பணியின் வேர் மற்றும் பட்டம். பட்டத்தின் ரூட் n: அடிப்படை வரையறைகள்

வாழ்த்துக்கள்: இன்று நாம் வேர்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம் - 8 ஆம் வகுப்பின் மிகவும் மனதைக் கவரும் தலைப்புகளில் ஒன்று. :)

வேர்களைப் பற்றி பலர் குழப்பமடைகிறார்கள், ஏனெனில் அவை சிக்கலானவை (சிக்கலானது - ஓரிரு வரையறைகள் மற்றும் இன்னும் இரண்டு பண்புகள்), ஆனால் பெரும்பாலான பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில் வேர்கள் பாடப்புத்தகங்களின் ஆசிரியர்களால் மட்டுமே செய்யக்கூடிய காடுகளின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த எழுத்தை புரிந்து கொள்ளுங்கள். அப்போதும் கூட நல்ல விஸ்கி பாட்டிலுடன் மட்டுமே. :)

எனவே, இப்போது நான் ரூட்டின் மிகவும் சரியான மற்றும் மிகவும் திறமையான வரையறையை தருகிறேன் - நீங்கள் உண்மையில் நினைவில் கொள்ள வேண்டிய ஒரே ஒரு வரையறை. அப்போதுதான் நான் விளக்குவேன்: இவை அனைத்தும் ஏன் அவசியம் மற்றும் அதை நடைமுறையில் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது.

ஆனால் முதலில், ஒரு முக்கியமான விஷயத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள், சில காரணங்களால் பாடப்புத்தகங்களின் பல தொகுப்பாளர்கள் இதைப் பற்றி "மறக்கிறார்கள்":

வேர்கள் சம அளவு (எங்களுக்கு பிடித்த $\sqrt(a)$, அதே போல் எந்த $\sqrt(a)$ மற்றும் $\sqrt(a)$) மற்றும் ஒற்றைப்படை பட்டம் (ஏதேனும் $\sqrt(a)$) இருக்கலாம் , $\ sqrt(a)$ போன்றவை). மேலும் ஒற்றைப்படைப் பட்டத்தின் மூலத்தின் வரையறை, சம அளவிலிருந்து சற்றே வித்தியாசமானது.

இங்கே இந்த ஃபக்கிங்கில் "சற்றே வித்தியாசமானது" மறைக்கப்பட்டுள்ளது, அநேகமாக, வேர்களுடன் தொடர்புடைய அனைத்து பிழைகள் மற்றும் தவறான புரிதல்களில் 95%. எனவே, சொற்களை ஒருமுறை தெளிவுபடுத்துவோம்:

வரையறை. வேர் கூட n$a$ என்ற எண்ணிலிருந்து ஏதேனும் எதிர்மறை அல்லாத$((b)^(n))=a$ போன்ற ஒரு எண் $b$. மேலும் அதே எண்ணான $a$ இலிருந்து ஒற்றைப்படைப் பட்டத்தின் மூலமானது பொதுவாக $b$ ஆகும், அதே சமத்துவம் $((b)^(n))=a$.

எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், ரூட் இவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது:

\(அ)\]

அத்தகைய குறியீட்டில் உள்ள எண் $n$ ரூட் அடுக்கு என்றும், $a$ எண் தீவிர வெளிப்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, $n=2$ க்கு, நமது "பிடித்த" வர்க்க மூலத்தைப் பெறுகிறோம் (இதன் மூலம், இது ஒரு சமமான பட்டத்தின் ரூட்), மேலும் $n=3$ க்கு ஒரு கன மூலத்தைப் பெறுவோம் (ஒற்றைப்படை அளவு), இது பெரும்பாலும் சிக்கல்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளிலும் காணப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள். சதுர வேர்களின் கிளாசிக் எடுத்துக்காட்டுகள்:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மூலம், $\sqrt(0)=0$ மற்றும் $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ மற்றும் $(1)^(2))=1$ என்பதால் இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.

கன வேர்களும் பொதுவானவை - அவற்றைப் பற்றி பயப்பட வேண்டாம்:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

சரி, இரண்டு "கவர்ச்சியான உதாரணங்கள்":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை நிலைக்கு என்ன வித்தியாசம் என்று உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றால், வரையறையை மீண்டும் படிக்கவும். இது மிகவும் முக்கியமானது!

இதற்கிடையில், வேர்களின் ஒரு விரும்பத்தகாத அம்சத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், இதன் காரணமாக சம மற்றும் ஒற்றைப்படை அடுக்குகளுக்கு ஒரு தனி வரையறையை அறிமுகப்படுத்த வேண்டியிருந்தது.

நமக்கு ஏன் வேர்கள் தேவை?

வரையறையைப் படித்த பிறகு, பல மாணவர்கள் கேட்பார்கள்: "கணித வல்லுநர்கள் இதைக் கொண்டு வந்தபோது என்ன புகைத்தார்கள்?" உண்மையில்: இந்த வேர்கள் அனைத்தும் நமக்கு ஏன் தேவை?

இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு கணம் ஆரம்ப பள்ளிக்கு திரும்புவோம். நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தொலைதூர காலங்களில், மரங்கள் பசுமையாகவும், பாலாடை சுவையாகவும் இருந்தபோது, ​​​​எங்கள் முக்கிய அக்கறை எண்களை சரியாகப் பெருக்குவதாகும். சரி, ஏதோ "ஃபைவ் பை ஃபைவ் - இருபத்தைந்து", அவ்வளவுதான். ஆனால் எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நீங்கள் எண்களை ஜோடிகளாக அல்ல, ஆனால் மும்மடங்குகள், நான்குகள் மற்றும் பொதுவாக முழு தொகுப்புகளில் பெருக்கலாம்:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

எனினும், இது புள்ளி அல்ல. தந்திரம் வேறு: கணிதவியலாளர்கள் சோம்பேறிகள், எனவே அவர்கள் பத்து ஐந்துகளின் பெருக்கத்தை இப்படி எழுத வேண்டியிருந்தது:

எனவே அவர்கள் பட்டங்களை கொண்டு வந்தனர். காரணிகளின் எண்ணிக்கையை ஒரு நீண்ட சரத்திற்குப் பதிலாக மேலெழுதலாக ஏன் எழுதக்கூடாது? இதைப் போல:

இது மிகவும் வசதியானது! அனைத்து கணக்கீடுகளும் பல மடங்கு குறைக்கப்படுகின்றன, மேலும் சில 5 183 ஐ எழுதுவதற்கு நோட்புக்குகளின் காகிதத் தாள்களை நீங்கள் செலவிட முடியாது. அத்தகைய நுழைவு எண்ணின் பட்டம் என்று அழைக்கப்பட்டது, அதில் பல பண்புகள் காணப்பட்டன, ஆனால் மகிழ்ச்சி குறுகிய காலமாக மாறியது.

டிகிரிகளின் "கண்டுபிடிப்பு" பற்றி ஏற்பாடு செய்யப்பட்ட ஒரு பிரம்மாண்டமான சாராயத்திற்குப் பிறகு, குறிப்பாக கல்லெறிந்த சில கணிதவியலாளர்கள் திடீரென்று கேட்டார்கள்: "எங்களுக்கு ஒரு எண்ணின் அளவு தெரிந்தால் என்ன, ஆனால் அந்த எண்ணே நமக்குத் தெரியாவிட்டால்?" உண்மையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண் $b$, எடுத்துக்காட்டாக, 5 வது சக்திக்கு 243 கொடுக்கிறது என்று நமக்குத் தெரிந்தால், $b$ எண் எதற்குச் சமம் என்று எப்படி யூகிக்க முடியும்?

இந்த சிக்கல் முதல் பார்வையில் தோன்றுவதை விட உலகளாவியதாக மாறியது. ஏனென்றால் பெரும்பாலான "ஆயத்த" பட்டங்களுக்கு அத்தகைய "ஆரம்ப" எண்கள் இல்லை என்று மாறியது. நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும்:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

$((b)^(3))=50$ என்றால் என்ன? நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று மாறிவிடும், அதை மூன்று முறை பெருக்கினால், நமக்கு 50 கிடைக்கும். ஆனால் இந்த எண் என்ன? 3 3 = 27 என்பதால் இது தெளிவாக 3 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. I.e. இந்த எண் மூன்று மற்றும் நான்கு இடையே எங்காவது உள்ளது, ஆனால் அது என்ன சமம் - நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள்.

இதனால்தான் கணிதவியலாளர்கள் $n$-வது வேர்களைக் கொண்டு வந்தனர். அதனால் தான் $\sqrt(*)$ என்ற தீவிர சின்னம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அதே எண்ணைக் குறிக்க $b$, குறிப்பிட்ட சக்திக்கு, நமக்கு முன்னர் அறியப்பட்ட மதிப்பைக் கொடுக்கும்

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

நான் வாதிடவில்லை: பெரும்பாலும் இந்த வேர்கள் எளிதில் கருதப்படுகின்றன - இதுபோன்ற பல எடுத்துக்காட்டுகளை மேலே பார்த்தோம். இருப்பினும், பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணைப் பற்றி யோசித்து, அதிலிருந்து ஒரு தன்னிச்சையான பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க முயற்சித்தால், நீங்கள் ஒரு கொடூரமான பம்மருக்கு ஆளாகிறீர்கள்.

அங்கே என்ன இருக்கிறது! மிகவும் எளிமையான மற்றும் மிகவும் பரிச்சயமான $\sqrt(2)$ ஐ கூட நமது வழக்கமான வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியாது - ஒரு முழு எண் அல்லது பின்னமாக. இந்த எண்ணை ஒரு கால்குலேட்டரில் செலுத்தினால், நீங்கள் இதைக் காண்பீர்கள்:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தசம புள்ளிக்குப் பிறகு எந்த தர்க்கத்திற்கும் கீழ்ப்படியாத எண்களின் முடிவில்லாத வரிசை உள்ளது. மற்ற எண்களுடன் விரைவாக ஒப்பிட்டுப் பார்க்க, நிச்சயமாக, இந்த எண்ணைச் சுற்றலாம். உதாரணத்திற்கு:

\[\sqrt(2)=1.4142...\தோராயமாக 1.4 \lt 1.5\]

அல்லது இங்கே மற்றொரு உதாரணம்:

\[\sqrt(3)=1.73205...\தோராயமாக 1.7 \gt 1.5\]

ஆனால் இந்த சுற்றுகள் அனைத்தும், முதலில், மாறாக கடினமானவை; இரண்டாவதாக, நீங்கள் தோராயமான மதிப்புகளுடன் பணிபுரிய வேண்டும், இல்லையெனில் நீங்கள் வெளிப்படையான பிழைகள் பலவற்றைப் பிடிக்கலாம் (இதன் மூலம், ஒப்பீடு மற்றும் ரவுண்டிங் திறன் சுயவிவரத் தேர்வில் அவசியம் சரிபார்க்கப்படுகிறது).

எனவே, தீவிர கணிதத்தில், வேர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது - அவை அனைத்து உண்மையான எண்களின் $\mathbb(R)$, பின்னங்கள் மற்றும் முழு எண்கள் போன்றவற்றின் அதே சமமான பிரதிநிதிகள்.

$\frac(p)(q)$ வடிவத்தின் பின்னமாக மூலத்தைக் குறிப்பிடுவது சாத்தியமற்றது என்றால் இந்த ரூட் ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல. அத்தகைய எண்கள் பகுத்தறிவற்றவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒரு தீவிரமான அல்லது இதற்கென பிரத்யேகமாக வடிவமைக்கப்பட்ட பிற கட்டுமானங்களின் உதவியுடன் (மடக்கைகள், டிகிரி, வரம்புகள், முதலியன) தவிர அவற்றை துல்லியமாக குறிப்பிட முடியாது. ஆனால் மற்றொரு முறை அதைப் பற்றி அதிகம்.

ஒரு சில உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள், எல்லா கணக்கீடுகளுக்கும் பிறகு, விகிதாசார எண்கள் இன்னும் பதிலில் இருக்கும்.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\தோராயமாக 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\தோராயமாக -1,2599... \\ \end(align)\]

இயற்கையாகவே, வேரின் தோற்றத்தால், தசம புள்ளிக்குப் பிறகு எந்த எண்கள் வரும் என்று யூகிக்க முடியாது. இருப்பினும், ஒரு கால்குலேட்டரில் கணக்கிடுவது சாத்தியம், ஆனால் மிகவும் மேம்பட்ட தேதி கால்குலேட்டர் கூட ஒரு விகிதாசார எண்ணின் முதல் சில இலக்கங்களை மட்டுமே வழங்குகிறது. எனவே, விடைகளை $\sqrt(5)$ மற்றும் $\sqrt(-2)$ என எழுதுவது மிகவும் சரியானது.

அதற்காகத்தான் அவை கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. பதில்களை எழுதுவதை எளிதாக்குவதற்கு.

ஏன் இரண்டு வரையறைகள் தேவை?

எடுத்துக்காட்டுகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து வர்க்க மூலங்களும் நேர்மறை எண்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்டவை என்பதை கவனமுள்ள வாசகர் ஏற்கனவே கவனித்திருக்கலாம். சரி, குறைந்தபட்சம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து. ஆனால் கனசதுர வேர்கள் முற்றிலும் எந்த எண்ணிலிருந்தும் அமைதியாக பிரித்தெடுக்கப்படுகின்றன - நேர்மறை, எதிர்மறை கூட.

இது ஏன் நடக்கிறது? செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பாருங்கள் $y=((x)^(2))$:

இருபடிச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் இரண்டு வேர்களைக் கொடுக்கிறது: நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை

இந்த வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி $\sqrt(4)$ ஐக் கணக்கிட முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, வரைபடத்தில் $((x)_(1))=2$ மற்றும் $((x) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளில் ஒரு கிடைமட்ட கோடு $y=4$ (சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது) வரையப்படுகிறது. _(2)) =-2$. இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது, ஏனெனில்

முதல் எண்ணுடன் எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது - இது நேர்மறை, எனவே இது ரூட்:

ஆனால் இரண்டாவது புள்ளியை என்ன செய்வது? 4க்கு ஒரே நேரத்தில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளதா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, −2 என்ற எண்ணை நாம் சதுரமாக்கினால், நமக்கும் 4 கிடைக்கும். பிறகு ஏன் $\sqrt(4)=-2$ என்று எழுதக்கூடாது? ஏன் ஆசிரியர்கள் உங்களை சாப்பிட விரும்புவது போல் இதுபோன்ற பதிவுகளைப் பார்க்கிறார்கள்? :)

சிக்கல் என்னவென்றால், கூடுதல் நிபந்தனைகள் எதுவும் விதிக்கப்படாவிட்டால், நான்குக்கும் இரண்டு சதுர வேர்கள் இருக்கும் - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. மேலும் எந்த நேர்மறை எண்ணிலும் அவற்றில் இரண்டு இருக்கும். ஆனால் எதிர்மறை எண்களுக்கு வேர்கள் இருக்காது - பரவளையமானது அச்சுக்குக் கீழே வராது என்பதால், அதே வரைபடத்திலிருந்து இதைப் பார்க்கலாம். ஒய், அதாவது எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்காது.

சம அடுக்கு கொண்ட அனைத்து வேர்களுக்கும் இதே போன்ற சிக்கல் ஏற்படுகிறது:

1. கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், ஒவ்வொரு நேர்மறை எண்ணும் $n$ என்ற சம அடுக்குடன் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
2. எதிர்மறை எண்களிலிருந்து, $n$ கூட உள்ள ரூட் பிரித்தெடுக்கப்படவே இல்லை.

அதனால்தான் $n$ என்ற இரட்டை மூலத்தின் வரையறையானது, பதில் எதிர்மில்லாத எண்ணாக இருக்க வேண்டும் என்று குறிப்பிடுகிறது. இப்படித்தான் நாம் தெளிவின்மையைப் போக்குகிறோம்.

ஆனால் ஒற்றைப்படை $n$ க்கு அத்தகைய பிரச்சனை இல்லை. இதைப் பார்க்க, $y=((x)^(3))$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பார்க்கலாம்:

க்யூபிக் பரவளையம் எந்த மதிப்பையும் எடுத்துக்கொள்கிறது, எனவே கனசதுர மூலத்தை எந்த எண்ணிலிருந்தும் எடுக்கலாம்

இந்த வரைபடத்திலிருந்து இரண்டு முடிவுகளை எடுக்கலாம்:

1. ஒரு கன பரவளையத்தின் கிளைகள், வழக்கமான ஒன்றைப் போலல்லாமல், இரு திசைகளிலும் முடிவிலிக்குச் செல்கின்றன - மேலும் கீழும். எனவே, எந்த உயரத்தில் நாம் ஒரு கிடைமட்ட கோட்டை வரைந்தாலும், இந்த கோடு கண்டிப்பாக நமது வரைபடத்துடன் வெட்டும். எனவே, க்யூப் ரூட் எப்பொழுதும், முற்றிலும் எந்த எண்ணிலிருந்தும் எடுக்கப்படலாம்;
2. கூடுதலாக, அத்தகைய குறுக்குவெட்டு எப்போதும் தனித்துவமாக இருக்கும், எனவே எந்த எண்ணை "சரியான" ரூட்டைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், எந்த ஒரு மதிப்பெண் பெற வேண்டும் என்பதைப் பற்றி நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டியதில்லை. அதனால்தான் ஒற்றைப்படை பட்டத்திற்கான வேர்களின் வரையறையானது சமமான ஒன்றை விட எளிமையானது (எதிர்மறை அல்லாத தேவை இல்லை).

இந்த எளிய விஷயங்கள் பெரும்பாலான பாடப்புத்தகங்களில் விளக்கப்படவில்லை என்பது வருத்தம் அளிக்கிறது. மாறாக, நம் மூளை அனைத்து வகையான எண்கணித வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளுடன் உயரத் தொடங்குகிறது.

ஆம், நான் வாதிடவில்லை: எண்கணித வேர் என்றால் என்ன - நீங்களும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். இதைப் பற்றி நான் ஒரு தனி பாடத்தில் விரிவாகப் பேசுவேன். இன்று நாம் அதைப் பற்றி பேசுவோம், ஏனென்றால் அது இல்லாமல், $n$-வது பெருக்கத்தின் வேர்களில் உள்ள அனைத்து பிரதிபலிப்புகளும் முழுமையடையாது.

ஆனால் முதலில் நான் மேலே கொடுத்த வரையறையை நீங்கள் தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இல்லையெனில், ஏராளமான விதிமுறைகள் காரணமாக, இதுபோன்ற குழப்பம் உங்கள் தலையில் தொடங்கும், இறுதியில் நீங்கள் எதையும் புரிந்து கொள்ள மாட்டீர்கள்.

நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டியது இரட்டை மற்றும் இரட்டை எண்களுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம். எனவே, வேர்களைப் பற்றி நீங்கள் உண்மையிலேயே தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தையும் நாங்கள் மீண்டும் சேகரிப்போம்:

1. எதிர்மில்லாத எண்ணிலிருந்து மட்டுமே ஈவு மூலமானது எப்போதும் எதிர்மறை எண்ணாகவே இருக்கும். எதிர்மறை எண்களுக்கு, அத்தகைய ரூட் வரையறுக்கப்படவில்லை.
2. ஆனால் ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் வேர் எந்த எண்ணிலிருந்தும் உள்ளது மற்றும் அது எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம்: நேர்மறை எண்களுக்கு அது நேர்மறையாகவும், எதிர்மறை எண்களுக்கு, தொப்பி குறிப்பது போல, எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

கஷ்டமா? இல்லை, அது கடினம் அல்ல. தெளிவா? ஆம், அது வெளிப்படையானது! எனவே, இப்போது நாம் கணக்கீடுகளுடன் சிறிது பயிற்சி செய்வோம்.

அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் வரம்புகள்

வேர்களுக்கு நிறைய விசித்திரமான பண்புகள் மற்றும் கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன - இது ஒரு தனி பாடமாக இருக்கும். எனவே, இப்போது நாம் மிக முக்கியமான "சிப்" ஐ மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம், இது ஒரு சமமான அடுக்கு கொண்ட வேர்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். இந்த சொத்தை ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\இடது| x\வலது|\]

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணை ஒரு சம சக்தியாக உயர்த்தி, இதிலிருந்து அதே பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தால், அசல் எண்ணைப் பெறுவோம், ஆனால் அதன் மாடுலஸ். இது ஒரு எளிய தேற்றமாகும், இது நிரூபிக்க எளிதானது (எதிர்மறை அல்லாத $x$ என்று தனித்தனியாகக் கருதி, எதிர்மறையானவற்றைத் தனித்தனியாகக் கருதினால் போதுமானது). ஆசிரியர்கள் இதைப் பற்றி தொடர்ந்து பேசுகிறார்கள், இது ஒவ்வொரு பள்ளி பாடப்புத்தகத்திலும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது (அதாவது தீவிரவாதத்தின் அடையாளத்தைக் கொண்ட சமன்பாடுகள்), மாணவர்கள் இந்த சூத்திரத்தை ஒன்றாக மறந்து விடுகிறார்கள்.

சிக்கலை விரிவாகப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு நிமிடம் அனைத்து சூத்திரங்களையும் மறந்துவிட்டு இரண்டு எண்களை எண்ண முயற்சிப்போம்:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

இவை மிகவும் எளிமையான உதாரணங்கள். முதல் உதாரணம் பெரும்பாலான மக்களால் தீர்க்கப்படும், ஆனால் இரண்டாவது, பலர் ஒட்டிக்கொள்கிறார்கள். எந்த பிரச்சனையும் இல்லாமல் அத்தகைய முட்டாள்தனத்தை தீர்க்க, எப்போதும் செயல்முறையை கவனியுங்கள்:

1. முதலில், எண் நான்காவது சக்தியாக உயர்த்தப்படுகிறது. சரி, இது ஒருவகை எளிது. ஒரு புதிய எண் பெறப்படும், இது பெருக்கல் அட்டவணையில் கூட காணலாம்;
2. இப்போது இந்த புதிய எண்ணிலிருந்து நான்காவது பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது அவசியம். அந்த. வேர்கள் மற்றும் டிகிரிகளின் "குறைப்பு" இல்லை - இவை தொடர்ச்சியான செயல்கள்.

முதல் வெளிப்பாட்டைக் கையாள்வோம்: $\sqrt(((3)^(4)))$. வெளிப்படையாக, நீங்கள் முதலில் ரூட்டின் கீழ் வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும்:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

81 என்ற எண்ணின் நான்காவது மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது எக்ஸ்பிரஷனிலும் அதையே செய்வோம். முதலில், நாம் −3 என்ற எண்ணை நான்காவது சக்தியாக உயர்த்துகிறோம், அதற்காக நாம் அதை 4 முறை பெருக்க வேண்டும்:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ இடது(-3 \வலது)=81\]

தயாரிப்பில் உள்ள மொத்த மைனஸ்களின் எண்ணிக்கை 4 துண்டுகளாக இருப்பதால், எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, மேலும் அவை அனைத்தும் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்யும் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு கழித்தல் ஒரு கூட்டலைக் கொடுக்கும்). அடுத்து, ரூட்டை மீண்டும் பிரித்தெடுக்கவும்:

கொள்கையளவில், இந்த வரியை எழுத முடியாது, ஏனென்றால் பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அந்த. அதே சம சக்தியின் இரட்டை மூலமானது மைனஸ்களை "எரிக்கிறது", இந்த அர்த்தத்தில் இதன் விளைவாக வழக்கமான தொகுதியிலிருந்து பிரித்தறிய முடியாது:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\இடது| 3\வலது|=3; \\ & \sqrt(((\இடது(-3 \வலது))^(4)))=\இடது| -3 \right|=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இந்த கணக்கீடுகள் ஒரு சமமான பட்டத்தின் மூலத்தின் வரையறையுடன் நல்ல உடன்பாட்டில் உள்ளன: முடிவு எப்போதும் எதிர்மறையானது அல்ல, மேலும் தீவிரமான குறி எப்போதும் எதிர்மறை எண்ணாக இருக்கும். இல்லையெனில், ரூட் வரையறுக்கப்படவில்லை.

செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பற்றிய குறிப்பு

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ என்பது $a$ என்ற எண்ணை முதலில் வர்க்கமாக்குகிறது, அதன் பிறகு கிடைக்கும் மதிப்பின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம். எனவே, ஒரு எதிர்மறை எண் எப்போதும் மூலக் குறியின் கீழ் இருக்கும் என்பதை உறுதியாக நம்பலாம், ஏனெனில் $((a)^(2))\ge 0$ எப்படியும்;
2. ஆனால் $(\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ என்ற குறியீடானது, நாம் முதலில் $a$ என்ற குறிப்பிட்ட எண்ணிலிருந்து மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்து, அதன் பிறகுதான் முடிவை வர்க்கப்படுத்துகிறோம் என்று அர்த்தம். எனவே, எந்த விஷயத்திலும் $a$ எண் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது - இது வரையறையில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு கட்டாயத் தேவை.

எனவே, எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒருவர் சிந்தனையின்றி வேர்கள் மற்றும் டிகிரிகளை குறைக்கக்கூடாது, இதன் மூலம் அசல் வெளிப்பாட்டை "எளிமைப்படுத்த" வேண்டும். ஏனென்றால் ரூட்டின் கீழ் எதிர்மறை எண் இருந்தால், அதன் அடுக்கு சமமாக இருந்தால், நமக்கு நிறைய சிக்கல்கள் வரும்.

இருப்பினும், இந்த சிக்கல்கள் அனைத்தும் குறிகாட்டிகளுக்கு மட்டுமே பொருத்தமானவை.

ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து ஒரு கழித்தல் குறியை நீக்குதல்

இயற்கையாகவே, ஒற்றைப்படை அடுக்குகளைக் கொண்ட வேர்களும் அவற்றின் சொந்த அம்சத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவை கொள்கையளவில் கூட ஒன்றுக்கு இல்லை. அதாவது:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

சுருக்கமாக, ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் வேர்களின் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து ஒரு கழிப்பை நீங்கள் எடுக்கலாம். இது மிகவும் பயனுள்ள சொத்து, இது அனைத்து குறைபாடுகளையும் "எறிய" உங்களை அனுமதிக்கிறது:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

இந்த எளிய சொத்து பல கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. இப்போது நீங்கள் கவலைப்படத் தேவையில்லை: ஒரு எதிர்மறை வெளிப்பாடு வேரின் கீழ் வந்து, ரூட்டில் உள்ள பட்டம் சமமாக மாறினால் என்ன செய்வது? வேர்களுக்கு வெளியே உள்ள அனைத்து மைனஸ்களையும் "வெளியே எறிந்தால்" போதுமானது, அதன் பிறகு அவை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கி, பிரிக்கப்பட்டு பொதுவாக பல சந்தேகத்திற்கிடமான விஷயங்களைச் செய்யலாம், இது "கிளாசிக்" வேர்களின் விஷயத்தில் நம்மை ஒரு பிழைக்கு இட்டுச் செல்லும் உத்தரவாதம். .

இங்கே மற்றொரு வரையறை காட்சியில் நுழைகிறது - பெரும்பாலான பள்ளிகள் பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளின் ஆய்வைத் தொடங்குகின்றன. அது இல்லாமல் நமது தர்க்கம் முழுமையடையாது. சந்திப்போம்!

எண்கணித வேர்

நேர்மறை எண்கள் அல்லது தீவிர நிகழ்வுகளில், பூஜ்ஜியம் மட்டுமே மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருக்க முடியும் என்று ஒரு கணம் வைத்துக் கொள்வோம். சம / ஒற்றைப்படை குறிகாட்டிகளில் மதிப்பெண் செய்வோம், மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து வரையறைகளிலும் மதிப்பெண் செய்வோம் - நாங்கள் எதிர்மறை எண்களுடன் மட்டுமே வேலை செய்வோம். பிறகு என்ன?

பின்னர் நாம் எண்கணித மூலத்தைப் பெறுகிறோம் - இது எங்கள் "நிலையான" வரையறைகளுடன் ஓரளவு வெட்டுகிறது, ஆனால் இன்னும் அவற்றிலிருந்து வேறுபடுகிறது.

வரையறை. எதிர்மறை எண்ணான $a$ இன் $n$வது பட்டத்தின் எண்கணித மூலமானது $((b)^(n))=a$ என்ற எதிர்மறை எண்ணாக $b$ ஆகும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் இனி சமத்துவத்தில் ஆர்வம் காட்டவில்லை. அதற்கு பதிலாக, ஒரு புதிய கட்டுப்பாடு தோன்றியது: தீவிர வெளிப்பாடு இப்போது எப்போதும் எதிர்மறையானது அல்ல, மேலும் மூலமும் எதிர்மறையானது அல்ல.

எண்கணித மூலமானது வழக்கமான ஒன்றிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது என்பதை நன்கு புரிந்து கொள்ள, ஏற்கனவே நமக்கு நன்கு தெரிந்த சதுர மற்றும் கன பரப்பளவின் வரைபடங்களைப் பாருங்கள்:

ரூட் தேடல் பகுதி - எதிர்மறை எண்கள் அல்ல

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, இப்போது முதல், முதல் ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டில் அமைந்துள்ள வரைபடங்களின் துண்டுகளில் மட்டுமே நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் - $x$ மற்றும் $y$ ஆயத்தொலைவுகள் நேர்மறையாக இருக்கும் (அல்லது குறைந்தபட்சம் பூஜ்ஜியம்). எதிர்மறை எண்ணை ரூட் செய்ய எங்களுக்கு உரிமை இருக்கிறதா இல்லையா என்பதைப் புரிந்து கொள்ள நீங்கள் இனி குறிகாட்டியைப் பார்க்க வேண்டியதில்லை. ஏனெனில் எதிர்மறை எண்கள் கொள்கையளவில் கருதப்படுவதில்லை.

நீங்கள் கேட்கலாம்: "சரி, நமக்கு ஏன் இப்படிப்பட்ட ஒரு காஸ்ட்ரேட்டட் வரையறை தேவை?" அல்லது: "மேலே கொடுக்கப்பட்ட நிலையான வரையறையை நாம் ஏன் பெற முடியாது?"

சரி, நான் ஒரு சொத்தை மட்டும் தருகிறேன், இதன் காரணமாக புதிய வரையறை பொருத்தமானதாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, விரிவாக்க விதி:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: நாம் தீவிர வெளிப்பாட்டை எந்த சக்திக்கும் உயர்த்தலாம், அதே நேரத்தில் ரூட் அடுக்குகளை அதே சக்தியால் பெருக்கலாம் - இதன் விளைவாக அதே எண்ணாக இருக்கும்! இங்கே சில உதாரணங்கள்:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

சரி, அதில் என்ன தவறு? ஏன் இதற்கு முன் நம்மால் செய்ய முடியவில்லை? ஏன் என்பது இங்கே. ஒரு எளிய வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள்: $\sqrt(-2)$ என்பது நமது பாரம்பரிய அர்த்தத்தில் மிகவும் சாதாரணமான ஒரு எண், ஆனால் எண்கணித மூலத்தின் பார்வையில் இருந்து முற்றிலும் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. அதை மாற்ற முயற்சிப்போம்:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முதல் வழக்கில், நாங்கள் தீவிரத்தின் கீழ் இருந்து மைனஸை எடுத்தோம் (எங்களுக்கு ஒவ்வொரு உரிமையும் உள்ளது, ஏனெனில் காட்டி ஒற்றைப்படையானது), இரண்டாவதாக, மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம். அந்த. கணிதத்தின் பார்வையில், எல்லாம் விதிகளின்படி செய்யப்படுகிறது.

WTF?! ஒரே எண் எப்படி நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்க முடியும்? வழி இல்லை. நேர்மறை எண்களுக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கும் சிறப்பாகச் செயல்படும் எக்ஸ்போனென்சியேஷன் ஃபார்முலா எதிர்மறை எண்களின் விஷயத்தில் முழுமையான மதவெறியைக் கொடுக்கத் தொடங்குகிறது.

இங்கே, அத்தகைய தெளிவின்மையைப் போக்க, அவர்கள் எண்கணித வேர்களைக் கொண்டு வந்தனர். ஒரு தனி பெரிய பாடம் அவர்களுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு அவர்களின் அனைத்து பண்புகளையும் விரிவாகக் கருதுகிறோம். எனவே இப்போது நாங்கள் அவற்றில் வசிக்க மாட்டோம் - எப்படியும் பாடம் மிக நீண்டதாக மாறியது.

இயற்கணித வேர்: மேலும் அறிய விரும்புவோருக்கு

நான் நீண்ட நேரம் நினைத்தேன்: இந்த தலைப்பை ஒரு தனி பத்தியில் செய்யலாமா இல்லையா. இறுதியில், நான் இங்கிருந்து செல்ல முடிவு செய்தேன். இந்த பொருள் வேர்களை இன்னும் சிறப்பாக புரிந்து கொள்ள விரும்புபவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது - இனி சராசரி "பள்ளி" மட்டத்தில் இல்லை, ஆனால் ஒலிம்பியாட்க்கு நெருக்கமான மட்டத்தில்.

எனவே: ஒரு எண்ணிலிருந்து $n$-வது பட்டத்தின் மூலத்தின் "கிளாசிக்கல்" வரையறை மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய சம மற்றும் ஒற்றைப்படை குறிகாட்டிகளாக பிரிக்கப்படுவதைத் தவிர, மேலும் "வயது வந்தோர்" வரையறை உள்ளது, இது சமநிலை மற்றும் மற்ற நுணுக்கங்கள் அனைத்தும். இது இயற்கணித வேர் எனப்படும்.

வரையறை. எந்த $a$ இன் இயற்கணித $n$-வது மூலமானது $((b)^(n))=a$ போன்ற அனைத்து எண்களின் $b$களின் தொகுப்பாகும். அத்தகைய வேர்களுக்கு நன்கு நிறுவப்பட்ட பதவி இல்லை, எனவே மேலே ஒரு கோடு வைக்கவும்:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

பாடத்தின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட நிலையான வரையறையிலிருந்து அடிப்படை வேறுபாடு என்னவென்றால், இயற்கணித மூலமானது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் அல்ல, ஆனால் ஒரு தொகுப்பு ஆகும். நாங்கள் உண்மையான எண்களுடன் வேலை செய்வதால், இந்த தொகுப்பு மூன்று வகைகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது:

1. வெற்று தொகுப்பு. எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து ஒரு சமமான பட்டத்தின் இயற்கணித மூலத்தைக் கண்டறிய வேண்டியிருக்கும் போது நிகழ்கிறது;
2. ஒற்றை உறுப்பு கொண்ட ஒரு தொகுப்பு. ஒற்றைப்படை சக்திகளின் அனைத்து வேர்களும், பூஜ்ஜியத்திலிருந்து சம சக்திகளின் வேர்களும் இந்த வகைக்குள் அடங்கும்;
3. இறுதியாக, தொகுப்பில் இரண்டு எண்கள் இருக்கலாம் - அதே $((x)_(1))$ மற்றும் $(x)_(2))=-((x)_(1))$ விளக்கப்படம் இருபடி செயல்பாடு. அதன்படி, நேர்மறை எண்ணிலிருந்து இரட்டைப் பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும்போது மட்டுமே அத்தகைய சீரமைப்பு சாத்தியமாகும்.

கடைசி வழக்கு இன்னும் விரிவான பரிசீலனைக்கு தகுதியானது. வித்தியாசத்தைப் புரிந்துகொள்ள ஓரிரு உதாரணங்களை எண்ணுவோம்.

உதாரணமாக. வெளிப்பாடுகளை கணக்கிடுங்கள்:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

தீர்வு. முதல் வெளிப்பாடு எளிது:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

இது தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் இரண்டு எண்கள். ஏனெனில் அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு நான்கு கொடுக்கிறது.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ஒரே ஒரு எண்ணைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பை இங்கே காண்கிறோம். ரூட்டின் அடுக்கு ஒற்றைப்படை என்பதால் இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.

இறுதியாக, கடைசி வெளிப்பாடு:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

எங்களுக்கு ஒரு வெற்று தொகுப்பு கிடைத்தது. ஏனென்றால், நான்காவது (அதாவது கூட!) சக்திக்கு உயர்த்தப்படும் போது, ​​நமக்கு எதிர்மறை எண்ணான −16ஐக் கொடுக்கும் ஒரு உண்மையான எண் கூட இல்லை.

இறுதி குறிப்பு. தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: நாங்கள் உண்மையான எண்களுடன் வேலை செய்கிறோம் என்பதை எல்லா இடங்களிலும் நான் குறிப்பிட்டது தற்செயலாக அல்ல. சிக்கலான எண்களும் இருப்பதால் - $\sqrt(-16)$ மற்றும் பல விசித்திரமான விஷயங்களைக் கணக்கிடுவது மிகவும் சாத்தியம்.

இருப்பினும், கணிதத்தின் நவீன பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், சிக்கலான எண்கள் கிட்டத்தட்ட காணப்படவில்லை. பெரும்பாலான பாடப்புத்தகங்களில் இருந்து அவை தவிர்க்கப்பட்டுள்ளன, ஏனெனில் எங்கள் அதிகாரிகள் தலைப்பை "புரிந்து கொள்ள மிகவும் கடினம்" என்று கருதுகின்றனர்.

அவ்வளவுதான். அடுத்த பாடத்தில், வேர்களின் அனைத்து முக்கிய பண்புகளையும் பார்ப்போம், இறுதியாக பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். :)

நடைமுறையில் ரூட் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாட்டை வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்த, இந்த செயல்பாட்டின் பண்புகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.
அனைத்து பண்புகளும் ரூட் அறிகுறிகளின் கீழ் உள்ள மாறிகளின் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உருவாக்கப்பட்டு நிரூபிக்கப்படுகின்றன.

தேற்றம் 1. எதிர்மறை அல்லாத இரண்டு சிப்செட்களின் nவது ரூட் (n=2, 3, 4,...) இந்த எண்களின் nவது வேர்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

கருத்து:

1. ரேடிகல் வெளிப்பாடு இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட எதிர்மறை எண்களின் பெருக்கமாக இருக்கும் போது தேற்றம் 1 வழக்குக்கு செல்லுபடியாகும்.

தேற்றம் 2.ஒரு என்றால், மற்றும் n என்பது 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண், பின்னர் சமத்துவம்

சுருக்கமான(தவறானதாக இருந்தாலும்) நடைமுறையில் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியான சூத்திரம்: பின்னத்தின் வேர் வேர்களின் பின்னத்திற்கு சமம்.

தேற்றம் 1 எம்மைப் பெருக்க அனுமதிக்கிறது ஒரே பட்டத்தின் வேர்கள் மட்டுமே , அதாவது ஒரே அடுக்கு கொண்ட வேர்கள் மட்டுமே.

தேற்றம் 3. என்றால் ,k என்பது ஒரு இயற்கை எண் மற்றும் n என்பது 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண், பின்னர் சமத்துவம்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு இயற்கை சக்திக்கு ஒரு வேரை உயர்த்த, இந்த சக்திக்கு ரூட் வெளிப்பாடு உயர்த்தினால் போதும்.
இது தேற்றம் 1 இன் விளைவு. உண்மையில், எடுத்துக்காட்டாக, k = 3 க்கு நாம் பெறுகிறோம்

தேற்றம் 4. என்றால் ,k, n என்பது 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்கள், பின்னர் சமத்துவம்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு வேரில் இருந்து ஒரு வேரை பிரித்தெடுக்க, வேர்களின் அடுக்குகளை பெருக்க போதுமானது.
உதாரணத்திற்கு,

கவனமாக இரு!வேர்களில் நான்கு செயல்பாடுகளைச் செய்ய முடியும் என்று அறிந்தோம்: பெருக்கல், வகுத்தல், விரிவுபடுத்துதல் மற்றும் வேரை பிரித்தெடுத்தல் (வேரில் இருந்து). ஆனால் வேர்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் பற்றி என்ன? வழி இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, உண்மையில் என்பதற்குப் பதிலாக நீங்கள் எழுத முடியாது, ஆனால் அது வெளிப்படையானது

தேற்றம் 5. என்றால் ரூட் மற்றும் ரூட் வெளிப்பாடு ஆகியவற்றின் குறிகாட்டிகள் ஒரே இயற்கை எண்ணால் பெருக்கப்படுகின்றன அல்லது வகுக்கப்படுகின்றன, பின்னர் ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது, அதாவது.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு.வேர்களின் முதல் சொத்தை (தேற்றம் 1) பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

உதாரணம் 2கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு.கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றவும்.
வேர்களின் இரண்டாவது சொத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் ( தேற்றம் 2 ), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3கணக்கிடு:

தீர்வு.இயற்கணிதத்தில் உள்ள எந்த சூத்திரமும், உங்களுக்கு நன்கு தெரியும், "இடமிருந்து வலமாக" மட்டுமல்ல, "வலமிருந்து இடமாக" பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, வேர்களின் முதல் சொத்து என்பது அதைக் குறிக்கலாம் மற்றும் மாறாக, வெளிப்பாட்டால் மாற்றப்படலாம். வேர்களின் இரண்டாவது பண்புக்கும் இது பொருந்தும். இதைக் கருத்தில் கொண்டு, கணக்கீடுகளைச் செய்வோம்.

தலைப்பில் பாடம் மற்றும் விளக்கக்காட்சி: "nth பட்டத்தின் மூலத்தின் பண்புகள். கோட்பாடுகள்"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்புள்ள பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், கருத்துகள், பரிந்துரைகளை மறக்க வேண்டாம்! அனைத்து பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்படுகின்றன.

11 ஆம் வகுப்புக்கான ஆன்லைன் ஸ்டோரில் "இன்டெக்ரல்" இல் கற்பித்தல் எய்ட்ஸ் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
9-11 கிரேடுகளுக்கான ஊடாடும் கையேடு "முக்கோணவியல்"
10-11 கிரேடுகளுக்கான ஊடாடும் கையேடு "மடக்கை"

nth பட்டத்தின் மூலத்தின் பண்புகள். தேற்றங்கள்

நண்பர்களே, உண்மையான எண்ணின் nth டிகிரியின் வேர்களை நாங்கள் தொடர்ந்து படித்து வருகிறோம். ஏறக்குறைய அனைத்து கணிதப் பொருட்களைப் போலவே, n வது பட்டத்தின் வேர்களும் சில பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, இன்று அவற்றைப் படிப்போம்.
நாங்கள் கருதும் அனைத்து பண்புகளும் ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள மாறிகளின் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே வடிவமைக்கப்பட்டு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.
ஒற்றைப்படை வேர் அடுக்குகளில், அவை எதிர்மறை மாறிகளையும் வைத்திருக்கின்றன.

தேற்றம் 1. இரண்டு எதிர்மில்லாத எண்களின் பெருக்கத்தின் nவது வேர் இந்த எண்களின் n வது வேர்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .

தேற்றத்தை நிரூபிப்போம்.
ஆதாரம். நண்பர்களே, தேற்றத்தை நிரூபிக்க, புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம், குறிக்கவும்:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$ என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்.
பின்வரும் அடையாளங்களும் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
பின் பின்வரும் அடையாளமும் உள்ளது: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
இரண்டு எதிர்மறை எண்களின் டிகிரி மற்றும் அவற்றின் அடுக்குகள் சமமாக இருக்கும், பின்னர் டிகிரிகளின் அடிப்படைகள் சமமாக இருக்கும். எனவே $x=y*z$, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

தேற்றம் 2. $a≥0$, $b>0$ மற்றும் n 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்ணாக இருந்தால், பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

அதாவது, nth வேர்களின் nth வேர் சமம்.

ஆதாரம்.
இதை நிரூபிக்க, அட்டவணையின் வடிவத்தில் எளிமையான திட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

n வது மூலத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

உதாரணமாக.
கணக்கிடவும்: $\sqrt(16*81*256)$.
தீர்வு. தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்துவோம்: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

உதாரணமாக.
கணக்கிடவும்: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
தீர்வு. தீவிரமான வெளிப்பாட்டை முறையற்ற பின்னமாக குறிப்பிடுவோம்: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்துவோம்: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

உதாரணமாக.
கணக்கிடு:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
தீர்வு:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ சதுர(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

தேற்றம் 3. $a≥0$, k மற்றும் n ஆகியவை 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்களாக இருந்தால், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

ஒரு இயற்கை சக்திக்கு ஒரு வேரை உயர்த்த, இந்த சக்திக்கு தீவிர வெளிப்பாடுகளை உயர்த்தினால் போதும்.

ஆதாரம்.
$k=3$க்கான ஒரு சிறப்பு வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்துவோம்.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a) *a)=\sqrt[n](a^3)$.
வேறு எந்த வழக்கிலும் இதையே நிரூபிக்க முடியும். நண்பர்களே, $k=4$ மற்றும் $k=6$ என்பதை நீங்களே நிரூபியுங்கள்.

தேற்றம் 4. $a≥0$ b n,k என்பது 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்களாக இருந்தால், சமத்துவம் உண்மை: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

ஒரு வேரில் இருந்து ஒரு வேரை பிரித்தெடுக்க, வேர்களின் அடுக்குகளை பெருக்கினால் போதும்.

ஆதாரம்.
அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி சுருக்கமாக மீண்டும் நிரூபிப்போம். இதை நிரூபிக்க, அட்டவணையின் வடிவத்தில் எளிமையான திட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

உதாரணமாக.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

தேற்றம். $.

ஆதாரம்.
எங்கள் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தின் கொள்கை மற்ற எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே உள்ளது. புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (வரையறையின்படி).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (வரையறையின்படி).
நாம் சக்தி p க்கு கடைசி சமத்துவத்தை உயர்த்துகிறோம்
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
கிடைத்தது:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
அதாவது, நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5 ஆல் வகுக்கப்பட்டது).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2 ஆல் வகுக்கப்பட்டது).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 ஆல் பெருக்கல்).

உதாரணமாக.
செயல்களை இயக்கவும்: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
தீர்வு.
வேர்களின் அடுக்குகள் வெவ்வேறு எண்கள், எனவே நாம் தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்த முடியாது, ஆனால் தேற்றம் 5 ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் சமமான அடுக்குகளைப் பெறலாம்.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 ஆல் பெருக்கல்).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 ஆல் பெருக்கல்).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்

1. கணக்கிடவும்: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. கணக்கிடவும்: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. கணக்கிடு:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. எளிமையாக்கு:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. செயல்களைச் செய்யவும்: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.