Binabati kita: ngayon ay susuriin natin ang mga ugat - isa sa mga pinaka-nakakabighaning paksa ng ika-8 baitang. :)
Maraming mga tao ang nalilito tungkol sa mga ugat, hindi dahil sila ay kumplikado (na kumplikado - isang pares ng mga kahulugan at ilang higit pang mga katangian), ngunit dahil sa karamihan sa mga aklat-aralin sa paaralan ang mga ugat ay tinukoy sa pamamagitan ng mga ligaw na ang mga may-akda lamang ng mga aklat-aralin mismo maiintindihan ang scribbling na ito. At kahit na may isang bote lamang ng magandang whisky. :)
Samakatuwid, ngayon ay ibibigay ko ang pinaka tama at pinaka karampatang kahulugan ng ugat - ang isa lamang na kailangan mong tandaan. At pagkatapos lamang ay ipapaliwanag ko: kung bakit kinakailangan ang lahat ng ito at kung paano ilapat ito sa pagsasanay.
Ngunit una, tandaan ang isang mahalagang punto, na sa ilang kadahilanan ay "nakalimutan" ng maraming compiler ng mga aklat-aralin ang tungkol sa:
Ang mga ugat ay maaaring maging pantay na antas (aming paboritong $\sqrt(a)$, pati na rin ang anumang $\sqrt(a)$ at kahit na $\sqrt(a)$) at kakaibang antas (anumang $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ atbp.). At ang kahulugan ng ugat ng isang kakaibang antas ay medyo naiiba mula sa kahit isa.
Dito sa fucking "medyo naiiba" ay nakatago, marahil, 95% ng lahat ng mga pagkakamali at hindi pagkakaunawaan na nauugnay sa mga ugat. Kaya't linawin natin ang terminolohiya minsan at para sa lahat:
Kahulugan. Kahit ugat n mula sa bilang na $a$ ay anuman hindi negatibo isang numerong $b$ na $((b)^(n))=a$. At ang ugat ng isang kakaibang antas mula sa parehong bilang na $a$ ay karaniwang anumang numerong $b$ kung saan ang parehong pagkakapantay-pantay ay taglay: $((b)^(n))=a$.
Sa anumang kaso, ang ugat ay tinutukoy ng ganito:
\(a)\]
Ang bilang na $n$ sa naturang notasyon ay tinatawag na root exponent, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na radical expression. Sa partikular, para sa $n=2$ makuha namin ang aming "paboritong" square root (nga pala, ito ay isang ugat ng isang even degree), at para sa $n=3$ nakakakuha kami ng cubic root (isang kakaibang degree), na madalas ding matatagpuan sa mga problema at equation.
Mga halimbawa. Mga klasikong halimbawa ng square roots:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Siyanga pala, $\sqrt(0)=0$ at $\sqrt(1)=1$. Ito ay lubos na lohikal dahil $((0)^(2))=0$ at $((1)^(2))=1$.
Ang mga ugat ng kubiko ay karaniwan din - huwag matakot sa kanila:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Well, isang pares ng "mga kakaibang halimbawa":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Kung hindi mo maintindihan kung ano ang pagkakaiba sa pagitan ng pantay at kakaibang antas, muling basahin muli ang kahulugan. Napakahalaga nito!
Pansamantala, isasaalang-alang namin ang isang hindi kasiya-siyang tampok ng mga ugat, dahil kung saan kailangan naming ipakilala ang isang hiwalay na kahulugan para sa pantay at kakaibang mga exponent.
Bakit kailangan natin ng mga ugat?
Pagkatapos basahin ang kahulugan, maraming estudyante ang magtatanong: "Ano ang naninigarilyo ng mga mathematician nang makaisip sila nito?" At talaga: bakit kailangan natin ang lahat ng mga ugat na ito?
Para masagot ang tanong na ito, bumalik tayo sandali sa elementarya. Tandaan: sa mga panahong iyon, kapag ang mga puno ay mas luntian at ang mga dumpling ay mas masarap, ang aming pangunahing pag-aalala ay upang i-multiply nang tama ang mga numero. Well, something in the spirit of "five by five - twenty-five", yun lang. Ngunit pagkatapos ng lahat, maaari mong i-multiply ang mga numero hindi sa mga pares, ngunit sa triplets, fours, at sa pangkalahatan ay buong set:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Gayunpaman, hindi ito ang punto. Iba ang lansihin: ang mga mathematician ay mga tamad na tao, kaya kinailangan nilang isulat ang multiplikasyon ng sampung singko tulad nito:
Kaya nakabuo sila ng mga degree. Bakit hindi isulat ang bilang ng mga kadahilanan bilang isang superscript sa halip na isang mahabang string? Tulad ng isang ito:
Ito ay napaka maginhawa! Ang lahat ng mga kalkulasyon ay nababawasan ng ilang beses, at hindi ka maaaring gumastos ng isang bungkos ng mga parchment sheet ng mga notebook upang isulat ang ilang 5 183 . Ang nasabing entry ay tinawag na antas ng isang numero, isang grupo ng mga pag-aari ang natagpuan sa loob nito, ngunit ang kaligayahan ay naging panandalian.
Pagkatapos ng isang napakagandang alak, na inayos tungkol sa "pagtuklas" ng mga degree, ang ilang partikular na binato na matematiko ay biglang nagtanong: "Paano kung alam natin ang antas ng isang numero, ngunit hindi natin alam ang numero mismo?" Sa katunayan, kung alam natin na ang isang tiyak na bilang na $b$, halimbawa, ay nagbibigay ng 243 sa ika-5 kapangyarihan, kung gayon paano natin mahulaan kung ano ang katumbas ng numerong $b$ mismo?
Ang problemang ito ay naging mas pandaigdigan kaysa sa maaaring tila sa unang tingin. Dahil lumabas na para sa karamihan ng mga "handa na" na degree ay walang ganoong "paunang" mga numero. Maghusga para sa iyong sarili:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]
Paano kung $((b)^(3))=50$? Lumalabas na kailangan mong makahanap ng isang tiyak na numero, na, kapag pinarami sa sarili nitong tatlong beses, ay magbibigay sa amin ng 50. Ngunit ano ang numerong ito? Malinaw na mas malaki ito sa 3 dahil 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. I.e. ang numerong ito ay nasa pagitan ng tatlo at apat, ngunit kung ano ang katumbas nito - FIG mauunawaan mo.
Ito ang eksaktong dahilan kung bakit ang mga mathematician ay nagkaroon ng $n$-th na mga ugat. Iyon ang dahilan kung bakit ipinakilala ang radikal na icon na $\sqrt(*)$. Upang tukuyin ang parehong bilang na $b$, na, sa tinukoy na kapangyarihan, ay magbibigay sa amin ng dating kilalang halaga
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
Hindi ako nakikipagtalo: kadalasan ang mga ugat na ito ay madaling isaalang-alang - nakita namin ang ilang mga halimbawa sa itaas. Gayunpaman, sa karamihan ng mga kaso, kung nag-iisip ka ng isang arbitrary na numero, at pagkatapos ay subukang kunin ang ugat ng isang di-makatwirang antas mula dito, ikaw ay nasa para sa isang malupit na bummer.
Anong meron doon! Kahit na ang pinakasimple at pinakapamilyar na $\sqrt(2)$ ay hindi maaaring katawanin sa aming karaniwang anyo - bilang isang integer o isang fraction. At kung i-drive mo ang numerong ito sa isang calculator, makikita mo ito:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Tulad ng nakikita mo, pagkatapos ng decimal point ay mayroong walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero na hindi sumusunod sa anumang lohika. Maaari mong, siyempre, bilugan ang numerong ito upang mabilis na maihambing sa iba pang mga numero. Halimbawa:
\[\sqrt(2)=1.4142...\approx 1.4 \lt 1.5\]
O narito ang isa pang halimbawa:
\[\sqrt(3)=1.73205...\approx 1.7 \gt 1.5\]
Ngunit ang lahat ng mga roundings ay, una, sa halip magaspang; at pangalawa, kailangan mo ring makapagtrabaho gamit ang tinatayang mga halaga, kung hindi, maaari mong mahuli ang isang bungkos ng mga hindi halatang error (sa pamamagitan ng paraan, ang kasanayan sa paghahambing at pag-ikot ay kinakailangang suriin sa pagsusulit sa profile).
Samakatuwid, sa seryosong matematika ay hindi magagawa ng isang tao nang walang mga ugat - pareho silang pantay na kinatawan ng hanay ng lahat ng mga tunay na numero $\mathbb(R)$, pati na rin ang mga fraction at integer na pamilyar sa amin sa mahabang panahon.
Ang imposibilidad ng pagkatawan sa ugat bilang isang fraction ng anyong $\frac(p)(q)$ ay nangangahulugan na ang ugat na ito ay hindi isang rational na numero. Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran, at hindi sila maaaring tumpak na kinakatawan maliban sa tulong ng isang radikal, o iba pang mga konstruksyon na espesyal na idinisenyo para dito (logarithms, degrees, limitasyon, atbp.). Ngunit higit pa sa na sa ibang pagkakataon.
Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa kung saan, pagkatapos ng lahat ng mga kalkulasyon, ang mga hindi makatwirang numero ay mananatili pa rin sa sagot.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]
Naturally, sa pamamagitan ng hitsura ng ugat, halos imposibleng hulaan kung aling mga numero ang darating pagkatapos ng decimal point. Gayunpaman, posibleng kalkulahin sa isang calculator, ngunit kahit na ang pinaka-advanced na calculator ng petsa ay nagbibigay lamang sa amin ng unang ilang digit ng isang hindi makatwiran na numero. Samakatuwid, mas tama na isulat ang mga sagot bilang $\sqrt(5)$ at $\sqrt(-2)$.
Iyon ang dahilan kung bakit sila naimbento. Para madaling isulat ang mga sagot.
Bakit kailangan ng dalawang kahulugan?
Ang matulungin na mambabasa ay malamang na napansin na ang lahat ng mga square root na ibinigay sa mga halimbawa ay kinuha mula sa mga positibong numero. Well, hindi bababa sa mula sa zero. Ngunit ang mga ugat ng kubo ay mahinahon na nakuha mula sa ganap na anumang numero - kahit na positibo, kahit na negatibo.
Bakit ito nangyayari? Tingnan ang graph ng function na $y=((x)^(2))$:
Ang graph ng isang quadratic function ay nagbibigay ng dalawang ugat: positibo at negatibo Subukan nating kalkulahin ang $\sqrt(4)$ gamit ang graph na ito. Upang gawin ito, ang isang pahalang na linya na $y=4$ (minarkahan ng pula) ay iginuhit sa graph, na nag-intersect sa parabola sa dalawang punto: $((x)_(1))=2$ at $((x) _(2)) =-2$. Ito ay lubos na lohikal, dahil
Ang lahat ay malinaw sa unang numero - ito ay positibo, samakatuwid ito ang ugat:
Ngunit ano ang gagawin sa pangalawang punto? Ang 4 ba ay may dalawang ugat nang sabay-sabay? Pagkatapos ng lahat, kung parisukat natin ang numerong −2, makakakuha din tayo ng 4. Bakit hindi isulat ang $\sqrt(4)=-2$ kung gayon? At bakit tinitingnan ng mga guro ang mga ganoong record na parang gusto ka nilang kainin? :)
Ang problema ay kung walang karagdagang kundisyon ang ipapataw, ang apat ay magkakaroon ng dalawang square root - positibo at negatibo. At anumang positibong numero ay magkakaroon din ng dalawa sa kanila. Ngunit ang mga negatibong numero ay hindi magkakaroon ng mga ugat - ito ay makikita mula sa parehong graph, dahil ang parabola ay hindi kailanman nahuhulog sa ibaba ng axis y, ibig sabihin. hindi kumukuha ng mga negatibong halaga.
Ang isang katulad na problema ay nangyayari para sa lahat ng mga ugat na may pantay na exponent:
- Sa mahigpit na pagsasalita, ang bawat positibong numero ay magkakaroon ng dalawang ugat na may pantay na exponent na $n$;
- Mula sa mga negatibong numero, ang ugat na may kahit na $n$ ay hindi kinukuha.
Kaya naman ang kahulugan ng pantay na ugat na $n$ ay partikular na nagsasaad na ang sagot ay dapat na hindi negatibong numero. Ito ay kung paano namin mapupuksa ang kalabuan.
Ngunit para sa kakaibang $n$ walang ganoong problema. Upang makita ito, tingnan natin ang graph ng function na $y=((x)^(3))$:
Ang cubic parabola ay tumatagal sa anumang halaga, kaya ang cube root ay maaaring kunin mula sa anumang numero Dalawang konklusyon ang maaaring makuha mula sa graph na ito:
- Ang mga sanga ng isang kubiko na parabola, hindi tulad ng karaniwan, ay pumupunta sa kawalang-hanggan sa parehong direksyon - parehong pataas at pababa. Samakatuwid, sa anumang taas ay gumuhit tayo ng pahalang na linya, ang linyang ito ay tiyak na magsa-intersect sa ating graph. Samakatuwid, ang ugat ng kubo ay maaaring palaging kunin, ganap na mula sa anumang numero;
- Bilang karagdagan, ang naturang intersection ay palaging magiging kakaiba, kaya hindi mo kailangang isipin kung aling numero ang isasaalang-alang ang "tama" na ugat, at kung alin ang iiskor. Iyon ang dahilan kung bakit ang kahulugan ng mga ugat para sa isang kakaibang antas ay mas simple kaysa para sa isang kahit isa (walang kinakailangan na hindi negatibo).
Nakakalungkot lang na ang mga simpleng bagay na ito ay hindi ipinaliwanag sa karamihan ng mga aklat-aralin. Sa halip, ang ating mga utak ay nagsisimulang umakyat sa lahat ng uri ng arithmetic roots at ang kanilang mga katangian.
Oo, hindi ako nakikipagtalo: ano ang ugat ng aritmetika - kailangan mo ring malaman. At tatalakayin ko ito nang detalyado sa isang hiwalay na aralin. Ngayon ay pag-uusapan din natin ito, dahil kung wala ito, ang lahat ng pagmumuni-muni sa mga ugat ng $n$-th multiplicity ay hindi kumpleto.
Ngunit kailangan mo munang malinaw na maunawaan ang kahulugan na ibinigay ko sa itaas. Kung hindi, dahil sa kasaganaan ng mga termino, ang gayong gulo ay magsisimula sa iyong ulo na sa huli ay hindi mo maintindihan ang anuman.
At ang kailangan mo lang maunawaan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng even at odd na mga numero. Samakatuwid, muli naming kolektahin ang lahat ng kailangan mong malaman tungkol sa mga ugat:
- Ang pantay na ugat ay umiiral lamang mula sa isang hindi negatibong numero at ito mismo ay palaging isang hindi negatibong numero. Para sa mga negatibong numero, ang naturang ugat ay hindi natukoy.
- Ngunit ang ugat ng isang kakaibang antas ay umiiral mula sa anumang numero at maaaring maging anumang numero: para sa mga positibong numero ito ay positibo, at para sa mga negatibong numero, tulad ng ipinahihiwatig ng cap, ito ay negatibo.
Mahirap ba? Hindi, hindi mahirap. Malinaw? Oo, halata naman! Samakatuwid, ngayon ay magsasanay kami ng kaunti sa mga kalkulasyon.
Mga pangunahing katangian at paghihigpit
Ang mga ugat ay may maraming kakaibang katangian at paghihigpit - ito ay magiging isang hiwalay na aralin. Samakatuwid, ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang pinakamahalagang "chip", na nalalapat lamang sa mga ugat na may pantay na exponent. Isinulat namin ang pag-aari na ito sa anyo ng isang formula:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Sa madaling salita, kung itataas natin ang isang numero sa pantay na kapangyarihan, at pagkatapos ay kunin ang ugat ng parehong antas mula dito, hindi natin makukuha ang orihinal na numero, ngunit ang modulus nito. Ito ay isang simpleng theorem na madaling patunayan (ito ay sapat na upang isaalang-alang ang hiwalay na hindi negatibong $x$, at pagkatapos ay hiwalay na isaalang-alang ang mga negatibo). Patuloy na pinag-uusapan ito ng mga guro, ibinibigay ito sa bawat aklat-aralin sa paaralan. Ngunit pagdating sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation (i.e. mga equation na naglalaman ng sign ng radical), nalilimutan ng mga estudyante ang formula na ito nang magkasama.
Upang maunawaan ang isyu nang detalyado, kalimutan natin ang lahat ng mga formula sa loob ng isang minuto at subukang magbilang ng dalawang numero sa unahan:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Ito ay napakasimpleng mga halimbawa. Ang unang halimbawa ay malulutas ng karamihan sa mga tao, ngunit sa pangalawa, maraming dumidikit. Upang malutas ang anumang naturang crap nang walang mga problema, palaging isaalang-alang ang pamamaraan:
- Una, ang bilang ay itinaas sa ikaapat na kapangyarihan. Well, medyo madali. Ang isang bagong numero ay makukuha, na maaaring matagpuan sa talahanayan ng pagpaparami;
- At ngayon mula sa bagong numero na ito ay kinakailangan upang kunin ang ugat ng ika-apat na antas. Yung. walang "pagbawas" ng mga ugat at antas - ito ay sunud-sunod na mga aksyon.
Pag-usapan natin ang unang expression: $\sqrt(((3)^(4)))$. Malinaw, kailangan mo munang kalkulahin ang expression sa ilalim ng ugat:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Pagkatapos ay kinuha namin ang ikaapat na ugat ng numero 81:
Ngayon gawin natin ang parehong sa pangalawang expression. Una, itinaas natin ang numero −3 sa ikaapat na kapangyarihan, kung saan kailangan nating i-multiply ito sa sarili nitong 4 na beses:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ kaliwa(-3 \right)=81\]
Nakakuha kami ng isang positibong numero, dahil ang kabuuang bilang ng mga minus sa produkto ay 4 na piraso, at lahat sila ay magkakansela sa isa't isa (pagkatapos ng lahat, ang isang minus ng isang minus ay nagbibigay ng isang plus). Susunod, kunin muli ang ugat:
Sa prinsipyo, ang linyang ito ay hindi maaaring isulat, dahil ito ay isang walang utak na ang sagot ay magiging pareho. Yung. ang isang pantay na ugat ng parehong kahit na kapangyarihan ay "sinusunog" ang mga minus, at sa kahulugan na ito ang resulta ay hindi nakikilala mula sa karaniwang module:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\kanan|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Ang mga kalkulasyong ito ay sumasang-ayon sa kahulugan ng ugat ng pantay na antas: ang resulta ay palaging hindi negatibo, at ang radikal na tanda ay palaging isang hindi negatibong numero. Kung hindi, ang ugat ay hindi tinukoy.
Tandaan sa pagkakasunud-sunod ng mga operasyon
- Ang notasyong $\sqrt(((a)^(2)))$ ay nangangahulugan na una nating i-square ang numerong $a$, at pagkatapos ay kunin ang square root ng resultang value. Samakatuwid, makatitiyak tayo na palaging nasa ilalim ng root sign ang isang hindi negatibong numero, dahil $((a)^(2))\ge 0$ pa rin;
- Ngunit ang notasyong $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, sa kabaligtaran, ay nangangahulugan na una nating i-extract ang ugat mula sa isang tiyak na numero na $a$ at saka lamang i-square ang resulta. Samakatuwid, ang bilang na $a$ sa anumang kaso ay maaaring maging negatibo - ito ay isang mandatoryong kinakailangan na naka-embed sa kahulugan.
Kaya, sa anumang kaso ay hindi dapat bawasan ng isang tao ang mga ugat at antas, sa gayon ay "pinasimple" ang orihinal na ekspresyon. Dahil kung mayroong negatibong numero sa ilalim ng ugat, at ang exponent nito ay pantay, magkakaroon tayo ng maraming problema.
Gayunpaman, ang lahat ng mga problemang ito ay may kaugnayan lamang para sa kahit na mga tagapagpahiwatig.
Pag-alis ng minus sign sa ilalim ng root sign
Naturally, ang mga ugat na may mga kakaibang exponents ay mayroon ding sariling tampok, na, sa prinsipyo, ay hindi umiiral para sa kahit na isa. Namely:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Sa madaling salita, maaari kang kumuha ng isang minus mula sa ilalim ng tanda ng mga ugat ng isang kakaibang antas. Ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na pag-aari na nagbibigay-daan sa iyo na "itapon" ang lahat ng mga minus:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ang simpleng pag-aari na ito ay lubos na nagpapasimple sa maraming mga kalkulasyon. Ngayon hindi mo na kailangang mag-alala: paano kung ang isang negatibong ekspresyon ay nasa ilalim ng ugat, at ang antas sa ugat ay naging pantay? Sapat na lamang na "itapon" ang lahat ng mga minus sa labas ng mga ugat, pagkatapos ay maaari silang paramihin sa bawat isa, hatiin at sa pangkalahatan ay gumawa ng maraming mga kahina-hinalang bagay, na sa kaso ng "klasikong" mga ugat ay ginagarantiyahan na magdadala sa atin sa isang pagkakamali.
At dito pumapasok ang isa pang kahulugan sa eksena - ang mismong kung saan sinisimulan ng karamihan sa mga paaralan ang pag-aaral ng mga hindi makatwirang ekspresyon. At kung wala ito ay hindi kumpleto ang ating pangangatwiran. Magkita kayo!
ugat ng aritmetika
Ipagpalagay natin sandali na ang mga positibong numero lamang o, sa matinding kaso, zero ang maaaring nasa ilalim ng root sign. Puntos tayo sa pantay / kakaibang mga tagapagpahiwatig, puntos sa lahat ng mga kahulugang ibinigay sa itaas - gagana lang tayo sa mga hindi negatibong numero. Ano ngayon?
At pagkatapos ay nakuha namin ang arithmetic root - ito ay bahagyang intersects sa aming "standard" na mga kahulugan, ngunit naiiba pa rin sa kanila.
Kahulugan. Ang arithmetic root ng $n$th degree ng isang non-negative na numero na $a$ ay isang non-negative na numero na $b$ na $((b)^(n))=a$.
Tulad ng nakikita mo, hindi na kami interesado sa parity. Sa halip, lumitaw ang isang bagong paghihigpit: ang radikal na expression ay palaging hindi negatibo, at ang ugat mismo ay hindi negatibo.
Upang mas maunawaan kung paano naiiba ang arithmetic root sa karaniwan, tingnan ang mga graph ng square at cubic parabola na pamilyar sa atin:
Lugar ng paghahanap sa ugat - mga hindi negatibong numero Tulad ng nakikita mo, mula ngayon, interesado na lang kami sa mga piraso ng graph na matatagpuan sa unang quarter ng coordinate - kung saan ang mga coordinate na $x$ at $y$ ay positibo (o hindi bababa sa zero). Hindi mo na kailangang tingnan ang indicator para maunawaan kung may karapatan kaming mag-root ng negatibong numero o wala. Dahil ang mga negatibong numero ay hindi na isinasaalang-alang sa prinsipyo.
Maaari mong itanong: "Buweno, bakit kailangan natin ng ganoong kastrang kahulugan?" O: "Bakit hindi natin makuha ang karaniwang kahulugan na ibinigay sa itaas?"
Buweno, bibigyan ko lamang ng isang pag-aari, dahil dito nagiging angkop ang bagong kahulugan. Halimbawa, ang panuntunan ng exponentiation:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Pakitandaan: maaari naming itaas ang root expression sa anumang kapangyarihan at sabay na i-multiply ang root exponent sa parehong kapangyarihan - at ang resulta ay magiging parehong numero! Narito ang ilang halimbawa:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]
Well, ano ang mali doon? Bakit hindi natin magawa noon? Narito kung bakit. Isaalang-alang ang isang simpleng expression: $\sqrt(-2)$ ay isang numero na medyo normal sa aming klasikal na kahulugan, ngunit talagang hindi katanggap-tanggap mula sa punto ng view ng arithmetic root. Subukan nating i-convert ito:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Tulad ng nakikita mo, sa unang kaso, kinuha namin ang minus mula sa ilalim ng radikal (mayroon kaming lahat ng karapatan, dahil ang tagapagpahiwatig ay kakaiba), at sa pangalawa, ginamit namin ang formula sa itaas. Yung. mula sa punto ng view ng matematika, ang lahat ay ginagawa ayon sa mga patakaran.
WTF?! Paano magiging positibo at negatibo ang parehong numero? Hindi pwede. Kaya lang ang exponentiation formula, na mahusay na gumagana para sa mga positibong numero at zero, ay nagsisimulang magbigay ng kumpletong heresy sa kaso ng mga negatibong numero.
Dito, upang mapupuksa ang gayong kalabuan, nakabuo sila ng mga ugat ng aritmetika. Ang isang hiwalay na malaking aralin ay nakatuon sa kanila, kung saan isinasaalang-alang namin nang detalyado ang lahat ng kanilang mga pag-aari. Kaya ngayon ay hindi na tayo magtatagal sa kanila - ang aralin ay naging masyadong mahaba pa rin.
Algebraic root: para sa mga gustong malaman pa
Nag-isip ako ng mahabang panahon: gawin itong paksa sa isang hiwalay na talata o hindi. Sa huli, nagpasya akong umalis dito. Ang materyal na ito ay inilaan para sa mga nais na maunawaan ang mga ugat nang mas mahusay - hindi na sa average na antas ng "paaralan", ngunit sa antas na malapit sa Olympiad.
Kaya: bilang karagdagan sa "klasikal" na kahulugan ng ugat ng $n$-th na antas mula sa isang numero at ang nauugnay na paghahati sa pantay at kakaibang mga tagapagpahiwatig, mayroong higit na "pang-adulto" na kahulugan, na hindi nakadepende sa pagkakapantay-pantay at iba pang mga subtleties sa lahat. Ito ay tinatawag na algebraic root.
Kahulugan. Ang algebraic na $n$-th na ugat ng alinmang $a$ ay ang set ng lahat ng bilang na $b$ na $((b)^(n))=a$. Walang maayos na pagtatalaga para sa mga naturang ugat, kaya maglagay lamang ng gitling sa itaas:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Ang pangunahing pagkakaiba mula sa karaniwang kahulugan na ibinigay sa simula ng aralin ay ang algebraic root ay hindi isang tiyak na numero, ngunit isang set. At dahil nagtatrabaho kami sa mga totoong numero, tatlong uri lang ang set na ito:
- Walang laman na set. Nangyayari kapag kinakailangang maghanap ng algebraic na ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero;
- Isang set na binubuo ng isang elemento. Ang lahat ng mga ugat ng kakaibang kapangyarihan, pati na rin ang mga ugat ng kahit na kapangyarihan mula sa zero, ay nabibilang sa kategoryang ito;
- Sa wakas, ang set ay maaaring magsama ng dalawang numero - ang parehong $((x)_(1))$ at $((x)_(2))=-((x)_(1))$ na nakita namin sa tsart quadratic function. Alinsunod dito, ang gayong pagkakahanay ay posible lamang kapag kinukuha ang ugat ng isang pantay na antas mula sa isang positibong numero.
Ang huling kaso ay nararapat na mas detalyadong pagsasaalang-alang. Magbilang tayo ng ilang halimbawa upang maunawaan ang pagkakaiba.
Halimbawa. Compute expression:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Solusyon. Ang unang expression ay simple:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Ito ay dalawang numero na bahagi ng set. Dahil ang bawat isa sa kanila na squared ay nagbibigay ng apat.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Dito makikita natin ang isang set na binubuo lamang ng isang numero. Ito ay lubos na lohikal, dahil ang exponent ng ugat ay kakaiba.
Sa wakas, ang huling expression:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Nakakuha kami ng isang bakanteng set. Dahil walang isang tunay na numero na, kapag itinaas sa ikaapat (iyon ay, kahit na!) Power, ay magbibigay sa atin ng negatibong numero −16.
Pangwakas na tala. Pakitandaan: hindi nagkataon na nabanggit ko sa lahat ng dako na nagtatrabaho kami sa mga totoong numero. Dahil mayroon ding mga kumplikadong numero - posible na kalkulahin ang $\sqrt(-16)$ at marami pang kakaibang bagay doon.
Gayunpaman, sa modernong kurikulum ng paaralan ng matematika, ang mga kumplikadong numero ay halos hindi na matagpuan. Ang mga ito ay tinanggal mula sa karamihan ng mga aklat-aralin dahil itinuturing ng aming mga opisyal ang paksang "napakahirap unawain."
Iyon lang. Sa susunod na aralin, titingnan natin ang lahat ng mahahalagang katangian ng mga ugat at sa wakas ay matututuhan natin kung paano gawing simple ang mga hindi makatwirang ekspresyon. :)
Upang matagumpay na magamit ang operasyon ng pagkuha ng ugat sa pagsasanay, kailangan mong pamilyar sa mga katangian ng operasyong ito.
Ang lahat ng mga katangian ay binuo at napatunayan lamang para sa mga hindi negatibong halaga ng mga variable na nasa ilalim ng mga palatandaan ng ugat.
Teorama 1. Ang nth root (n=2, 3, 4,...) ng produkto ng dalawang non-negative chipsets ay katumbas ng produkto ng nth roots ng mga numerong ito:
Komento:
1.
Ang Theorem 1 ay nananatiling wasto para sa kaso kapag ang radikal na expression ay produkto ng higit sa dalawang di-negatibong numero.
Teorama 2.Kung ang,
at ang n ay isang natural na bilang na higit sa 1, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay
Maikling(kahit hindi tumpak) pagbabalangkas na mas maginhawang gamitin sa pagsasanay: ang ugat ng fraction ay katumbas ng fraction ng mga ugat.
Ang Theorem 1 ay nagpapahintulot sa amin na i-multiply ang m mga ugat lamang ng parehong antas
, ibig sabihin. mga ugat lamang na may parehong exponent.
Teorama 3. Kung ,Ang k ay isang natural na numero at ang n ay isang natural na bilang na higit sa 1, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay
Sa madaling salita, upang itaas ang isang ugat sa isang natural na kapangyarihan, ito ay sapat na upang itaas ang root expression sa kapangyarihan na ito.
Ito ay isang kinahinatnan ng Theorem 1. Sa katunayan, halimbawa, para sa k = 3 makuha natin
Teorama 4. Kung ,k, n ay mga natural na numero na mas malaki sa 1, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay
Sa madaling salita, upang kunin ang isang ugat mula sa isang ugat, sapat na upang i-multiply ang mga exponent ng mga ugat.
Halimbawa,
Mag-ingat ka! Nalaman namin na apat na operasyon ang maaaring gawin sa mga ugat: multiplikasyon, paghahati, exponentiation, at pagkuha ng ugat (mula sa ugat). Ngunit ano ang tungkol sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga ugat? Hindi pwede.
Halimbawa, hindi ka maaaring magsulat sa halip na Indeed, Ngunit malinaw na iyon
Teorama 5. Kung i-multiply o hatiin ang mga indicator ng ugat at ang root expression sa parehong natural na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago, i.e.
Mga halimbawa ng paglutas ng problema
Halimbawa 1 Kalkulahin
Solusyon. Gamit ang unang pag-aari ng mga ugat (Theorem 1), nakukuha natin:
Halimbawa 2 Kalkulahin
Solusyon. I-convert ang pinaghalong numero sa isang hindi tamang fraction.
Ginagamit namin ang pangalawang pag-aari ng mga ugat ( teorama 2
), nakukuha namin:
Halimbawa 3 Kalkulahin: 
Solusyon. Ang anumang pormula sa algebra, tulad ng alam mo, ay ginagamit hindi lamang "mula kaliwa hanggang kanan", kundi pati na rin "mula kanan pakaliwa". Kaya, ang unang pag-aari ng mga ugat ay nangangahulugan na maaari itong kinakatawan bilang at, sa kabaligtaran, ay maaaring mapalitan ng expression. Ang parehong naaangkop sa pangalawang pag-aari ng mga ugat. Sa pag-iisip na ito, gawin natin ang mga kalkulasyon.
Aralin at presentasyon sa paksa: "Mga katangian ng ugat ng ika-n degree. Theorems"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.
Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 11
Interactive na manwal para sa mga baitang 9-11 "Trigonometry"
Interactive na manual para sa grade 10-11 "Logarithms"
Mga katangian ng ugat ng ika-n degree. Theorems
Guys, patuloy nating pinag-aaralan ang mga ugat ng ika-n degree ng isang tunay na numero. Tulad ng halos lahat ng mga bagay sa matematika, ang mga ugat ng nth degree ay may ilang mga katangian, ngayon ay pag-aaralan natin ang mga ito.Ang lahat ng mga pag-aari na isinasaalang-alang namin ay nabuo at napatunayan lamang para sa mga hindi negatibong halaga ng mga variable na nasa ilalim ng root sign.
Sa kaso ng isang kakaibang root exponent, mayroon din silang mga negatibong variable.
Theorem 1. Ang nth root ng product ng dalawang non-negative na numero ay katumbas ng product ng nth roots ng mga numerong ito: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .
Patunayan natin ang teorama.
Patunay. Guys, para patunayan ang theorem, ipakilala natin ang mga bagong variable, ipahiwatig:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Kailangan nating patunayan na $x=y*z$.
Tandaan na mayroon ding mga sumusunod na pagkakakilanlan:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Ang sumusunod na pagkakakilanlan ay mayroon ding: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Ang mga degree ng dalawang di-negatibong numero at ang kanilang mga exponent ay pantay, pagkatapos ay ang mga base ng mga degree mismo ay pantay. Samakatuwid $x=y*z$, na kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan.
Teorama 2. Kung ang $a≥0$, $b>0$ at n ay isang natural na bilang na higit sa 1, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay may hawak na: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Ibig sabihin, ang nth root ng quotient ay katumbas ng quotient ng nth roots.
Patunay.
Upang patunayan ito, gumagamit kami ng isang pinasimple na pamamaraan sa anyo ng isang talahanayan:
Mga halimbawa ng pagkalkula ng nth root
Halimbawa.Kalkulahin: $\sqrt(16*81*256)$.
Solusyon. Gamitin natin ang Theorem 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Halimbawa.
Kalkulahin: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Solusyon. Katawanin natin ang radikal na expression bilang isang hindi tamang fraction: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Gamitin natin ang Theorem 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Halimbawa.
Kalkulahin:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Solusyon:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorama 3. Kung ang $a≥0$, k at n ay mga natural na numerong mas malaki sa 1, totoo ang pagkakapantay-pantay: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Upang itaas ang isang ugat sa isang likas na kapangyarihan, sapat na upang itaas ang radikal na pagpapahayag sa kapangyarihang ito.
Patunay.
Isaalang-alang natin ang isang espesyal na kaso para sa $k=3$. Gamitin natin ang Theorem 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Ang parehong ay maaaring patunayan para sa anumang iba pang kaso. Guys, patunayan mo ang sarili mo para sa kaso kapag $k=4$ at $k=6$.
Teorama 4. Kung ang $a≥0$ b n,k ay mga natural na numerong mas malaki sa 1, totoo ang pagkakapantay-pantay: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Upang kunin ang isang ugat mula sa isang ugat, sapat na upang i-multiply ang mga exponents ng mga ugat.
Patunay.
Patunayan nating muli sa madaling sabi gamit ang talahanayan. Upang patunayan ito, gumagamit kami ng isang pinasimple na pamamaraan sa anyo ng isang talahanayan: 
Halimbawa.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Theorem 5. Kung ang mga indeks ng ugat at ang root expression ay pinarami ng parehong natural na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Patunay.
Ang prinsipyo ng patunay ng aming teorama ay kapareho ng sa ibang mga halimbawa. Ipakilala natin ang mga bagong variable:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ayon sa kahulugan).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ayon sa kahulugan).
Itinaas namin ang huling pagkakapantay-pantay sa kapangyarihan p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Nakakuha:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Ibig sabihin, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, na dapat patunayan.
Mga halimbawa:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (hinati sa 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (hinati sa 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (multiplied sa 3).
Halimbawa.
Patakbuhin ang mga aksyon: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Solusyon.
Ang mga exponent ng mga ugat ay magkaibang numero, kaya hindi natin magagamit ang Theorem 1, ngunit sa pamamagitan ng paglalapat ng Theorem 5 makakakuha tayo ng pantay na exponents.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (multiplied sa 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (multiplied sa 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Mga gawain para sa malayang solusyon
1. Kalkulahin: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Kalkulahin: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Kalkulahin:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Pasimplehin:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Magsagawa ng mga aksyon: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
