Συγχαρητήρια: σήμερα θα αναλύσουμε τις ρίζες - ένα από τα πιο εντυπωσιακά θέματα της 8ης τάξης. :)
Πολλοί άνθρωποι μπερδεύονται σχετικά με τις ρίζες, όχι επειδή είναι περίπλοκες (πράγμα πολύπλοκο - μερικοί ορισμοί και μερικές ακόμη ιδιότητες), αλλά επειδή στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια οι ρίζες ορίζονται μέσα από τέτοια άγρια που μόνο οι ίδιοι οι συγγραφείς των σχολικών βιβλίων μπορεί να καταλάβει αυτό το σκαρίφημα. Και ακόμα και τότε μόνο με ένα μπουκάλι καλό ουίσκι. :)
Επομένως, τώρα θα δώσω τον πιο σωστό και πιο ικανό ορισμό της ρίζας - τον μόνο που πρέπει πραγματικά να θυμάστε. Και μόνο τότε θα εξηγήσω: γιατί όλα αυτά είναι απαραίτητα και πώς να τα εφαρμόσουμε στην πράξη.
Αλλά πρώτα, θυμηθείτε ένα σημαντικό σημείο, το οποίο για κάποιο λόγο πολλοί μεταγλωττιστές σχολικών βιβλίων «ξεχνούν»:
Οι ρίζες μπορεί να είναι ζυγού βαθμού (τα αγαπημένα μας $\sqrt(a)$, καθώς και οποιαδήποτε $\sqrt(a)$ και ακόμη και $\sqrt(a)$) και περιττού βαθμού (οποιοδήποτε $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ κ.λπ.). Και ο ορισμός της ρίζας του περιττού βαθμού είναι κάπως διαφορετικός από τον άρτιο.
Πιθανώς, το 95% όλων των λαθών και των παρεξηγήσεων που σχετίζονται με τις ρίζες κρύβονται σε αυτό το γαμημένο «κάπως διαφορετικό». Ας ξεκαθαρίσουμε λοιπόν μια για πάντα την ορολογία:
Ορισμός. Ακόμα και ρίζα nαπό τον αριθμό $a$ είναι οποιαδήποτε μη αρνητικόέναν αριθμό $b$ τέτοιο ώστε $((b)^(n))=a$. Και η ρίζα ενός περιττού βαθμού από τον ίδιο αριθμό $a$ είναι γενικά οποιοσδήποτε αριθμός $b$ για τον οποίο ισχύει η ίδια ισότητα: $((b)^(n))=a$.
Σε κάθε περίπτωση, η ρίζα συμβολίζεται ως εξής:
\(ένα)\]
Ο αριθμός $n$ σε μια τέτοια σημείωση ονομάζεται εκθέτης ρίζας και ο αριθμός $a$ ονομάζεται ριζική έκφραση. Συγκεκριμένα, για $n=2$ παίρνουμε την «αγαπημένη» μας τετραγωνική ρίζα (παρεμπιπτόντως, αυτή είναι ρίζα άρτιας μοίρας) και για $n=3$ παίρνουμε μια κυβική ρίζα (περίεργο βαθμό), που επίσης συναντάται συχνά σε προβλήματα και εξισώσεις.
Παραδείγματα. Κλασικά παραδείγματα τετραγωνικών ριζών:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(στοίχιση)\]
Παρεμπιπτόντως, $\sqrt(0)=0$ και $\sqrt(1)=1$. Αυτό είναι αρκετά λογικό αφού $((0)^(2))=0$ και $((1)^(2))=1$.
Οι κυβικές ρίζες είναι επίσης κοινές - μην τις φοβάστε:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(στοίχιση)\]
Λοιπόν, μερικά «εξωτικά παραδείγματα»:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(στοίχιση)\]
Εάν δεν καταλαβαίνετε ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός άρτιου και ενός περιττού βαθμού, διαβάστε ξανά τον ορισμό. Είναι πολύ σημαντικό!
Εν τω μεταξύ, θα εξετάσουμε ένα δυσάρεστο χαρακτηριστικό των ριζών, εξαιτίας του οποίου χρειάστηκε να εισαγάγουμε έναν ξεχωριστό ορισμό για άρτιους και περιττούς εκθέτες.
Γιατί χρειαζόμαστε καθόλου ρίζες;
Αφού διαβάσουν τον ορισμό, πολλοί μαθητές θα ρωτήσουν: «Τι κάπνιζαν οι μαθηματικοί όταν το σκέφτηκαν;» Και αλήθεια: γιατί χρειαζόμαστε όλες αυτές τις ρίζες;
Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ας επιστρέψουμε για λίγο στο δημοτικό. Θυμηθείτε: σε εκείνες τις μακρινές εποχές, που τα δέντρα ήταν πιο πράσινα και τα ζυμαρικά πιο νόστιμα, κύριο μέλημά μας ήταν να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους αριθμούς. Λοιπόν, κάτι στο πνεύμα του «πέντε επί πέντε - είκοσι πέντε», αυτό είναι όλο. Αλλά τελικά, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αριθμούς όχι σε ζεύγη, αλλά σε τρίδυμα, τέσσερα και γενικά ολόκληρα σύνολα:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Ωστόσο, αυτό δεν είναι το ζητούμενο. Το κόλπο είναι διαφορετικό: οι μαθηματικοί είναι τεμπέληδες, οπότε έπρεπε να γράψουν τον πολλαπλασιασμό των δέκα πέντε ως εξής:
Έτσι κατέληξαν σε πτυχία. Γιατί να μην γράψετε τον αριθμό των παραγόντων ως εκθέτη αντί για μια μεγάλη συμβολοσειρά; Σαν αυτό:
Είναι πολύ βολικό! Όλοι οι υπολογισμοί μειώνονται αρκετές φορές και δεν μπορείτε να ξοδέψετε ένα σωρό φύλλα περγαμηνής σημειωματάρια για να σημειώσετε περίπου 5 183 . Μια τέτοια καταχώρηση ονομαζόταν βαθμός ενός αριθμού, βρέθηκαν ένα σωρό ιδιότητες σε αυτό, αλλά η ευτυχία αποδείχθηκε βραχύβια.
Μετά από ένα μεγαλειώδες ποτό, το οποίο οργανώθηκε ακριβώς για την «ανακάλυψη» των πτυχίων, κάποιος ιδιαίτερα λιθοβολημένος μαθηματικός ρώτησε ξαφνικά: «Κι αν γνωρίζουμε τον βαθμό ενός αριθμού, αλλά δεν γνωρίζουμε τον ίδιο τον αριθμό;» Πράγματι, αν γνωρίζουμε ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός $b$, για παράδειγμα, δίνει 243 στην 5η δύναμη, τότε πώς μπορούμε να μαντέψουμε με τι ισούται ο ίδιος ο αριθμός $b$;
Αυτό το πρόβλημα αποδείχθηκε πολύ πιο παγκόσμιο από ό,τι φαίνεται με την πρώτη ματιά. Διότι αποδείχθηκε ότι για την πλειοψηφία των «έτοιμων» πτυχίων δεν υπάρχουν τέτοιοι «αρχικοί» αριθμοί. Κρίνετε μόνοι σας:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Δεξί βέλος b=4\cdot 4\cdot 4\Δεξί βέλος b=4. \\ \end(στοίχιση)\]
Τι γίνεται αν $((b)^(3))=50$; Αποδεικνύεται ότι πρέπει να βρείτε έναν συγκεκριμένο αριθμό, ο οποίος, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του τρεις φορές, θα μας δώσει το 50. Ποιος είναι όμως αυτός ο αριθμός; Είναι σαφώς μεγαλύτερο από 3 επειδή 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Δηλ. αυτός ο αριθμός βρίσκεται κάπου μεταξύ τριών και τεσσάρων, αλλά με τι ισούται - ΣΧ θα καταλάβετε.
Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που οι μαθηματικοί βρήκαν $n$-th ρίζες. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο εισήχθη το ριζικό εικονίδιο $\sqrt(*)$. Για να δηλώσουμε τον ίδιο αριθμό $b$, ο οποίος, με την καθορισμένη ισχύ, θα μας δώσει μια προηγουμένως γνωστή τιμή
\[\sqrt[n](a)=b\Δεξί βέλος ((b)^(n))=a\]
Δεν διαφωνώ: συχνά αυτές οι ρίζες θεωρούνται εύκολα - είδαμε αρκετά τέτοια παραδείγματα παραπάνω. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, εάν σκέφτεστε έναν αυθαίρετο αριθμό και στη συνέχεια προσπαθήσετε να εξαγάγετε τη ρίζα ενός αυθαίρετου βαθμού από αυτόν, αντιμετωπίζετε μια σκληρή καταστροφή.
Τι ΕΙΝΑΙ εκει! Ακόμη και το πιο απλό και γνωστό $\sqrt(2)$ δεν μπορεί να αναπαρασταθεί στη συνήθη μορφή μας - ως ακέραιος ή κλάσμα. Και αν βάλετε αυτόν τον αριθμό σε μια αριθμομηχανή, θα δείτε αυτό:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Όπως μπορείτε να δείτε, μετά την υποδιαστολή υπάρχει μια ατελείωτη ακολουθία αριθμών που δεν υπακούουν σε καμία λογική. Μπορείτε, φυσικά, να στρογγυλοποιήσετε αυτόν τον αριθμό για να συγκρίνετε γρήγορα με άλλους αριθμούς. Για παράδειγμα:
\[\sqrt(2)=1,4142...\περίπου 1,4 \lt 1,5\]
Ή εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:
\[\sqrt(3)=1,73205...\περίπου 1,7 \gt 1,5\]
Αλλά όλες αυτές οι στρογγυλοποιήσεις είναι, πρώτον, μάλλον χονδροειδείς. και δεύτερον, πρέπει επίσης να είστε σε θέση να εργαστείτε με κατά προσέγγιση τιμές, διαφορετικά μπορείτε να πιάσετε μια δέσμη μη προφανών σφαλμάτων (παρεμπιπτόντως, η ικανότητα σύγκρισης και στρογγυλοποίησης ελέγχεται απαραίτητα στην εξέταση προφίλ).
Επομένως, στα σοβαρά μαθηματικά δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς ρίζες - είναι οι ίδιοι ίσοι εκπρόσωποι του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών $\mathbb(R)$, καθώς και κλάσματα και ακέραιοι γνωστοί σε εμάς εδώ και πολύ καιρό.
Η αδυναμία αναπαράστασης της ρίζας ως κλάσματος της μορφής $\frac(p)(q)$ σημαίνει ότι αυτή η ρίζα δεν είναι ρητός αριθμός. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι και δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια παρά μόνο με τη βοήθεια μιας ρίζας ή άλλων κατασκευών ειδικά σχεδιασμένων για αυτό (λογάριθμοι, μοίρες, όρια κ.λπ.). Αλλά περισσότερα για αυτό άλλη φορά.
Εξετάστε μερικά παραδείγματα όπου, μετά από όλους τους υπολογισμούς, οι παράλογοι αριθμοί θα εξακολουθούν να παραμένουν στην απάντηση.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\περίπου 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\περίπου -1.2599... \\ \end(στοίχιση)\]
Φυσικά, από την εμφάνιση της ρίζας, είναι σχεδόν αδύνατο να μαντέψουμε ποιοι αριθμοί θα έρθουν μετά την υποδιαστολή. Ωστόσο, είναι δυνατός ο υπολογισμός σε μια αριθμομηχανή, αλλά ακόμη και η πιο προηγμένη αριθμομηχανή ημερομηνίας μας δίνει μόνο τα πρώτα λίγα ψηφία ενός παράλογου αριθμού. Επομένως, είναι πολύ πιο σωστό να γράψετε τις απαντήσεις ως $\sqrt(5)$ και $\sqrt(-2)$.
Γι' αυτό εφευρέθηκαν. Για να είναι εύκολη η καταγραφή των απαντήσεων.
Γιατί χρειάζονται δύο ορισμοί;
Ο προσεκτικός αναγνώστης μάλλον έχει ήδη παρατηρήσει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες που δίνονται στα παραδείγματα προέρχονται από θετικούς αριθμούς. Λοιπόν, τουλάχιστον από το μηδέν. Αλλά οι ρίζες του κύβου εξάγονται ήρεμα από απολύτως οποιονδήποτε αριθμό - ακόμη και θετικό, ακόμη και αρνητικό.
Γιατί συμβαίνει αυτό? Ρίξτε μια ματιά στο γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(2))$:
Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης δίνει δύο ρίζες: θετική και αρνητική Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το $\sqrt(4)$ χρησιμοποιώντας αυτό το γράφημα. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζεται μια οριζόντια γραμμή $y=4$ (σημειωμένη με κόκκινο χρώμα) στο γράφημα, η οποία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία: $((x)_(1))=2$ και $((x) _(2)) =-2$. Αυτό είναι πολύ λογικό, αφού
Όλα είναι ξεκάθαρα με τον πρώτο αριθμό - είναι θετικό, επομένως είναι η ρίζα:
Αλλά τότε τι να κάνουμε με το δεύτερο σημείο; Το 4 έχει δύο ρίζες ταυτόχρονα; Άλλωστε, αν τετραγωνίσουμε τον αριθμό −2, παίρνουμε επίσης 4. Γιατί να μην γράψουμε τότε $\sqrt(4)=-2$; Και γιατί οι δάσκαλοι βλέπουν τέτοιους δίσκους σαν να θέλουν να σε φάνε; :)
Το πρόβλημα είναι ότι εάν δεν επιβληθούν πρόσθετοι όροι, τότε οι τέσσερις θα έχουν δύο τετραγωνικές ρίζες - θετικές και αρνητικές. Και κάθε θετικός αριθμός θα έχει επίσης δύο από αυτούς. Αλλά οι αρνητικοί αριθμοί δεν θα έχουν καθόλου ρίζες - αυτό φαίνεται από το ίδιο γράφημα, αφού η παραβολή δεν πέφτει ποτέ κάτω από τον άξονα y, δηλ. δεν παίρνει αρνητικές τιμές.
Παρόμοιο πρόβλημα παρουσιάζεται για όλες τις ρίζες με ζυγό εκθέτη:
- Αυστηρά μιλώντας, κάθε θετικός αριθμός θα έχει δύο ρίζες με ζυγό εκθέτη $n$.
- Από αρνητικούς αριθμούς, η ρίζα με ακόμη και $n$ δεν εξάγεται καθόλου.
Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο ορισμός μιας άρτιας ρίζας $n$ ορίζει συγκεκριμένα ότι η απάντηση πρέπει να είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Έτσι απαλλαγούμε από την ασάφεια.
Αλλά για το μονό $n$ δεν υπάρχει τέτοιο πρόβλημα. Για να το δούμε αυτό, ας ρίξουμε μια ματιά στο γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(3))$:
Η κυβική παραβολή παίρνει οποιαδήποτε τιμή, επομένως η κυβική ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε αριθμό Από αυτό το γράφημα μπορούν να εξαχθούν δύο συμπεράσματα:
- Τα κλαδιά μιας κυβικής παραβολής, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη, πηγαίνουν στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις - και προς τα πάνω και προς τα κάτω. Επομένως, σε όποιο ύψος κι αν τραβήξουμε μια οριζόντια γραμμή, αυτή η γραμμή σίγουρα θα τέμνεται με το γράφημά μας. Επομένως, η κυβική ρίζα μπορεί πάντα να ληφθεί, απολύτως από οποιονδήποτε αριθμό.
- Επιπλέον, μια τέτοια διασταύρωση θα είναι πάντα μοναδική, επομένως δεν χρειάζεται να σκεφτείτε ποιον αριθμό να θεωρήσετε τη «σωστή» ρίζα και ποιον να σημειώσετε. Γι' αυτό ο ορισμός των ριζών για περιττό βαθμό είναι απλούστερος από ό,τι για άρτιο (δεν υπάρχει απαίτηση μη αρνητικότητας).
Είναι κρίμα που αυτά τα απλά πράγματα δεν εξηγούνται στα περισσότερα σχολικά βιβλία. Αντίθετα, ο εγκέφαλός μας αρχίζει να πετάει στα ύψη με κάθε είδους αριθμητικές ρίζες και τις ιδιότητές τους.
Ναι, δεν διαφωνώ: τι είναι μια αριθμητική ρίζα - πρέπει επίσης να ξέρετε. Και θα μιλήσω για αυτό λεπτομερώς σε ένα ξεχωριστό μάθημα. Σήμερα θα μιλήσουμε επίσης για αυτό, γιατί χωρίς αυτό, όλες οι σκέψεις για τις ρίζες της πολλαπλότητας $n$-th θα ήταν ατελείς.
Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τον ορισμό που έδωσα παραπάνω. Διαφορετικά, λόγω της πληθώρας των όρων, θα ξεκινήσει ένα τέτοιο χάλι στο κεφάλι σου που στο τέλος δεν θα καταλάβεις απολύτως τίποτα.
Και το μόνο που χρειάζεται να καταλάβετε είναι η διαφορά μεταξύ ζυγών και περιττών αριθμών. Επομένως, για άλλη μια φορά θα συλλέξουμε όλα όσα πραγματικά πρέπει να γνωρίζετε για τις ρίζες:
- Μια άρτια ρίζα υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό και η ίδια είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Για αρνητικούς αριθμούς, μια τέτοια ρίζα είναι απροσδιόριστη.
- Αλλά η ρίζα ενός περιττού βαθμού υπάρχει από οποιονδήποτε αριθμό και μπορεί η ίδια να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: για θετικούς αριθμούς είναι θετικός, και για αρνητικούς αριθμούς, όπως υποδηλώνει το κεφαλαίο, είναι αρνητικός.
Είναι δύσκολο? Όχι, δεν είναι δύσκολο. Σαφή? Ναι, είναι προφανές! Επομένως, τώρα θα εξασκηθούμε λίγο με τους υπολογισμούς.
Βασικές ιδιότητες και περιορισμοί
Οι ρίζες έχουν πολλές παράξενες ιδιότητες και περιορισμούς - αυτό θα είναι ένα ξεχωριστό μάθημα. Επομένως, τώρα θα εξετάσουμε μόνο το πιο σημαντικό "τσιπ", το οποίο ισχύει μόνο για ρίζες με άρτιο εκθέτη. Γράφουμε αυτήν την ιδιότητα με τη μορφή ενός τύπου:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\αριστερά| x\δεξιά|\]
Με άλλα λόγια, αν υψώσουμε έναν αριθμό σε άρτια ισχύ και στη συνέχεια εξαγάγουμε τη ρίζα του ίδιου βαθμού από αυτό, δεν θα πάρουμε τον αρχικό αριθμό, αλλά το μέτρο του. Αυτό είναι ένα απλό θεώρημα που είναι εύκολο να αποδειχθεί (αρκεί να θεωρήσουμε ξεχωριστά μη αρνητικά $x$ και μετά ξεχωριστά να εξετάσουμε αρνητικά). Οι δάσκαλοι μιλούν συνεχώς για αυτό, δίνεται σε κάθε σχολικό εγχειρίδιο. Αλλά μόλις έρθει η ώρα να λύσουν παράλογες εξισώσεις (δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν το πρόσημο της ρίζας), οι μαθητές ξεχνούν αυτόν τον τύπο μαζί.
Για να κατανοήσουμε λεπτομερώς το ζήτημα, ας ξεχάσουμε όλους τους τύπους για ένα λεπτό και ας προσπαθήσουμε να μετρήσουμε δύο αριθμούς μπροστά:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Αυτά είναι πολύ απλά παραδείγματα. Το πρώτο παράδειγμα θα λυθεί από τους περισσότερους ανθρώπους, αλλά στο δεύτερο, πολλοί κολλάνε. Για να λύσετε οποιαδήποτε τέτοια χάλια χωρίς προβλήματα, σκεφτείτε πάντα τη διαδικασία:
- Πρώτον, ο αριθμός αυξάνεται στην τέταρτη δύναμη. Λοιπόν, είναι κάπως εύκολο. Θα ληφθεί ένας νέος αριθμός, ο οποίος μπορεί να βρεθεί ακόμη και στον πίνακα πολλαπλασιασμού.
- Και τώρα από αυτόν τον νέο αριθμό είναι απαραίτητο να εξαχθεί η ρίζα του τέταρτου βαθμού. Εκείνοι. δεν υπάρχει "μείωση" ριζών και βαθμών - αυτές είναι διαδοχικές ενέργειες.
Ας ασχοληθούμε με την πρώτη έκφραση: $\sqrt(((3)^(4)))$. Προφανώς, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την έκφραση κάτω από τη ρίζα:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Στη συνέχεια εξάγουμε την τέταρτη ρίζα του αριθμού 81:
Τώρα ας κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Αρχικά, ανεβάζουμε τον αριθμό −3 στην τέταρτη δύναμη, για την οποία πρέπει να τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του 4 φορές:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ αριστερά(-3 \δεξιά)=81\]
Πήραμε έναν θετικό αριθμό, αφού ο συνολικός αριθμός των μείον στο προϊόν είναι 4 τεμάχια και όλα θα ακυρωθούν το ένα το άλλο (εξάλλου, ένα μείον με ένα μείον δίνει ένα συν). Στη συνέχεια, εξαγάγετε ξανά τη ρίζα:
Κατ' αρχήν, αυτή η γραμμή δεν θα μπορούσε να γραφτεί, καθώς είναι άσκοπο ότι η απάντηση θα είναι η ίδια. Εκείνοι. μια άρτια ρίζα της ίδιας άρτιας ισχύος «καίει» τα μειονεκτήματα και από αυτή την άποψη το αποτέλεσμα δεν διακρίνεται από τη συνηθισμένη ενότητα:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\δεξιά|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \δεξιά|=3. \\ \end(στοίχιση)\]
Αυτοί οι υπολογισμοί συμφωνούν καλά με τον ορισμό της ρίζας ενός ζυγού βαθμού: το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό και το ριζικό πρόσημο είναι επίσης πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Διαφορετικά, η ρίζα δεν ορίζεται.
Σημείωση για τη σειρά των εργασιών
- Ο συμβολισμός $\sqrt(((a)^(2)))$ σημαίνει ότι πρώτα τετραγωνίζουμε τον αριθμό $a$ και μετά παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της τιμής που προκύπτει. Επομένως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι ένας μη αρνητικός αριθμός βρίσκεται πάντα κάτω από το σύμβολο της ρίζας, αφού ούτως ή άλλως $((a)^(2))\ge 0$.
- Αλλά ο συμβολισμός $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, αντίθετα, σημαίνει ότι πρώτα εξάγουμε τη ρίζα από έναν συγκεκριμένο αριθμό $a$ και μόνο στη συνέχεια τετραγωνίζουμε το αποτέλεσμα. Επομένως, ο αριθμός $a$ σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να είναι αρνητικός - αυτή είναι μια υποχρεωτική απαίτηση ενσωματωμένη στον ορισμό.
Έτσι, σε καμία περίπτωση δεν πρέπει κανείς να μειώνει αλόγιστα τις ρίζες και τους βαθμούς, «απλοποιώντας» δήθεν την αρχική έκφραση. Γιατί αν υπάρχει αρνητικός αριθμός κάτω από τη ρίζα, και ο εκθέτης του είναι άρτιος, θα έχουμε πολλά προβλήματα.
Ωστόσο, όλα αυτά τα προβλήματα αφορούν μόνο ζυγούς δείκτες.
Αφαίρεση του μείοντος κάτω από το σύμβολο της ρίζας
Φυσικά, οι ρίζες με περιττούς εκθέτες έχουν επίσης το δικό τους χαρακτηριστικό, το οποίο, καταρχήν, δεν υπάρχει για ζυγούς. Και συγκεκριμένα:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Με λίγα λόγια, μπορείτε να βγάλετε ένα μείον από κάτω από το σημάδι των ριζών ενός περιττού βαθμού. Αυτή είναι μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα που σας επιτρέπει να "πετάξετε" όλα τα μειονεκτήματα:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(στοίχιση)\]
Αυτή η απλή ιδιότητα απλοποιεί σημαντικά πολλούς υπολογισμούς. Τώρα δεν χρειάζεται να ανησυχείτε: τι θα συμβεί αν μια αρνητική έκφραση βρισκόταν κάτω από τη ρίζα και ο βαθμός στη ρίζα αποδειχτεί ομοιόμορφος; Αρκεί απλώς να «πετάξουμε» όλα τα μειονεκτήματα έξω από τις ρίζες, μετά από τα οποία μπορούν να πολλαπλασιαστούν το ένα με το άλλο, να διαιρεθούν και γενικά να κάνουμε πολλά ύποπτα πράγματα, τα οποία στην περίπτωση των «κλασικών» ριζών εγγυημένα θα μας οδηγήσουν σε λάθος.
Και εδώ μπαίνει στη σκηνή ένας άλλος ορισμός - αυτός με τον οποίο τα περισσότερα σχολεία ξεκινούν τη μελέτη των παράλογων εκφράσεων. Και χωρίς αυτό το σκεπτικό μας θα ήταν ελλιπές. Συναντώ!
αριθμητική ρίζα
Ας υποθέσουμε για μια στιγμή ότι μόνο θετικοί αριθμοί ή, σε ακραίες περιπτώσεις, το μηδέν μπορούν να βρίσκονται κάτω από το πρόσημο της ρίζας. Ας βαθμολογήσουμε σε ζυγούς / περιττούς δείκτες, βαθμολογούμε όλους τους ορισμούς που δίνονται παραπάνω - θα εργαστούμε μόνο με μη αρνητικούς αριθμούς. Τι τότε?
Και τότε παίρνουμε την αριθμητική ρίζα - τέμνεται εν μέρει με τους "τυποποιημένους" ορισμούς μας, αλλά εξακολουθεί να διαφέρει από αυτούς.
Ορισμός. Μια αριθμητική ρίζα του $n$th βαθμού ενός μη αρνητικού αριθμού $a$ είναι ένας μη αρνητικός αριθμός $b$ τέτοιος ώστε $((b)^(n))=a$.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν μας ενδιαφέρει πλέον η ισοτιμία. Αντίθετα, εμφανίστηκε ένας νέος περιορισμός: η ριζική έκφραση είναι πλέον πάντα μη αρνητική και η ίδια η ρίζα είναι επίσης μη αρνητική.
Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς διαφέρει η αριθμητική ρίζα από τη συνηθισμένη, ρίξτε μια ματιά στα ήδη γνωστά σε μας γραφήματα του τετραγώνου και της κυβικής παραβολής:
Περιοχή αναζήτησης ρίζας - μη αρνητικοί αριθμοί Όπως μπορείτε να δείτε, από εδώ και πέρα, μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνα τα κομμάτια γραφημάτων που βρίσκονται στο πρώτο τρίμηνο συντεταγμένων - όπου οι συντεταγμένες $x$ και $y$ είναι θετικές (ή τουλάχιστον μηδέν). Δεν χρειάζεται πλέον να κοιτάτε τον δείκτη για να καταλάβετε εάν έχουμε το δικαίωμα να ριζώνουμε έναν αρνητικό αριθμό ή όχι. Επειδή οι αρνητικοί αριθμοί δεν λαμβάνονται πλέον υπόψη κατ' αρχήν.
Μπορεί να ρωτήσετε: "Λοιπόν, γιατί χρειαζόμαστε έναν τόσο ευνουχισμένο ορισμό;" Ή: "Γιατί δεν μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα με τον τυπικό ορισμό που δίνεται παραπάνω;"
Λοιπόν, θα δώσω μόνο μία ιδιότητα, λόγω της οποίας ο νέος ορισμός γίνεται κατάλληλος. Για παράδειγμα, ο κανόνας της εκθέσεως:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Παρακαλώ σημειώστε: μπορούμε να αυξήσουμε την έκφραση ρίζας σε οποιαδήποτε δύναμη και ταυτόχρονα να πολλαπλασιάσουμε τον εκθέτη ρίζας με την ίδια ισχύ - και το αποτέλεσμα θα είναι ο ίδιος αριθμός! Ορίστε μερικά παραδείγματα:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(στοίχιση)\]
Λοιπόν, τι συμβαίνει με αυτό; Γιατί δεν μπορούσαμε να το κάνουμε πριν; Να γιατί. Σκεφτείτε μια απλή έκφραση: $\sqrt(-2)$ είναι ένας αριθμός που είναι αρκετά φυσιολογικός με την κλασική μας έννοια, αλλά απολύτως απαράδεκτος από την άποψη της αριθμητικής ρίζας. Ας προσπαθήσουμε να το μετατρέψουμε:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση, βγάλαμε το μείον από κάτω από το ριζικό (έχουμε κάθε δικαίωμα, επειδή ο δείκτης είναι περίεργος) και στη δεύτερη, χρησιμοποιήσαμε τον παραπάνω τύπο. Εκείνοι. από πλευράς μαθηματικών όλα γίνονται σύμφωνα με τους κανόνες.
WTF;! Πώς μπορεί ο ίδιος αριθμός να είναι θετικός και αρνητικός; Με τιποτα. Απλώς ο τύπος εκθέσεως, που λειτουργεί εξαιρετικά για θετικούς αριθμούς και μηδέν, αρχίζει να δίνει πλήρη αίρεση στην περίπτωση των αρνητικών αριθμών.
Εδώ, για να απαλλαγούν από τέτοια ασάφεια, κατέληξαν σε αριθμητικές ρίζες. Ένα ξεχωριστό μεγάλο μάθημα είναι αφιερωμένο σε αυτά, όπου εξετάζουμε λεπτομερώς όλες τις ιδιότητές τους. Έτσι τώρα δεν θα σταθούμε σε αυτά - το μάθημα αποδείχθηκε πολύ μεγάλο ούτως ή άλλως.
Αλγεβρική ρίζα: για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα
Σκέφτηκα πολύ: να κάνω αυτό το θέμα σε ξεχωριστή παράγραφο ή όχι. Στο τέλος, αποφάσισα να φύγω από εδώ. Αυτό το υλικό προορίζεται για όσους θέλουν να κατανοήσουν τις ρίζες ακόμα καλύτερα - όχι πλέον στο μέσο επίπεδο «σχολείου», αλλά στο επίπεδο κοντά στην Ολυμπιάδα.
Έτσι: εκτός από τον "κλασικό" ορισμό της ρίζας του $n$-th βαθμού από έναν αριθμό και τη σχετική διαίρεση σε ζυγούς και περιττούς δείκτες, υπάρχει ένας πιο "ενήλικος" ορισμός, ο οποίος δεν εξαρτάται από την ισοτιμία και άλλες λεπτότητες καθόλου. Αυτό ονομάζεται αλγεβρική ρίζα.
Ορισμός. Μια αλγεβρική $n$-th ρίζα οποιουδήποτε $a$ είναι το σύνολο όλων των αριθμών $b$ έτσι ώστε $((b)^(n))=a$. Δεν υπάρχει καθιερωμένος προσδιορισμός για τέτοιες ρίζες, οπότε απλώς βάλτε μια παύλα από πάνω:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \δεξιά. \δεξιά\) \]
Η θεμελιώδης διαφορά από τον τυπικό ορισμό που δόθηκε στην αρχή του μαθήματος είναι ότι η αλγεβρική ρίζα δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, αλλά ένα σύνολο. Και δεδομένου ότι εργαζόμαστε με πραγματικούς αριθμούς, αυτό το σύνολο είναι μόνο τριών τύπων:
- Αδειο σετ. Εμφανίζεται όταν απαιτείται να βρεθεί μια αλγεβρική ρίζα ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό.
- Ένα σύνολο που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο. Όλες οι ρίζες των περιττών δυνάμεων, καθώς και οι ρίζες των άρτιων δυνάμεων από το μηδέν, εμπίπτουν σε αυτήν την κατηγορία.
- Τέλος, το σετ μπορεί να περιλαμβάνει δύο αριθμούς - τους ίδιους $((x)_(1))$ και $((x)_(2))=-((x)_(1))$ που είδαμε στο τετραγωνική συνάρτηση διαγράμματος. Κατά συνέπεια, μια τέτοια στοίχιση είναι δυνατή μόνο κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός ζυγού βαθμού από έναν θετικό αριθμό.
Η τελευταία περίπτωση αξίζει λεπτομερέστερης εξέτασης. Ας μετρήσουμε μερικά παραδείγματα για να καταλάβουμε τη διαφορά.
Παράδειγμα. Υπολογισμός παραστάσεων:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Λύση. Η πρώτη έκφραση είναι απλή:
\[\overline(\sqrt(4))=\αριστερά\( 2;-2 \δεξιά\)\]
Είναι δύο αριθμοί που αποτελούν μέρος του συνόλου. Επειδή κάθε ένα από αυτά στο τετράγωνο δίνει ένα τέσσερα.
\[\overline(\sqrt(-27))=\αριστερά\( -3 \δεξιά\)\]
Εδώ βλέπουμε ένα σύνολο που αποτελείται από έναν μόνο αριθμό. Αυτό είναι αρκετά λογικό, αφού ο εκθέτης της ρίζας είναι περίεργος.
Τέλος, η τελευταία έκφραση:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Έχουμε ένα άδειο σετ. Διότι δεν υπάρχει ούτε ένας πραγματικός αριθμός που, όταν αυξηθεί στην τέταρτη (δηλαδή, ζυγή!) Δύναμη, θα μας δώσει αρνητικό αριθμό −16.
Τελική σημείωση. Παρακαλώ σημειώστε: δεν ήταν τυχαίο που παρατήρησα παντού ότι εργαζόμαστε με πραγματικούς αριθμούς. Επειδή υπάρχουν και μιγαδικοί αριθμοί - είναι πολύ πιθανό να υπολογίσετε $\sqrt(-16)$ και πολλά άλλα περίεργα πράγματα εκεί.
Ωστόσο, στο σύγχρονο σχολικό πρόγραμμα των μαθηματικών, οι μιγαδικοί αριθμοί δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ. Έχουν παραλειφθεί από τα περισσότερα σχολικά βιβλία επειδή οι υπεύθυνοι μας θεωρούν το θέμα "πολύ δύσκολο να κατανοηθεί".
Αυτό είναι όλο. Στο επόμενο μάθημα, θα δούμε όλες τις βασικές ιδιότητες των ριζών και τελικά θα μάθουμε πώς να απλοποιούμε τις παράλογες εκφράσεις. :)
Για να χρησιμοποιήσετε με επιτυχία τη λειτουργία εξαγωγής της ρίζας στην πράξη, πρέπει να εξοικειωθείτε με τις ιδιότητες αυτής της λειτουργίας.
Όλες οι ιδιότητες διατυπώνονται και αποδεικνύονται μόνο για μη αρνητικές τιμές μεταβλητών που περιέχονται στα ριζικά σημάδια.
Θεώρημα 1. Η nη ρίζα (n=2, 3, 4,...) του γινόμενου δύο μη αρνητικών chipsets είναι ίση με το γινόμενο των ντων ριζών αυτών των αριθμών:
Σχόλιο:
1.
Το θεώρημα 1 παραμένει έγκυρο για την περίπτωση που η ριζική παράσταση είναι το γινόμενο περισσότερων από δύο μη αρνητικών αριθμών.
Θεώρημα 2.Αν ένα,
και n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1, τότε η ισότητα
Σύντομος(αν και ανακριβές) σκεύασμα που είναι πιο βολικό στη χρήση στην πράξη: η ρίζα του κλάσματος είναι ίση με το κλάσμα των ριζών.
Το θεώρημα 1 μας επιτρέπει να πολλαπλασιάσουμε m μόνο ρίζες ίδιου βαθμού
, δηλ. μόνο ρίζες με τον ίδιο εκθέτη.
Θεώρημα 3. Αν ,Το k είναι ένας φυσικός αριθμός και το n είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1, τότε η ισότητα
Με άλλα λόγια, για να υψώσουμε μια ρίζα σε μια φυσική δύναμη, αρκεί να υψώσουμε τη ριζική έκφραση σε αυτή τη δύναμη.
Αυτό είναι συνέπεια του Θεωρήματος 1. Πράγματι, για παράδειγμα, για k = 3 παίρνουμε
Θεώρημα 4. Αν ,k, n είναι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι από 1, τότε η ισότητα
Με άλλα λόγια, για να εξαγάγετε μια ρίζα από μια ρίζα, αρκεί να πολλαπλασιάσετε τους εκθέτες των ριζών.
Για παράδειγμα,
Πρόσεχε!Μάθαμε ότι τέσσερις πράξεις μπορούν να εκτελεστούν στις ρίζες: πολλαπλασιασμός, διαίρεση, εκθετική αύξηση και εξαγωγή της ρίζας (από τη ρίζα). Τι γίνεται όμως με την πρόσθεση και την αφαίρεση των ριζών; Με τιποτα.
Για παράδειγμα, δεν μπορείτε να γράψετε αντί για Indeed, αλλά είναι προφανές ότι
Θεώρημα 5. Αν πολλαπλασιάστε ή διαιρέστε τους δείκτες της ρίζας και της έκφρασης ρίζας με τον ίδιο φυσικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει, δηλ.
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Παράδειγμα 1Υπολογίζω
Λύση.Χρησιμοποιώντας την πρώτη ιδιότητα των ριζών (Θεώρημα 1), παίρνουμε:
Παράδειγμα 2Υπολογίζω
Λύση.Μετατρέψτε τον μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα.
Έχουμε Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ιδιότητα των ριζών ( θεώρημα 2
), παίρνουμε:
Παράδειγμα 3Υπολογίζω: 
Λύση.Οποιοσδήποτε τύπος στην άλγεβρα, όπως πολύ καλά γνωρίζετε, χρησιμοποιείται όχι μόνο "από αριστερά προς τα δεξιά", αλλά και "από τα δεξιά προς τα αριστερά". Έτσι, η πρώτη ιδιότητα των ριζών σημαίνει ότι μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή και, αντίθετα, μπορεί να αντικατασταθεί από την έκφραση. Το ίδιο ισχύει και για τη δεύτερη ιδιότητα των ριζών. Έχοντας αυτό υπόψη, ας κάνουμε τους υπολογισμούς.
Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Ιδιότητες της ρίζας του ν' βαθμού. Θεωρήματα"
Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την 11η τάξη
Διαδραστικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 9-11 "Τριγωνομετρία"
Διαδραστικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 "Λογάριθμοι"
Ιδιότητες της ρίζας του ν ου βαθμού. Θεωρήματα
Παιδιά, συνεχίζουμε να μελετάμε τις ρίζες του nου βαθμού ενός πραγματικού αριθμού. Όπως όλα σχεδόν τα μαθηματικά αντικείμενα, οι ρίζες του nου βαθμού έχουν κάποιες ιδιότητες, σήμερα θα τις μελετήσουμε.Όλες οι ιδιότητες που θεωρούμε διατυπώνονται και αποδεικνύονται μόνο για μη αρνητικές τιμές των μεταβλητών που περιέχονται κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
Στην περίπτωση ενός περιττού εκθέτη ρίζας, ισχύουν επίσης για αρνητικές μεταβλητές.
Θεώρημα 1. Η ν η ρίζα του γινομένου δύο μη αρνητικών αριθμών είναι ίση με το γινόμενο της νης ρίζας αυτών των αριθμών: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( β) $ .
Ας αποδείξουμε το θεώρημα.
Απόδειξη. Παιδιά, για να αποδείξουμε το θεώρημα, ας εισάγουμε νέες μεταβλητές, δηλώνουμε:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Πρέπει να αποδείξουμε ότι $x=y*z$.
Σημειώστε ότι ισχύουν και οι ακόλουθες ταυτότητες:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Τότε ισχύει και η ακόλουθη ταυτότητα: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Οι βαθμοί δύο μη αρνητικών αριθμών και οι εκθέτες τους είναι ίσοι, τότε οι βάσεις των ίδιων των μοιρών είναι ίσες. Εξ ου και $x=y*z$, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Θεώρημα 2. Εάν $a≥0$, $b>0$ και n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Δηλαδή η ν ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ν ριζών.
Απόδειξη.
Για να το αποδείξουμε αυτό, χρησιμοποιούμε ένα απλοποιημένο σχήμα με τη μορφή πίνακα:
Παραδείγματα υπολογισμού της νης ρίζας
Παράδειγμα.Υπολογίστε: $\sqrt(16*81*256)$.
Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Λύση. Ας αναπαραστήσουμε τη ριζική έκφραση ως ακατάλληλο κλάσμα: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Ας χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Παράδειγμα.
Υπολογίζω:
α) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
β) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Λύση:
α) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
β) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Θεώρημα 3. Εάν τα $a≥0$, τα k και n είναι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι από 1, τότε η ισότητα είναι αληθής: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Για να υψώσουμε μια ρίζα σε μια φυσική δύναμη, αρκεί να υψώσουμε τη ριζοσπαστική έκφραση σε αυτή τη δύναμη.
Απόδειξη.
Ας εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση για $k=3$. Ας χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Το ίδιο μπορεί να αποδειχθεί και για οποιαδήποτε άλλη περίπτωση. Παιδιά, αποδείξτε το μόνοι σας για την περίπτωση που $k=4$ και $k=6$.
Θεώρημα 4. Αν $a≥0$ b n,k είναι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι από 1, τότε η ισότητα είναι αληθής: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Για να εξαγάγετε μια ρίζα από μια ρίζα, αρκεί να πολλαπλασιάσετε τους εκθέτες των ριζών.
Απόδειξη.
Ας αποδείξουμε ξανά εν συντομία χρησιμοποιώντας τον πίνακα. Για να το αποδείξουμε αυτό, χρησιμοποιούμε ένα απλοποιημένο σχήμα με τη μορφή πίνακα: 
Παράδειγμα.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Θεώρημα 5. Εάν οι δείκτες της ρίζας και της έκφρασης ρίζας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Απόδειξη.
Η αρχή της απόδειξης του θεωρήματός μας είναι η ίδια όπως και σε άλλα παραδείγματα. Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (εξ ορισμού).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (εξ ορισμού).
Ανεβάζουμε την τελευταία ισότητα στη δύναμη p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Πήρα:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Δηλαδή, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, που έπρεπε να αποδειχτεί.
Παραδείγματα:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (διαιρούμενο με 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (διαιρούμενο με 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (πολλαπλασιάζεται επί 3).
Παράδειγμα.
Εκτέλεση ενεργειών: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Λύση.
Οι εκθέτες των ριζών είναι διαφορετικοί αριθμοί, επομένως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 1, αλλά εφαρμόζοντας το Θεώρημα 5 μπορούμε να πάρουμε ίσους εκθέτες.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (πολλαπλασιάζεται επί 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (πολλαπλασιάζεται επί 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
1. Υπολογίστε: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Υπολογίστε: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Υπολογίστε:
α) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
β) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Απλοποίηση:
α) $\sqrt(\sqrt(a))$.
β) $\sqrt(\sqrt(a))$.
γ) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Εκτελέστε ενέργειες: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
