ramos de uma parábola cúbica, ao contrário do usual, vão ao infinito em ambas as direções - tanto para cima quanto para baixo. Portanto, em qualquer altura que desenharmos uma linha horizontal, essa linha definitivamente cruzará com nosso gráfico. Portanto, a raiz cúbica sempre pode ser obtida, absolutamente de qualquer número;
2. Além disso, tal interseção sempre será única, então você não precisa pensar em qual número considerar a raiz “correta” e qual pontuar. É por isso que a definição de raízes para um grau ímpar é mais simples do que para um par (não há requisito de não negatividade).

É uma pena que essas coisas simples não sejam explicadas na maioria dos livros didáticos. Em vez disso, nossos cérebros começam a voar com todos os tipos de raízes aritméticas e suas propriedades.

Sim, eu não discuto: o que é uma raiz aritmética - você também precisa saber. E falarei sobre isso em detalhes em uma lição separada. Hoje também falaremos sobre isso, pois sem ela todas as reflexões sobre as raízes da multiplicidade $n$-ésima seriam incompletas.

Mas primeiro você precisa entender claramente a definição que dei acima. Caso contrário, devido à abundância de termos, uma bagunça começará em sua cabeça que, no final, você não entenderá nada.

E tudo que você precisa entender é a diferença entre números pares e ímpares. Portanto, mais uma vez, coletaremos tudo o que você realmente precisa saber sobre as raízes:

1. Uma raiz par existe apenas a partir de um número não negativo e é sempre um número não negativo. Para números negativos, essa raiz é indefinida.
2. Mas a raiz de um grau ímpar existe de qualquer número e pode ser qualquer número: para números positivos é positivo, e para números negativos, como o cap sugere, é negativo.

É difícil? Não, não é difícil. Claro? Sim, é óbvio! Portanto, agora vamos praticar um pouco com os cálculos.

Propriedades e restrições básicas

As raízes têm muitas propriedades e restrições estranhas - esta será uma lição separada. Portanto, agora consideraremos apenas o "chip" mais importante, que se aplica apenas a raízes com um expoente par. Escrevemos esta propriedade na forma de uma fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\esquerda| x\direita|\]

Em outras palavras, se elevarmos um número a uma potência par e depois extrairmos a raiz do mesmo grau disso, obteremos não o número original, mas seu módulo. Este é um teorema simples que é fácil de provar (basta considerar separadamente $x$ não-negativos, e então considerar separadamente os negativos). Os professores falam constantemente sobre isso, é dado em todos os livros escolares. Mas assim que se trata de resolver equações irracionais (ou seja, equações contendo o sinal do radical), os alunos esquecem essa fórmula juntos.

Para entender o problema em detalhes, vamos esquecer todas as fórmulas por um minuto e tentar contar dois números à frente:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Estes são exemplos muito simples. O primeiro exemplo será resolvido pela maioria das pessoas, mas no segundo, muitos ficam. Para resolver essa porcaria sem problemas, sempre considere o procedimento:

1. Primeiro, o número é elevado à quarta potência. Bem, é meio fácil. Será obtido um novo número, que pode até ser encontrado na tabuada;
2. E agora deste novo número é necessário extrair a raiz do quarto grau. Aqueles. não há "redução" de raízes e graus - são ações sequenciais.

Vamos lidar com a primeira expressão: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primeiro você precisa calcular a expressão sob a raiz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Então extraímos a raiz quarta do número 81:

Agora vamos fazer o mesmo com a segunda expressão. Primeiro, elevamos o número -3 à quarta potência, para o qual precisamos multiplicá-lo por ele mesmo 4 vezes:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ esquerda(-3 \direita)=81\]

Obtivemos um número positivo, pois o número total de menos no produto é de 4 peças, e todas elas se cancelam (afinal, menos por menos dá mais). Em seguida, extraia a raiz novamente:

Em princípio, esta linha não poderia ser escrita, pois é óbvio que a resposta será a mesma. Aqueles. uma raiz par da mesma potência par "queima" os pontos negativos e, nesse sentido, o resultado é indistinguível do módulo usual:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\direita|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \direito|=3. \\ \end(alinhar)\]

Esses cálculos estão de acordo com a definição da raiz de um grau par: o resultado é sempre não negativo e o sinal do radical também é sempre um número não negativo. Caso contrário, a raiz não é definida.

Observação sobre a ordem das operações

1. A notação $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primeiro elevamos o número $a$ ao quadrado e, em seguida, extraímos a raiz quadrada do valor resultante. Portanto, podemos ter certeza de que um número não negativo sempre fica sob o sinal da raiz, já que $((a)^(2))\ge 0$ de qualquer maneira;
2. Mas a notação $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, ao contrário, significa que primeiro extraímos a raiz de um certo número $a$ e só então elevamos o resultado ao quadrado. Portanto, o número $a$ em nenhum caso pode ser negativo - este é um requisito obrigatório embutido na definição.

Assim, em nenhum caso se deve reduzir impensadamente as raízes e os graus, assim supostamente "simplificando" a expressão original. Porque se houver um número negativo sob a raiz e seu expoente for par, teremos muitos problemas.

No entanto, todos esses problemas são relevantes apenas para indicadores pares.

Removendo um sinal de menos sob o sinal de raiz

Naturalmente, raízes com expoentes ímpares também têm seu próprio traço, que, em princípio, não existe para pares. Nomeadamente:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Em suma, você pode tirar um menos sob o sinal das raízes de um grau ímpar. Esta é uma propriedade muito útil que permite "jogar" todas as desvantagens:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinhar)\]

Essa propriedade simples simplifica muito muitos cálculos. Agora você não precisa se preocupar: e se uma expressão negativa ficar abaixo da raiz e o grau na raiz for par? Basta "jogar fora" todos os pontos negativos fora das raízes, após o que eles podem ser multiplicados entre si, divididos e geralmente fazer muitas coisas suspeitas, que no caso de raízes "clássicas" garantem que nos levem a um erro .

E aqui outra definição entra em cena - aquela mesma com a qual a maioria das escolas começa o estudo das expressões irracionais. E sem a qual nosso raciocínio seria incompleto. Encontrar!

raiz aritmética

Vamos supor por um momento que apenas números positivos ou, em casos extremos, zero podem estar sob o sinal da raiz. Vamos pontuar em indicadores pares/ímpares, pontuar em todas as definições dadas acima - trabalharemos apenas com números não negativos. O que então?

E então obtemos a raiz aritmética - ela se cruza parcialmente com nossas definições "padrão", mas ainda difere delas.

Definição. Uma raiz aritmética do $n$º grau de um número não negativo $a$ é um número não negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como você pode ver, não estamos mais interessados ​​em paridade. Em vez disso, uma nova restrição apareceu: a expressão radical agora é sempre não negativa, e a própria raiz também é não negativa.

Para entender melhor como a raiz aritmética difere da usual, dê uma olhada nos gráficos da parábola quadrada e cúbica já familiares para nós:

Área de pesquisa raiz - números não negativos

Como você pode ver, a partir de agora, estamos interessados ​​apenas naqueles gráficos que estão localizados no primeiro trimestre de coordenadas - onde as coordenadas $x$ e $y$ são positivas (ou pelo menos zero). Você não precisa mais olhar para o indicador para entender se temos o direito de enraizar um número negativo ou não. Porque os números negativos não são mais considerados em princípio.

Você pode perguntar: “Bem, por que precisamos de uma definição tão castrada?” Ou: "Por que não podemos seguir com a definição padrão dada acima?"

Bem, vou dar apenas uma propriedade, por causa da qual a nova definição se torna apropriada. Por exemplo, a regra de exponenciação:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Observe: podemos elevar a expressão radical a qualquer potência e ao mesmo tempo multiplicar o expoente raiz pela mesma potência - e o resultado será o mesmo número! aqui estão alguns exemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Bem, o que há de errado com isso? Por que não conseguimos antes? Aqui está o porquê. Considere uma expressão simples: $\sqrt(-2)$ é um número bastante normal em nosso sentido clássico, mas absolutamente inaceitável do ponto de vista da raiz aritmética. Vamos tentar convertê-lo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como você pode ver, no primeiro caso, tiramos o menos do radical (temos todo o direito, porque o indicador é ímpar), e no segundo, usamos a fórmula acima. Aqueles. do ponto de vista da matemática, tudo é feito de acordo com as regras.

WTF?! Como o mesmo número pode ser positivo e negativo? Sem chance. É que a fórmula de exponenciação, que funciona muito bem para números positivos e zero, começa a dar uma heresia completa no caso de números negativos.

Aqui, para se livrar dessa ambiguidade, eles criaram raízes aritméticas. Uma grande lição separada é dedicada a eles, onde consideramos em detalhes todas as suas propriedades. Então agora não vamos nos debruçar sobre eles - a lição acabou sendo muito longa de qualquer maneira.

Raiz algébrica: para quem quer saber mais

Eu pensei por um longo tempo: fazer este tópico em um parágrafo separado ou não. No final, decidi sair daqui. Este material é destinado a quem quer entender ainda melhor as raízes - não mais no nível médio “escolar”, mas no nível próximo à Olimpíada.

Assim: além da definição "clássica" da raiz do $n$-ésimo grau de um número e a divisão associada em indicadores pares e ímpares, há uma definição mais "adulta", que não depende de paridade e outras sutilezas. Isso é chamado de raiz algébrica.

Definição. Uma raiz algébrica $n$-th de qualquer $a$ é o conjunto de todos os números $b$ tal que $((b)^(n))=a$. Não há uma designação bem estabelecida para essas raízes, então basta colocar um traço no topo:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

A diferença fundamental da definição padrão dada no início da lição é que a raiz algébrica não é um número específico, mas um conjunto. E como estamos trabalhando com números reais, esse conjunto é de apenas três tipos:

1. Conjunto vazio. Ocorre quando é necessário encontrar uma raiz algébrica de grau par a partir de um número negativo;
2. Um conjunto que consiste em um único elemento. Todas as raízes de potências ímpares, bem como raízes de potências pares a partir de zero, se enquadram nesta categoria;
3. Finalmente, o conjunto pode incluir dois números - os mesmos $((x)_(1))$ e $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos no função quadrática do gráfico. Assim, tal alinhamento só é possível ao extrair a raiz de um grau par de um número positivo.

O último caso merece uma análise mais detalhada. Vamos contar alguns exemplos para entender a diferença.

Exemplo. Calcular expressões:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solução. A primeira expressão é simples:

\[\overline(\sqrt(4))=\esquerda\( 2;-2 \direita\)\]

São dois números que fazem parte do conjunto. Porque cada um deles ao quadrado dá um quatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aqui vemos um conjunto que consiste em apenas um número. Isso é bastante lógico, já que o expoente da raiz é ímpar.

Por fim, a última expressão:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]

Temos um conjunto vazio. Porque não há um único número real que, quando elevado à quarta (ou seja, par!) Potência, nos dê um número negativo -16.

Nota final. Atenção: não foi por acaso que notei em todos os lugares que estamos trabalhando com números reais. Porque também existem números complexos - é bem possível calcular $\sqrt(-16)$ e muitas outras coisas estranhas lá.

No entanto, no currículo escolar moderno de matemática, os números complexos quase nunca são encontrados. Eles foram omitidos da maioria dos livros didáticos porque nossos funcionários consideram o tópico "muito difícil de entender".

Isso é tudo. Na próxima lição, veremos todas as principais propriedades das raízes e, finalmente, aprenderemos a simplificar expressões irracionais. :)

Para usar com sucesso a operação de extração da raiz na prática, você precisa se familiarizar com as propriedades dessa operação.
Todas as propriedades são formuladas e provadas apenas para valores não negativos de variáveis ​​contidas em sinais de raiz.

Teorema 1. A enésima raiz (n=2, 3, 4,...) do produto de dois chipsets não negativos é igual ao produto das enésimas raízes desses números:

Comente:

1. O teorema 1 permanece válido para o caso em que a expressão radical é o produto de mais de dois números não negativos.

Teorema 2.Se um, e n é um número natural maior que 1, então a igualdade

Apresentação formulação (embora imprecisa) que é mais conveniente de usar na prática: a raiz da fração é igual à fração das raízes.

O Teorema 1 nos permite multiplicar m apenas raízes do mesmo grau , ou seja apenas raízes com o mesmo expoente.

Teorema 3. Se ,k é um número natural e n é um número natural maior que 1, então a igualdade

Em outras palavras, para elevar uma raiz a uma potência natural, basta elevar a expressão da raiz a essa potência.
Esta é uma consequência do Teorema 1. De fato, por exemplo, para k = 3 temos

Teorema 4. Se ,k, n são números naturais maiores que 1, então a igualdade

Em outras palavras, para extrair uma raiz de uma raiz, basta multiplicar os expoentes das raízes.
Por exemplo,

Tome cuidado! Aprendemos que quatro operações podem ser realizadas em raízes: multiplicação, divisão, exponenciação e extração da raiz (da raiz). Mas e a adição e subtração de raízes? Sem chance.
Por exemplo, você não pode escrever em vez de De fato, mas é óbvio que

Teorema 5. Se os indicadores da raiz e a expressão da raiz são multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, então o valor da raiz não mudará, ou seja,

Exemplos de resolução de problemas

Exemplo 1 Calcular

Solução. Usando a primeira propriedade das raízes (Teorema 1), temos:

Exemplo 2 Calcular
Solução. Transforme o número misto em fração imprópria.
Temos Usando a segunda propriedade das raízes ( teorema 2 ), Nós temos:

Exemplo 3 Calcular:

Solução. Qualquer fórmula em álgebra, como você bem sabe, é usada não apenas "da esquerda para a direita", mas também "da direita para a esquerda". Assim, a primeira propriedade das raízes significa que ela pode ser representada como e, inversamente, pode ser substituída pela expressão. O mesmo se aplica à segunda propriedade das raízes. Com isso em mente, vamos fazer os cálculos.

Aula e apresentação sobre o tema: "Propriedades da raiz do grau n. Teoremas"

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Propriedades da raiz do enésimo grau. Teoremas

Pessoal, continuamos estudando as raízes do enésimo grau de um número real. Como quase todos os objetos matemáticos, as raízes do grau n possuem algumas propriedades, hoje vamos estudá-las.
Todas as propriedades que consideramos são formuladas e provadas apenas para valores não negativos das variáveis ​​contidas sob o sinal da raiz.
No caso de um expoente de raiz ímpar, eles também valem para variáveis ​​negativas.

Teorema 1. A raiz n do produto de dois números não negativos é igual ao produto das raízes n desses números: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .

Vamos provar o teorema.
Prova. Pessoal, para provar o teorema, vamos introduzir novas variáveis, denotar:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Precisamos provar que $x=y*z$.
Observe que as seguintes identidades também são válidas:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Então a seguinte identidade também vale: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Os graus de dois números não negativos e seus expoentes são iguais, então as bases dos próprios graus são iguais. Portanto, $x=y*z$, que é o que precisava ser provado.

Teorema 2. Se $a≥0$, $b>0$ e n for um número natural maior que 1, então vale a seguinte igualdade: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

Ou seja, a n-ésima raiz do quociente é igual ao quociente das n-ésimas raízes.

Prova.
Para provar isso, usamos um esquema simplificado na forma de uma tabela:

Exemplos de cálculo da raiz n

Exemplo.
Calcule: $\sqrt(16*81*256)$.
Solução. Vamos usar o Teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Exemplo.
Calcule: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Solução. Vamos representar a expressão radical como uma fração imprópria: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Vamos usar o Teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Exemplo.
Calcular:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Solução:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorema 3. Se $a≥0$, ke n são números naturais maiores que 1, então a igualdade é verdadeira: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Para erguer uma raiz a uma potência natural, basta elevar a expressão radical a essa potência.

Prova.
Vamos considerar um caso especial para $k=3$. Vamos usar o Teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
O mesmo pode ser provado para qualquer outro caso. Pessoal, provem vocês mesmos para o caso em que $k=4$ e $k=6$.

Teorema 4. Se $a≥0$ b n,k são números naturais maiores que 1, então a igualdade é verdadeira: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Para extrair uma raiz de uma raiz, basta multiplicar os expoentes das raízes.

Prova.
Vamos provar novamente brevemente usando a tabela. Para provar isso, usamos um esquema simplificado na forma de uma tabela:

Exemplo.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorema 5. Se os índices da raiz e a expressão da raiz forem multiplicados pelo mesmo número natural, então o valor da raiz não mudará: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Prova.
O princípio da prova do nosso teorema é o mesmo dos outros exemplos. Vamos introduzir novas variáveis:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (por definição).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (por definição).
Elevamos a última igualdade à potência p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Pegou:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Ou seja, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, que deveria ser provado.

Exemplos:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dividido por 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (dividido por 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (multiplicado por 3).

Exemplo.
Executar ações: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Solução.
Os expoentes das raízes são números diferentes, então não podemos usar o Teorema 1, mas aplicando o Teorema 5 podemos obter expoentes iguais.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (multiplicado por 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (multiplicado por 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Tarefas para solução independente

1. Calcule: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Calcule: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Calcule:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Simplifique:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Execute as ações: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.