વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "nth ડિગ્રીના મૂળના ગુણધર્મો. પ્રમેય"
વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, પ્રતિસાદ, સૂચનો આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટિવાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવે છે.
ગ્રેડ 11 માટે ઑનલાઇન સ્ટોર "ઇન્ટિગ્રલ" માં શિક્ષણ સહાય અને સિમ્યુલેટર
ગ્રેડ 9-11 "ત્રિકોણમિતિ" માટે ઇન્ટરેક્ટિવ મેન્યુઅલ
ગ્રેડ 10-11 "લોગરીધમ્સ" માટે ઇન્ટરેક્ટિવ મેન્યુઅલ
nમી ડિગ્રીના મૂળના ગુણધર્મો. પ્રમેય
મિત્રો, અમે વાસ્તવિક સંખ્યાની nમી ડિગ્રીના મૂળનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. લગભગ તમામ ગાણિતિક વસ્તુઓની જેમ, nth ડિગ્રીના મૂળમાં પણ કેટલાક ગુણધર્મો હોય છે, આજે આપણે તેનો અભ્યાસ કરીશું.અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ તે તમામ ગુણધર્મો માત્ર રૂટ ચિહ્ન હેઠળ સમાવિષ્ટ ચલોના બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટે જ ઘડવામાં આવે છે અને સાબિત થાય છે.
વિષમ મૂળ ઘાતાંકના કિસ્સામાં, તેઓ નકારાત્મક ચલો માટે પણ ધરાવે છે.
પ્રમેય 1. બે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓના ગુણાંકનું nમું મૂળ આ સંખ્યાઓના nમા મૂળના ગુણાંક જેટલું છે: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .
ચાલો પ્રમેય સાબિત કરીએ.
પુરાવો. મિત્રો, પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, ચાલો નવા ચલો રજૂ કરીએ, સૂચિત કરો:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
આપણે તે $x=y*z$ સાબિત કરવાની જરૂર છે.
નોંધ કરો કે નીચેની ઓળખ પણ ધરાવે છે:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
પછી નીચેની ઓળખ પણ ધરાવે છે: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
બે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓની ડિગ્રી અને તેમના ઘાતાંક સમાન છે, તો પછી ડિગ્રીના પાયા સમાન છે. તેથી $x=y*z$, જે સાબિત કરવું જરૂરી હતું.
પ્રમેય 2. જો $a≥0$, $b>0$ અને n એ 1 કરતા મોટી કુદરતી સંખ્યા છે, તો નીચેની સમાનતા ધરાવે છે: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
એટલે કે, ભાગાકારનું nમું મૂળ nમા મૂળના ભાગને બરાબર છે.
પુરાવો.
આને સાબિત કરવા માટે, અમે કોષ્ટકના રૂપમાં એક સરળ યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
nમા મૂળની ગણતરીના ઉદાહરણો
ઉદાહરણ.ગણતરી કરો: $\sqrt(16*81*256)$.
ઉકેલ. ચાલો પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરીએ: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
ઉદાહરણ.
ગણતરી કરો: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
ઉકેલ. ચાલો આમૂલ અભિવ્યક્તિને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
ચાલો પ્રમેય 2 નો ઉપયોગ કરીએ: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) ) (2)$.
ઉદાહરણ.
ગણત્રી:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
ઉકેલ:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
પ્રમેય 3. જો $a≥0$, k અને n કુદરતી સંખ્યાઓ 1 કરતાં મોટી હોય, તો સમાનતા સાચી છે: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
કુદરતી શક્તિ માટે મૂળને વધારવા માટે, આ શક્તિ માટે આમૂલ અભિવ્યક્તિ વધારવા માટે તે પૂરતું છે.
પુરાવો.
ચાલો $k=3$ માટે વિશેષ કેસ ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરીએ.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a) *a)=\sqrt[n](a^3)$.
આ જ અન્ય કેસ માટે સાબિત થઈ શકે છે. મિત્રો, જ્યારે $k=4$ અને $k=6$ હોય ત્યારે તેને જાતે જ સાબિત કરો.
પ્રમેય 4. જો $a≥0$ b n,k કુદરતી સંખ્યાઓ 1 કરતા મોટી હોય, તો સમાનતા સાચી છે: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
મૂળમાંથી મૂળ કાઢવા માટે, તે મૂળના ઘાતાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે.
પુરાવો.
ચાલો ટેબલનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી સંક્ષિપ્તમાં સાબિત કરીએ. આને સાબિત કરવા માટે, અમે કોષ્ટકના રૂપમાં એક સરળ યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: 
ઉદાહરણ.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
પ્રમેય 5. જો મૂળના સૂચકાંકો અને મૂળ અભિવ્યક્તિને સમાન કુદરતી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો મૂળની કિંમત બદલાશે નહીં: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
પુરાવો.
અમારા પ્રમેયના પુરાવાનો સિદ્ધાંત અન્ય ઉદાહરણોમાં સમાન છે. ચાલો નવા ચલો રજૂ કરીએ:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (વ્યાખ્યા પ્રમાણે).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (વ્યાખ્યા પ્રમાણે).
અમે પાવર p માટે છેલ્લી સમાનતાને વધારીએ છીએ
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
મળ્યું:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
એટલે કે, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, જે સાબિત થવાનું હતું.
ઉદાહરણો:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5 વડે ભાગ્યા).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2 વડે ભાગ્યા).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 વડે ગુણાકાર).
ઉદાહરણ.
ક્રિયાઓ ચલાવો: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
ઉકેલ.
મૂળના ઘાતાંક જુદી જુદી સંખ્યાઓ છે, તેથી આપણે પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરી શકતા નથી, પરંતુ પ્રમેય 5 લાગુ કરીને આપણે સમાન ઘાતાંક મેળવી શકીએ છીએ.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 વડે ગુણાકાર).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 વડે ગુણાકાર).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્યો
1. ગણતરી કરો: $\sqrt(32*243*1024)$.2. ગણતરી કરો: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. ગણતરી કરો:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. સરળ બનાવો:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. ક્રિયાઓ કરો: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
અભિનંદન: આજે આપણે મૂળનું પૃથ્થકરણ કરીશું - 8મા ધોરણના સૌથી મનને ફૂંકનારા વિષયોમાંથી એક. :)
ઘણા લોકો મૂળ વિશે મૂંઝવણમાં મૂકે છે, કારણ કે તે જટિલ નથી (જે જટિલ છે - કેટલીક વ્યાખ્યાઓ અને થોડા વધુ ગુણધર્મો), પરંતુ કારણ કે મોટાભાગની શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં મૂળને આવા જંગલી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે ફક્ત પાઠ્યપુસ્તકોના લેખકો જ આ સ્ક્રિબલિંગ સમજી શકે છે. અને પછી પણ માત્ર સારી વ્હિસ્કીની બોટલ સાથે. :)
તેથી, હવે હું રુટની સૌથી સાચી અને સૌથી સક્ષમ વ્યાખ્યા આપીશ - ફક્ત એક જ જે તમારે ખરેખર યાદ રાખવાની જરૂર છે. અને તે પછી જ હું સમજાવીશ: આ બધું શા માટે જરૂરી છે અને તેને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરવું.
પરંતુ પ્રથમ, એક મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો યાદ રાખો, જે કેટલાક કારણોસર પાઠ્યપુસ્તકોના ઘણા કમ્પાઇલરો "ભૂલી" જાય છે:
મૂળ સમાન ડિગ્રી (અમારા મનપસંદ $\sqrt(a)$, તેમજ કોઈપણ $\sqrt(a)$ અને સમ $\sqrt(a)$) અને વિષમ ડિગ્રી (કોઈપણ $\sqrt(a)$ હોઈ શકે છે. , $\ sqrt(a)$ વગેરે). અને એક વિષમ ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા સમ કરતાં કંઈક અલગ છે.
અહીં આ વાહિયાતમાં "કંઈક અલગ" છુપાયેલ છે, સંભવતઃ, મૂળ સાથે સંકળાયેલ તમામ ભૂલો અને ગેરસમજણોમાંથી 95%. તો ચાલો એકવાર અને બધા માટે પરિભાષા સાફ કરીએ:
વ્યાખ્યા. પણ મૂળ nનંબરમાંથી $a$ કોઈપણ છે બિન-નકારાત્મકએક સંખ્યા $b$ જેમ કે $((b)^(n))=a$. અને સમાન સંખ્યા $a$ થી વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ સામાન્ય રીતે કોઈપણ સંખ્યા $b$ હોય છે જેના માટે સમાન સમાનતા હોય છે: $((b)^(n))=a$.
કોઈ પણ સંજોગોમાં, રુટ આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે:
\(a)\]
આવા સંકેતમાં $n$ નંબરને મૂળ ઘાત કહેવામાં આવે છે, અને $a$ નંબરને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, $n=2$ માટે આપણને અમારું “મનપસંદ” વર્ગમૂળ મળે છે (માર્ગ દ્વારા, આ એક સમાન ડિગ્રીનું મૂળ છે), અને $n=3$ માટે આપણને ઘનમૂળ (એક વિચિત્ર ડિગ્રી) મળે છે. જે ઘણીવાર સમસ્યાઓ અને સમીકરણોમાં પણ જોવા મળે છે.
ઉદાહરણો. વર્ગમૂળના ઉત્તમ ઉદાહરણો:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]
માર્ગ દ્વારા, $\sqrt(0)=0$ અને $\sqrt(1)=1$. આ તદ્દન તાર્કિક છે કારણ કે $(0)^(2))=0$ અને $(1)^(2))=1$.
ક્યુબિક મૂળ પણ સામાન્ય છે - તેનાથી ડરશો નહીં:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]
સારું, કેટલાક "વિદેશી ઉદાહરણો":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]
જો તમે સમજી શકતા નથી કે સમ અને વિષમ ડિગ્રી વચ્ચે શું તફાવત છે, તો વ્યાખ્યાને ફરીથી વાંચો. તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે!
આ દરમિયાન, અમે મૂળના એક અપ્રિય લક્ષણને ધ્યાનમાં લઈશું, જેના કારણે અમારે સમ અને વિષમ ઘાતાંક માટે અલગ વ્યાખ્યા રજૂ કરવાની જરૂર છે.
શા માટે આપણને મૂળની જરૂર છે?
વ્યાખ્યા વાંચ્યા પછી, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ પૂછશે: "જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ સાથે આવ્યા ત્યારે તેઓ શું ધૂમ્રપાન કરતા હતા?" અને ખરેખર: આપણને આ બધા મૂળની કેમ જરૂર છે?
આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો થોડીવાર માટે પ્રાથમિક શાળામાં પાછા જઈએ. યાદ રાખો: તે દૂરના સમયમાં, જ્યારે વૃક્ષો હરિયાળા હતા અને ડમ્પલિંગ વધુ સ્વાદિષ્ટ હતા, ત્યારે અમારી મુખ્ય ચિંતા સંખ્યાઓને યોગ્ય રીતે ગુણાકાર કરવાની હતી. સારું, "પાંચ બાય પાંચ - પચીસ" ની ભાવનામાં કંઈક, બસ. પરંતુ છેવટે, તમે સંખ્યાઓને જોડીમાં નહીં, પરંતુ ત્રિપુટી, ચોગ્ગા અને સામાન્ય રીતે સંપૂર્ણ સેટમાં ગુણાકાર કરી શકો છો:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
જો કે, આ મુદ્દો નથી. યુક્તિ અલગ છે: ગણિતશાસ્ત્રીઓ આળસુ લોકો છે, તેથી તેઓએ દસ પાંચનો ગુણાકાર આ રીતે લખવો પડ્યો:
તેથી તેઓ ડિગ્રી સાથે આવ્યા. લાંબા સ્ટ્રિંગને બદલે સુપરસ્ક્રિપ્ટ તરીકે પરિબળોની સંખ્યા કેમ ન લખવી? આની જેમ:
તે ખૂબ અનુકૂળ છે! બધી ગણતરીઓ ઘણી વખત ઓછી થાય છે, અને તમે નોટબુકની ચર્મપત્ર શીટ્સનો સમૂહ 5 183 લખવા માટે ખર્ચી શકતા નથી. આવી એન્ટ્રીને સંખ્યાની ડિગ્રી કહેવામાં આવતી હતી, તેમાં ગુણધર્મોનો સમૂહ મળી આવ્યો હતો, પરંતુ ખુશી અલ્પજીવી બની હતી.
ડિગ્રીઓની "શોધ" વિશે આયોજિત ભવ્ય દારૂ પછી, કેટલાક ખાસ કરીને પથ્થરમારો કરતા ગણિતશાસ્ત્રીએ અચાનક પૂછ્યું: "જો આપણે સંખ્યાની ડિગ્રી જાણીએ છીએ, પરંતુ આપણે સંખ્યા પોતે જ જાણતા નથી તો શું?" ખરેખર, જો આપણે જાણીએ કે ચોક્કસ સંખ્યા $b$, ઉદાહરણ તરીકે, 5મી ઘાતને 243 આપે છે, તો પછી આપણે કેવી રીતે અનુમાન કરી શકીએ કે $b$ પોતે જ શું છે?
આ સમસ્યા પ્રથમ નજરમાં લાગે તે કરતાં ઘણી વધુ વૈશ્વિક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. કારણ કે તે બહાર આવ્યું છે કે મોટાભાગની "તૈયાર" ડિગ્રી માટે આવી કોઈ "પ્રારંભિક" સંખ્યાઓ નથી. તમારા માટે ન્યાયાધીશ:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]
જો $((b)^(3))=50$? તે તારણ આપે છે કે તમારે એક ચોક્કસ સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે, જે, જ્યારે પોતાના દ્વારા ત્રણ વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને 50 મળશે. પરંતુ આ સંખ્યા શું છે? તે સ્પષ્ટપણે 3 કરતા વધારે છે કારણ કે 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. એટલે કે. આ સંખ્યા ક્યાંક ત્રણ અને ચાર વચ્ચે છે, પરંતુ તે શું છે - FIG તમે સમજી શકશો.
આ જ કારણ છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ $n$-th મૂળ સાથે આવ્યા. તેથી જ આમૂલ ચિહ્ન $\sqrt(*)$ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. સમાન સંખ્યાને દર્શાવવા માટે $b$, જે, ઉલ્લેખિત શક્તિ માટે, અમને અગાઉ જાણીતું મૂલ્ય આપશે
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
હું દલીલ કરતો નથી: ઘણીવાર આ મૂળ સરળતાથી માનવામાં આવે છે - અમે ઉપરના આવા ઘણા ઉદાહરણો જોયા. પરંતુ તેમ છતાં, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, જો તમે મનસ્વી સંખ્યા વિશે વિચારો છો, અને પછી તેમાંથી મનસ્વી ડિગ્રીના મૂળને કાઢવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો તમે ક્રૂર બમરમાં છો.
ત્યાં શું છે! સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ પરિચિત $\sqrt(2)$ પણ આપણે જે સ્વરૂપમાં ઉપયોગમાં લઈએ છીએ તેમાં રજૂ કરી શકાતું નથી - પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક તરીકે. અને જો તમે આ નંબરને કેલ્ક્યુલેટરમાં ચલાવો છો, તો તમે આ જોશો:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
જેમ તમે જોઈ શકો છો, દશાંશ બિંદુ પછી સંખ્યાઓનો અનંત ક્રમ છે જે કોઈપણ તર્કનું પાલન કરતું નથી. તમે, અલબત્ત, અન્ય નંબરો સાથે ઝડપથી સરખામણી કરવા માટે આ નંબરને રાઉન્ડ કરી શકો છો. દાખ્લા તરીકે:
\[\sqrt(2)=1.4142...\અંદાજે 1.4 \lt 1.5\]
અથવા અહીં બીજું ઉદાહરણ છે:
\[\sqrt(3)=1.73205...\અંદાજે 1.7 \gt 1.5\]
પરંતુ આ તમામ રાઉન્ડિંગ્સ, પ્રથમ, તેના બદલે રફ છે; અને બીજું, તમારે અંદાજિત મૂલ્યો સાથે કામ કરવામાં પણ સક્ષમ હોવું જરૂરી છે, અન્યથા તમે બિન-સ્પષ્ટ ભૂલોનો સમૂહ પકડી શકો છો (માર્ગ દ્વારા, સરખામણી અને રાઉન્ડિંગની કુશળતા પ્રોફાઇલ પરીક્ષામાં આવશ્યકપણે તપાસવામાં આવે છે).
તેથી, ગંભીર ગણિતમાં કોઈ મૂળ વિના કરી શકતું નથી - તે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના સમાન સમાન પ્રતિનિધિઓ છે $\mathbb(R)$, તેમજ અપૂર્ણાંક અને પૂર્ણાંકો જે આપણને લાંબા સમયથી પરિચિત છે.
$\frac(p)(q)$ ફોર્મના અપૂર્ણાંક તરીકે રુટને રજૂ કરવાની અશક્યતાનો અર્થ એ છે કે આ રુટ કોઈ તર્કસંગત સંખ્યા નથી. આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે, અને તે આમૂલ, અથવા આ માટે ખાસ રચાયેલ અન્ય બાંધકામો (લોગરિધમ્સ, ડિગ્રી, મર્યાદા, વગેરે) ની મદદ સિવાય ચોક્કસ રીતે રજૂ કરી શકાતી નથી. પરંતુ અન્ય સમયે તેના પર વધુ.
કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો જ્યાં, બધી ગણતરીઓ પછી, અતાર્કિક સંખ્યાઓ હજુ પણ જવાબમાં રહેશે.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\અંદાજે 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\અંદાજે -1,2599... \\ \end(સંરેખિત)\]
સ્વાભાવિક રીતે, મૂળના દેખાવ દ્વારા, દશાંશ બિંદુ પછી કઈ સંખ્યાઓ આવશે તે અનુમાન લગાવવું લગભગ અશક્ય છે. જો કે, કેલ્ક્યુલેટર પર ગણતરી કરવી શક્ય છે, પરંતુ સૌથી અદ્યતન તારીખ કેલ્ક્યુલેટર પણ આપણને અતાર્કિક સંખ્યાના પ્રથમ થોડા અંકો જ આપે છે. તેથી, $\sqrt(5)$ અને $\sqrt(-2)$ તરીકે જવાબો લખવા તે વધુ યોગ્ય છે.
તે માટે તેઓની શોધ કરવામાં આવી હતી. જવાબો લખવાનું સરળ બનાવવા માટે.
શા માટે બે વ્યાખ્યાઓની જરૂર છે?
સચેત વાચકે કદાચ પહેલેથી જ નોંધ્યું હશે કે ઉદાહરણોમાં આપેલા તમામ વર્ગમૂળ ધન સંખ્યાઓમાંથી લેવામાં આવ્યા છે. સારું, ઓછામાં ઓછું શૂન્યથી. પરંતુ ઘનમૂળ સંપૂર્ણપણે કોઈપણ સંખ્યામાંથી શાંતિથી કાઢવામાં આવે છે - સકારાત્મક પણ, નકારાત્મક પણ.
આવું કેમ થઈ રહ્યું છે? ફંક્શન $y=(x)^(2))$ ના ગ્રાફ પર એક નજર નાખો:
ચતુર્ભુજ કાર્યનો ગ્રાફ બે મૂળ આપે છે: હકારાત્મક અને નકારાત્મક ચાલો આ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને $\sqrt(4)$ ની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, ગ્રાફ પર આડી રેખા $y=4$ (લાલ રંગમાં ચિહ્નિત) દોરવામાં આવી છે, જે પેરાબોલાને બે બિંદુઓ પર છેદે છે: $((x)_(1))=2$ અને $((x) _(2)) =-2$. આ તદ્દન તાર્કિક છે, ત્યારથી
પ્રથમ નંબર સાથે બધું સ્પષ્ટ છે - તે હકારાત્મક છે, તેથી તે મૂળ છે:
પણ પછી બીજા મુદ્દાનું શું કરવું? શું 4 એક સાથે બે મૂળ ધરાવે છે? છેવટે, જો આપણે સંખ્યા −2 નો વર્ગ કરીએ, તો આપણને 4 પણ મળે છે. તો પછી શા માટે $\sqrt(4)=-2$ લખતા નથી? અને શિક્ષકો આવા રેકોર્ડને શા માટે જુએ છે જાણે તેઓ તમને ખાવા માંગતા હોય? :)
મુશ્કેલી એ છે કે જો કોઈ વધારાની શરતો લાદવામાં ન આવે, તો ચારમાં બે વર્ગમૂળ હશે - હકારાત્મક અને નકારાત્મક. અને કોઈપણ ધન સંખ્યા પણ તેમાંથી બે હશે. પરંતુ ઋણ સંખ્યાઓનું મૂળ બિલકુલ નહીં હોય - આ એક જ ગ્રાફ પરથી જોઈ શકાય છે, કારણ કે પેરાબોલા ક્યારેય અક્ષની નીચે આવતું નથી. y, એટલે કે નકારાત્મક મૂલ્યો લેતા નથી.
સમાન ઘાતાંકવાળા તમામ મૂળ માટે સમાન સમસ્યા થાય છે:
- કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક ધન સંખ્યાના બે મૂળ હશે જેમાં એક સમાન ઘાતાંક $n$ હશે;
- ઋણ સંખ્યાઓમાંથી, સમ $n$ સાથેનું મૂળ બિલકુલ કાઢવામાં આવતું નથી.
એટલા માટે સમ રુટ $n$ ની વ્યાખ્યા ખાસ કરીને નિર્ધારિત કરે છે કે જવાબ બિન-નેગેટિવ નંબર હોવો જોઈએ. આ રીતે આપણે અસ્પષ્ટતાથી છુટકારો મેળવીએ છીએ.
પરંતુ વિચિત્ર $n$ માટે આવી કોઈ સમસ્યા નથી. આ જોવા માટે, ચાલો ફંક્શન $y=((x)^(3))$ ના ગ્રાફ પર એક નજર કરીએ:
ક્યુબિક પેરાબોલા કોઈપણ મૂલ્ય લે છે, તેથી ઘનમૂળ કોઈપણ સંખ્યામાંથી લઈ શકાય છે આ ગ્રાફમાંથી બે તારણો કાઢી શકાય છે:
- ક્યુબિક પેરાબોલાની શાખાઓ, સામાન્યથી વિપરીત, બંને દિશામાં અનંત તરફ જાય છે - ઉપર અને નીચે બંને. તેથી, ગમે તેટલી ઊંચાઈએ આપણે આડી રેખા દોરીએ, આ રેખા ચોક્કસપણે આપણા ગ્રાફ સાથે છેદે છે. તેથી, ઘનમૂળ હંમેશા લઈ શકાય છે, સંપૂર્ણપણે કોઈપણ સંખ્યામાંથી;
- આ ઉપરાંત, આવા આંતરછેદ હંમેશા અનન્ય રહેશે, તેથી તમારે "સાચો" રુટ અને કયો સ્કોર કરવો તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી. તેથી જ એક વિષમ ડિગ્રી માટે મૂળની વ્યાખ્યા સમ એક કરતાં વધુ સરળ છે (ત્યાં કોઈ બિન-નકારાત્મકતાની આવશ્યકતા નથી).
તે અફસોસની વાત છે કે મોટા ભાગની પાઠ્યપુસ્તકોમાં આ સરળ બાબતો સમજાવવામાં આવી નથી. તેના બદલે, આપણું મગજ તમામ પ્રકારના અંકગણિત મૂળ અને તેના ગુણધર્મો સાથે ઉડવા લાગે છે.
હા, હું દલીલ કરતો નથી: અંકગણિત મૂળ શું છે - તમારે પણ જાણવાની જરૂર છે. અને હું આ વિશે એક અલગ પાઠમાં વિગતવાર વાત કરીશ. આજે આપણે તેના વિશે પણ વાત કરીશું, કારણ કે તેના વિના, $n$-th ગુણાકારના મૂળ પરના તમામ પ્રતિબિંબ અપૂર્ણ હશે.
પરંતુ પ્રથમ તમારે સ્પષ્ટપણે સમજવાની જરૂર છે કે મેં ઉપર આપેલી વ્યાખ્યા. નહિંતર, શરતોની વિપુલતાને લીધે, તમારા માથામાં એવી ગડબડ શરૂ થશે કે અંતે તમે કંઈપણ સમજી શકશો નહીં.
અને તમારે માત્ર સમ અને બેકી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત સમજવાની જરૂર છે. તેથી, ફરી એકવાર અમે તમને મૂળ વિશે ખરેખર જાણવાની જરૂર છે તે બધું એકત્રિત કરીશું:
- સમ રુટ ફક્ત બિન-નકારાત્મક સંખ્યાથી અસ્તિત્વમાં છે અને તે હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે. નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે, આવા મૂળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
- પરંતુ વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ કોઈપણ સંખ્યામાંથી અસ્તિત્વમાં છે અને તે પોતે કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે: સકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે તે હકારાત્મક છે, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે, જેમ કે કેપ સંકેત આપે છે, તે નકારાત્મક છે.
શું તે મુશ્કેલ છે? ના, તે મુશ્કેલ નથી. ચોખ્ખુ? હા, તે સ્પષ્ટ છે! તેથી, હવે આપણે ગણતરીઓ સાથે થોડી પ્રેક્ટિસ કરીશું.
મૂળભૂત ગુણધર્મો અને પ્રતિબંધો
મૂળમાં ઘણી વિચિત્ર ગુણધર્મો અને પ્રતિબંધો છે - આ એક અલગ પાઠ હશે. તેથી, હવે આપણે ફક્ત સૌથી મહત્વપૂર્ણ "ચિપ" ને ધ્યાનમાં લઈશું, જે ફક્ત સમાન ઘાતાંકવાળા મૂળને લાગુ પડે છે. અમે આ ગુણધર્મને સૂત્રના રૂપમાં લખીએ છીએ:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે સંખ્યાને એક સમાન ઘાતમાં વધારીએ અને તેમાંથી તે જ ડિગ્રીનું મૂળ કાઢીએ, તો આપણને મૂળ સંખ્યા નહીં, પરંતુ તેનું મોડ્યુલસ મળશે. આ એક સરળ પ્રમેય છે જે સાબિત કરવું સરળ છે (તે અલગથી બિન-નકારાત્મક $x$ અને પછી નકારાત્મકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે). શિક્ષકો સતત તેના વિશે વાત કરે છે, તે દરેક શાળાના પાઠ્યપુસ્તકમાં આપવામાં આવે છે. પરંતુ જલદી અતાર્કિક સમીકરણો (એટલે કે રેડિકલની નિશાની ધરાવતા સમીકરણો) ઉકેલવાની વાત આવે છે, વિદ્યાર્થીઓ આ સૂત્ર એકસાથે ભૂલી જાય છે.
આ મુદ્દાને વિગતવાર સમજવા માટે, ચાલો એક મિનિટ માટે બધા સૂત્રો ભૂલી જઈએ અને આગળ બે નંબરો ગણવાનો પ્રયાસ કરીએ:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
આ ખૂબ જ સરળ ઉદાહરણો છે. પ્રથમ ઉદાહરણ મોટાભાગના લોકો દ્વારા ઉકેલવામાં આવશે, પરંતુ બીજા પર, ઘણા લાકડી. સમસ્યા વિના આવી કોઈપણ વાહિયાત હલ કરવા માટે, હંમેશા પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લો:
- પ્રથમ, સંખ્યાને ચોથા ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે. સારું, તે એક પ્રકારનું સરળ છે. નવી સંખ્યા પ્રાપ્ત થશે, જે ગુણાકાર કોષ્ટકમાં પણ મળી શકે છે;
- અને હવે આ નવા નંબરમાંથી ચોથા ડિગ્રીના મૂળને કાઢવા જરૂરી છે. તે. મૂળ અને ડિગ્રીનો કોઈ "ઘટાડો" નથી - આ ક્રમિક ક્રિયાઓ છે.
ચાલો પ્રથમ અભિવ્યક્તિ સાથે વ્યવહાર કરીએ: $\sqrt(((3)^(4)))$. દેખીતી રીતે, તમારે પહેલા રુટ હેઠળ અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:
\[(3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
પછી આપણે નંબર 81 નું ચોથું મૂળ કાઢીએ છીએ:
હવે બીજા અભિવ્યક્તિ સાથે તે જ કરીએ. પ્રથમ, આપણે નંબર −3 ને ચોથી ઘાતમાં વધારીએ છીએ, જેના માટે આપણે તેને 4 વખત પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:
\[(\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ડાબે(-3 \જમણે)=81\]
અમને એક સકારાત્મક નંબર મળ્યો, કારણ કે ઉત્પાદનમાં બાદબાકીની કુલ સંખ્યા 4 ટુકડાઓ છે, અને તે બધા એકબીજાને રદ કરશે (છેવટે, બાદબાકીથી માઇનસ વત્તા આપે છે). આગળ, ફરીથી રુટ કાઢો:
સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ પંક્તિ લખી શકાતી નથી, કારણ કે તે કોઈ વિચારસરણી નથી કે જવાબ સમાન હશે. તે. સમાન સમાન શક્તિનું એક સમાન મૂળ બાદબાકીને "બર્ન" કરે છે, અને આ અર્થમાં પરિણામ સામાન્ય મોડ્યુલથી અસ્પષ્ટ છે:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]
આ ગણતરીઓ એક સમાન ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા સાથે સારી રીતે સંમત છે: પરિણામ હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, અને આમૂલ ચિહ્ન પણ હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હોય છે. નહિંતર, રુટ વ્યાખ્યાયિત નથી.
કામગીરીના ક્રમ પર નોંધ
- $\sqrt(((a)^(2)))$ નો અર્થ એ છે કે આપણે પહેલા $a$ નંબરનો વર્ગ કરીએ છીએ, અને પછી પરિણામી મૂલ્યનું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ. તેથી, અમે ખાતરી કરી શકીએ છીએ કે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હંમેશા મૂળ ચિહ્ન હેઠળ બેસે છે, કારણ કે $((a)^(2))\ge 0$ કોઈપણ રીતે;
- પરંતુ નોટેશન $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, તેનાથી વિપરિત, એનો અર્થ એ છે કે આપણે પહેલા ચોક્કસ નંબર $a$માંથી રૂટ કાઢીએ છીએ અને પછી જ પરિણામનો વર્ગ કરીએ છીએ. તેથી, નંબર $a$ કોઈ પણ સંજોગોમાં નકારાત્મક હોઈ શકતો નથી - આ વ્યાખ્યામાં એમ્બેડ કરેલી ફરજિયાત આવશ્યકતા છે.
આમ, કોઈ પણ સંજોગોમાં કોઈએ વિચારવિહીન રીતે મૂળ અને ડિગ્રીને ઘટાડવી જોઈએ નહીં, ત્યાંથી મૂળ અભિવ્યક્તિને "સરળ" બનાવવી જોઈએ. કારણ કે જો મૂળની નીચે ઋણ સંખ્યા હોય અને તેનો ઘાતાંક સમ હોય, તો આપણને ઘણી સમસ્યાઓ થશે.
જો કે, આ બધી સમસ્યાઓ માત્ર સૂચકાંકો માટે જ સંબંધિત છે.
રુટ ચિહ્નની નીચેથી માઈનસ ચિહ્ન દૂર કરવું
સ્વાભાવિક રીતે, વિષમ ઘાતાંકવાળા મૂળમાં પણ તેમની પોતાની વિશેષતા હોય છે, જે, સૈદ્ધાંતિક રીતે, સમ રાશિઓ માટે અસ્તિત્વમાં નથી. જેમ કે:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
ટૂંકમાં, તમે એક વિષમ ડિગ્રીના મૂળની નિશાની હેઠળથી માઈનસ કાઢી શકો છો. આ એક ખૂબ જ ઉપયોગી પ્રોપર્ટી છે જે તમને તમામ ગેરફાયદાને "ફેંકવાની" પરવાનગી આપે છે:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \અંત(સંરેખિત કરો)\]
આ સરળ મિલકત ઘણી ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. હવે તમારે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી: જો નકારાત્મક અભિવ્યક્તિ મૂળની નીચે આવી જાય, અને મૂળની ડિગ્રી સમાન હોય તો શું? તે ફક્ત મૂળની બહારના તમામ ગેરફાયદાઓને "ફેંકી દેવું" પૂરતું છે, તે પછી તેઓ એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે, વિભાજિત કરી શકાય છે અને સામાન્ય રીતે ઘણી શંકાસ્પદ વસ્તુઓ કરી શકે છે, જે "ક્લાસિક" મૂળના કિસ્સામાં આપણને એક તરફ દોરી જાય છે. ભૂલ
અને અહીં બીજી વ્યાખ્યા દ્રશ્યમાં પ્રવેશે છે - તે જ જેની સાથે મોટાભાગની શાળાઓ અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ શરૂ કરે છે. અને જેના વિના આપણો તર્ક અધૂરો રહેશે. મળો!
અંકગણિત મૂળ
ચાલો એક ક્ષણ માટે માની લઈએ કે માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ અથવા, આત્યંતિક કિસ્સાઓમાં, શૂન્ય મૂળ ચિન્હ હેઠળ હોઈ શકે છે. ચાલો સમ/વિષમ સૂચકાંકો પર સ્કોર કરીએ, ઉપર આપેલી બધી વ્યાખ્યાઓ પર સ્કોર કરીએ - અમે ફક્ત બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે જ કામ કરીશું. પછી શું?
અને પછી આપણે અંકગણિત રુટ મેળવીએ છીએ - તે આંશિક રીતે અમારી "માનક" વ્યાખ્યાઓ સાથે છેદે છે, પરંતુ તેમ છતાં તે તેનાથી અલગ છે.
વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની $n$th ડિગ્રીનું અંકગણિત મૂળ $a$ એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા $b$ છે જેમ કે $((b)^(n))=a$.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમને હવે સમાનતામાં રસ નથી. તેના બદલે, એક નવો પ્રતિબંધ દેખાયો: આમૂલ અભિવ્યક્તિ હવે હંમેશા બિન-નકારાત્મક છે, અને મૂળ પોતે પણ બિન-નકારાત્મક છે.
અંકગણિત મૂળ સામાન્ય કરતાં કેવી રીતે અલગ પડે છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, અમને પહેલાથી જ પરિચિત ચોરસ અને ઘન પેરાબોલાના ગ્રાફ પર એક નજર નાખો:
રુટ શોધ વિસ્તાર - બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ જેમ તમે જોઈ શકો છો, હવેથી, અમને ગ્રાફના તે ટુકડાઓમાં જ રસ છે જે પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે - જ્યાં કોઓર્ડિનેટ્સ $x$ અને $y$ હકારાત્મક છે (અથવા ઓછામાં ઓછું શૂન્ય). અમને ઋણ સંખ્યાને રૂટ કરવાનો અધિકાર છે કે નહીં તે સમજવા માટે તમારે હવે સૂચક જોવાની જરૂર નથી. કારણ કે ઋણ સંખ્યાઓને હવે સિદ્ધાંતમાં ગણવામાં આવતી નથી.
તમે પૂછી શકો છો: "સારું, શા માટે આપણને આવી કાસ્ટ્રેટેડ વ્યાખ્યાની જરૂર છે?" અથવા: "ઉપર આપેલ પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યા સાથે આપણે કેમ મેળવી શકતા નથી?"
સારું, હું ફક્ત એક મિલકત આપીશ, જેના કારણે નવી વ્યાખ્યા યોગ્ય બને છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતીકરણ નિયમ:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આપણે રુટ અભિવ્યક્તિને કોઈપણ શક્તિમાં વધારી શકીએ છીએ અને તે જ સમયે રુટ ઘાતાંકને સમાન શક્તિથી ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ - અને પરિણામ સમાન સંખ્યા હશે! અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(સંરેખિત)\]
સારું, તેમાં ખોટું શું છે? અમે તે પહેલાં કેમ ન કરી શક્યા? અહીં શા માટે છે. એક સરળ અભિવ્યક્તિનો વિચાર કરો: $\sqrt(-2)$ એ એક એવી સંખ્યા છે જે આપણા શાસ્ત્રીય અર્થમાં તદ્દન સામાન્ય છે, પરંતુ અંકગણિત મૂળના દૃષ્ટિકોણથી સંપૂર્ણપણે અસ્વીકાર્ય છે. ચાલો તેને કન્વર્ટ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt((\left(-2 \right))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
જેમ તમે જોઈ શકો છો, પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે આમૂલ (અમારી પાસે દરેક અધિકાર છે, કારણ કે સૂચક વિચિત્ર છે) માંથી માઈનસ બહાર કાઢ્યો છે, અને બીજા કિસ્સામાં, અમે ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો છે. તે. ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી, બધું નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે.
WTF?! સમાન સંખ્યા હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને કેવી રીતે હોઈ શકે? કોઈ રસ્તો નથી. તે માત્ર એટલું જ છે કે ઘાતાંક સૂત્ર, જે હકારાત્મક સંખ્યાઓ અને શૂન્ય માટે સરસ કામ કરે છે, તે નકારાત્મક સંખ્યાઓના કિસ્સામાં સંપૂર્ણ પાખંડ આપવાનું શરૂ કરે છે.
અહીં, આવી અસ્પષ્ટતાથી છુટકારો મેળવવા માટે, તેઓ અંકગણિત મૂળ સાથે આવ્યા. એક અલગ મોટો પાઠ તેમને સમર્પિત છે, જ્યાં અમે તેમની તમામ ગુણધર્મોને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. તેથી હવે આપણે તેમના પર ધ્યાન આપીશું નહીં - કોઈપણ રીતે પાઠ ખૂબ લાંબો બન્યો.
બીજગણિત મૂળ: જેઓ વધુ જાણવા માંગે છે તેમના માટે
મેં લાંબા સમયથી વિચાર્યું: આ વિષયને એક અલગ ફકરામાં બનાવવો કે નહીં. અંતે, મેં અહીંથી જવાનું નક્કી કર્યું. આ સામગ્રી એવા લોકો માટે છે જેઓ મૂળને વધુ સારી રીતે સમજવા માંગે છે - હવે સરેરાશ "શાળા" સ્તરે નહીં, પરંતુ ઓલિમ્પિયાડની નજીકના સ્તરે.
તેથી: સંખ્યામાંથી $n$-th ડિગ્રીના મૂળની "શાસ્ત્રીય" વ્યાખ્યા અને સમ અને વિષમ સૂચકાંકોમાં સંકળાયેલ વિભાજન ઉપરાંત, એક વધુ "પુખ્ત" વ્યાખ્યા છે, જે સમાનતા પર આધારિત નથી અને અન્ય સૂક્ષ્મતા. તેને બીજગણિત મૂળ કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા. કોઈપણ $a$ નું બીજગણિત $n$-th રુટ એ તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે $b$ જેમ કે $((b)^(n))=a$. આવા મૂળ માટે કોઈ સુસ્થાપિત હોદ્દો નથી, તેથી ફક્ત ટોચ પર ડેશ મૂકો:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
પાઠની શરૂઆતમાં આપેલ પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યાથી મૂળભૂત તફાવત એ છે કે બીજગણિતીય મૂળ એ ચોક્કસ સંખ્યા નથી, પરંતુ સમૂહ છે. અને અમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતા હોવાથી, આ સમૂહ ફક્ત ત્રણ પ્રકારનો છે:
- ખાલી સેટ. ત્યારે થાય છે જ્યારે ઋણ સંખ્યામાંથી એક સમાન ડિગ્રીનું બીજગણિતીય મૂળ શોધવાની જરૂર હોય છે;
- એક જ તત્વનો સમાવેશ કરતો સમૂહ. વિષમ શક્તિઓના તમામ મૂળ, તેમજ શૂન્યમાંથી સમ શક્તિઓના મૂળ, આ શ્રેણીમાં આવે છે;
- છેલ્લે, સમૂહમાં બે સંખ્યાઓ શામેલ હોઈ શકે છે - સમાન $((x)_(1))$ અને $((x)_(2))=-((x)_(1))$ જે અમે ચાર્ટ ચતુર્ભુજ કાર્ય. તદનુસાર, આવી સંરેખણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે ધન સંખ્યામાંથી એક સમાન ડિગ્રીના મૂળને બહાર કાઢો.
છેલ્લો કેસ વધુ વિગતવાર વિચારણાને પાત્ર છે. ચાલો તફાવત સમજવા માટે થોડા ઉદાહરણો ગણીએ.
ઉદાહરણ. અભિવ્યક્તિઓની ગણતરી કરો:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
ઉકેલ. પ્રથમ અભિવ્યક્તિ સરળ છે:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
તે બે સંખ્યાઓ છે જે સમૂહનો ભાગ છે. કારણ કે તેમાંનો દરેક વર્ગ ચાર આપે છે.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
અહીં આપણે ફક્ત એક જ સંખ્યાનો સમૂહ જોઈ શકીએ છીએ. આ તદ્દન તાર્કિક છે, કારણ કે મૂળનો ઘાતાંક વિચિત્ર છે.
છેલ્લે, છેલ્લી અભિવ્યક્તિ:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
અમને એક ખાલી સેટ મળ્યો. કારણ કે ત્યાં એક પણ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી કે જે, જ્યારે ચોથા (એટલે કે, પણ!) ઘાત સુધી વધારવામાં આવે, ત્યારે આપણને નકારાત્મક સંખ્યા −16 આપશે.
અંતિમ નોંધ. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: એવું ન હતું કે મેં દરેક જગ્યાએ નોંધ્યું છે કે અમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. કારણ કે ત્યાં જટિલ સંખ્યાઓ પણ છે - ત્યાં $\sqrt(-16)$ અને અન્ય ઘણી વિચિત્ર વસ્તુઓની ગણતરી કરવી તદ્દન શક્ય છે.
જો કે, ગણિતના આધુનિક શાળા અભ્યાસક્રમમાં, જટિલ સંખ્યાઓ લગભગ ક્યારેય મળતી નથી. મોટાભાગની પાઠ્યપુસ્તકોમાંથી તેઓને બાદ કરવામાં આવ્યા છે કારણ કે અમારા અધિકારીઓ વિષયને "સમજવા માટે ખૂબ જ મુશ્કેલ" માને છે.
બસ એટલું જ. આગળના પાઠમાં, આપણે મૂળના તમામ મુખ્ય ગુણધર્મો જોઈશું અને અંતે અતાર્કિક અભિવ્યક્તિને કેવી રીતે સરળ બનાવવી તે શીખીશું. :)
વ્યવહારમાં રુટ કાઢવાના ઑપરેશનનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે આ ઑપરેશનના ગુણધર્મોથી પરિચિત થવાની જરૂર છે.
તમામ ગુણધર્મો માત્ર રૂટ ચિહ્નો હેઠળ સમાયેલ ચલોના બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટે જ ઘડવામાં આવે છે અને સાબિત થાય છે.
પ્રમેય 1. બે બિન-નકારાત્મક ચિપસેટના ઉત્પાદનનું nમું મૂળ (n=2, 3, 4,...) આ સંખ્યાઓના nમા મૂળના ઉત્પાદન જેટલું છે:
ટિપ્પણી:
1.
પ્રમેય 1 એ કેસ માટે માન્ય રહે છે જ્યારે આમૂલ અભિવ્યક્તિ બે કરતાં વધુ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન હોય.
પ્રમેય 2.જો,
અને n એ 1 કરતા મોટી કુદરતી સંખ્યા છે, પછી સમાનતા
સંક્ષિપ્ત(અચોક્કસ હોવા છતાં) ફોર્મ્યુલેશન જે વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવા માટે વધુ અનુકૂળ છે: અપૂર્ણાંકનું મૂળ મૂળના અપૂર્ણાંક જેટલું છે.
પ્રમેય 1 આપણને m ગુણાકાર કરવાની મંજૂરી આપે છે માત્ર સમાન ડિગ્રીના મૂળ
, એટલે કે સમાન ઘાતાંક સાથે માત્ર મૂળ.
પ્રમેય 3. જો ,k એ કુદરતી સંખ્યા છે અને n એ 1 કરતા મોટી કુદરતી સંખ્યા છે, પછી સમાનતા
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કુદરતી શક્તિ માટે રુટ વધારવા માટે, આ શક્તિ માટે મૂળ અભિવ્યક્તિ વધારવા માટે તે પૂરતું છે.
આ પ્રમેય 1 નું પરિણામ છે. ખરેખર, ઉદાહરણ તરીકે, k = 3 માટે આપણને મળે છે
પ્રમેય 4. જો ,k, n એ 1 કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યાઓ છે, પછી સમાનતા
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૂળમાંથી મૂળ કાઢવા માટે, તે મૂળના ઘાતાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે.
દાખ્લા તરીકે,
સાવચેત રહો!અમે શીખ્યા કે મૂળ પર ચાર ક્રિયાઓ કરી શકાય છે: ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને મૂળ (મૂળમાંથી) કાઢવા. પરંતુ મૂળના ઉમેરા અને બાદબાકી વિશે શું? કોઈ રસ્તો નથી.
ઉદાહરણ તરીકે, તમે Indeed ને બદલે લખી શકતા નથી, પરંતુ તે સ્પષ્ટ છે
પ્રમેય 5. જો રુટના સૂચકાંકો અને રુટ અભિવ્યક્તિ સમાન કુદરતી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો રુટનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં, એટલે કે.
સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો
ઉદાહરણ 1ગણત્રી
ઉકેલ.મૂળની પ્રથમ મિલકત (પ્રમેય 1) નો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે:
ઉદાહરણ 2ગણત્રી
ઉકેલ.મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.
અમારી પાસે મૂળની બીજી મિલકતનો ઉપયોગ છે ( પ્રમેય 2
), અમને મળે છે:
ઉદાહરણ 3ગણત્રી: 
ઉકેલ.બીજગણિતમાં કોઈપણ સૂત્ર, જેમ તમે સારી રીતે જાણો છો, તેનો ઉપયોગ ફક્ત "ડાબેથી જમણે" જ નહીં, પણ "જમણેથી ડાબે" પણ થાય છે. તેથી, મૂળના પ્રથમ ગુણધર્મનો અર્થ એ છે કે તેને તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને તેનાથી વિપરીત, અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે. આ જ મૂળની બીજી મિલકતને લાગુ પડે છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને, ચાલો ગણતરી કરીએ.
