"N-darajali ildizning xossalari. Teoremalar" mavzusidagi dars va taqdimot.
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.
11-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun "Logarifmlar" interfaol qo'llanma
n-darajali ildizning xossalari. Teoremalar
Bolalar, biz haqiqiy sonning n-darajali ildizlarini o'rganishni davom ettiramiz. Deyarli barcha matematik ob'ektlar singari, n-darajali ildizlar ham ba'zi xususiyatlarga ega, bugun biz ularni o'rganamiz.Biz ko'rib chiqadigan barcha xususiyatlar faqat ildiz belgisi ostidagi o'zgaruvchilarning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun tuzilgan va isbotlangan.
Toq ildiz ko'rsatkichi bo'lsa, ular manfiy o'zgaruvchilar uchun ham amal qiladi.
Teorema 1. Ikki manfiy bo‘lmagan son ko‘paytmasining n-chi ildizi shu sonlarning n- ildizlarining ko‘paytmasiga teng: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .
Keling, teoremani isbotlaylik.
Isbot. Bolalar, teoremani isbotlash uchun keling, yangi o'zgaruvchilar kiritamiz, belgilaymiz:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$ ekanligini isbotlashimiz kerak.
E'tibor bering, quyidagi identifikatsiyalar ham mavjud:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Keyin quyidagi identifikatsiya ham o'rinli: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Ikki manfiy bo'lmagan sonning darajalari va ularning ko'rsatkichlari teng bo'lsa, darajalarning o'zlari teng bo'ladi. Demak, $x=y*z$, bu isbotlanishi kerak edi.
Teorema 2. Agar $a≥0$, $b>0$ va n 1 dan katta natural son boʻlsa, u holda quyidagi tenglik bajariladi: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Ya'ni, bo'lakning n-chi ildizi n-chi ildizlarning qismiga teng.
Isbot.
Buni isbotlash uchun biz jadval ko'rinishidagi soddalashtirilgan sxemadan foydalanamiz:
n- ildizni hisoblashga misollar
Misol.Hisoblang: $\sqrt(16*81*256)$.
Yechim. 1-teoremadan foydalanamiz: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Misol.
Hisoblang: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Yechim. Radikal ifodani noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatamiz: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
2-teoremadan foydalanamiz: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) ) (2)$.
Misol.
Hisoblash:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Yechim:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorema 3. Agar $a≥0$, k va n 1 dan katta natural sonlar bo‘lsa, u holda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Ildizni tabiiy kuchga ko'tarish uchun bu kuchga radikal ifodani ko'tarish kifoya.
Isbot.
$k=3$ uchun maxsus holatni ko'rib chiqamiz. 1-teoremadan foydalanamiz.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Xuddi shu narsani boshqa har qanday ish uchun isbotlash mumkin. Bolalar, $k=4$ va $k=6$ boʻlgan holatda buni oʻzingiz isbotlang.
Teorema 4. Agar $a≥0$ b n,k 1 dan katta natural sonlar bo'lsa, u holda tenglik to'g'ri bo'ladi: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Ildizdan ildiz olish uchun ildizlarning ko'rsatkichlarini ko'paytirish kifoya.
Isbot.
Keling, jadval yordamida yana bir bor qisqacha isbot qilaylik. Buni isbotlash uchun biz jadval ko'rinishidagi soddalashtirilgan sxemadan foydalanamiz: 
Misol.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Teorema 5. Agar ildiz va ildiz ifodasi indekslari bir xil natural songa ko'paytirilsa, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Isbot.
Bizning teoremani isbotlash printsipi boshqa misollardagi kabi. Keling, yangi o'zgaruvchilarni kiritamiz:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ta'rifi bo'yicha).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ta'rifi bo'yicha).
Biz oxirgi tenglikni p kuchiga ko'taramiz
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Olingan:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Ya'ni, isbotlanishi kerak bo'lgan $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$.
Misollar:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5 ga bo'lingan).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2 ga bo'lingan).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 ga ko'paytiriladi).
Misol.
Amallarni bajaring: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Yechim.
Ildizlarning ko'rsatkichlari har xil sonlar, shuning uchun biz 1-teoremadan foydalana olmaymiz, lekin 5-teoremani qo'llash orqali biz teng darajalarni olishimiz mumkin.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 ga ko'paytiriladi).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 ga ko'paytiriladi).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
1. Hisoblang: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Hisoblang: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Hisoblang:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Soddalashtiring:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Amallarni bajaring: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni tahlil qilamiz - 8-sinfning eng aqlga sig'maydigan mavzularidan biri. :)
Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lgani uchun (bu murakkab - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar) emas, balki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday yirtqichlar orqali aniqlangani uchun chalkashib ketishadi, chunki faqat darslik mualliflarining o'zlari qila oladilar. bu yozuvni tushuning. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan. :)
Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng vakolatli ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslab qolishingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va shundan keyingina men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.
Ammo birinchi navbatda, bir muhim jihatni eslang, uni negadir ko'plab darslik tuzuvchilari "unutishadi":
Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek har qanday $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (har qanday $\sqrt(a)$) boʻlishi mumkin. , $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq daraja ildizining ta'rifi juftlikdan biroz farq qiladi.
Bu erda "biroz boshqacha" yashiringan, ehtimol, ildizlar bilan bog'liq barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95 foizi. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:
Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonidan toq darajaning ildizi odatda bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ sondir: $((b)^(n))=a$.
Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:
\(a)\]
Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildiz (toq daraja), Bu ko'pincha muammolar va tenglamalarda ham uchraydi.
Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]
Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.
Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqmang:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]
Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]
Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!
Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.
Nima uchun bizga umuman ildiz kerak?
Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nega bizga bu ildizlar kerak?
Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum boshlang'ich maktabga qaytaylik. Esingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil bo'lib, chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" ruhida nimadir bo'ldi. Axir, siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Biroq, bu masala emas. Hiyla boshqacha: matematiklar dangasa odamlardir, shuning uchun ular o'n beshning ko'payishini quyidagicha yozishlari kerak edi:
Shunday qilib, ular ilmiy darajaga ega bo'lishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga yuqori chiziq sifatida yozmaslik kerak? Bu kabi:
Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar bir necha marta kamayadi, va siz ba'zi 5 183 yozish uchun daftar pergament varaqlar bir guruh sarflash mumkin emas. Bunday yozuv raqamning darajasi deb nomlandi, unda bir qancha xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.
Darajalar "kashfiyoti" arafasida uyushtirilgan ulkan ichimlikdan so'ng, ba'zi bir ayniqsa toshbo'ronli matematik birdan so'radi: "Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o'zini bilmasak nima bo'ladi?" Darhaqiqat, ma'lum bir $b$ soni, masalan, 5-darajaga 243 ni berishini bilsak, $b$ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilish mumkin?
Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki "tayyor" darajalarning aksariyati uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]
$((b)^(3))=50$ bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, siz ma'lum bir raqamni topishingiz kerak, bu raqam uch marta ko'paytirilsa, bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni. bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin u nimaga teng - FIG siz tushunasiz.
Aynan shuning uchun matematiklar $n$-th ildizlarini o'ylab topishgan. Shuning uchun radikal belgi $\sqrt(*)$ kiritildi. Xuddi shu raqamni belgilash uchun $b $, belgilangan quvvatga, bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi
\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]
Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina ko'rib chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz ixtiyoriy raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan ixtiyoriy darajaning ildizini olishga harakat qilsangiz, sizni shafqatsiz bummer kutmoqda.
Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:
\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]
Yoki yana bir misol:
\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]
Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ishlashingiz kerak, aks holda siz ko'p aniq bo'lmagan xatolarga duch kelishingiz mumkin (aytmoqchi, taqqoslash va yaxlitlash mahorati profil imtihonida albatta tekshiriladi).
Shuning uchun, jiddiy matematikada ildizlarsiz amalga oshirib bo'lmaydi - ular bizga qadimdan ma'lum bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.
Ildizni $\frac(p)(q)$ ko`rinishdagi kasr sifatida ifodalashning mumkin emasligi bu ildizning ratsional son emasligini bildiradi. Bunday raqamlar irratsional deb ataladi va ularni aniq ifodalash mumkin bo'lgan radikal yoki buning uchun maxsus mo'ljallangan boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, darajalar, chegaralar va boshqalar) bo'lmasa. Ammo bu haqda boshqa safar.
Barcha hisob-kitoblardan so'ng, irratsional sonlar hali ham javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqing.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]
Tabiiyki, ildizning ko'rinishi bilan kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, kalkulyatorda hisoblash mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga irratsional sonning faqat birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ deb yozish ancha to'g'riroq.
Ular aynan shu maqsadda ixtiro qilingan. Javoblarni yozishni osonlashtirish uchun.
Nima uchun ikkita ta'rif kerak?
Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlari mutlaqo har qanday raqamdan xotirjamlik bilan chiqariladi - hatto ijobiy, hatto salbiy.
Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:
Kvadrat funksiya grafigi ikkita ildiz beradi: musbat va manfiy Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda $y=4$ (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal chiziq chiziladi, u parabolani ikki nuqtada kesib o'tadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) _(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki
Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun u ildiz:
Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? 4 ning birdaniga ikkita ildizi bormi? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday yozuvlarga sizni yeyishni xohlayotgandek qarashadi? :)
Muammo shundaki, agar qo'shimcha shartlar qo'yilmasa, to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.
Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:
- To'g'ri aytganda, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichi teng bo'lgan ikkita ildizi bo'ladi;
- Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.
Shuning uchun $n$ juft ildizining ta'rifi javobning manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligini aniq belgilaydi. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.
Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:
Kub parabola har qanday qiymatni oladi, shuning uchun kub ildizi istalgan raqamdan olinishi mumkin Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:
- Kub parabolaning shoxlari odatdagidan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, qaysi balandlikda biz gorizontal chiziq chizamiz, bu chiziq, albatta, bizning grafik bilan kesishadi. Shuning uchun kub ildizi har doim, mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
- Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun siz qaysi raqamni "to'g'ri" ildizni ko'rib chiqishingiz va qaysi biriga gol kiritishingiz haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarning ta'rifi juftlikka qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmaganlik sharti yo'q).
Ko‘pchilik darsliklarda bu oddiy narsalar tushuntirilmagani achinarli. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.
Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima - siz ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.
Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.
Va faqat juft va toq sonlar orasidagi farqni tushunishingiz kerak. Shuning uchun, biz yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:
- Juft ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud va o'zi hamisha manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
- Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.
Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Ochilsinmi? Ha, bu aniq! Shuning uchun, endi biz hisob-kitoblar bilan bir oz mashq qilamiz.
Asosiy xususiyatlar va cheklovlar
Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida dars bo'ladi. Shuning uchun, endi biz faqat teng ko'rsatkichli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "chip" ni ko'rib chiqamiz. Ushbu xususiyatni formula shaklida yozamiz:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]
Boshqacha qilib aytganda, agar biz raqamni juft darajaga ko'tarsak va undan bir xil darajadagi ildizni chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu isbotlash oson bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x$ ni alohida ko'rib chiqish kifoya, keyin esa salbiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisini o'z ichiga olgan tenglamalar) yechish haqida gap ketganda, o'quvchilar birgalikda bu formulani unutishadi.
Muammoni batafsil tushunish uchun keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, oldinda ikkita raqamni sanashga harakat qilaylik:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]
Bular juda oddiy misollar. Birinchi misol ko'pchilik tomonidan hal qilinadi, lekin ikkinchisida ko'pchilik yopishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:
- Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Yangi raqam olinadi, uni hatto ko'paytirish jadvalida ham topish mumkin;
- Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi darajali ildizni ajratib olish kerak. Bular. ildizlar va darajalarning "kamayishi" yo'q - bu ketma-ket harakatlar.
Keling, birinchi ifoda bilan shug'ullanamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:
Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, buning uchun uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishimiz kerak:
\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]
Biz ijobiy raqamni oldik, chunki mahsulotdagi minuslarning umumiy soni 4 ta bo'lib, ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minusga minus ortiqcha beradi). Keyin yana ildizni chiqarib oling:
Aslida, bu qatorni yozib bo'lmaydi, chunki javob bir xil bo'lishi aql bovar qilmaydi. Bular. bir xil teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija odatdagi moduldan farq qilmaydi:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]
Bu hisob-kitoblar juft daraja ildizining ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy emas, radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sondir. Aks holda, ildiz aniqlanmaydi.
Operatsiyalar tartibi haqida eslatma
- $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantiramiz, so'ngra olingan qiymatning kvadrat ildizini olamiz. Shuning uchun, manfiy bo'lmagan son har doim ildiz belgisi ostida o'tirishiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki baribir $((a)^(2))\ge 0$;
- Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonidan ildizni ajratib olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.
Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" kerak. Chunki agar ildiz ostida manfiy son bo‘lsa va uning ko‘rsatkichi juft bo‘lsa, ko‘p muammolarga duch kelamiz.
Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.
Ildiz belgisi ostidan minus belgisini olib tashlash
Tabiiyki, toq ko'rsatkichli ildizlarning ham o'ziga xos xususiyati bor, ular, qoida tariqasida, juftlar uchun mavjud emas. Aynan:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Muxtasar qilib aytganda, g'alati darajadagi ildizlarning belgisi ostidan minusni chiqarib olishingiz mumkin. Bu barcha minuslarni "tashlash" imkonini beruvchi juda foydali xususiyat:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]
Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostiga tushsa va ildiz darajasi teng bo'lib chiqsa nima bo'ladi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda ko'plab shubhali ishlarni bajarishi mumkin, bu "klassik" ildizlar holatida bizni xatoga olib kelishi kafolatlanadi. .
Va bu erda sahnaga yana bir ta'rif kiradi - ko'pchilik maktablar irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydilar. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!
arifmetik ildiz
Bir zum faraz qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat musbat raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft / toq ko'rsatkichlar bo'yicha ball to'playmiz, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflar bo'yicha ball to'playmiz - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?
Va keyin biz arifmetik ildizni olamiz - u bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman kesishadi, lekin baribir ulardan farq qiladi.
Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.
Ko'rib turganingizdek, bizni endi parite qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.
Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun bizga allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:
Ildiz qidirish maydoni - manfiy bo'lmagan raqamlar Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Salbiy raqamni ildiz otish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarashingiz shart emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.
Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga kastratsiya qilingan ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"
Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Iltimos, diqqat qiling: biz radikal ifodani istalgan kuchga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana bir nechta misollar:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(hizala)\]
Xo'sh, buning nimasi yomon? Nega biz buni oldin qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy iborani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu bizning klassik ma'nomizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilib bo'lmaydigan raqam. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda, biz radikal ostidan minusni chiqardik (bizda barcha huquqlar bor, chunki indikator g'alati), ikkinchisida biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. matematika nuqtai nazaridan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan ko'rsatkich formulasi manfiy sonlar holatida to'liq bid'at bera boshlaydi.
Mana, bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular arifmetik ildizlarni o'ylab topishdi. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Endi biz ular haqida to'xtalmaymiz - baribir dars juda uzun bo'lib chiqdi.
Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun
Men uzoq vaqt o'yladim: bu mavzuni alohida paragrafda qilish yoki qilmaslik. Oxir-oqibat, men bu erdan ketishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiadaga yaqin darajada.
Shunday qilib: sondan $n$-chi daraja ildizining "klassik" ta'rifi va unga bog'liq bo'lgan juft va toq ko'rsatkichlarga bo'linishidan tashqari, paritetga bog'liq bo'lmagan ko'proq "kattalar" ta'rifi mavjud. umuman boshqa nozikliklar. Bu algebraik ildiz deyiladi.
Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun tepaga chiziqcha qo'ying:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]
Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki, algebraik ildiz aniq son emas, balki to‘plamdir. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turdagi:
- Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish talab qilinganda yuzaga keladi;
- Bitta elementdan tashkil topgan to'plam. Toq kuchlarning barcha ildizlari, shuningdek, noldan boshlab juft darajalarning ildizlari bu toifaga kiradi;
- Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya diagrammasi. Shunga ko'ra, bunday tekislash faqat musbat sondan juft darajaning ildizini chiqarganda mumkin.
Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.
Misol. Ifodalarni hisoblash:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Yechim. Birinchi ifoda oddiy:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]
Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har birining kvadrati to'rtlikni beradi.
\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]
Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildizning ko'rsatkichi g'alati.
Nihoyat, oxirgi ifoda:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Bizda bo'sh to'plam bor. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) Kuchga ko'tarilganda bizga manfiy -16 sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.
Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash mumkin.
Biroq, matematikaning zamonaviy maktab o'quv dasturida murakkab sonlar deyarli topilmaydi. Ular ko‘pchilik darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning mutasaddilar mavzuni “tushunish juda qiyin” deb hisoblaydi.
Ana xolos. Keyingi darsda biz ildizlarning barcha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va nihoyat irratsional ifodalarni qanday soddalashtirishni o'rganamiz. :)
Ildizni ajratib olish operatsiyasini amalda muvaffaqiyatli qo'llash uchun siz ushbu operatsiyaning xususiyatlari bilan tanishishingiz kerak.
Barcha xususiyatlar faqat ildiz belgilari ostida joylashgan o'zgaruvchilarning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun tuzilgan va isbotlangan.
Teorema 1. Ikki manfiy bo'lmagan chipsetlar ko'paytmasining n-chi ildizi (n=2, 3, 4,...) bu raqamlarning n-ildizlari ko'paytmasiga teng:
Izoh:
1.
1-teorema radikal ifoda ikkidan ortiq manfiy bo'lmagan sonlarning ko'paytmasi bo'lgan holatda o'z kuchini saqlab qoladi.
Teorema 2.Agar a,
va n 1 dan katta natural son, keyin tenglik
Qisqacha(noto'g'ri bo'lsa ham) amalda qo'llash qulayroq bo'lgan formula: kasrning ildizi ildizlarning ulushiga teng.
1-teorema m ni ko'paytirishga imkon beradi faqat bir xil darajadagi ildizlar
, ya'ni. faqat bir xil ko'rsatkichli ildizlar.
Teorema 3. Agar ,k natural son va n 1 dan katta natural son, keyin tenglik
Boshqacha qilib aytganda, ildizni tabiiy kuchga ko'tarish uchun, ildiz ifodasini shu kuchga ko'tarish kifoya.
Bu 1-teoremaning natijasidir. Darhaqiqat, masalan, k = 3 uchun biz olamiz
Teorema 4. Agar ,k, n 1 dan katta natural sonlar, keyin tenglik
Boshqacha qilib aytganda, ildizdan ildiz olish uchun ildizlarning ko'rsatkichlarini ko'paytirish kifoya.
Masalan,
Diqqatli bo'ling! Biz ildizlarda to'rtta amalni bajarish mumkinligini bilib oldik: ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildizni olish (ildizdan). Ammo ildizlarni qo'shish va ayirish haqida nima deyish mumkin? Bo'lishi mumkin emas.
Misol uchun, siz Haqiqatan ham o'rniga yozolmaysiz, lekin bu aniq
Teorema 5. Agar ildiz va ildiz ifodasining ko'rsatkichlari bir xil natural songa ko'paytirilsa yoki bo'linadi, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni.
Muammoni hal qilishga misollar
1-misol Hisoblash
Yechim. Ildizlarning birinchi xossasidan (1-teorema) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
2-misol Hisoblash
Yechim. Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantiring.
Bizda ildizlarning ikkinchi xususiyatidan foydalanish ( teorema 2
), biz olamiz:
3-misol Hisoblash: 
Yechim. Algebradagi har qanday formula, siz yaxshi bilganingizdek, nafaqat "chapdan o'ngga", balki "o'ngdan chapga" ham qo'llaniladi. Demak, ildizlarning birinchi xossasi uning sifatida ifodalanishi va aksincha, ifoda bilan almashtirilishi mumkinligini bildiradi. Xuddi shu narsa ildizlarning ikkinchi xususiyatiga ham tegishli. Buni hisobga olib, hisob-kitoblarni qilaylik.
