Herzlichen Glückwunsch: Heute analysieren wir die Wurzeln - eines der umwerfendsten Themen der 8. Klasse. :)
Viele Menschen sind verwirrt über die Wurzeln, nicht weil sie komplex sind (was kompliziert ist – ein paar Definitionen und ein paar weitere Eigenschaften), sondern weil in den meisten Schulbüchern die Wurzeln durch solche Wilds definiert sind, dass nur die Autoren der Lehrbücher selbst kann dieses Gekritzel verstehen. Und selbst dann nur mit einer guten Flasche Whisky. :)
Deshalb werde ich jetzt die richtigste und kompetenteste Definition der Wurzel geben - die einzige, an die Sie sich wirklich erinnern müssen. Und erst dann werde ich erklären: warum das alles notwendig ist und wie man es in der Praxis anwendet.
Aber erinnern Sie sich zuerst an einen wichtigen Punkt, den viele Autoren von Lehrbüchern aus irgendeinem Grund „vergessen“ haben:
Wurzeln können geraden Grad (unser Lieblings-$\sqrt(a)$, sowie jedes $\sqrt(a)$ und gerade $\sqrt(a)$) und ungeraden Grad (jedes $\sqrt(a)$) haben , $\sqrt(a)$ usw.). Und die Definition der Wurzel eines ungeraden Grades unterscheidet sich etwas von der geraden.
Hier in diesem verdammten „etwas anderen“ verstecken sich wahrscheinlich 95% aller Fehler und Missverständnisse, die mit den Wurzeln verbunden sind. Klären wir also ein für alle Mal die Terminologie auf:
Definition. Sogar Wurzel n aus der Zahl $a$ ist beliebig nicht negativ eine Zahl $b$ mit $((b)^(n))=a$. Und die Wurzel eines ungeraden Grades aus derselben Zahl $a$ ist im Allgemeinen jede Zahl $b$, für die dieselbe Gleichheit gilt: $((b)^(n))=a$.
In jedem Fall wird die Wurzel so bezeichnet:
\(a)\]
Die Zahl $n$ in einer solchen Notation wird Wurzelexponent genannt, und die Zahl $a$ wird Wurzelausdruck genannt. Insbesondere erhalten wir für $n=2$ unsere „Lieblings“-Quadratwurzel (das ist übrigens eine Wurzel mit geradem Grad), und für $n=3$ bekommen wir eine Kubikwurzel (einen ungeraden Grad), die auch oft in Problemen und Gleichungen zu finden ist.
Beispiele. Klassische Beispiele für Quadratwurzeln:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Übrigens, $\sqrt(0)=0$ und $\sqrt(1)=1$. Dies ist ziemlich logisch, da $((0)^(2))=0$ und $((1)^(2))=1$.
Kubische Wurzeln sind auch üblich - haben Sie keine Angst davor:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Nun, ein paar "exotische Beispiele":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Wenn Sie nicht verstehen, was der Unterschied zwischen einem geraden und einem ungeraden Grad ist, lesen Sie die Definition noch einmal. Es ist sehr wichtig!
In der Zwischenzeit werden wir ein unangenehmes Merkmal der Wurzeln betrachten, aufgrund dessen wir eine separate Definition für gerade und ungerade Exponenten einführen mussten.
Warum brauchen wir überhaupt Wurzeln?
Nach dem Lesen der Definition werden viele Schüler fragen: „Was haben die Mathematiker geraucht, als sie darauf kamen?“ Und wirklich: Wozu brauchen wir all diese Wurzeln?
Um diese Frage zu beantworten, gehen wir kurz zurück in die Grundschule. Denken Sie daran: In jenen fernen Zeiten, als die Bäume grüner und die Knödel schmackhafter waren, ging es uns vor allem darum, die Zahlen richtig zu multiplizieren. Naja, irgendwas im Sinne von "fünf mal fünf - fünfundzwanzig", das ist alles. Aber man kann Zahlen ja nicht paarweise multiplizieren, sondern in Drillingen, Vierern und generell ganzen Sätzen:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Dies ist jedoch nicht der Punkt. Der Trick ist ein anderer: Mathematiker sind faule Menschen, also mussten sie die Multiplikation von zehn Fünfern so aufschreiben:
Also kamen sie auf Abschlüsse. Warum schreiben Sie die Anzahl der Faktoren nicht hochgestellt statt als lange Zeichenfolge? Wie dieser:
Es ist sehr bequem! Alle Berechnungen werden um ein Vielfaches reduziert, und Sie können nicht einen Haufen Pergamentblätter von Notizbüchern ausgeben, um etwa 5 183 aufzuschreiben. Ein solcher Eintrag wurde als Grad einer Zahl bezeichnet, darin wurden eine Reihe von Eigenschaften gefunden, aber das Glück erwies sich als kurzlebig.
Nach einem grandiosen Schnaps, der gerade um die „Entdeckung“ von Graden organisiert wurde, fragte plötzlich ein besonders bekiffter Mathematiker: „Was ist, wenn wir den Grad einer Zahl kennen, aber wir kennen die Zahl selbst nicht?“ In der Tat, wenn wir wissen, dass eine bestimmte Zahl $b$ zum Beispiel 243 hoch 5 ergibt, wie können wir dann erraten, was die Zahl $b$ selbst gleich ist?
Dieses Problem stellte sich als viel globaler heraus, als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Denn es stellte sich heraus, dass es für die meisten „vorgefertigten“ Abschlüsse keine solchen „Anfangs“-Nummern gibt. Urteile selbst:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]
Was ist, wenn $((b)^(3))=50$? Es stellt sich heraus, dass Sie eine bestimmte Zahl finden müssen, die, wenn sie dreimal mit sich selbst multipliziert wird, 50 ergibt. Aber was ist diese Zahl? Sie ist deutlich größer als 3, weil 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. D.h. diese Zahl liegt irgendwo zwischen drei und vier, aber was es gleich ist - FIG, werden Sie verstehen.
Genau aus diesem Grund kamen Mathematiker auf $n$-te Wurzeln. Deshalb wurde das Radikal-Icon $\sqrt(*)$ eingeführt. Um die gleiche Zahl $b$ zu bezeichnen, die uns mit der angegebenen Potenz einen zuvor bekannten Wert gibt
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
Ich behaupte nicht: Oft sind diese Wurzeln leicht zu berücksichtigen - wir haben oben mehrere solcher Beispiele gesehen. Aber dennoch, in den meisten Fällen, wenn Sie an eine willkürliche Zahl denken und dann versuchen, die Wurzel eines willkürlichen Grades daraus zu ziehen, werden Sie in eine grausame Panne geraten.
Was ist dort! Selbst das einfachste und bekannteste $\sqrt(2)$ kann nicht in unserer üblichen Form dargestellt werden - als Ganzzahl oder Bruch. Und wenn Sie diese Zahl in einen Taschenrechner eingeben, sehen Sie Folgendes:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Wie Sie sehen, folgt hinter dem Komma eine endlose Folge von Zahlen, die keiner Logik gehorchen. Sie können diese Zahl natürlich runden, um sie schnell mit anderen Zahlen zu vergleichen. Zum Beispiel:
\[\sqrt(2)=1.4142...\approx 1.4 \lt 1.5\]
Oder hier noch ein Beispiel:
\[\sqrt(3)=1,73205...\ungefähr 1,7 \gt 1,5\]
Aber alle diese Rundungen sind erstens ziemlich grob; und zweitens müssen Sie auch mit ungefähren Werten arbeiten können, sonst können Sie sich einen Haufen nicht offensichtlicher Fehler einfangen (die Fähigkeit zum Vergleichen und Runden wird übrigens unbedingt in der Profilprüfung überprüft).
Daher kann man in der ernsthaften Mathematik nicht auf Wurzeln verzichten - sie sind die gleichen gleichwertigen Vertreter der Menge aller reellen Zahlen $\mathbb(R)$ sowie Brüche und ganze Zahlen, die uns seit langem bekannt sind.
Die Unmöglichkeit, die Wurzel als Bruch der Form $\frac(p)(q)$ darzustellen, bedeutet, dass diese Wurzel keine rationale Zahl ist. Solche Zahlen werden irrational genannt und können nur mit Hilfe eines Radikals oder anderer speziell dafür entwickelter Konstruktionen (Logarithmen, Grade, Grenzwerte usw.) genau dargestellt werden. Aber dazu ein andermal mehr.
Betrachten Sie einige Beispiele, bei denen nach all den Berechnungen immer noch irrationale Zahlen in der Antwort verbleiben.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]
Durch das Aussehen der Wurzel ist es natürlich fast unmöglich zu erraten, welche Zahlen nach dem Komma kommen werden. Es ist jedoch möglich, mit einem Taschenrechner zu rechnen, aber selbst der fortschrittlichste Datumsrechner gibt uns nur die ersten paar Ziffern einer irrationalen Zahl. Daher ist es viel korrekter, die Antworten als $\sqrt(5)$ und $\sqrt(-2)$ zu schreiben.
Dafür wurden sie erfunden. Um das Aufschreiben von Antworten zu erleichtern.
Warum werden zwei Definitionen benötigt?
Dem aufmerksamen Leser ist sicher schon aufgefallen, dass alle in den Beispielen angegebenen Quadratwurzeln aus positiven Zahlen gezogen werden. Naja, zumindest von Null. Aber Kubikwurzeln werden ruhig aus absolut jeder Zahl gezogen - sogar positiv, sogar negativ.
Warum passiert das? Schauen Sie sich den Graphen der Funktion $y=((x)^(2))$ an:
Der Graph einer quadratischen Funktion ergibt zwei Wurzeln: positiv und negativ Lassen Sie uns versuchen, $\sqrt(4)$ mit diesem Diagramm zu berechnen. Dazu wird in den Graphen eine horizontale Linie $y=4$ (rot markiert) gezeichnet, die die Parabel an zwei Punkten schneidet: $((x)_(1))=2$ und $((x) _(2)) =-2$. Das ist ganz logisch, da
Mit der ersten Zahl ist alles klar - sie ist positiv, also die Wurzel:
Aber was tun mit dem zweiten Punkt? Hat die 4 zwei Wurzeln gleichzeitig? Wenn wir die Zahl −2 quadrieren, erhalten wir schließlich auch 4. Warum schreiben wir dann nicht $\sqrt(4)=-2$? Und warum schauen sich Lehrer solche Platten an, als wollten sie dich fressen? :)
Das Problem ist, dass, wenn keine zusätzlichen Bedingungen auferlegt werden, die vier zwei Quadratwurzeln haben - positiv und negativ. Und jede positive Zahl hat auch zwei davon. Aber negative Zahlen haben überhaupt keine Wurzeln - dies ist aus demselben Diagramm ersichtlich, da die Parabel niemals unter die Achse fällt j, d.h. nimmt keine negativen Werte an.
Ein ähnliches Problem tritt bei allen Wurzeln mit geradem Exponenten auf:
- Genau genommen hat jede positive Zahl zwei Wurzeln mit einem geraden Exponenten $n$;
- Aus negativen Zahlen wird die Wurzel mit geradem $n$ gar nicht gezogen.
Aus diesem Grund schreibt die Definition einer geraden Wurzel $n$ ausdrücklich vor, dass die Antwort eine nicht negative Zahl sein muss. So beseitigen wir Unklarheiten.
Aber für ungerade $n$ gibt es dieses Problem nicht. Um dies zu sehen, werfen wir einen Blick auf den Graphen der Funktion $y=((x)^(3))$:
Die kubische Parabel nimmt jeden Wert an, also kann die Kubikwurzel aus jeder Zahl gezogen werden Aus dieser Grafik lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:
- Die Äste einer kubischen Parabel gehen im Gegensatz zur üblichen in beide Richtungen ins Unendliche - sowohl nach oben als auch nach unten. Daher wird sich diese Linie auf jeder Höhe, in der wir eine horizontale Linie zeichnen, definitiv mit unserem Diagramm schneiden. Daher kann die Kubikwurzel immer gezogen werden, absolut aus jeder Zahl;
- Darüber hinaus ist eine solche Kreuzung immer eindeutig, sodass Sie nicht darüber nachdenken müssen, welche Zahl Sie als „richtige“ Wurzel betrachten und welche Sie werten möchten. Deshalb ist die Definition von Wurzeln für einen ungeraden Grad einfacher als für einen geraden (es gibt keine Nicht-Negativitätsanforderung).
Schade, dass diese einfachen Dinge in den meisten Lehrbüchern nicht erklärt werden. Stattdessen beginnen unsere Gehirne mit allen möglichen arithmetischen Wurzeln und ihren Eigenschaften zu explodieren.
Ja, ich behaupte nicht: Was ist eine arithmetische Wurzel - Sie müssen es auch wissen. Und darüber werde ich in einer separaten Lektion ausführlich sprechen. Heute werden wir auch darüber sprechen, denn ohne sie wären alle Überlegungen zu den Wurzeln der $n$-ten Vielheit unvollständig.
Aber zuerst müssen Sie die Definition, die ich oben gegeben habe, klar verstehen. Sonst fängt aufgrund der Fülle an Begriffen in deinem Kopf ein solches Durcheinander an, dass du am Ende gar nichts mehr verstehst.
Und alles, was Sie verstehen müssen, ist der Unterschied zwischen geraden und ungeraden Zahlen. Deshalb sammeln wir noch einmal alles, was Sie wirklich über die Wurzeln wissen müssen:
- Eine gerade Wurzel besteht nur aus einer nicht negativen Zahl und ist selbst immer eine nicht negative Zahl. Für negative Zahlen ist eine solche Wurzel undefiniert.
- Aber die Wurzel eines ungeraden Grades besteht aus jeder Zahl und kann selbst jede Zahl sein: Für positive Zahlen ist sie positiv und für negative Zahlen, wie die Großbuchstaben andeuten, ist sie negativ.
Ist es schwer? Nein, es ist nicht schwierig. Klar? Ja, es ist offensichtlich! Deshalb werden wir jetzt ein wenig mit den Berechnungen üben.
Grundlegende Eigenschaften und Einschränkungen
Wurzeln haben viele seltsame Eigenschaften und Einschränkungen - dies wird eine separate Lektion sein. Daher betrachten wir jetzt nur den wichtigsten "Chip", der nur für Wurzeln mit geradem Exponenten gilt. Wir schreiben diese Eigenschaft in Form einer Formel:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\rechts|\]
Mit anderen Worten, wenn wir eine Zahl in eine gerade Potenz erheben und daraus die Wurzel desselben Grades ziehen, erhalten wir nicht die ursprüngliche Zahl, sondern ihren Modul. Dies ist ein einfacher Satz, der leicht zu beweisen ist (es genügt, nicht-negative $x$ separat zu betrachten und dann negative separat zu betrachten). Lehrer sprechen ständig darüber, es steht in jedem Schulbuch. Aber sobald es darum geht, irrationale Gleichungen (also Gleichungen, die das Wurzelzeichen enthalten) zu lösen, vergessen die Schüler gemeinsam diese Formel.
Um das Problem im Detail zu verstehen, vergessen wir für eine Minute alle Formeln und versuchen, zwei Zahlen vorauszuzählen:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Dies sind sehr einfache Beispiele. Das erste Beispiel wird von den meisten Leuten gelöst, aber beim zweiten bleiben viele dran. Um solchen Mist ohne Probleme zu lösen, bedenken Sie immer das Verfahren:
- Zunächst wird die Zahl in die vierte Potenz erhoben. Nun, es ist irgendwie einfach. Es wird eine neue Zahl erhalten, die sogar im Einmaleins zu finden ist;
- Und jetzt muss aus dieser neuen Zahl die Wurzel des vierten Grades gezogen werden. Diese. Es gibt keine "Reduktion" von Wurzeln und Graden - dies sind sequentielle Aktionen.
Betrachten wir den ersten Ausdruck: $\sqrt(((3)^(4)))$. Offensichtlich müssen Sie zuerst den Ausdruck unter der Wurzel berechnen:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Dann ziehen wir die vierte Wurzel aus der Zahl 81:
Machen wir jetzt dasselbe mit dem zweiten Ausdruck. Zuerst potenzieren wir die Zahl −3 in die vierte Potenz, wofür wir sie viermal mit sich selbst multiplizieren müssen:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ links(-3 \rechts)=81\]
Wir haben eine positive Zahl erhalten, da die Gesamtzahl der Minuspunkte im Produkt 4 Stück beträgt und sich alle gegenseitig aufheben (immerhin ergibt ein Minus durch ein Minus ein Plus). Als nächstes extrahieren Sie die Wurzel erneut:
Im Prinzip könnte diese Zeile nicht geschrieben werden, da es ein Kinderspiel ist, dass die Antwort die gleiche sein wird. Diese. Eine gerade Wurzel mit der gleichen geraden Leistung "verbrennt" die Minuspunkte, und in diesem Sinne ist das Ergebnis nicht vom üblichen Modul zu unterscheiden:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Diese Berechnungen stimmen gut mit der Definition der Wurzel eines geraden Grads überein: Das Ergebnis ist immer nicht negativ, und das Wurzelzeichen ist auch immer eine nicht negative Zahl. Andernfalls ist die Wurzel nicht definiert.
Hinweis zur Reihenfolge der Operationen
- Die Notation $\sqrt(((a)^(2)))$ bedeutet, dass wir zuerst die Zahl $a$ quadrieren und dann die Quadratwurzel aus dem Ergebnis ziehen. Daher können wir sicher sein, dass eine nicht negative Zahl immer unter dem Wurzelzeichen steht, da $((a)^(2))\ge 0$ sowieso;
- Die Schreibweise $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ hingegen bedeutet, dass wir zuerst die Wurzel aus einer bestimmten Zahl $a$ ziehen und erst dann das Ergebnis quadrieren. Daher darf die Zahl $a$ auf keinen Fall negativ sein - dies ist eine zwingende Anforderung, die in die Definition eingebettet ist.
Man sollte also auf keinen Fall gedankenlos Wurzeln und Grade reduzieren und damit den ursprünglichen Ausdruck vermeintlich „vereinfachen“. Denn wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht und ihr Exponent gerade ist, bekommen wir viele Probleme.
All diese Probleme sind jedoch nur für gerade Indikatoren relevant.
Entfernen eines Minuszeichens unter dem Wurzelzeichen
Natürlich haben auch Wurzeln mit ungeraden Exponenten eine Eigenheit, die es bei geraden im Prinzip nicht gibt. Nämlich:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kurz gesagt, Sie können ein Minus unter dem Zeichen der Wurzeln eines ungeraden Grades herausnehmen. Dies ist eine sehr nützliche Eigenschaft, mit der Sie alle Minuspunkte "wegwerfen" können:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Diese einfache Eigenschaft vereinfacht viele Berechnungen erheblich. Jetzt brauchen Sie sich keine Sorgen zu machen: Was ist, wenn ein negativer Ausdruck unter die Wurzel gelangt ist und sich herausstellt, dass der Grad an der Wurzel gleichmäßig ist? Es reicht aus, alle Minuspunkte außerhalb der Wurzeln „auszuwerfen“, danach können sie miteinander multipliziert, geteilt und im Allgemeinen viele verdächtige Dinge tun, die uns im Fall von „klassischen“ Wurzeln garantiert zu einem führen Error.
Und hier kommt eine andere Definition ins Spiel – diejenige, mit der die meisten Schulen das Studium irrationaler Ausdrücke beginnen. Und ohne die unsere Argumentation unvollständig wäre. Treffen!
arithmetische Wurzel
Nehmen wir für einen Moment an, dass unter dem Wurzelzeichen nur positive Zahlen oder im Extremfall Null stehen können. Lassen Sie uns mit geraden / ungeraden Indikatoren punkten, mit allen oben angegebenen Definitionen punkten - wir werden nur mit nicht negativen Zahlen arbeiten. Was dann?
Und dann bekommen wir die arithmetische Wurzel - sie überschneidet sich teilweise mit unseren "Standard" -Definitionen, unterscheidet sich aber immer noch von ihnen.
Definition. Eine arithmetische Wurzel vom $n$ten Grad einer nicht-negativen Zahl $a$ ist eine nicht-negative Zahl $b$, so dass $((b)^(n))=a$.
Wie Sie sehen können, sind wir nicht mehr an Parität interessiert. Stattdessen trat eine neue Einschränkung auf: Der Wurzelausdruck ist jetzt immer nicht-negativ, und die Wurzel selbst ist auch nicht-negativ.
Um besser zu verstehen, wie sich die arithmetische Wurzel von der üblichen unterscheidet, werfen Sie einen Blick auf die uns bereits bekannten Diagramme der quadratischen und kubischen Parabel:
Root-Suchbereich - nicht negative Zahlen Wie Sie sehen, interessieren uns ab jetzt nur noch die Graphenstücke, die sich im ersten Koordinatenviertel befinden – wo die Koordinaten $x$ und $y$ positiv (oder zumindest null) sind. Sie müssen nicht mehr auf den Indikator schauen, um zu verstehen, ob wir das Recht haben, eine negative Zahl zu rooten oder nicht. Denn negative Zahlen werden grundsätzlich nicht mehr berücksichtigt.
Sie mögen fragen: „Nun, warum brauchen wir eine solche kastrierte Definition?“ Oder: "Warum kommen wir nicht mit der oben angegebenen Standarddefinition aus?"
Nun, ich werde nur eine Eigenschaft angeben, aufgrund derer die neue Definition angemessen wird. Zum Beispiel die Potenzierungsregel:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Bitte beachten Sie: Wir können den Wurzelausdruck beliebig potenzieren und gleichzeitig den Wurzelexponenten mit derselben Potenz multiplizieren - und das Ergebnis ist dieselbe Zahl! Hier sind einige Beispiele:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]
Nun, was ist daran falsch? Warum konnten wir das nicht früher? Hier ist der Grund. Betrachten Sie einen einfachen Ausdruck: $\sqrt(-2)$ ist eine Zahl, die in unserem klassischen Sinne ganz normal ist, aber aus Sicht der arithmetischen Wurzel absolut inakzeptabel ist. Versuchen wir es umzuwandeln:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Wie Sie sehen können, haben wir im ersten Fall das Minus unter dem Radikal entfernt (wir haben jedes Recht, weil der Indikator ungerade ist), und im zweiten Fall haben wir die obige Formel verwendet. Diese. Aus mathematischer Sicht geschieht alles nach den Regeln.
WTF?! Wie kann dieselbe Zahl sowohl positiv als auch negativ sein? Auf keinen Fall. Es ist nur so, dass die Potenzierungsformel, die für positive Zahlen und Null hervorragend funktioniert, im Fall von negativen Zahlen anfängt, völlige Häresie zu geben.
Um solche Mehrdeutigkeiten zu beseitigen, haben sie sich hier arithmetische Wurzeln ausgedacht. Ihnen ist eine separate große Lektion gewidmet, in der wir alle ihre Eigenschaften im Detail betrachten. Also werden wir uns jetzt nicht damit befassen - die Lektion erwies sich sowieso als zu lang.
Algebraische Wurzel: für diejenigen, die mehr wissen wollen
Ich habe lange überlegt: dieses Thema in einem eigenen Absatz zu machen oder nicht. Am Ende habe ich mich entschieden, hier wegzugehen. Dieses Material ist für diejenigen gedacht, die die Wurzeln noch besser verstehen wollen – nicht mehr auf dem durchschnittlichen „Schul“-Niveau, sondern auf dem Niveau nahe der Olympiade.
Also: neben der „klassischen“ Definition der Wurzel des $n$-ten Grades aus einer Zahl und der damit verbundenen Einteilung in gerade und ungerade Indikatoren gibt es eine „erwachsenere“ Definition, die nicht auf Parität und Parität angewiesen ist andere Feinheiten überhaupt. Dies wird als algebraische Wurzel bezeichnet.
Definition. Eine algebraische $n$-te Wurzel von $a$ ist die Menge aller Zahlen $b$ mit $((b)^(n))=a$. Es gibt keine etablierte Bezeichnung für solche Wurzeln, also setzen Sie einfach einen Bindestrich oben drauf:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Der grundlegende Unterschied zur Standarddefinition zu Beginn der Lektion besteht darin, dass die algebraische Wurzel keine bestimmte Zahl, sondern eine Menge ist. Und da wir mit reellen Zahlen arbeiten, besteht diese Menge nur aus drei Typen:
- Leeres Set. Tritt auf, wenn es erforderlich ist, eine algebraische Wurzel mit geradem Grad aus einer negativen Zahl zu finden;
- Eine Menge, die aus einem einzigen Element besteht. Alle Wurzeln ungerader Potenzen sowie Wurzeln gerader Potenzen von Null fallen in diese Kategorie;
- Schließlich kann die Menge zwei Zahlen enthalten – dieselben $((x)_(1))$ und $((x)_(2))=-((x)_(1))$, die wir auf der gesehen haben Diagramm quadratische Funktion. Dementsprechend ist eine solche Ausrichtung nur möglich, wenn die Wurzel eines geraden Grades aus einer positiven Zahl gezogen wird.
Der letzte Fall verdient eine eingehendere Betrachtung. Lassen Sie uns ein paar Beispiele zählen, um den Unterschied zu verstehen.
Beispiel. Ausdrücke berechnen:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Lösung. Der erste Ausdruck ist einfach:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Es sind zwei Zahlen, die Teil des Sets sind. Weil jeder von ihnen quadriert eine Vier ergibt.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Hier sehen wir eine Menge, die nur aus einer Zahl besteht. Das ist ziemlich logisch, da der Exponent der Wurzel ungerade ist.
Zum Schluss der letzte Ausdruck:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Wir haben ein leeres Set. Weil es keine einzige reelle Zahl gibt, die uns, wenn sie in die vierte (also gerade!) Potenz erhoben wird, eine negative Zahl –16 gibt.
Schlussbemerkung. Bitte beachten Sie: Nicht zufällig habe ich überall festgestellt, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten. Denn es gibt auch komplexe Zahlen - da kann man durchaus $\sqrt(-16)$ und viele andere merkwürdige Sachen berechnen.
Im modernen Schullehrplan für Mathematik sind komplexe Zahlen jedoch fast nie zu finden. Sie wurden in den meisten Lehrbüchern weggelassen, weil unsere Beamten das Thema für "zu schwer verständlich" halten.
Das ist alles. In der nächsten Lektion werden wir uns alle wichtigen Eigenschaften von Wurzeln ansehen und schließlich lernen, wie man irrationale Ausdrücke vereinfacht. :)
Um die Operation zum Extrahieren der Wurzel in der Praxis erfolgreich einzusetzen, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen.
Alle Eigenschaften werden nur für nicht negative Werte von Variablen formuliert und bewiesen, die unter Wurzelzeichen enthalten sind.
Satz 1. Die n-te Wurzel (n=2, 3, 4,...) des Produkts zweier nicht-negativer Chipsätze ist gleich dem Produkt der n-ten Wurzeln dieser Zahlen:
Kommentar:
1.
Satz 1 bleibt gültig für den Fall, dass der Wurzelausdruck das Produkt von mehr als zwei nicht negativen Zahlen ist.
Satz 2.Wenn ein,
und n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann ist die Gleichheit
Knapp(wenn auch ungenaue) Formulierung, die in der Praxis bequemer zu verwenden ist: Die Wurzel des Bruchs ist gleich dem Bruch der Wurzeln.
Satz 1 erlaubt uns, m zu multiplizieren nur Wurzeln gleichen Grades
, d.h. nur Wurzeln mit gleichem Exponenten.
Satz 3. Wenn ,k ist eine natürliche Zahl und n ist eine natürliche Zahl größer als 1, dann ist die Gleichheit
Mit anderen Worten, um eine Wurzel zu einer natürlichen Kraft zu erheben, genügt es, den Wurzelausdruck zu dieser Kraft zu erheben.
Dies ist eine Folgerung aus Satz 1. Tatsächlich erhalten wir zum Beispiel für k = 3
Satz 4. Wenn ,k, n sind natürliche Zahlen größer als 1, dann ist die Gleichheit
Mit anderen Worten, um eine Wurzel aus einer Wurzel zu ziehen, reicht es aus, die Exponenten der Wurzeln zu multiplizieren.
Zum Beispiel,
Seien Sie vorsichtig! Wir haben gelernt, dass vier Operationen mit Wurzeln durchgeführt werden können: Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen (aus der Wurzel). Aber was ist mit der Addition und Subtraktion von Wurzeln? Auf keinen Fall.
Sie können beispielsweise nicht anstelle von Indeed schreiben, aber das ist offensichtlich
Satz 5. Wenn multipliziere oder dividiere die Indikatoren der Wurzel und des Wurzelausdrucks mit derselben natürlichen Zahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht, d.h.
Beispiele für Problemlösungen
Beispiel 1 Berechnung
Lösung. Unter Verwendung der ersten Eigenschaft der Nullstellen (Satz 1) erhalten wir:
Beispiel 2 Berechnung
Lösung. Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um.
Wir haben die Verwendung der zweiten Eigenschaft der Wurzeln ( Satz 2
), wir bekommen:
Beispiel 3 Berechnung: 
Lösung. Wie Sie wissen, wird jede Formel in der Algebra nicht nur "von links nach rechts", sondern auch "von rechts nach links" verwendet. Die erste Eigenschaft der Wurzeln bedeutet also, dass sie dargestellt werden kann als und umgekehrt durch den Ausdruck ersetzt werden kann. Dasselbe gilt für die zweite Eigenschaft von Wurzeln. Lassen Sie uns in diesem Sinne die Berechnungen durchführen.
Unterricht und Präsentation zum Thema: "Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades. Theoreme"
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Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades. Sätze
Leute, wir studieren weiter die Wurzeln des n-ten Grades einer reellen Zahl. Wie fast alle mathematischen Objekte haben die Wurzeln des n-ten Grades einige Eigenschaften, die wir heute untersuchen werden.Alle Eigenschaften, die wir betrachten, werden nur für nicht negative Werte der unter dem Wurzelzeichen enthaltenen Variablen formuliert und bewiesen.
Bei ungeradem Wurzelexponenten gelten sie auch für negative Variablen.
Satz 1. Die n-te Wurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der n-ten Wurzeln dieser Zahlen: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .
Beweisen wir den Satz.
Nachweisen. Leute, um den Satz zu beweisen, führen wir neue Variablen ein, bezeichnen:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Wir müssen beweisen, dass $x=y*z$.
Beachten Sie, dass auch die folgenden Identitäten gelten:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Dann gilt auch folgende Identität: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Sind die Grade zweier nicht negativer Zahlen und ihre Exponenten gleich, dann sind auch die Basen der Grade selbst gleich. Also $x=y*z$, was bewiesen werden musste.
Satz 2. Wenn $a≥0$, $b>0$ und n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann gilt folgende Gleichheit: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Das heißt, die n-te Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der n-ten Wurzeln.
Nachweisen.
Um dies zu beweisen, verwenden wir ein vereinfachtes Schema in Form einer Tabelle:
Beispiele zur Berechnung der n-ten Wurzel
Beispiel.Berechnen Sie: $\sqrt(16*81*256)$.
Lösung. Verwenden wir Satz 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Beispiel.
Berechnen Sie: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Lösung. Stellen wir den Wurzelausdruck als unechten Bruch dar: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Verwenden wir Satz 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1). ) (2)$.
Beispiel.
Berechnung:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Lösung:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ quadrat(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Satz 3. Wenn $a≥0$, k und n natürliche Zahlen größer als 1 sind, dann ist die Gleichheit wahr: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Um eine Wurzel zu einer natürlichen Kraft zu erheben, genügt es, den radikalen Ausdruck zu dieser Kraft zu erheben.
Nachweisen.
Betrachten wir einen Spezialfall für $k=3$. Wenden wir Satz 1 an.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Dasselbe lässt sich für jeden anderen Fall beweisen. Leute, beweist es selbst für den Fall, wenn $k=4$ und $k=6$.
Satz 4. Sind $a≥0$ b n,k natürliche Zahlen größer als 1, dann gilt die Gleichheit: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Um eine Wurzel aus einer Wurzel zu ziehen, genügt es, die Exponenten der Wurzeln zu multiplizieren.
Nachweisen.
Beweisen wir noch einmal kurz anhand der Tabelle. Um dies zu beweisen, verwenden wir ein vereinfachtes Schema in Form einer Tabelle: 
Beispiel.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Satz 5. Wenn die Indizes der Wurzel und des Wurzelausdrucks mit derselben natürlichen Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert der Wurzel nicht: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Nachweisen.
Das Prinzip des Beweises unseres Satzes ist dasselbe wie in anderen Beispielen. Lassen Sie uns neue Variablen einführen:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (per Definition).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (per Definition).
Wir potenzieren die letzte Gleichheit mit p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Habe:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Das heißt, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, was zu beweisen war.
Beispiele:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (geteilt durch 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (geteilt durch 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (multipliziert mit 3).
Beispiel.
Aktionen ausführen: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Lösung.
Die Exponenten der Wurzeln sind unterschiedliche Zahlen, daher können wir Satz 1 nicht verwenden, aber durch Anwendung von Satz 5 können wir gleiche Exponenten erhalten.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (multipliziert mit 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (multipliziert mit 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Aufgaben zur selbstständigen Lösung
1. Berechnen Sie: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Berechnen Sie: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Berechnen:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Vereinfachen:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Aktionen ausführen: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
