11.4. ΜΕΘΟΔΟΣ DUAL SIMPLEX
Από τα αποτελέσματα των προηγούμενων ενοτήτων προκύπτει ότι για να πάρουμε μια λύση στο αρχικό πρόβλημα, μπορούμε να περάσουμε στο διπλό και, χρησιμοποιώντας εκτιμήσεις του βέλτιστου σχεδιασμού του, να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη λύση στο αρχικό πρόβλημα.
Η μετάβαση στο διπλό πρόβλημα δεν είναι απαραίτητη, καθώς εάν λάβουμε υπόψη τον πρώτο πίνακα απλούστερου με μια πρόσθετη βάση μονάδας, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι οι στήλες περιέχουν το αρχικό πρόβλημα και το διπλό πρόβλημα είναι γραμμένο στις σειρές.
Όπως φάνηκε, κατά την επίλυση του άμεσου προβλήματος σε οποιαδήποτε επανάληψη, η διαφορά, δηλ. μέγεθος -συντελεστής με μεταβλητή, ισούται με τη διαφορά μεταξύ της δεξιάς και της αριστερής πλευράς του αντίστοιχου περιορισμού του διπλού προβλήματος. Εάν, κατά την επίλυση ενός άμεσου προβλήματος με μια μεγιστοποιήσιμη αντικειμενική συνάρτηση, η επανάληψη δεν οδηγεί σε μια βέλτιστη λύση, τότε τουλάχιστον για μία μεταβλητή και μόνο στη βέλτιστη για όλεςδιαφορά.
Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη συνθήκη με τη δυαδικότητα να λαμβάνεται υπόψη, μπορούμε να γράψουμε
.
Έτσι, εάν, έπειτα . Αυτό σημαίνει ότι όταν η λύση στο πρωταρχικό πρόβλημα δεν είναι βέλτιστη, η λύση στο διπλό πρόβλημα είναι άκυρη. Αφ 'ετέρου 
στο . Αυτό σημαίνει ότι η βέλτιστη λύση του πρωταρχικού προβλήματος αντιστοιχεί σε μια αποδεκτή λύση του διπλού προβλήματος.
Αυτό κατέστησε δυνατή την ανάπτυξη μιας νέας μεθόδου για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, η οποία καταλήγει πρώτα σε μια απαράδεκτη, αλλά «καλύτερη από τη βέλτιστη» λύση (στη συνήθη μέθοδο simplex, βρίσκουμε πρώτα αποδεκτός, αλλά υποβέλτιστηλύση). Μια νέα μέθοδος που ονομάζεται μέθοδος dual simplex, διασφαλίζει την εκπλήρωση της συνθήκης βελτιστοποίησης της λύσης και τη συστηματική «προσέγγισή» της στην περιοχή των εφικτών λύσεων. Όταν η ληφθείσα λύση αποδειχθεί αποδεκτή, η επαναληπτική διαδικασία υπολογισμών τελειώνει, καθώς αυτή η λύση είναι επίσης βέλτιστη.
Η μέθοδος dual simplex επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού των οποίων τα συστήματα περιορισμού, με θετική βάση, περιέχουν ελεύθερους όρους οποιουδήποτε πρόσημου. Αυτή η μέθοδος καθιστά δυνατή τη μείωση του αριθμού των μετασχηματισμών συστημάτων περιορισμών καθώς και του μεγέθους του πίνακα simplex. Εξετάστε την εφαρμογή της μεθόδου dual simplex χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα. Βρείτε το ελάχιστο μιας συνάρτησης 
υπό περιορισμούς
.
Ας πάμε στην κανονική μορφή:
υπό περιορισμούς
Ο αρχικός πίνακας simplex έχει τη μορφή
|
Βασικός μεταβλητές |
Χ 1 |
Χ 2 |
Χ 3 |
Χ 4 |
Χ 5 |
Λύση |
|
Χ 3 Χ 4 Χ 5 |
–3 –4 |
–1 –3 |
–3 –6 |
|||
|
–2 |
–1 |
Αρχική βασική λύσηβέλτιστη, αλλά όχι αποδεκτή.
Όπως η συνηθισμένη μέθοδος simplex, η μέθοδος επίλυσης που εξετάζεται βασίζεται στη χρήση των συνθηκών αποδοχής και βελτιστοποίησης.
Προϋπόθεση παραδεκτού. Ως εξαιρούμενη μεταβλητή επιλέγεται η μεγαλύτερη αρνητική βασική μεταβλητή σε απόλυτη τιμή (εάν υπάρχουν εναλλακτικές, η επιλογή γίνεται αυθαίρετα). Εάν όλες οι βασικές μεταβλητές είναι μη αρνητικές, η διαδικασία υπολογισμού τελειώνει, καθώς η λύση που προκύπτει είναι εφικτή και βέλτιστη.
Κατάσταση βέλτιστη. Η μεταβλητή που περιλαμβάνεται στη βάση επιλέγεται μεταξύ των μη βασικών μεταβλητών ως εξής. Υπολογίζονται οι λόγοι των συντελεστών της αριστερής πλευράς-εξισώσεις στους αντίστοιχους συντελεστές της εξίσωσης που σχετίζονται με την εξαιρούμενη μεταβλητή. Σχέσεις με θετικούς ή μηδενικούς παρονομαστές δεν λαμβάνονται υπόψη. Στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης της μεταβλητής εισόδου πρέπει να αντιστοιχεί ο μικρότερος από τους υποδεικνυόμενους λόγους και στο πρόβλημα μεγιστοποίησης ο λόγος με τη μικρότερη απόλυτη τιμή (αν υπάρχουν εναλλακτικές, η επιλογή γίνεται αυθαίρετα). Εάν οι παρονομαστές όλων των αναλογιών είναι μηδέν ή θετικοί, το πρόβλημα δεν έχει εφικτές λύσεις.
Αφού επιλέξετε τις μεταβλητές που θα συμπεριληφθούν στη βάση και θα εξαιρεθούν, πραγματοποιείται η συνήθης λειτουργία μετασχηματισμού των σειρών του πίνακα simplex για να ληφθεί η επόμενη λύση.
Σε αυτό το παράδειγμα, η εξαιρούμενη μεταβλητή είναι. Οι λόγοι που υπολογίζονται για τον προσδιορισμό της νέας βασικής μεταβλητής φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα:
|
Μεταβλητές |
Χ 1 |
Χ 2 |
Χ 3 |
Χ 4 |
Χ 5 |
|
Η εξίσωση Χ 4 - εξίσωση |
–2 –4 |
–1 –3 |
|||
|
Στάση |
Η μεταβλητή που πρέπει να συμπεριληφθεί είναι Χ 2. Η επακόλουθη μετατροπή συμβολοσειράς οδηγεί σε έναν νέο πίνακα simplex:
|
Βασικός μεταβλητές |
Χ 1 |
Χ 2 |
Χ 3 |
Χ 4 |
Χ 5 |
Λύση |
|
Χ 3 Χ 2 Χ 5 |
–1 –1 |
|||||
Νέα λύση επίσης βέλτιστη, αλλά και πάλι άκυρη. Ως νέα εξαιρούμενη μεταβλητή, επιλέγουμε (αυθαίρετα) Χ 3 . Ας ορίσουμε μια συμπεριλαμβανόμενη μεταβλητή.
|
Μεταβλητές |
Χ 1 |
Χ 2 |
Χ 3 |
Χ 4 |
Χ 5 |
|
Η εξίσωση Χ 4 - εξίσωση |
|||||
|
στάση |
Μέθοδος Simplex - αυτή είναι μια μέθοδος διαδοχικής μετάβασης από μια βασική λύση (την κορυφή του πολυέδρου λύσης) του συστήματος περιορισμών ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σε μια άλλη βασική λύση έως ότου η συνάρτηση στόχου λάβει τη βέλτιστη τιμή (μέγιστη ή ελάχιστη).
Η μέθοδος simplex είναι μια καθολική μέθοδος που μπορεί να λύσει οποιαδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, ενώ η γραφική μέθοδος είναι κατάλληλη μόνο για ένα σύστημα περιορισμών δύο μεταβλητών.
Η μέθοδος simplex προτάθηκε από τον Αμερικανό μαθηματικό R. Dantzig το 1947, από τότε, για τις ανάγκες της βιομηχανίας, αυτή η μέθοδος λύνει συχνά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού με χιλιάδες μεταβλητές και περιορισμούς.
Πριν προχωρήσουμε στον αλγόριθμο της μεθόδου simplex, μερικοί ορισμοί.
Οποιαδήποτε μη αρνητική λύση σε ένα σύστημα περιορισμών ονομάζεται αποδεκτή λύση .
Ας υπάρχει σύστημα Μπεριορισμοί από nμεταβλητες ( Μιδ).
Αποδεκτή βασική λύση είναι ένα διάλυμα που περιέχει Μμη αρνητικό μείζων (βασικός ) μεταβλητές και n - Μ μη πυρήνα . (μη βασική, ή Ελεύθερος ) μεταβλητές. Οι μη βασικές μεταβλητές στη βασική λύση είναι ίσες με μηδέν, ενώ οι κύριες μεταβλητές, κατά κανόνα, είναι μη μηδενικές, δηλαδή είναι θετικοί αριθμοί.
Οποιος Μμεταβλητές συστήματος Μγραμμικές εξισώσεις με nονομάζονται μεταβλητές κύριος , αν η ορίζουσα των συντελεστών σε αυτούς είναι διαφορετική από το μηδέν. Μετά τα υπόλοιπα n - Μονομάζονται μεταβλητές μη πυρήνα (ή Ελεύθερος ).
Αλγόριθμος μεθόδου Simplex
- Βήμα 1. Φέρτε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού στην κανονική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, μετακινήστε τους ελεύθερους όρους στις δεξιές πλευρές (αν μεταξύ αυτών των ελεύθερων όρων είναι αρνητικοί, τότε πολλαπλασιάστε την αντίστοιχη εξίσωση ή ανισότητα με - 1) και εισαγάγετε πρόσθετες μεταβλητές σε κάθε περιορισμό (με πρόσημο συν, εάν στο αρχική ανισότητα το πρόσημο είναι μικρότερο ή ίσο με ", και με αρνητικό πρόσημο εάν "μεγαλύτερο ή ίσο με").
- Βήμα 2. Εάν στο σύστημα που προκύπτει Μεξισώσεις, λοιπόν Μπάρτε τις μεταβλητές ως κύριες, εκφράστε τις κύριες μεταβλητές ως προς τις μη βασικές και βρείτε την αντίστοιχη βασική λύση. Εάν η βασική λύση που βρέθηκε αποδειχθεί αποδεκτή, μεταβείτε στην αποδεκτή βασική λύση.
- Βήμα 3. Να εκφράσετε τη συνάρτηση στόχου ως προς τις δευτερεύουσες μεταβλητές της εφικτής βασικής λύσης. Εάν βρεθεί το μέγιστο (ελάχιστο) της γραμμικής μορφής και δεν υπάρχουν μη βασικές μεταβλητές με αρνητικούς (θετικούς) συντελεστές στην έκφρασή της, τότε το κριτήριο βελτιστοποίησης πληρούται και η βασική λύση που προκύπτει είναι βέλτιστη - η λύση έχει τελειώσει. Εάν, όταν βρίσκετε το μέγιστο (ελάχιστο) μιας γραμμικής μορφής, η έκφρασή της περιέχει μία ή περισσότερες μη βασικές μεταβλητές με αρνητικούς (θετικούς) συντελεστές, πηγαίνετε σε μια νέα βασική λύση.
- Βήμα 4. Από τις μη βασικές μεταβλητές που περιλαμβάνονται στη γραμμική μορφή με αρνητικούς (θετικούς) συντελεστές, επιλέξτε αυτή που αντιστοιχεί στον μεγαλύτερο συντελεστή (modulo) και μεταφέρετέ την στις κύριες. Μεταβείτε στο βήμα 2.
Σημαντικές προϋποθέσεις
Ορισμένες ειδικές περιπτώσεις συζητούνται σε ξεχωριστά άρθρα: Πότε μέγιστη αντικειμενική συνάρτηση - άπειρο, πότε το σύστημα δεν έχει λύση, και πότε η βέλτιστη λύση δεν είναι η μόνη .
Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε ένα τυπικό παράδειγμα, όταν το σύστημα των περιορισμών είναι συνεπές και υπάρχει ένα πεπερασμένο βέλτιστο, και μόνο ένα. Μια παραλλαγή της μεθόδου simplex είναι μέθοδος διανομής για την επίλυση του προβλήματος μεταφοράς .
Μέθοδος Simplex με πίνακες Simplex
Κατασκευάζοντας πίνακες simplex, είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού παρά με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, που φαίνεται στην επόμενη παράγραφο. Οι πίνακες Simplex είναι πολύ οπτικοί. Υπάρχουν διάφοροι τύποι κανόνων για την εργασία με πίνακες simplex. Θα αναλύσουμε τον κανόνα, ο οποίος συνήθως ονομάζεται κανόνας της κύριας στήλης και της πρώτης γραμμής.
Θα ήταν χρήσιμο να ανοίξετε τις χειροκίνητες ενέργειες με κλάσματα σε ένα νέο παράθυρο: υπάρχουν αρκετά από αυτά, κλάσματα σε προβλήματα στη μέθοδο simplex, για να το θέσω ήπια.
Παράδειγμα.
Εισάγουμε πρόσθετες μη αρνητικές μεταβλητές και μειώνουμε αυτό το σύστημα ανισοτήτων σε ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων
.
Αυτό έγινε σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: εάν το πρόσημο στον αρχικό περιορισμό είναι "μικρότερο από ή ίσο με", τότε πρέπει να προστεθεί η πρόσθετη μεταβλητή και εάν "μεγαλύτερη ή ίση με", τότε η πρόσθετη μεταβλητή πρέπει να είναι αφαιρείται.
Οι εισαγόμενες πρόσθετες μεταβλητές λαμβάνονται ως κύριες (βασικές). Τότε και είναι μη βασικές (ελεύθερες) μεταβλητές.
Εκφράζοντας τις κύριες (βασικές) μεταβλητές ως μη βασικές (δωρεάν), λαμβάνουμε
Εκφράζουμε επίσης τη συνάρτηση στόχου με όρους μη βασικών (ελεύθερων) μεταβλητών:
Από τους συντελεστές μεταβλητών (άγνωστες) κατασκευάζουμε τον πρώτο πίνακα simplex.
| Τραπέζι 1 | ||||
| Βασικά άγνωστα | Δωρεάν μέλη | Χαλαρά άγνωστα | Επικουρικοί συντελεστές | |
| Χ1 | X2 | |||
| X3 | -2 | 1 | -2 | |
| Χ4 | -4 | -1 | -1 | |
| Χ5 | 2 | 1 | -1 | |
| Χ6 | 6 | 0 | 1 | |
| φά | 0 | -1 | -2 | |
Η τελευταία σειρά του πίνακα, που περιέχει την αντικειμενική συνάρτηση και τους συντελεστές των ελεύθερων μεταβλητών σε αυτήν, θα ονομάζεται γραμμή δείκτη.
Η λύση που προκύπτει δεν είναι η βέλτιστη, καθώς οι συντελεστές των ελεύθερων μεταβλητών στη σειρά του δείκτη είναι αρνητικοί. Δηλαδή, η βέλτιστη λύση θα είναι αυτή στην οποία οι συντελεστές των ελεύθερων μεταβλητών στη σειρά του δείκτη θα είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι με μηδέν.
Για να μεταβείτε στον επόμενο πίνακα, βρείτε τον μεγαλύτερο (modulo) από τους αριθμούς και . Αυτός ο αριθμός είναι 2. Επομένως, η πρώτη στήλη είναι η στήλη στην οποία είναι γραμμένος
Για να προσδιορίσουμε την πρώτη γραμμή, βρίσκουμε το ελάχιστο των αναλογιών των ελεύθερων μελών προς τα στοιχεία της κύριας στήλης και εάν ο αριθμητής έχει θετικό αριθμό και ο παρονομαστής είναι αρνητικός, ο λόγος θεωρείται ίσος με το άπειρο.
.
Επομένως, η πρώτη γραμμή είναι αυτή στην οποία είναι γραμμένο
Το κύριο στοιχείο είναι επομένως -2.
Συνθέτουμε τον δεύτερο πίνακα simplex.
Εισάγουμε το νέο βασικό στοιχείο στην πρώτη γραμμή και εισάγουμε τη στήλη στην οποία βρισκόταν, εισάγουμε μια νέα ελεύθερη μεταβλητή
Συμπληρώστε την πρώτη γραμμή. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε όλους τους αριθμούς της πρώτης σειράς του πίνακα 1 με το κύριο στοιχείο και το γράφουμε στην αντίστοιχη στήλη της πρώτης σειράς του πίνακα 2, εκτός από τον αριθμό στην πρώτη στήλη, όπου το αντίστροφο του πρώτου γράφεται στοιχείο (δηλαδή ένα διαιρούμενο με το κύριο στοιχείο).
Συμπληρώστε τη στήλη των βοηθητικών συντελεστών. Για αυτόν τον αριθμό της πρώτης στήλης του πίνακα 1, εκτός από το κύριο στοιχείο, γράφουμε με αντίθετα πρόσημα στη στήλη των βοηθητικών συντελεστών του πίνακα 2.
| πίνακας 2 | ||||
| Βασικά άγνωστα | Δωρεάν μέλη | Χαλαρά άγνωστα | Επικουρικοί συντελεστές | |
| Χ1 | X3 | |||
| X2 | 1 | -1/2 | -1/2 | |
| Χ4 | -3 | -3/2 | -1/2 | 1 |
| Χ5 | 3 | 1/2 | -1/2 | 1 |
| Χ6 | 5 | 1/2 | 1/2 | -1 |
| φά | 2 | -2 | -1 | 2 |
Όποιος δεν έχει ανοίξει ακόμα σε νέο παράθυρο τις χειροκίνητες Ενέργειες με κλάσματα, μπορεί να το κάνει τώρα, γιατί είναι ώρα.
Για να λάβουμε τις υπόλοιπες σειρές του πίνακα 2, οι αριθμοί που βρίσκονται ήδη στην πρώτη σειρά αυτού του πίνακα πολλαπλασιάζονται με τον βοηθητικό συντελεστή στη γραμμή που συμπληρώνεται και στο αποτέλεσμα προσθέτουμε τον αριθμό από τον πίνακα 1, ο οποίος βρίσκεται στην ίδια σειρά με την αντίστοιχη μεταβλητή.
Για παράδειγμα, για να πάρουμε το ελεύθερο μέλος της δεύτερης σειράς, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 1 επί 1 και προσθέτουμε τον αριθμό -4 από τον πίνακα 1. Παίρνουμε -3. Βρίσκουμε τον συντελεστή για στη δεύτερη γραμμή με τον ίδιο τρόπο: 
. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει στήλη με νέα ελεύθερη μεταβλητή στον προηγούμενο πίνακα, ο συντελεστής της δεύτερης γραμμής στη στήλη της νέας ελεύθερης μεταβλητής θα είναι 
(δηλαδή από τον πίνακα 1 προσθέτουμε 0, αφού δεν υπάρχει στήλη γ στον πίνακα 1).
Η γραμμή ευρετηρίου συμπληρώνεται με τον ίδιο τρόπο:
Η λύση που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο δεν είναι και πάλι η βέλτιστη, αφού οι συντελεστές των ελεύθερων μεταβλητών στη σειρά του δείκτη είναι και πάλι αρνητικοί.
Για να πάμε στον επόμενο πίνακα simplex, ας βρούμε το μεγαλύτερο (modulo) από τους αριθμούς και, δηλαδή, τις μονάδες των συντελεστών στη γραμμή ευρετηρίου. Αυτός ο αριθμός είναι 2. Επομένως, η πρώτη στήλη είναι η στήλη που περιέχει .
Για να αναζητήσουμε την πρώτη σειρά, ας βρούμε την ελάχιστη αναλογία ελεύθερων μελών προς τα στοιχεία της πρώτης σειράς. Παίρνουμε:
.
Επομένως, η πρώτη γραμμή είναι αυτή στην οποία είναι γραμμένο και το κύριο στοιχείο είναι -3/2.
Σύνταξη του τρίτου πίνακα simplex
Γράφουμε τη νέα βασική μεταβλητή στην πρώτη γραμμή. Στη στήλη στην οποία βρισκόταν, εισάγουμε μια νέα ελεύθερη μεταβλητή .
Πρώτη γραμμή:
Επικουρικοί συντελεστές:
| Πίνακας 3 | ||||
| Βασικά άγνωστα | Δωρεάν μέλη | Χαλαρά άγνωστα | Επικουρικοί συντελεστές | |
| Χ4 | X3 | |||
| Χ1 | 2 | -2/3 | 1/3 | |
| X2 | 2 | -1/3 | -1/3 | 1/2 |
| Χ5 | 2 | 1/3 | -2/3 | -1/2 |
| Χ6 | 4 | 1/3 | 1/3 | -1/2 |
| φά | 6 | -4/3 | -1/3 | 2 |
Η λύση που προκύπτει δεν είναι και πάλι η βέλτιστη, αφού οι συντελεστές των ελεύθερων αγνώστων στη σειρά του δείκτη είναι και πάλι αρνητικοί.
Για να πάμε στον τέταρτο πίνακα απλού, ας βρούμε τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς και . Αυτό είναι ένας αριθμός.
Επομένως, η πρώτη στήλη είναι αυτή με .
Ελάχιστο συντελεστή σχέσεων των ελεύθερων μελών με στοιχεία της κύριας στήλης:
.
Επομένως, η πρώτη γραμμή είναι αυτή στην οποία είναι γραμμένο και το κύριο στοιχείο είναι το 1/3.
Στον τέταρτο πίνακα simplex, γράφουμε τη νέα βασική μεταβλητή στην πρώτη γραμμή. Στη στήλη όπου ήταν, γράφουμε μια νέα ελεύθερη μεταβλητή .
Πρώτη γραμμή:
Επικουρικοί συντελεστές:
| Πίνακας 4 | ||||
| Βασικά άγνωστα | Δωρεάν μέλη | Χαλαρά άγνωστα | Επικουρικοί συντελεστές | |
| Χ5 | X3 | |||
| Χ4 | 6 | 3 | -2 | |
| Χ1 | 6 | 2 | -1 | 2/3 |
| X2 | 4 | 1 | -1 | 1/3 |
| Χ6 | 2 | -1 | 1 | -1/3 |
| φά | 14 | 4 | -3 | 4/3 |
Υπολογισμός των υπόλοιπων σειρών χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της δεύτερης σειράς:
Η λύση που προκύπτει δεν είναι επίσης βέλτιστη, αλλά είναι ήδη καλύτερη από τις προηγούμενες, καθώς ένας από τους συντελεστές για τις ελεύθερες μεταβλητές στη σειρά ευρετηρίου είναι μη αρνητικός.
Για να βελτιώσουμε το σχέδιο, ας περάσουμε στο επόμενο ταμπλό simplex.
Βρείτε τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς 4 και . Αυτός ο αριθμός είναι 4. Επομένως, η πρώτη στήλη είναι .
Για να βρείτε την πρώτη σειρά, βρείτε
.
Επομένως, η πρώτη γραμμή είναι αυτή που περιέχει . Αλλά ήταν ήδη μαζί μεταξύ των ελεύθερων μεταβλητών. Επομένως, για να μεταφέρουμε την επόμενη μεταβλητή από ελεύθερη στη βασική, επιλέγουμε μια άλλη κύρια στήλη - αυτή στην οποία είναι γραμμένη.
Για να βρείτε την πρώτη σειρά, βρείτε
.
Επομένως, η γραμμή κλειδιού είναι αυτή στην οποία γράφεται και το κύριο στοιχείο είναι το 1.
Στον πέμπτο πίνακα simplex, η νέα βασική μεταβλητή γράφεται στην πρώτη γραμμή. Στη στήλη όπου ήταν, γράφουμε μια νέα ελεύθερη μεταβλητή .
Πρώτη γραμμή:
Επικουρικοί συντελεστές:
| Πίνακας 5 | ||||
| Βασικά άγνωστα | Δωρεάν μέλη | Χαλαρά άγνωστα | Επικουρικοί συντελεστές | |
| Χ5 | Χ6 | |||
| X3 | 2 | -1 | 1 | |
| Χ4 | 10 | 2 | ||
| Χ1 | 8 | 1 | ||
| X2 | 6 | 1 | ||
| φά | 20 | 1 | 3 | 3 |
Ας προσπαθήσουμε να μάθουμε αμέσως αν η λύση δεν είναι η βέλτιστη. Επομένως, για τις υπόλοιπες σειρές, υπολογίζουμε μόνο τους ελεύθερους όρους (για να μάθουμε τις τιμές των βασικών μεταβλητών όταν οι ελεύθερες μεταβλητές είναι ίσες με μηδέν) και τους συντελεστές για τις ελεύθερες μεταβλητές στη σειρά ευρετηρίου.
Δωρεάν μέλη:
Στη δεύτερη γραμμή ;
Στην τρίτη γραμμή ?
Στην τέταρτη γραμμή.
Γραμμή ευρετηρίου:
Εξετάζουμε τον πίνακα simplex 5. Βλέπουμε ότι έχει ληφθεί η βέλτιστη λύση, αφού οι συντελεστές για τους ελεύθερους αγνώστους στη γραμμή του δείκτη είναι μη αρνητικοί.
Μέθοδος Simplex με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς
Ας λύσουμε με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς το ίδιο παράδειγμα όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά την επίλυση αυτού του τύπου μεθόδου simplex, είναι καλύτερο να μην γράψετε τη συνάρτηση στόχου στη μορφή , αφού είναι εύκολο να μπερδευτείς στα ζώδια. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, το σημείο του αλγορίθμου που καθορίζει το κριτήριο βελτιστοποίησης θα τροποποιηθεί ως εξής.
Εάν βρεθεί το μέγιστο (ελάχιστο) της γραμμικής μορφής και δεν υπάρχουν μη βασικές μεταβλητές με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές στην έκφρασή της, τότε πληρούται το κριτήριο βελτιστοποίησης και η βασική λύση που προκύπτει είναι βέλτιστη - η λύση έχει τελειώσει. Εάν, όταν βρίσκετε το μέγιστο (ελάχιστο) μιας γραμμικής μορφής, η έκφρασή της περιέχει μία ή περισσότερες μη βασικές μεταβλητές με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές, πηγαίνετε σε μια νέα βασική λύση.
Παράδειγμα.Βρείτε το μέγιστο μιας συνάρτησης υπό περιορισμούς
Βήμα I. Εισάγουμε πρόσθετες μη αρνητικές μεταβλητές και μειώνουμε αυτό το σύστημα ανισοτήτων σε ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων
.
Οι εισαγόμενες πρόσθετες μεταβλητές λαμβάνονται ως κύριες, αφού στην περίπτωση αυτή η βασική λύση του συστήματος βρίσκεται εύκολα. Τότε και είναι δευτερεύουσες μεταβλητές.
Εκφράζοντας τις κύριες μεταβλητές ως προς τις μη βασικές, λαμβάνουμε
Κατά συνέπεια, αυτή η διαίρεση των μεταβλητών σε βασικές και μη βασικές αντιστοιχεί στη βασική λύση 
, το οποίο δεν είναι έγκυρο (δύο μεταβλητές είναι αρνητικές) και επομένως δεν είναι βέλτιστη. Ας προχωρήσουμε από αυτή τη βασική λύση σε μια βελτιωμένη.
Για να αποφασίσετε ποια μεταβλητή θα πρέπει να μετατραπεί από μη κύρια σε κύρια, εξετάστε οποιαδήποτε από τις δύο διαθέσιμες εξισώσεις του τελευταίου συστήματος με αρνητικούς ελεύθερους όρους, για παράδειγμα, τη δεύτερη. Δείχνει ότι και μπορεί να μεταφραστεί στις κύριες μεταβλητές, αφού σε αυτή την εξίσωση έχουν θετικούς συντελεστές (επομένως, όταν αυξηθούν, και αυτό θα συμβεί αν μεταφράσουμε κάποια από αυτές στις κύριες μεταβλητές, η μεταβλητή θα αυξηθεί).
Ας προσπαθήσουμε να μεταφράσουμε στην κύρια μεταβλητή. Για να προσδιορίσουμε ποια μεταβλητή πρέπει να μεταφερθεί από την κύρια στη μη βασική, βρίσκουμε την απόλυτη τιμή του μικρότερου λόγου των ελεύθερων μελών του συστήματος προς τους συντελεστές στο . Εχουμε . Λαμβάνεται από την τρίτη εξίσωση, η οποία δείχνει ότι η μεταβλητή πρέπει να μετατραπεί σε μη βασικές, η οποία είναι θετική στην αρχική βασική λύση. Κατά συνέπεια, το ληφθέν βασικό διάλυμα, όπως και το αρχικό, περιέχει δύο αρνητικά συστατικά, δηλ. δεν θα υπάρξει βελτίωση στη μετάβαση σε μια τέτοια βασική λύση.
Μέθοδος Simplex− είναι μια μέθοδος διατεταγμένης απαρίθμησης σχεδίων αναφοράς (η σειρά εξασφαλίζεται από μια μονότονη αλλαγή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κατά τη μετάβαση στο επόμενο σχέδιο). Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να τηρηθεί η αρχή: κάθε επόμενο βήμα πρέπει να βελτιώνει ή, σε ακραίες περιπτώσεις, να μην επιδεινώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.
Για να λύσουμε το LLP μέθοδο simplexανάγεται σε κανονική μορφή, δηλ. από περιορισμούς - ανισότητες είναι απαραίτητο να γίνουν περιορισμοί - ισότητες. Για να γίνει αυτό, κάθε περιορισμός συμπληρώνεται με έναν επιπλέον μη αρνητικό μεταβλητή ισολογισμούμε το πρόσημο «+» αν το πρόσημο της ανισότητας είναι «£» και με το «–» αν το πρόσημο ανισότητας είναι «³».
Στη συνάρτηση αντικειμενικού, αυτές οι πρόσθετες μεταβλητές μπαίνουν με μηδενικούς συντελεστές, δηλ. η καταχώρηση της συνάρτησης προορισμού δεν θα αλλάξει. Κάθε μεταβλητή που δεν υπόκειται στη συνθήκη μη αρνητικότητας μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο μη αρνητικών μεταβλητών: .
Εάν οι περιορισμοί εργασιών αντικατοπτρίζουν την παρουσία και την κατανάλωση πόρων, τότε η αριθμητική τιμή της πρόσθετης μεταβλητής στο σχέδιο εργασιών, γραμμένη σε κανονική μορφή, είναι ίση με την ποσότητα του αχρησιμοποίητου πόρου.
Για να λύσουμε το πρόβλημα με τη μέθοδο simplex, θα χρησιμοποιήσουμε συντομευμένοι πίνακες simplex ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και η τροποποιημένη μέθοδος εξάλειψης Jordan.
1. Καταρτίζουμε το πρώτο βασικό σχέδιο
Το καθήκον παραμένει το ίδιο. Ας φέρουμε την τυπική μορφή του συστήματος των ανισοτήτων (1) στην κανονική μορφή του συστήματος των εξισώσεων εισάγοντας πρόσθετες μεταβλητές ισορροπίας Χ 3 , Χ 4 , Χ 5 ,Χ 6 .
Με την οικονομική έννοια, οι τιμές των πρόσθετων μεταβλητών Χ 3 , Χ 4 , Χ 5 καθορίζουν την ισορροπία των πρώτων υλών μετά την πώληση των προϊόντων.
Ο πίνακας του προκύπτοντος συστήματος εξισώσεων έχει τη μορφή:
Μπορεί να φανεί ότι στη μήτρα ΕΝΑη βασική ελάσσονα της 4ης τάξης είναι η ορίζουσα, που αποτελείται από συντελεστές μονάδας για πρόσθετες μεταβλητές Χ 3 , Χ 4 , Χ 5 ,Χ 6 , αφού είναι μη μηδενικό και ίσο με 1. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα στηλών για αυτές τις μεταβλητές είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δηλ. μορφή βάση, και τις αντίστοιχες μεταβλητές Χ 3 , Χ 4 , Χ 5 ,Χ 6 είναι βασικός(βασικός). Μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 θα κληθεί Ελεύθερος(ανήλικος).
Αν ελεύθερες μεταβλητές Χ 1 και Χ 2 για να ορίσουμε διαφορετικές τιμές, στη συνέχεια, λύνοντας το σύστημα σε σχέση με τις βασικές μεταβλητές, παίρνουμε ένα άπειρο σύνολο συγκεκριμένων λύσεων. Εάν οριστούν μόνο μηδενικές τιμές για ελεύθερες μεταβλητές, τότε από ένα άπειρο σύνολο συγκεκριμένων λύσεων, βασικές λύσεις- βασικά σχέδια.
Για να μάθετε εάν οι μεταβλητές μπορούν να είναι βασικές, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την ορίζουσα που αποτελείται από τους συντελεστές αυτών των μεταβλητών. Εάν αυτή η ορίζουσα δεν είναι ίση με μηδέν, τότε αυτές οι μεταβλητές μπορεί να είναι βασικές.
Ο αριθμός των βασικών λύσεων και ο αντίστοιχος αριθμός ομάδων βασικών μεταβλητών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από , όπου nείναι ο συνολικός αριθμός των μεταβλητών, rείναι ο αριθμός των βασικών μεταβλητών, r≤ Μ≤ n.
Για το έργο μας r = 4; n= 6. Τότε , δηλ. Είναι δυνατές 15 ομάδες 4 βασικών μεταβλητών (ή 15 βασικές λύσεις).
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ως προς τις βασικές μεταβλητές Χ 3 , Χ 4 , Χ 5 ,Χ 6:
Υποθέτοντας ότι οι ελεύθερες μεταβλητές Χ 1 = 0, Χ 2 = 0, παίρνουμε τις τιμές των βασικών μεταβλητών: Χ 3 = 312; Χ 4 = 15; Χ 5 = 24;Χ 6 = -10, δηλ. η βασική λύση θα είναι = (0; 0; 312; 15; 24; -10).
Αυτή η βασική λύση είναι Απαράδεκτος, επειδή Χ 6 = –10 ≤ 0, και από τη συνθήκη περιορισμού Χ 6 ≥ 0. Επομένως, αντί για τη μεταβλητή Χ 6 ως βάση, πρέπει να πάρετε μια άλλη μεταβλητή από τις δωρεάν Χ 1 ή Χ 2 .
Θα εκτελέσουμε την περαιτέρω λύση χρησιμοποιώντας συντομευμένους πίνακες simplex, συμπληρώνοντας τις σειρές του πρώτου πίνακα με τους συντελεστές του συστήματος ως εξής (Πίνακας 1):
Τραπέζι 1
φά- καλείται η χορδή δείκτης. Γεμίζεται με αντικειμενικούς συντελεστές συνάρτησης που λαμβάνονται με αντίθετα πρόσημα, αφού η εξίσωση της συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί ως φά = 0 – (– 4Χ 1 – 3Χ 2).
Στη στήλη των ελεύθερων μελών β iυπάρχει ένα αρνητικό στοιχείο σι 4 = -10, δηλ. η λύση του συστήματος είναι άκυρη. Για να λάβετε μια έγκυρη λύση (βασικό σχέδιο), το στοιχείο σιΤο 4 πρέπει να γίνει μη αρνητικό.
Επιλέγω Χ 6 - μια γραμμή με ένα αρνητικό ελεύθερο μέλος. Αυτή η γραμμή περιέχει αρνητικά στοιχεία. Επιλέξτε οποιοδήποτε από αυτά, για παράδειγμα, "-1" σε Χ 1 -στήλη, και Χ 1 - στήλη αποδοχή ως στήλη άδειας(θα καθορίσει ότι η μεταβλητή Χ 1 θα πάει από το δωρεάν στο βασικό).
Μοιραζόμαστε δωρεάν μέλη β iσχετικά με τα σχετικά στοιχεία α είναιστήλη επίλυσης, παίρνουμε αξιολογικές σχέσειςΘ Εγώ==(24, 15, 12, 10). Από αυτά επιλέγουμε το μικρότερο θετικό (minΘ Εγώ=10), που θα αντιστοιχεί σε γραμμή άδειας. Η συμβολοσειρά δικαιωμάτων ορίζει μια μεταβλητή xj, το οποίο στο επόμενο βήμα προεξέχει από τη βάση και γίνεται ελεύθερο. Να γιατί ΧΗ γραμμή 6 είναι μια επιτρεπτή γραμμή και το στοιχείο "-1" είναι στοιχείο ενεργοποίησης. Το κυκλώνουμε. Μεταβλητές Χ 1 και Χ 6 ανταλλάσσονται.
Εκτιμώμενοι λόγοι Θ Εγώσε κάθε γραμμή καθορίζονται από τους κανόνες:
1) Θ Εγώ= αν β iκαι α είναιέχουν διαφορετικά σημάδια?
2) Θ Εγώ= ∞ αν β i= 0 και α είναι < 0;
3) Θ Εγώ= ∞ αν α είναι = 0;
4) Θ Εγώ= 0 αν β i= 0 και α είναι > 0;
5) Θ Εγώ= αν β iκαι α είναιέχουν τα ίδια σημάδια.
Κάνουμε το βήμα της τροποποιημένης εξάλειψης Jordan (MJJI) με το επιτρεπτικό στοιχείο και συντάσσουμε έναν νέο πίνακα (Πίνακας 2) σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
1) στη θέση του στοιχείου επίλυσης (RE), ορίζεται μια τιμή, το αντίστροφό της, δηλ. ;
2) τα στοιχεία της επιτρεπόμενης γραμμής χωρίζονται σε RE.
3) τα στοιχεία της στήλης επίλυσης χωρίζονται σε RE και το πρόσημο αλλάζει.
4) τα υπόλοιπα στοιχεία βρίσκονται σύμφωνα με τον κανόνα του ορθογωνίου:
Από τον πίνακα. 2 δείχνει ότι τα ελεύθερα μέλη σε β i- η στήλη δεν είναι αρνητική, επομένως, προκύπτει η αρχική αποδεκτή λύση - πρώτο σχέδιο βάσης= (10; 0; 182; 5; 4; 0). Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή της συνάρτησης φά() = 40. Γεωμετρικά, αυτό αντιστοιχεί στην κορυφή φά(10; 0) πολύγωνο διαλύματος (Εικ. 1).
πίνακας 2
2. Ελέγχουμε το σχέδιο για βελτιστοποίηση.Το βασικό σχέδιο δεν είναι βέλτιστο, γιατί στο φά-Η γραμμή έχει αρνητικό συντελεστή "-4". Βελτιώνουμε το σχέδιο.
3. Εύρεση νέας γραμμής βάσης
Επιλέγουμε το επιτρεπόμενο στοιχείο σύμφωνα με τον κανόνα:
Επιλέγουμε τον μικρότερο αρνητικό συντελεστή σε φά-γραμμή "-4", η οποία καθορίζει τη στήλη ενεργοποίησης - Χ 6; μεταβλητός Χ 6 μεταφράζονται σε βασικά.
Βρίσκουμε τους λόγους Θ Εγώ, ανάμεσά τους επιλέγουμε το μικρότερο θετικό, που αντιστοιχεί στην επιτρεπτή συμβολοσειρά:
ελάχ Θ Εγώ = ελάχ(14, 5, 2, ∞) = 2, επομένως Χ 5 - γραμμή - επιτρεπτή, μεταβλητή Χ 5 μεταφράζουμε σε δωρεάν (μεταβλητές Χ 5 και Χ 6 ανταλλάσσονται).
Στη διασταύρωση της επιτρεπόμενης γραμμής και στήλης βρίσκεται το επιτρεπτό στοιχείο "2".
Εκτελούμε το βήμα SHMZhI, χτίζουμε τον πίνακα. 3 σύμφωνα με τον παραπάνω κανόνα και λάβετε ένα νέο σχέδιο αναφοράς = (12; 0; 156; 3; 0; 2).
Πίνακας 3
4. Έλεγχος του νέου βασικού σχεδίου για βελτιστοποίηση
Το βασικό σχέδιο δεν είναι επίσης βέλτιστο, αφού στο φά-Η γραμμή έχει αρνητικό συντελεστή "-1". Τιμή συνάρτησης φά() = 48, που γεωμετρικά αντιστοιχεί στην κορυφή μι(12; 0) πολύγωνο διαλύματος (Εικ. 1). Βελτιώνουμε το σχέδιο.
5. Εύρεση νέας γραμμής βάσης
ΧΗ 2-στήλη είναι επιτρεπτή, αφού σε φά-γραμμή ο μικρότερος αρνητικός συντελεστής "-1" είναι μέσα Χ 2-στήλη (Δ 2 = -1). Εύρεση του μικρότερου Θ Εγώ: ελάχ Θ Εγώ = ελάχ(≈ 9, 6, ∞, 24) = 6, επομένως Χ 4η γραμμή - επιτρεπτική. Επιτρεπτικό στοιχείο "1/2". Ανταλλαγή μεταβλητών Χ 2 και Χτέσσερα. Εκτελούμε το βήμα SHMZhI, χτίζουμε τον πίνακα. 4, έχουμε ένα νέο σχέδιο αναφοράς = (9; 6; 51; 0; 0; 5).
6. Έλεγχος του βασικού σχεδίου για βελτιστοποίηση
ΣΤΟ φά-γραμμή, όλοι οι συντελεστές είναι μη αρνητικοί, επομένως, το σχέδιο αναφοράς είναι βέλτιστο. Γεωμετρικά αντιστοιχεί σε ένα σημείο ρε(9;6) (βλ. Εικ. 1). Το βέλτιστο σχέδιο δίνει τη μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης c.u.
Κύριος την ιδέα μιας μεθόδου simplex για την επίλυση του LLPσυνίσταται στη συνεχή βελτίωση των λύσεων υποστήριξης LLP.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να γράψετε τη μέθοδο simplex.
- Η βασική μορφή της μεθόδου simplex;
- Μέθοδος Simplex με τη μορφή πίνακα Simplex.
- Τροποποιημένη μέθοδος Simplex;
- Μέθοδος Simplex σε μορφή στήλης.
- Μέθοδος Simplex σε μορφή σειράς.
Ας ορίσουμε τη μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης F(X) = 3x 1 +5x 2 +4x 3 υπό τις ακόλουθες συνθήκες περιορισμού.
0,1x 1 +0,2x 2 +0,4x 3 ≤1100
0,05x 1 +0,02x 2 +0,02x 3 ≤120
3x1 +x2 +2x3 ≤8000
Για να κατασκευάσουμε το πρώτο σχέδιο αναφοράς, ανάγουμε το σύστημα των ανισοτήτων σε ένα σύστημα εξισώσεων εισάγοντας πρόσθετες μεταβλητές (μετάβαση στην κανονική μορφή).
0,1x1 + 0,2x2 + 0,4x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 1100
0,05x1 + 0,02x2 + 0,02x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 120
3x1 + 1x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 8000
Βασική σημειογραφία της μεθόδου simplex
| Η λύση πραγματοποιείται εκφράζοντας τις βασικές μεταβλητές μέσω μη βασικών: x0 = 3x1 +5x2 +4x3 x 4 = 1100-0,1 x 1 -0,2 x 2 -0,4 x 3 x 5 = 120-0,05x 1 -0,02x 2 -0,02x 3 x 6 = 8000-3x 1 -x 2 -2x 3 |
Μέθοδος Simplex με τη μορφή πίνακα Simplex
Η λύση πραγματοποιείται με τη μορφή απλού πίνακα. Η φόρμα έχει σχεδιαστεί για υπολογισμούς σε υπολογιστή. Όταν χρησιμοποιείτε τεχνητή βάση, χρησιμοποιείται ένας ειδικός αριθμός M (συνήθως 10000).| Σχέδιο | Βάση | ΣΤΟ | x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 | x6 | ελάχ |
| 1 | x4 | 1100 | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 1 | 0 | 0 | 5500 |
| x5 | 120 | 0.05 | 0.02 | 0.02 | 0 | 1 | 0 | 6000 | |
| x6 | 8000 | 3 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 8000 | |
| Γραμμή ευρετηρίου | F(X1) | 0 | -3 | -5 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | x2 | 5500 | 0.5 | 1 | 2 | 5 | 0 | 0 | 11000 |
| x5 | 10 | 0.04 | 0 | -0.02 | -0.1 | 1 | 0 | 250 | |
| x6 | 2500 | 2.5 | 0 | 0 | -5 | 0 | 1 | 1000 | |
| Γραμμή ευρετηρίου | F(X2) | 27500 | -0.5 | 0 | 6 | 25 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | x2 | 5375 | 0 | 1 | 2.25 | 6.25 | -12.5 | 0 | 11000 |
| x1 | 250 | 1 | 0 | -0.5 | -2.5 | 25 | 0 | 250 | |
| x6 | 1875 | 0 | 0 | 1.25 | 1.25 | -62.5 | 1 | 1000 | |
| Γραμμή ευρετηρίου | F(X3) | 27625 | 0 | 0 | 5.75 | 23.75 | 12.5 | 0 | 0 |
Τροποποιημένη μέθοδος Simplex
| Πίνακας συντελεστών A = a ij Πίνακας β. |
Μέθοδος Simplex σε μορφή στήλης
| Περνάμε στη στήλη της μεθόδου simplex. Εκφράζουμε κάθε μεταβλητή ως μη βασικές. x 0 = 0-3(-x 1)-5(-x 2)-4(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 1 = 0-1(-x 1)+0(-x 2)+0(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 2 = 0+0(-x 1)-1(-x 2)+0(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 3 = 0+0(-x 1)+0(-x 2)-1(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 4 = 1100+0,1(-x 1)+0,2(-x 2)+0,4(-x 3)+1(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 5 = 120+0,05(-x 1)+0,02(-x 2)+0,02(-x 3)+0(-x 4)+1(-x 5)+0(-x 6) x 6 = 8000+3(-x 1)+1(-x 2)+2(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+1(-x 6) Αυτό το σύστημα αντιστοιχεί στον πίνακα T 0 .
|
Μέθοδος Simplex σε μορφή συμβολοσειράς
Ως αρχική αποδεκτή βάση, μπορούμε να πάρουμε το B 0 =<4, 5, 6>. Θα αντιστοιχεί στον παρακάτω πίνακα.
|
Ο πίνακας Q, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος, ονομάζεται πίνακας simplexπου αντιστοιχεί στη βάση Β. Ο πίνακας simplex ονομάζεται αποδεκτός, ή άμεσα παραδεκτό, αν q i0 ≥ 0. Τα στοιχεία q i0 της τελευταίας σειράς του απλού πίνακα Q λέγονται σχετικές εκτιμήσεις.
Μορφές λύσης με τη μέθοδο της τεχνητής βάσης
Για τη χρήση τεχνητών μεταβλητών που εισάγονται στην αντικειμενική συνάρτηση, επιβάλλεται η λεγόμενη ποινή του Μ, ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός, ο οποίος συνήθως δεν προσδιορίζεται.Η βάση που προκύπτει ονομάζεται τεχνητή και η μέθοδος λύσης ονομάζεται μέθοδος τεχνητής βάσης.
Επιπλέον, οι τεχνητές μεταβλητές δεν σχετίζονται με το περιεχόμενο της εργασίας, αλλά σας επιτρέπουν να δημιουργήσετε ένα σημείο εκκίνησης και η διαδικασία βελτιστοποίησης αναγκάζει αυτές τις μεταβλητές να λάβουν μηδενικές τιμές και να εξασφαλίσουν το παραδεκτό της βέλτιστης λύσης.
Μορφές λύσης με τη μέθοδο της τεχνητής βάσης:
- M-μέθοδος (απλός πίνακας);
- μέθοδος απλού δύο σταδίων ή δύο φάσεων (Βασική σημειογραφία, Τροποποιημένη μέθοδος απλού, Μέθοδος Simplex σε μορφή στήλης, Μέθοδος Simplex σε μορφή γραμμής).
Εάν υπάρχουν περιορισμοί με το πρόσημο ≥ στην συνθήκη του προβλήματος, τότε μπορούν να αναχθούν στη μορφή ∑a ji b j πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της ανισότητας επί -1. Εισάγουμε m πρόσθετες μεταβλητές x n+j ≥0(j =1,m ) και μετατρέπουμε τους περιορισμούς στη μορφή ισοτήτων
(2)
Ας υποθέσουμε ότι όλες οι αρχικές μεταβλητές του προβλήματος x 1 , x 2 ,..., x n είναι μη βασικές. Τότε οι πρόσθετες μεταβλητές θα είναι βασικές και μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα περιορισμών έχει τη μορφή
x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (3)
Εφόσον σε αυτήν την περίπτωση η τιμή της συνάρτησης στόχου F 0 = 0, μπορούμε να αναπαραστήσουμε την F(x) ως εξής:
F(x)=∑c i x i + F 0 =0 (4)
Ο αρχικός πίνακας απλού (simplex πίνακας 1) συντάσσεται με βάση τις εξισώσεις (2) και (4). Αν οι πρόσθετες μεταβλητές x n+j προηγούνται του πρόσημου «+», όπως στο (2), τότε όλοι οι συντελεστές πριν από τις μεταβλητές x i και τον ελεύθερο όρο b j εισάγονται στον πίνακα simplex χωρίς αλλαγή. Οι συντελεστές της συνάρτησης στόχου κατά τη μεγιστοποίησή της εισάγονται στην κάτω γραμμή του πίνακα simplex με αντίθετα πρόσημα. Τα ελεύθερα μέλη στον πίνακα simplex καθορίζουν τη λύση του προβλήματος.
Ο αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος είναι ο εξής:
1ο βήμα. Τα στοιχεία της στήλης ελεύθερα μέλη αναζητούνται. Εάν είναι όλα θετικά, τότε έχει βρεθεί μια αποδεκτή βασική λύση και θα πρέπει να προχωρήσουμε στο βήμα 5 του αλγορίθμου, που αντιστοιχεί στην εύρεση της βέλτιστης λύσης. Εάν υπάρχουν αρνητικοί ελεύθεροι όροι στον αρχικό πίνακα του simplex, τότε η λύση δεν είναι έγκυρη και θα πρέπει να πάτε στο βήμα 2.
2ο βήμα. Για να βρεθεί μια εφικτή λύση, πραγματοποιείται, ενώ είναι απαραίτητο να αποφασιστεί ποιες από τις μη βασικές μεταβλητές θα συμπεριληφθούν στη βάση και ποια μεταβλητή θα αποσυρθούν από τη βάση.
Τραπέζι 1.
| μεταβλητές βάσης | Δωρεάν μέλη σε περιορισμούς | Μη βασικές μεταβλητές | |||||
| x 1 | x2 | ... | x l | ... | x n|||
| xn+1 | β 1 | ένα 11 | ένα 12 | ... | ένα 1 λίτρο | ... | ένα 1n |
| xn+2 | β 2 | ένα 21 | ένα 22 | ... | ένα 2λ | ... | ένα 2n |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| xn+r | β2 | ένα r1 | ένα r2 | ... | ένα rl | ... | ένα rn |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| xn+m | b m | ένα m1 | ένα m2 | ... | ένα ml | ... | αμν |
| F(x)max | F0 | -γ 1 | -γ 2 | ... | -γ 1 | ... | -c n |
Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε οποιοδήποτε από τα αρνητικά στοιχεία της στήλης των ελεύθερων μελών (ας είναι b 2 που οδηγεί ή επιτρέπει. Εάν δεν υπάρχουν αρνητικά στοιχεία στη σειρά με ένα αρνητικό ελεύθερο μέλος, τότε το σύστημα περιορισμών είναι ασυνεπές και το πρόβλημα δεν έχει λύση.
Ταυτόχρονα, η μεταβλητή που είναι η πρώτη που αλλάζει πρόσημο με αύξηση του επιλεγμένου NP x l εξαιρείται από το BP. Αυτό θα είναι x n+r , του οποίου ο δείκτης r καθορίζεται από τη συνθήκη
εκείνοι. η μεταβλητή που αντιστοιχεί στη μικρότερη αναλογία του ελεύθερου όρου προς το στοιχείο της επιλεγμένης κύριας στήλης. Αυτή η σχέση ονομάζεται σχέση απλού. Θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη μόνο θετικές σχέσεις απλού.
Καλείται η συμβολοσειρά που αντιστοιχεί στη μεταβλητή x n+r οδηγώντας, ή επιτρέποντας. Το στοιχείο του πίνακα simplex a rl , το οποίο βρίσκεται στην τομή της πρώτης γραμμής και της κύριας στήλης, ονομάζεται κύριο στοιχείο ή στοιχείο επίλυσης.Η εύρεση του κύριου στοιχείου ολοκληρώνει την εργασία με κάθε επόμενο ταμπλό simplex.
3ο βήμα. Υπολογίζεται ένας νέος πίνακας simplex, τα στοιχεία του οποίου υπολογίζονται εκ νέου από τα στοιχεία του πίνακα simplex του προηγούμενου βήματος και σημειώνονται με πρώτο, δηλ. b" j , a" ji , c" i , F" 0 . Τα στοιχεία υπολογίζονται εκ νέου σύμφωνα με τους ακόλουθους τύπους:
Αρχικά, η γραμμή και η στήλη που οδηγούσαν στον προηγούμενο πίνακα simplex θα συμπληρωθούν στον νέο πίνακα simplex. Η έκφραση (5) σημαίνει ότι το στοιχείο a "rl στη θέση του κύριου στοιχείου είναι ίσο με το αντίστροφο του στοιχείου του προηγούμενου πίνακα simplex. Τα στοιχεία της σειράς a ri διαιρούνται με το κύριο στοιχείο και τα στοιχεία του Η στήλη a jl διαιρείται επίσης με το κύριο στοιχείο, αλλά λαμβάνονται με το αντίθετο πρόσημο. Τα στοιχεία b" r και c" l υπολογίζονται σύμφωνα με την ίδια αρχή.
Οι υπόλοιποι τύποι μπορούν εύκολα να γραφτούν χρησιμοποιώντας .
Το παραλληλόγραμμο είναι χτισμένο σύμφωνα με τον παλιό πίνακα του simplex με τέτοιο τρόπο ώστε μία από τις διαγώνιές του να σχηματίζεται από τα επαναυπολογισμένα (a ji) και τα κύρια (a rl) στοιχεία (Εικ. 1). Η δεύτερη διαγώνιος καθορίζεται μοναδικά. Για να βρεθεί ένα νέο στοιχείο a "ji, το γινόμενο των στοιχείων της αντίθετης διαγώνιας διαιρούμενο με το κύριο στοιχείο αφαιρείται από το στοιχείο a ji (αυτό υποδεικνύεται με το σύμβολο" - "στο κελί). Ομοίως, τα στοιχεία b" j, (j≠r) και c" i επανυπολογίζονται, (i≠l).
4ο βήμα. Η ανάλυση ενός νέου πίνακα simplex ξεκινά από το 1ο βήμα του αλγορίθμου. Η δράση συνεχίζεται μέχρι να βρεθεί μια εφικτή βασική λύση, δηλ. όλα τα στοιχεία της στήλης ελεύθερων μελών πρέπει να είναι θετικά.
5ο βήμα. Πιστεύουμε ότι έχει βρεθεί μια αποδεκτή βασική λύση. Εξετάζουμε τους συντελεστές της ευθείας της συνάρτησης στόχου F(x) . Ένα σημάδι της βελτιστότητας ενός πίνακα simplex είναι η μη αρνητικότητα των συντελεστών για μη βασικές μεταβλητές στη σειρά F.
Ρύζι. 1. Κανόνας ορθογωνίου
Εάν μεταξύ των συντελεστών της σειράς F υπάρχουν αρνητικοί (με εξαίρεση τον ελεύθερο όρο), τότε πρέπει να πάτε σε μια άλλη βασική λύση. Κατά τη μεγιστοποίηση της συνάρτησης στόχου, η βάση περιλαμβάνει εκείνη των μη βασικών μεταβλητών (για παράδειγμα, x l), των οποίων η στήλη αντιστοιχεί στη μέγιστη απόλυτη τιμή του αρνητικού συντελεστή c l στην κάτω σειρά του πίνακα απλού. Αυτό σας επιτρέπει να επιλέξετε τη μεταβλητή της οποίας η αύξηση οδηγεί σε βελτίωση της συνάρτησης στόχου. Η στήλη που αντιστοιχεί στη μεταβλητή x l ονομάζεται κύρια στήλη. Ταυτόχρονα, αυτή η μεταβλητή x n+r εξαιρείται από τη βάση, ο δείκτης r της οποίας καθορίζεται από την ελάχιστη αναλογία simplex:
Η σειρά που αντιστοιχεί στο x n+r ονομάζεται πρώτη γραμμή και το στοιχείο του πίνακα simplex a rl, το οποίο βρίσκεται στη τομή της πρώτης γραμμής και της πρώτης στήλης, ονομάζεται ηγετικό στοιχείο.
6ο βήμα. σύμφωνα με τους κανόνες που ορίζονται στο 3ο βήμα. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη λύση ή να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει.
Εάν στη διαδικασία βελτιστοποίησης της λύσης στην κύρια στήλη όλα τα στοιχεία είναι μη θετικά, τότε δεν μπορεί να επιλεγεί η πρώτη γραμμή. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση στο πεδίο των αποδεκτών λύσεων του προβλήματος δεν περιορίζεται από πάνω και F max ->&∞.
Αν στο επόμενο βήμα της αναζήτησης ενός άκρου μία από τις βασικές μεταβλητές γίνει ίση με μηδέν, τότε η αντίστοιχη βασική λύση ονομάζεται εκφυλισμένη. Σε αυτήν την περίπτωση, εμφανίζεται ο λεγόμενος βρόχος, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι ο ίδιος συνδυασμός BP αρχίζει να επαναλαμβάνεται με μια ορισμένη συχνότητα (η τιμή της συνάρτησης F διατηρείται σε αυτήν την περίπτωση) και είναι αδύνατη η μετάβαση σε μια νέα αποδεκτή βασική λύση. Ο βρόχος είναι ένα από τα κύρια μειονεκτήματα της μεθόδου simplex, αλλά είναι σχετικά σπάνιο. Στην πράξη, σε τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως αρνείται κανείς να εισαγάγει στη βάση τη μεταβλητή της οποίας η στήλη αντιστοιχεί στη μέγιστη απόλυτη τιμή του αρνητικού συντελεστή στη συνάρτηση στόχου και γίνεται τυχαία επιλογή μιας νέας βασικής λύσης.
Παράδειγμα 1. Λύστε ένα πρόβλημα
max(F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0)
Μέθοδος Simplex και δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της διαδικασίας επίλυσης.
Η γραφική ερμηνεία της λύσης του προβλήματος φαίνεται στο σχ. 2. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στόχου επιτυγχάνεται στην κορυφή του ODZP με συντεταγμένες . Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας πίνακες simplex. Πολλαπλασιάζουμε τον δεύτερο περιορισμό με (-1) και εισάγουμε πρόσθετες μεταβλητές για να φέρουμε τις ανισότητες στη μορφή ισοτήτων.
Οι αρχικές μεταβλητές x 1 και x 2 λαμβάνονται ως μη βασικές και οι επιπλέον x 3 , x 4 και x 5 θεωρούνται βασικές και καταρτίζουμε έναν πίνακα απλού (simplex πίνακα 2). Η λύση που αντιστοιχεί στον πίνακα του simplex. 2, δεν ισχύει. το κύριο στοιχείο σκιαγραφείται και επιλέγεται σύμφωνα με το βήμα 2 του παραπάνω αλγορίθμου. Η επόμενη καρτέλα simplex. 3 ορίζει μια αποδεκτή βασική λύση. 2 Το κύριο στοιχείο σκιαγραφείται και επιλέγεται σύμφωνα με το 5ο βήμα του αλγορίθμου για την επίλυση του προβλήματος. Αυτί. Το 4 αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση του προβλήματος, επομένως: x 1 = x 5 = 0; x 2 \u003d 4; x 3 \u003d 3; x 4 = 8; F max = 20.
Ρύζι. 2. Γραφική λύση του προβλήματος
