Apsveicam: šodien mēs analizēsim saknes - vienu no prātīgākajām tēmām 8. klasē. :)
Daudzi cilvēki apjūk par saknēm nevis tāpēc, ka tās ir sarežģītas (kas ir sarežģīti - pāris definīcijas un vēl pāris īpašības), bet gan tāpēc, ka lielākajā daļā skolu mācību grāmatu saknes tiek definētas caur tādiem mežonīgiem burtiem, ka to var tikai paši grāmatu autori. saproti šo skribelēšanu. Un arī tad tikai ar pudeli laba viskija. :)
Tāpēc tagad es sniegšu vispareizāko un kompetentāko saknes definīciju - vienīgo, kas jums patiešām ir jāatceras. Un tikai tad es paskaidrošu: kāpēc tas viss ir nepieciešams un kā to pielietot praksē.
Bet vispirms atcerieties vienu svarīgu punktu, par kuru nez kāpēc "aizmirst" daudzi mācību grāmatu sastādītāji:
Saknes var būt pāra pakāpes (mūsu iecienītākā $\sqrt(a)$, kā arī jebkura $\sqrt(a)$ un pat $\sqrt(a)$) un nepāra pakāpe (jebkura $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ utt.). Un nepāra pakāpes saknes definīcija nedaudz atšķiras no pāra.
Šeit šajā sasodītā “nedaudz savādākā” slēpjas, iespējams, 95% no visām ar saknēm saistītajām kļūdām un pārpratumiem. Tāpēc vienreiz un uz visiem laikiem noskaidrosim terminoloģiju:
Definīcija. Pat sakne n no skaitļa $a$ ir jebkurš nenegatīvs skaitlis $b$, lai $((b)^(n))=a$. Un nepāra pakāpes sakne no tā paša skaitļa $a$ parasti ir jebkurš skaitlis $b$, kuram spēkā ir tā pati vienādība: $((b)^(n))=a$.
Jebkurā gadījumā sakne tiek apzīmēta šādi:
\(a)\]
Skaitli $n$ šādā apzīmējumā sauc par saknes eksponentu, bet skaitli $a$ par radikālo izteiksmi. Konkrēti, par $n=2$ mēs iegūstam savu “mīļāko” kvadrātsakni (starp citu, šī ir pāra pakāpes sakne), un par $n=3$ mēs iegūstam kubiksakni (nepāra grādu), kas arī bieži sastopams uzdevumos un vienādojumos.
Piemēri. Klasiski kvadrātsakņu piemēri:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(līdzināt)\]
Starp citu, $\sqrt(0)=0$ un $\sqrt(1)=1$. Tas ir diezgan loģiski, jo $((0)^(2))=0$ un $((1)^(2))=1$.
Bieži sastopamas arī kubiskās saknes - nebaidieties no tām:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(līdzināt)\]
Nu, pāris "eksotiski piemēri":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(līdzināt)\]
Ja nesaprotat, kāda ir atšķirība starp pāra un nepāra pakāpi, vēlreiz izlasiet definīciju. Tas ir ļoti svarīgi!
Tikmēr mēs apsvērsim vienu nepatīkamu sakņu iezīmi, kuras dēļ mums bija jāievieš atsevišķa definīcija pāra un nepāra eksponentiem.
Kāpēc mums vispār vajadzīgas saknes?
Pēc definīcijas izlasīšanas daudzi skolēni jautās: "Ko matemātiķi smēķēja, kad viņi to izdomāja?" Un tiešām: kāpēc mums ir vajadzīgas visas šīs saknes?
Lai atbildētu uz šo jautājumu, uz brīdi atgriezīsimies pamatskolā. Atcerieties: tajos tālajos laikos, kad koki bija zaļāki un pelmeņi garšīgāki, mūsu galvenās rūpes bija pareizi reizināt skaitļus. Nu, kaut kas garā "pieci reiz pieci - divdesmit pieci", tas arī viss. Bet galu galā skaitļus var reizināt nevis pa pāriem, bet trīnīšiem, četriniekiem un parasti veselās kopās:
\[\begin(līdzināt) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(līdzināt)\]
Tomēr tas nav galvenais. Triks ir atšķirīgs: matemātiķi ir slinki cilvēki, tāpēc viņiem bija jāpieraksta desmit piecinieku reizinājums šādi:
Tāpēc viņi izdomāja grādus. Kāpēc gan neierakstīt faktoru skaitu kā virsrakstu, nevis garu virkni? Kā šis:
Tas ir ļoti ērti! Visi aprēķini tiek samazināti vairākas reizes, un jūs nevarat iztērēt piezīmju grāmatiņu pergamenta loksnes, lai pierakstītu kādu 5 183. Šādu ierakstu sauca par skaitļa pakāpi, tajā tika atrasts īpašību ķekars, taču laime izrādījās īslaicīga.
Pēc grandiozā dzēriena, kas tika organizēts tikai par grādu "atklāšanu", kāds īpaši nomākts matemātiķis pēkšņi jautāja: "Ko darīt, ja mēs zinām skaitļa pakāpi, bet nezinām pašu skaitli?" Patiešām, ja mēs zinām, ka, piemēram, noteikts skaitlis $b$ dod 243 uz 5. pakāpi, tad kā mēs varam uzminēt, ar ko ir vienāds pats skaitlis $b$?
Šī problēma izrādījās daudz globālāka, nekā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena. Jo izrādījās, ka lielākajai daļai "gatavu" grādu šādu "sākotnējo" skaitļu nav. Spriediet paši:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(līdzināt)\]
Ko darīt, ja $((b)^(3))=50 $? Izrādās, ka jāatrod noteikts skaitlis, kuru, reizinot ar sevi trīs reizes, mēs iegūsim 50. Bet kāds ir šis skaitlis? Tas nepārprotami ir lielāks par 3, jo 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.i. šis skaitlis ir kaut kur starp trīs un četriem, bet ar ko tas ir vienāds - FIG jūs sapratīsit.
Tieši tāpēc matemātiķi izdomāja $n$-th saknes. Tāpēc tika ieviesta radikālā ikona $\sqrt(*)$. Lai apzīmētu to pašu skaitli $b$, kas norādītajā pakāpē dos mums iepriekš zināmu vērtību
\[\sqrt[n](a)=b\Labā bultiņa ((b)^(n))=a\]
Es nestrīdos: bieži šīs saknes tiek viegli apsvērtas - mēs redzējām vairākus šādus piemērus iepriekš. Tomēr vairumā gadījumu, ja jūs domājat par patvaļīgu skaitli un pēc tam mēģināt no tā iegūt patvaļīgas pakāpes sakni, jūs saskaraties ar nežēlīgu kļūdu.
Kas ir tur! Pat visvienkāršāko un pazīstamāko $\sqrt(2)$ nevar attēlot mūsu parastajā formā - kā veselu skaitli vai daļskaitli. Un, ja jūs ievadīsit šo skaitli kalkulatorā, jūs redzēsit šo:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kā redzat, aiz komata ir bezgalīga skaitļu virkne, kas nepakļaujas nekādai loģikai. Jūs, protams, varat noapaļot šo skaitli, lai ātri salīdzinātu ar citiem skaitļiem. Piemēram:
\[\sqrt(2)=1,4142...\aptuveni 1,4 \lt 1,5\]
Vai arī šeit ir vēl viens piemērs:
\[\sqrt(3)=1,73205...\aptuveni 1,7 \gt 1,5\]
Taču visi šie noapaļojumi, pirmkārt, ir diezgan aptuveni; otrkārt, jāprot strādāt arī ar aptuvenām vērtībām, pretējā gadījumā var pieķert kaudzi nepārprotamu kļūdu (starp citu, salīdzināšanas un noapaļošanas prasme obligāti tiek pārbaudīta profila eksāmenā).
Tāpēc nopietnā matemātikā nevar iztikt bez saknēm - tie ir vienādi visu reālo skaitļu kopas $\mathbb(R)$ pārstāvji, tāpat kā daļskaitļi un veseli skaitļi, kurus mēs jau sen zinām.
Tas, ka sakni nav iespējams attēlot kā daļu no formas $\frac(p)(q)$, nozīmē, ka šī sakne nav racionāls skaitlis. Šādus skaitļus sauc par iracionāliem, un tos nevar precīzi attēlot, kā vien ar radikāļu vai citu tam īpaši paredzētu konstrukciju palīdzību (logaritmi, grādi, robežas utt.). Bet par to vairāk citreiz.
Apsveriet dažus piemērus, kur pēc visiem aprēķiniem atbildē joprojām paliks neracionāli skaitļi.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\apmēram 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\apmēram -12599... \\ \end(līdzināt)\]
Protams, pēc saknes izskata ir gandrīz neiespējami uzminēt, kuri skaitļi nāks aiz komata. Tomēr ir iespējams aprēķināt ar kalkulatoru, taču pat vismodernākais datuma kalkulators mums sniedz tikai dažus pirmos iracionālā skaitļa ciparus. Tāpēc daudz pareizāk ir atbildes rakstīt kā $\sqrt(5)$ un $\sqrt(-2)$.
Tam tie tika izdomāti. Lai būtu viegli pierakstīt atbildes.
Kāpēc ir vajadzīgas divas definīcijas?
Uzmanīgais lasītājs droši vien jau ir pamanījis, ka visas piemēros norādītās kvadrātsaknes ir ņemtas no pozitīviem skaitļiem. Nu vismaz no nulles. Bet kuba saknes mierīgi izvelk no pilnīgi jebkura skaitļa – pat pozitīva, pat negatīva.
Kāpēc tas notiek? Apskatiet funkcijas $y=((x)^(2))$ grafiku:
Kvadrātfunkcijas grafiks dod divas saknes: pozitīvo un negatīvo Mēģināsim aprēķināt $\sqrt(4)$, izmantojot šo grafiku. Lai to izdarītu, grafikā tiek novilkta horizontāla līnija $y=4$ (atzīmēta ar sarkanu), kas krusto parabolu divos punktos: $((x)_(1))=2$ un $((x) _(2)) =-2 $. Tas ir diezgan loģiski, jo
Ar pirmo skaitli viss ir skaidrs - tas ir pozitīvs, tāpēc tā ir sakne:
Bet ko tad darīt ar otro punktu? Vai 4 ir divas saknes vienlaikus? Galu galā, ja mēs kvadrātā skaitli −2, mēs arī iegūstam 4. Kāpēc tad neierakstīt $\sqrt(4)=-2$? Un kāpēc skolotāji uz tādiem ierakstiem skatās tā, it kā gribētu tevi apēst? :)
Problēma ir tāda, ka, ja netiks izvirzīti papildu nosacījumi, tad četriniekam būs divas kvadrātsaknes - pozitīva un negatīva. Un jebkuram pozitīvam skaitlim būs arī divi no tiem. Bet negatīviem skaitļiem vispār nebūs sakņu - to var redzēt no tā paša grafika, jo parabola nekad nenokrīt zem ass y, t.i. neņem negatīvas vērtības.
Līdzīga problēma rodas visām saknēm ar vienmērīgu eksponentu:
- Stingri sakot, katram pozitīvajam skaitlim būs divas saknes ar pāra eksponentu $n$;
- No negatīviem skaitļiem sakne ar pat $n$ netiek izvilkta vispār.
Tāpēc pāra saknes $n$ definīcija īpaši nosaka, ka atbildei ir jābūt nenegatīvam skaitlim. Tā mēs atbrīvojamies no neskaidrības.
Bet nepāra $n$ tādu problēmu nav. Lai to redzētu, apskatīsim funkcijas $y=((x)^(3))$ grafiku:
Kubiskā parabola iegūst jebkuru vērtību, tāpēc kuba sakni var ņemt no jebkura skaitļa No šīs diagrammas var izdarīt divus secinājumus:
- Kubiskās parabolas zari, atšķirībā no parastās, iet līdz bezgalībai abos virzienos - gan uz augšu, gan uz leju. Tāpēc neatkarīgi no tā, kādā augstumā mēs novelkam horizontālu līniju, šī līnija noteikti krustosies ar mūsu grafiku. Tāpēc kuba sakni vienmēr var ņemt, absolūti no jebkura skaitļa;
- Turklāt šāds krustojums vienmēr būs unikāls, tāpēc jums nav jādomā, kuru skaitli uzskatīt par “pareizo” sakni un kuru vērtēt. Tāpēc nepāra pakāpes sakņu definīcija ir vienkāršāka nekā pāra pakāpei (nav nenegatīvisma prasības).
Žēl, ka lielākajā daļā mācību grāmatu šīs vienkāršās lietas nav izskaidrotas. Tā vietā mūsu smadzenes sāk planēt ar visu veidu aritmētiskām saknēm un to īpašībām.
Jā, es nestrīdos: kas ir aritmētiskā sakne - jums arī jāzina. Un es par to sīkāk runāšu atsevišķā nodarbībā. Šodien arī par to runāsim, jo bez tā visas pārdomas par $n$-tās daudzveidības saknēm būtu nepilnīgas.
Bet vispirms jums ir skaidri jāsaprot definīcija, ko es sniedzu iepriekš. Citādi terminu pārpilnības dēļ galvā sāksies tāds bardaks, ka beigās vispār neko nesapratīsi.
Un viss, kas jums jāsaprot, ir atšķirība starp pāra un nepāra skaitļiem. Tāpēc vēlreiz apkoposim visu, kas jums patiešām jāzina par saknēm:
- Pāra sakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa un pati vienmēr ir nenegatīvs skaitlis. Negatīviem skaitļiem šāda sakne nav definēta.
- Bet nepāra pakāpes sakne pastāv no jebkura skaitļa un pati par sevi var būt jebkurš skaitlis: pozitīviem skaitļiem tas ir pozitīvs, un negatīviem skaitļiem, kā norāda vāciņš, tas ir negatīvs.
Vai tas ir grūti? Nē, tas nav grūti. Skaidrs? Jā, tas ir skaidrs! Tāpēc tagad nedaudz praktizēsimies ar aprēķiniem.
Pamatīpašības un ierobežojumi
Saknēm ir daudz dīvainu īpašību un ierobežojumu - tā būs atsevišķa nodarbība. Tāpēc tagad mēs apsvērsim tikai vissvarīgāko "mikroshēmu", kas attiecas tikai uz saknēm ar vienmērīgu eksponentu. Mēs rakstām šo īpašību formulas veidā:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Citiem vārdiem sakot, ja mēs paaugstināsim skaitli līdz pāra pakāpei un pēc tam no tā izņemsim tādas pašas pakāpes sakni, mēs iegūsim nevis sākotnējo skaitli, bet gan tā moduli. Šī ir vienkārša teorēma, kuru ir viegli pierādīt (pietiek atsevišķi aplūkot nenegatīvos $x$ un pēc tam atsevišķi apsvērt negatīvos). Skolotāji par to nemitīgi runā, tas ir dots katrā skolas mācību grāmatā. Bet, tiklīdz runa ir par iracionālu vienādojumu (t.i., vienādojumu, kas satur radikāļa zīmi) risināšanu, skolēni kopā aizmirst šo formulu.
Lai detalizēti izprastu problēmu, uz minūti aizmirsīsim visas formulas un mēģināsim saskaitīt divus skaitļus uz priekšu:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Tie ir ļoti vienkārši piemēri. Pirmo piemēru atrisinās lielākā daļa cilvēku, bet otrajā daudzi paliek. Lai bez problēmām atrisinātu šādas nedienas, vienmēr apsveriet procedūru:
- Pirmkārt, skaitlis tiek palielināts līdz ceturtajai pakāpei. Nu, tas ir kaut kā viegli. Tiks iegūts jauns skaitlis, kuru var atrast pat reizināšanas tabulā;
- Un tagad no šī jaunā skaitļa ir nepieciešams izvilkt ceturtās pakāpes sakni. Tie. nav sakņu un grādu "samazināšanas" - tās ir secīgas darbības.
Tiksim galā ar pirmo izteiksmi: $\sqrt(((3)^(4)))$. Acīmredzot vispirms ir jāaprēķina izteiksme zem saknes:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Tad mēs iegūstam skaitļa 81 ceturto sakni:
Tagad darīsim to pašu ar otro izteiksmi. Pirmkārt, mēs paaugstinām skaitli −3 līdz ceturtajai pakāpei, kurai tas jāreizina ar sevi 4 reizes:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ pa kreisi (-3 \right)=81\]
Mēs saņēmām pozitīvu skaitli, jo kopējais mīnusu skaits produktā ir 4 gabali, un tie visi viens otru atstās (galu galā mīnuss ar mīnusu dod plusu). Pēc tam vēlreiz izņemiet sakni:
Principā šo rindu nevarēja uzrakstīt, jo nav prāta, ka atbilde būs tāda pati. Tie. vienādas jaudas vienmērīga sakne "sadedzina" mīnusus, un šajā ziņā rezultāts neatšķiras no parastā moduļa:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\labais|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(līdzināt)\]
Šie aprēķini labi saskan ar pāra pakāpes saknes definīciju: rezultāts vienmēr nav negatīvs, un radikālā zīme vienmēr ir arī nenegatīvs skaitlis. Pretējā gadījumā sakne nav definēta.
Piezīme par darbību secību
- Apzīmējums $\sqrt(((a)^(2)))$ nozīmē, ka vispirms skaitli $a$ mēs kvadrātā un pēc tam iegūstam kvadrātsakni no iegūtās vērtības. Tāpēc mēs varam būt pārliecināti, ka nenegatīvs skaitlis vienmēr atrodas zem saknes zīmes, jo $((a)^(2))\ge 0$ tik un tā;
- Bet apzīmējums $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, gluži pretēji, nozīmē, ka vispirms no noteikta skaitļa $a$ izvelkam sakni un tikai tad rezultātu kvadrātā. Tāpēc skaitlis $a$ nekādā gadījumā nevar būt negatīvs - tā ir definīcijā iestrādāta obligāta prasība.
Tādējādi nekādā gadījumā nevajadzētu neapdomīgi samazināt saknes un pakāpes, tādējādi it kā "vienkāršojot" sākotnējo izteiksmi. Jo, ja zem saknes ir negatīvs skaitlis un tā eksponents ir pāra, mēs iegūsim daudz problēmu.
Tomēr visas šīs problēmas attiecas tikai uz vienmērīgiem rādītājiem.
Mīnusa zīmes noņemšana zem saknes zīmes
Protams, saknēm ar nepāra eksponentiem ir arī sava iezīme, kas principā neeksistē pāriem. Proti:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Īsāk sakot, no nepāra pakāpes sakņu zīmes varat izņemt mīnusu. Šis ir ļoti noderīgs īpašums, kas ļauj "izmest" visus mīnusus:
\[\begin(līdzināt) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(līdzināt)\]
Šis vienkāršais īpašums ievērojami vienkāršo daudzus aprēķinus. Tagad jums nav jāuztraucas: kā būtu, ja negatīva izteiksme nonāk zem saknes un saknes grāds ir vienmērīgs? Pietiek "izmest" visus mīnusus ārpus saknēm, pēc tam tos var reizināt viens ar otru, sadalīt un vispār izdarīt daudzas aizdomīgas lietas, kas "klasisko" sakņu gadījumā mūs garantēti novedīs pie kļūdas. .
Un šeit uz skatuves parādās cita definīcija - tā, ar kuru lielākā daļa skolu sāk iracionālu izteicienu izpēti. Un bez kura mūsu argumentācija būtu nepilnīga. Iepazīstieties!
aritmētiskā sakne
Uz brīdi pieņemsim, ka zem saknes zīmes var atrasties tikai pozitīvi skaitļi vai, ārkārtējos gadījumos, nulle. Novērtēsim pāra / nepāra rādītājus, punktus par visām iepriekš sniegtajām definīcijām - mēs strādāsim tikai ar nenegatīviem skaitļiem. Ko tad?
Un tad mēs iegūstam aritmētisko sakni - tā daļēji krustojas ar mūsu "standarta" definīcijām, bet tomēr atšķiras no tām.
Definīcija. Nenegatīva skaitļa $n$. pakāpes aritmētiskā sakne ir nenegatīvs skaitlis $b$, kurā $((b)^(n))=a$.
Kā redzat, paritāte mūs vairs neinteresē. Tā vietā parādījās jauns ierobežojums: radikālā izteiksme tagad vienmēr nav negatīva, un pati sakne arī nav negatīva.
Lai labāk saprastu, kā aritmētiskā sakne atšķiras no parastās, apskatiet mums jau pazīstamos kvadrātveida un kubiskās parabolas grafikus:
Saknes meklēšanas apgabals - nenegatīvi skaitļi Kā redzat, turpmāk mūs interesē tikai tie grafiku gabali, kas atrodas pirmajā koordinātu ceturksnī - kur koordinātas $x$ un $y$ ir pozitīvas (vai vismaz nulle). Jums vairs nav jāskatās uz indikatoru, lai saprastu, vai mums ir tiesības sakņot negatīvu skaitli vai nav. Jo negatīvos skaitļus principā vairs neuzskata.
Jūs varat jautāt: "Nu, kāpēc mums ir vajadzīga tik kastrēta definīcija?" Vai arī: "Kāpēc mēs nevaram iztikt ar iepriekš sniegto standarta definīciju?"
Nu, es došu tikai vienu īpašumu, kura dēļ jaunā definīcija kļūst piemērota. Piemēram, kāpināšanas noteikums:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Lūdzu, ņemiet vērā: mēs varam paaugstināt radikālo izteiksmi līdz jebkurai pakāpei un tajā pašā laikā reizināt saknes eksponentu ar tādu pašu jaudu - un rezultāts būs tāds pats skaitlis! Šeit ir daži piemēri:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(līdzināt)\]
Nu, kas tur slikts? Kāpēc mēs to nevarējām izdarīt agrāk? Lūk, kāpēc. Apsveriet vienkāršu izteiksmi: $\sqrt(-2)$ ir skaitlis, kas ir diezgan normāls mūsu klasiskajā izpratnē, bet absolūti nepieņemams no aritmētiskās saknes viedokļa. Mēģināsim to pārvērst:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(līdzināt)$
Kā redzat, pirmajā gadījumā mēs izņēmām mīnusu no zem radikāļa (mums ir visas tiesības, jo rādītājs ir nepāra), bet otrajā mēs izmantojām iepriekš minēto formulu. Tie. no matemātikas viedokļa viss notiek pēc noteikumiem.
WTF?! Kā viens un tas pats skaitlis var būt gan pozitīvs, gan negatīvs? Nevar būt. Vienkārši kāpināšanas formula, kas lieliski darbojas pozitīviem skaitļiem un nullei, negatīvu skaitļu gadījumā sāk radīt pilnīgu ķecerību.
Šeit, lai atbrīvotos no šādas neskaidrības, viņi izdomāja aritmētiskās saknes. Viņiem ir veltīta atsevišķa liela nodarbība, kurā mēs detalizēti apsveram visas to īpašības. Tāpēc tagad pie tiem nekavēsimies - nodarbība tik un tā izrādījās pārāk gara.
Algebriskā sakne: tiem, kas vēlas uzzināt vairāk
Ilgi domāju: taisīt šo tēmu atsevišķā rindkopā vai nē. Galu galā es nolēmu aizbraukt no šejienes. Šis materiāls ir paredzēts tiem, kas vēlas vēl labāk izprast saknes - ne vairs vidējā “skolas”, bet gan olimpiādei pietuvinātā līmenī.
Tātad: papildus "klasiskajai" definīcijai $n$-tās pakāpes saknei no skaitļa un ar to saistītajam dalījumam pāra un nepāra rādītājos, ir vairāk "pieaugušo" definīcija, kas nav atkarīga no paritātes un citi smalkumi vispār. To sauc par algebrisko sakni.
Definīcija. Jebkuras $a$ algebriskā $n$-tā sakne ir visu skaitļu $b$ kopa tā, ka $((b)^(n))=a$. Šādām saknēm nav vispāratzīta apzīmējuma, tāpēc vienkārši uzvelciet augšpusē domuzīmi:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Būtiskā atšķirība no nodarbības sākumā sniegtās standarta definīcijas ir tāda, ka algebriskā sakne nav konkrēts skaitlis, bet gan kopa. Un tā kā mēs strādājam ar reāliem skaitļiem, šī kopa ir tikai trīs veidu:
- Tukšs komplekts. Rodas, ja no negatīva skaitļa jāatrod pāra pakāpes algebriskā sakne;
- Komplekts, kas sastāv no viena elementa. Šajā kategorijā ietilpst visas nepāra pakāpju saknes, kā arī pāra pakāpju saknes no nulles;
- Visbeidzot, komplektā var iekļaut divus skaitļus — tos pašus $((x)_(1))$ un $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ko redzējām diagrammas kvadrātiskā funkcija. Attiecīgi šāda izlīdzināšana ir iespējama tikai tad, ja no pozitīva skaitļa iegūst pāra pakāpes sakni.
Pēdējais gadījums ir pelnījis sīkāku izpēti. Saskaitīsim pāris piemērus, lai saprastu atšķirību.
Piemērs. Aprēķināt izteiksmes:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Risinājums. Pirmā izteiksme ir vienkārša:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\(2;-2 \right\)\]
Tie ir divi skaitļi, kas ir daļa no komplekta. Jo katrs no tiem kvadrātā dod četrinieku.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Šeit mēs redzam kopu, kas sastāv tikai no viena skaitļa. Tas ir diezgan loģiski, jo saknes eksponents ir nepāra.
Visbeidzot, pēdējais izteiciens:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Mēs saņēmām tukšu komplektu. Jo nav neviena reāla skaitļa, kuru paaugstinot līdz ceturtajai (tas ir, pat!) jaudai, mēs iegūsim negatīvu skaitli −16.
Beigu piezīme. Lūdzu, ņemiet vērā: ne nejauši es visur atzīmēju, ka mēs strādājam ar reāliem skaitļiem. Jo ir arī kompleksie skaitļi - tur pilnīgi iespējams izrēķināt $\sqrt(-16)$ un daudz ko citu.
Tomēr mūsdienu skolas matemātikas programmā sarežģīti skaitļi gandrīz nekad nav atrodami. Tie ir izlaisti lielākajā daļā mācību grāmatu, jo mūsu ierēdņi uzskata, ka tēma ir "pārāk grūti saprotama".
Tas ir viss. Nākamajā nodarbībā mēs apskatīsim visas galvenās sakņu īpašības un beidzot iemācīsimies vienkāršot iracionālas izteiksmes. :)
Lai praksē veiksmīgi izmantotu saknes ekstrakcijas darbību, jums jāiepazīstas ar šīs darbības īpašībām.
Visas īpašības ir formulētas un pierādītas tikai to mainīgo lielumu nenegatīvām vērtībām, kas atrodas zem saknes zīmēm.
1. teorēma. Divu nenegatīvu mikroshēmojumu reizinājuma n-tā sakne (n=2, 3, 4,...) ir vienāda ar šo skaitļu n-tās saknes reizinājumu:
komentēt:
1.
1. teorēma paliek spēkā gadījumam, kad radikāļu izteiksme ir vairāk nekā divu nenegatīvu skaitļu reizinājums.
2. teorēma.Ja,
un n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, tad vienādība
Īsumā(kaut arī neprecīzs) formulējums, kas ir ērtāk lietojams praksē: frakcijas sakne ir vienāda ar sakņu daļu.
1. teorēma ļauj reizināt m tikai tādas pašas pakāpes saknes
, t.i. tikai saknes ar vienādu eksponentu.
Teorēma 3. Ja ,k ir naturāls skaitlis un n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, tad vienādība
Citiem vārdiem sakot, lai paceltu sakni līdz dabiskajam spēkam, pietiek ar saknes izteiksmi pacelt līdz šim spēkam.
Tas ir 1. teorēmas sekas. Patiešām, piemēram, ja k = 3 mēs iegūstam
Teorēma 4. Ja ,k, n ir naturāli skaitļi, kas lielāki par 1, tad vienādība
Citiem vārdiem sakot, lai iegūtu sakni no saknes, pietiek ar sakņu eksponentu reizināšanu.
Piemēram,
Esi uzmanīgs! Mēs uzzinājām, ka ar saknēm var veikt četras darbības: reizināšanu, dalīšanu, eksponenci un saknes izvilkšanu (no saknes). Bet kā ar sakņu saskaitīšanu un atņemšanu? Nevar būt.
Piemēram, jūs nevarat rakstīt Indeed vietā, taču tas ir acīmredzami
Teorēma 5. Ja saknes un saknes izteiksmes rādītājus reizina vai dala ar vienu un to pašu naturālo skaitli, tad saknes vērtība nemainīsies, t.i.
Problēmu risināšanas piemēri
1. piemērs Aprēķināt
Risinājums. Izmantojot sakņu pirmo īpašību (1. teorēma), mēs iegūstam:
2. piemērs Aprēķināt
Risinājums. Pārvērtiet jaukto skaitli par nepareizu daļskaitli.
Mums ir Izmantojot sakņu otro īpašību ( teorēma 2
), mēs iegūstam:
3. piemērs Aprēķināt: 
Risinājums. Jebkura formula algebrā, kā jūs labi zināt, tiek izmantota ne tikai "no kreisās uz labo", bet arī "no labās uz kreiso". Tātad sakņu pirmā īpašība nozīmē, ka to var attēlot kā izteiksmi un, gluži pretēji, to var aizstāt ar izteiksmi. Tas pats attiecas uz sakņu otro īpašību. Paturot to prātā, veiksim aprēķinus.
Nodarbība un prezentācija par tēmu: "N-tās pakāpes saknes īpašības. Teorēmas"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.
Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 11. klasei
Interaktīva rokasgrāmata 9.-11.klasei "Trigonometrija"
Interaktīva rokasgrāmata 10.-11. klasei "Logaritmi"
N-tās pakāpes saknes īpašības. Teorēmas
Puiši, mēs turpinām pētīt reālā skaitļa n-tās pakāpes saknes. Tāpat kā gandrīz visiem matemātiskajiem objektiem, n-tās pakāpes saknēm ir dažas īpašības, šodien mēs tās pētīsim.Visas mūsu aplūkotās īpašības ir formulētas un pierādītas tikai to mainīgo lielumu nenegatīvām vērtībām, kas atrodas zem saknes zīmes.
Nepāra saknes eksponenta gadījumā tie attiecas arī uz negatīviem mainīgajiem.
Teorēma 1. Divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma n-tā sakne ir vienāda ar šo skaitļu n-tās saknes reizinājumu: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .
Pierādīsim teorēmu.
Pierādījums. Puiši, lai pierādītu teorēmu, ieviesīsim jaunus mainīgos, apzīmēsim:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Mums jāpierāda, ka $x=y*z$.
Ņemiet vērā, ka ir spēkā arī šādas identitātes:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Tad spēkā ir arī šāda identitāte: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Divu nenegatīvu skaitļu pakāpes un to eksponenti ir vienādi, tad pašu pakāpju bāzes ir vienādas. Tādējādi $x=y*z$, kas bija jāpierāda.
2. teorēma. Ja $a≥0$, $b>0$ un n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, tad spēkā ir šāda vienādība: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Tas ir, koeficienta n-tā sakne ir vienāda ar n-tās saknes koeficientu.
Pierādījums.
Lai to pierādītu, mēs izmantojam vienkāršotu shēmu tabulas veidā:
N-tās saknes aprēķināšanas piemēri
Piemērs.Aprēķināt: $\sqrt(16*81*256)$.
Risinājums. Izmantosim 1. teorēmu: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Piemērs.
Aprēķināt: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Risinājums. Radikālo izteiksmi attēlosim kā nepareizu daļskaitli: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Izmantosim 2. teorēmu: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Piemērs.
Aprēķināt:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Risinājums:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
3. teorēma. Ja $a≥0$, k un n ir naturāli skaitļi, kas lielāki par 1, tad vienādība ir patiesa: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Lai paceltu sakni līdz dabiskajam spēkam, pietiek ar radikālo izpausmi pacelt līdz šim spēkam.
Pierādījums.
Apskatīsim īpašu gadījumu $k=3$. Izmantosim 1. teorēmu.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
To pašu var pierādīt jebkurā citā gadījumā. Puiši, pierādiet paši gadījumam, kad $k=4$ un $k=6$.
4. teorēma. Ja $a≥0$ b n,k ir naturāli skaitļi, kas lielāki par 1, tad vienādība ir patiesa: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Lai izdalītu sakni no saknes, pietiek ar sakņu eksponentu reizināšanu.
Pierādījums.
Vēlreiz īsi pierādīsim, izmantojot tabulu. Lai to pierādītu, mēs izmantojam vienkāršotu shēmu tabulas veidā: 
Piemērs.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
5. teorēma. Ja saknes un saknes izteiksmes indeksus reizina ar vienu un to pašu naturālo skaitli, tad saknes vērtība nemainīsies: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Pierādījums.
Mūsu teorēmas pierādīšanas princips ir tāds pats kā citos piemēros. Ieviesīsim jaunus mainīgos:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (pēc definīcijas).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (pēc definīcijas).
Mēs paaugstinām pēdējo vienādību līdz jaudai p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Ieguva:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Tas ir, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, kas bija jāpierāda.
Piemēri:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dalīts ar 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (dalīts ar 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (reizināts ar 3).
Piemērs.
Izpildīt darbības: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Risinājums.
Sakņu eksponenti ir dažādi skaitļi, tāpēc nevaram izmantot 1. teorēmu, bet, pielietojot 5. teorēmu, varam iegūt vienādus eksponentus.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (reizināts ar 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (reizināts ar 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
1. Aprēķiniet: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Aprēķināt: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Aprēķiniet:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Vienkāršojiet:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Veiciet darbības: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
