Funktsiya chaqiriladi intervalda ortib boradi
, agar biron bir nuqta uchun

tengsizlik mavjud
(kattaroq argument qiymati kattaroq funktsiya qiymatiga mos keladi).

Xuddi shunday, funktsiya
chaqirdi oraliqda kamayadi
, agar biron bir nuqta uchun
agar shart bajarilsa, bu oraliqdan
tengsizlik mavjud
(kattaroq argument qiymati kichikroq funktsiya qiymatiga mos keladi).

Intervalda ortib boradi
va intervalda kamayadi
funksiyalar deyiladi intervalda monotonik
.

Differensiallanuvchi funksiyaning hosilasini bilish uning monotonlik intervallarini topish imkonini beradi.

Teorema (funksiyaning ortishi uchun etarli shart).
funktsiyalari
oraliqda ijobiy
, keyin funksiya
bu oraliqda monoton ravishda ortadi.

Teorema (funksiyaning kamayishi uchun etarli shart). Agar hosila intervalda differensiallansa
funktsiyalari
intervalda salbiy
, keyin funksiya
bu oraliqda monoton ravishda kamayadi.

Geometrik ma'no Bu teoremalardan shundan iboratki, kamayuvchi funksiyalar oraliqlarida funktsiya grafigiga teglar o‘q bilan hosil bo‘ladi.
o'tkir burchaklar va ortib borayotgan oraliqlarda - o'tkir (1-rasmga qarang).

Teorema (funksiyaning monotonligi uchun zaruriy shart). Agar funktsiya
farqlanadigan va
(
) intervalda
, keyin bu oraliqda kamaymaydi (ko'paymaydi).

Funksiyaning monotonlik intervallarini topish algoritmi
:

Misol. Funksiyaning monotonlik intervallarini toping
.

Nuqta chaqirdi funktsiyaning maksimal nuqtasi

hamma uchun shunday , shartni qondirish
, tengsizlik amal qiladi
.

Maksimal funktsiya funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati.

2-rasmda nuqtalarda maksimal bo'lgan funksiya grafigiga misol keltirilgan
.

Nuqta chaqirdi funktsiyaning minimal nuqtasi
, agar biron bir raqam bo'lsa
hamma uchun shunday , shartni qondirish
, tengsizlik amal qiladi
. Anjir. 2 funksiya nuqtada minimal qiymatga ega .

Yuqori va pastlarning umumiy nomi bor - haddan tashqari . Shunga ko'ra, maksimal va minimal nuqtalar chaqiriladi ekstremal nuqtalar .

Segmentda aniqlangan funksiya faqat shu segment ichida joylashgan nuqtalarda maksimal va minimumga ega bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, funktsiyaning maksimal va minimal qiymatini segmentdagi eng katta va eng kichik qiymatlari bilan aralashtirib yubormaslik kerak - bular tubdan farq qiladigan tushunchalar.

Ekstremum nuqtalarda hosila maxsus xususiyatlarga ega.

Teorema (ekstremum uchun zaruriy shart). Nuqtaga ruxsat bering funktsiyasi
ekstremumga ega. Keyin ham
mavjud emas, yoki
.

Funktsiyaning ta'rif domenidagi nuqtalar
mavjud emas yoki qaysi
, deyiladi funktsiyaning muhim nuqtalari .

Shunday qilib, ekstremal nuqtalar kritik nuqtalar qatoriga kiradi. Umuman olganda, tanqidiy nuqta ekstremum nuqta bo'lishi shart emas. Agar funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi hosilasi nolga teng bo'lsa, bu funktsiyaning bu nuqtada ekstremumga ega ekanligini anglatmaydi.

Misol. Keling, ko'rib chiqaylik
. Bizda ... bor
, lekin nuqta
ekstremum nuqta emas (3-rasmga qarang).

Teorema (ekstremum uchun birinchi etarli shart). Nuqtaga ruxsat bering funktsiyasi
uzluksiz va hosiladir
nuqtadan o'tayotganda belgisini o'zgartiradi. Keyin – ekstremum nuqta: agar belgi “+” dan “–” ga o‘zgarsa, maksimal va “–” dan “+” ga o‘zgarsa minimal.

Agar nuqtadan o'tayotganda hosila belgisini o'zgartirmaydi, keyin nuqtada ekstremal yo'q.

Teorema (ekstremum uchun ikkinchi etarli shart). Nuqtaga ruxsat bering ikki marta differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi
nolga teng (
) va uning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi nolga teng emas (
) va nuqtaning ba'zi qo'shnilarida uzluksiz . Keyin - ekstremal nuqta
; da
bu minimal nuqta va at
bu maksimal nuqta.

Ekstremum uchun birinchi yetarli shart yordamida funksiyaning ekstremallarini topish algoritmi:

Hosilini toping.

Funksiyaning kritik nuqtalarini toping.

Har bir tanqidiy nuqtaning chap va o'ng tomonidagi hosila belgisini ko'rib chiqing va ekstremalning mavjudligi haqida xulosa chiqaring.

Funktsiyaning ekstremal qiymatlarini toping.

Ekstremum uchun ikkinchi yetarli shart yordamida funksiyaning ekstremallarini topish algoritmi:

Misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping
.

Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremallari

Funksiyaning ortish, kamayish va ekstremal oraliqlarini topish ham mustaqil vazifa, ham boshqa vazifalarning muhim qismidir, xususan, to'liq funktsiyani o'rganish. Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremalligi haqida dastlabki maʼlumotlar keltirilgan hosila haqidagi nazariy bob, men buni oldindan o'rganish uchun tavsiya qilaman (yoki takrorlash)– shuningdek, quyidagi material juda asoslangan, chunki asosan hosila, ushbu maqolaning uyg'un davomi bo'lish. Garchi vaqt qisqa bo'lsa ham, bugungi darsdan misollarni rasmiy ravishda ishlatish ham mumkin.

Va bugun havoda kamdan-kam yakdillik ruhi bor va men hozir bo'lganlarning barchasi istak bilan yonayotganini bevosita his qilaman. funktsiyani hosilasi yordamida tadqiq qilishni o'rganing. Shuning uchun, oqilona, ​​yaxshi, abadiy atamalar darhol monitor ekranlarida paydo bo'ladi.

Nima uchun? Buning sabablaridan biri eng amaliy: ma'lum bir vazifada sizdan odatda nima talab qilinishi aniq bo'lishi uchun!

Funktsiyaning monotonligi. Funksiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremal nuqtalari

Keling, ba'zi funktsiyalarni ko'rib chiqaylik. Oddiy qilib aytganda, biz u deb taxmin qilamiz davomiy butun son qatorida:

Har holda, keling, mumkin bo'lgan illyuziyalardan darhol xalos bo'laylik, ayniqsa yaqinda tanish bo'lgan o'quvchilar uchun. funksiyaning doimiy ishorali intervallari. Endi biz QIZIQTIRMAYDI, funktsiya grafigi o'qga nisbatan qanday joylashganligi (yuqorida, pastda, o'q kesishgan joyda). Ishonchli bo'lish uchun o'qlarni aqliy ravishda o'chiring va bitta grafik qoldiring. Chunki qiziqish shu yerda.

Funktsiya ortadi oraliqda, agar bu oraliqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun munosabat bilan bog'langan bo'lsa, tengsizlik to'g'ri bo'ladi. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning katta qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "pastdan yuqoriga" ketadi. Namoyish funktsiyasi intervalgacha o'sib boradi.

Xuddi shunday, funktsiya kamayadi oraliqda, agar berilgan oraliqning istalgan ikkita nuqtasi uchun , tengsizlik to'g'ri bo'lsa. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "yuqoridan pastga" ketadi. Bizning funktsiyamiz intervalgacha kamayadi .

Agar funktsiya oraliqda ortib yoki kamaysa, u chaqiriladi qat'iy monoton bu oraliqda. Monotoniya nima? Buni tom ma'noda qabul qiling - monotonlik.

Siz ham belgilashingiz mumkin kamaymaydigan funktsiyasi (birinchi ta'rifda bo'shashgan holat) va oshmaydigan funktsiya (2-ta'rifda yumshatilgan holat). Intervaldagi kamaymaydigan yoki ortib bormaydigan funksiya berilgan oraliqdagi monoton funksiya deyiladi. (qat'iy monotonlik - bu "oddiy" monotonlikning alohida holati).

Nazariya, shuningdek, funktsiyaning o'sishini / kamayishini aniqlashning boshqa yondashuvlarini, shu jumladan yarim oraliqlar, segmentlar bo'yicha ko'rib chiqadi, ammo sizning boshingizga yog'-moy-moyni quymaslik uchun biz kategoriyali ta'riflar bilan ochiq intervallar bilan ishlashga rozi bo'lamiz. - bu aniqroq va ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun etarli.

Shunday qilib, mening maqolalarimda "funktsiyaning monotonligi" so'zi deyarli har doim yashirin bo'ladi intervallar qattiq monotonlik(qat'iy oshirish yoki qat'iy kamaytiruvchi funktsiya).

Bir nuqtaning qo'shnisi. O'quvchilar qo'lidan kelganicha qochib ketishadi va dahshat ichida burchaklarga yashirinib olishadi. ...Garchi postdan keyin Cauchy chegaralari Ehtimol, ular endi yashirmaydilar, lekin biroz titraydi =) Xavotir olmang, endi matematik tahlil teoremalarining isboti bo'lmaydi - ta'riflarni yanada aniqroq shakllantirish uchun menga atrof-muhit kerak edi. ekstremal nuqtalar. Keling, eslaylik:

Bir nuqtaning qo'shnisi berilgan nuqtani o'z ichiga olgan interval deyiladi va qulaylik uchun interval ko'pincha simmetrik deb hisoblanadi. Masalan, nuqta va uning standart qo'shnisi:

Aslida, ta'riflar:

Nuqta deyiladi qat'iy maksimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, Barcha uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Bizning aniq misolimizda bu nuqta.

Nuqta deyiladi qat'iy minimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, Barcha uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Chizmada "a" nuqtasi mavjud.

Eslatma : mahalla simmetriyasi talabi umuman kerak emas. Bundan tashqari, muhim ahamiyatga ega mavjudligi haqiqati belgilangan shartlarga javob beradigan qo'shni (mayda yoki mikroskopik).

Nuqtalar chaqiriladi qat'iy ekstremal nuqtalar yoki oddiygina ekstremal nuqtalar funktsiyalari. Ya'ni, bu maksimal ball va minimal ball uchun umumlashtirilgan atama.

"Ekstremal" so'zini qanday tushunamiz? Ha, xuddi monotonlik kabi. Rolikli kosterlarning ekstremal nuqtalari.

Monotonlik holatida bo'lgani kabi, bo'sh postulatlar mavjud va ular nazariy jihatdan yanada keng tarqalgan (bu, albatta, ko'rib chiqilgan qat'iy holatlarga tegishli!):

Nuqta deyiladi maksimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday Barcha uchun
Nuqta deyiladi minimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday Barcha uchun bu mahallaning qadriyatlari, tengsizlik mavjud.

E'tibor bering, oxirgi ikkita ta'rifga ko'ra, doimiy funktsiyaning har qanday nuqtasi (yoki funktsiyaning "tekis qismi") ham maksimal, ham minimal nuqta hisoblanadi! Aytgancha, funktsiya o'smaydigan va kamaymaydigan, ya'ni monotonikdir. Biroq, biz bu mulohazalarni nazariyotchilarga qoldiramiz, chunki amalda biz deyarli har doim an'anaviy "tepaliklar" va "bo'shliqlar" (chizmaga qarang) noyob "tepalik shohi" yoki "botqoq malikasi" bilan o'ylaymiz. Turli xil bo'lib, u paydo bo'ladi maslahat, yuqoriga yoki pastga yo'naltirilgan, masalan, nuqtadagi funktsiyaning minimumi.

Oh, va qirollik haqida gapirganda:
– ma’nosi deyiladi maksimal funktsiyalari;
– ma’nosi deyiladi eng kam funktsiyalari.

Umumiy ism - haddan tashqari funktsiyalari.

Iltimos, so'zlaringiz bilan ehtiyot bo'ling!

Ekstremal nuqtalar- bu "X" qiymatlari.
Ekstremal- "o'yin" ma'nosi.

! Eslatma : ba'zan sanab o'tilgan atamalar to'g'ridan-to'g'ri O'ZI funksiyasining grafigida joylashgan "X-Y" nuqtalariga ishora qiladi.

Funktsiya nechta ekstremalga ega bo'lishi mumkin?

Yo'q, 1, 2, 3, ... va hokazo. cheksizlikka. Masalan, sinus cheksiz ko'p minimal va maksimallarga ega.

MUHIM!"Maksimum funktsiya" atamasi bir xil emas"funktsiyaning maksimal qiymati" atamasi. Qiymat faqat mahalliy mahallada maksimal ekanligini va yuqori chap tomonda "salqinroq o'rtoqlar" borligini payqash oson. Xuddi shunday, "funktsiyaning minimal qiymati" "funksiyaning minimal qiymati" bilan bir xil emas va chizmada biz qiymat faqat ma'lum bir sohada minimal ekanligini ko'ramiz. Shu munosabat bilan ekstremal nuqtalar ham deyiladi mahalliy ekstremal nuqtalar, va ekstremal - mahalliy ekstremallar. Ular yaqin atrofda yurishadi va sayr qilishadi global birodarlar. Shunday qilib, har qanday parabola o'z cho'qqisiga ega global minimal yoki global maksimal. Bundan tashqari, men ekstremal turlarini ajratmayman va tushuntirish umumiy ta'lim maqsadlarida ko'proq aytiladi - "mahalliy" / "global" qo'shimcha sifatlar sizni ajablantirmasligi kerak.

Keling, nazariyaga qisqa ekskursiyamizni sinovdan o'tkazish bilan sarhisob qilaylik: "funktsiyaning monotonlik intervallari va ekstremum nuqtalarini topish" vazifasi nimani anglatadi?

So'z sizni topishga undaydi:

– ortib boruvchi/kamayuvchi funksiya oraliqlari (kamayuvchi, o‘smaydigan ko‘rinish kamroq bo‘ladi);

- maksimal va/yoki minimal ball (mavjud bo'lsa). Muvaffaqiyatsizlikka yo'l qo'ymaslik uchun minimal/maksimallarni o'zlari topish yaxshidir ;-)

Bularning barchasini qanday aniqlash mumkin? Hosila funksiyasidan foydalanish!

O'sish, pasayish intervallarini qanday topish mumkin,
funktsiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremallari?

Ko'pgina qoidalar, aslida, allaqachon ma'lum va tushunilgan hosila ma'nosi haqida dars.

Tangens hosilasi funksiyasi ortib borayotgani haqidagi quvnoq yangiliklarni keltiradi ta'rif sohasi.

Kotangent va uning hosilasi bilan vaziyat butunlay teskari.

Arksinus oraliqda ortadi - bu erda hosila ijobiy: .
Funktsiya aniqlanganda, lekin farqlanmaydi. Biroq, kritik nuqtada o'ng qo'l hosilasi va o'ng qo'l tangensi, boshqa chekkasida esa ularning chap qo'ldoshlari mavjud.

O'ylaymanki, yoy kosinusu va uning hosilasi uchun shunga o'xshash fikr yuritish siz uchun unchalik qiyin bo'lmaydi.

Yuqoridagi barcha holatlar, ularning aksariyati jadvalli hosilalar, Men sizga eslataman, dan to'g'ridan-to'g'ri kuzatib boring hosilaviy ta'riflar.

Nima uchun funktsiyani hosilasi yordamida o'rganish kerak?

Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishini yaxshiroq tushunish uchun: qayerda "pastdan yuqoriga", "yuqoridan pastga", minimal va maksimallarga (agar u umuman yetib borsa) qayerda boradi. Hamma funksiyalar ham unchalik oddiy emas – aksariyat hollarda bizda ma’lum funksiyaning grafigi haqida umuman tasavvurga ega emasmiz.

Keyinchalik mazmunli misollarga o'tish va ko'rib chiqish vaqti keldi funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini topish algoritmi:

1-misol

Funksiyaning ortish/kamayish oraliqlarini va ekstremallarini toping

Yechim:

1) Birinchi qadam - topish funktsiya sohasi, shuningdek, tanaffus nuqtalariga e'tibor bering (agar ular mavjud bo'lsa). Bunda funksiya butun son qatorida uzluksiz bo'lib, bu harakat ma'lum darajada formaldir. Ammo bir qator hollarda, bu erda jiddiy ehtiroslar paydo bo'ladi, shuning uchun paragrafga nafratlanmasdan munosabatda bo'laylik.

2) Algoritmning ikkinchi nuqtasi tufayli

ekstremum uchun zaruriy shart:

Agar nuqtada ekstremum bo'lsa, u holda qiymat mavjud emas.

Oxiridan adashdingizmi? “X moduli” funksiyasining ekstremumi .

Shart zarur, lekin yetarli emas, va buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Demak, funktsiya nuqtada maksimal yoki minimal darajaga yetganligi hali tenglikdan kelib chiqmaydi. Yuqorida klassik misol allaqachon ta'kidlangan - bu kubik parabola va uning tanqidiy nuqtasi.

Qanday bo'lmasin, ekstremum uchun zaruriy shart shubhali nuqtalarni topish zarurligini taqozo etadi. Buning uchun hosilani toping va tenglamani yeching:

Birinchi maqolaning boshida Funktsiya grafiklari haqida Men sizga misol yordamida parabolani qanday tez qurishni aytdim : “...birinchi hosilani olib, uni nolga tenglashtiramiz: ...Demak, tenglamamizning yechimi: - aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan...”. Endi, menimcha, nima uchun parabolaning cho'qqisi aynan shu nuqtada joylashganligini hamma tushunadi =) Umuman olganda, biz bu erda shunga o'xshash misoldan boshlashimiz kerak, lekin bu juda oddiy (hatto choynak uchun ham). Bundan tashqari, darsning oxirida analog mavjud funktsiyaning hosilasi. Shunday qilib, darajani oshiramiz:

2-misol

Funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Dars oxirida muammoning to'liq yechimi va taxminiy yakuniy namunasi.

Kasr-ratsional funktsiyalar bilan uchrashishning uzoq kutilgan vaqti keldi:

3-misol

Birinchi hosila yordamida funksiyani o‘rganing

Bitta va bir xil vazifani qanday o'zgartirish mumkinligiga e'tibor bering.

Yechim:

1) Funktsiya nuqtalarda cheksiz uzilishlarga duchor bo'ladi.

2) Biz tanqidiy nuqtalarni aniqlaymiz. Birinchi hosilani topamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

Keling, tenglamani yechamiz. Kasr, agar uning numeratori nolga teng bo'lsa, u nolga teng:

Shunday qilib, biz uchta muhim nuqtani olamiz:

3) Biz BARCHA aniqlangan nuqtalarni raqamlar chizig'ida chizamiz va interval usuli DORIVATIV belgilarini aniqlaymiz:

Sizga shuni eslatib o'tamanki, siz intervalda biron bir nuqtani olishingiz va undagi lotin qiymatini hisoblashingiz kerak va uning belgisini aniqlang. Hatto hisoblash emas, balki og'zaki "baholash" foydaliroqdir. Masalan, intervalga tegishli nuqtani olaylik va almashtirishni bajaramiz: .

Ikkita "plyus" va bitta "minus" "minus" ni beradi, shuning uchun hosila butun intervalda manfiy ekanligini anglatadi.

Harakat, siz tushunganingizdek, oltita intervalning har biri uchun bajarilishi kerak. Aytgancha, hisob koeffitsienti va maxraj har qanday oraliqdagi har qanday nuqta uchun qat'iy ijobiy ekanligini unutmang, bu vazifani sezilarli darajada osonlashtiradi.

Shunday qilib, hosila bizga FUNKSIYAning O'ZI ga ortishini aytdi va ga kamayadi. Bir xil turdagi intervallarni qo'shilish belgisi bilan ulash qulay.

Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi:
Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi:

Nima uchun ikkinchi qiymatni qayta hisoblashingiz shart emasligini o'ylab ko'ring ;-)

Nuqtadan o'tganda hosila belgisini o'zgartirmaydi, shuning uchun funktsiyada NO EXTREMUM yo'q - u ham kamayadi, ham kamayib boraveradi.

! Keling, bir muhim fikrni takrorlaylik: nuqtalar tanqidiy hisoblanmaydi - ular funksiyani o'z ichiga oladi aniqlanmagan. Shunga ko'ra, bu erda Printsipial jihatdan hech qanday ekstremal bo'lishi mumkin emas(hatto hosila belgisini o'zgartirsa ham).

Javob: funksiya bilan ortadi Funksiyaning maksimal qiymatiga erishilganda quyidagiga kamayadi: , va nuqtada - minimal: .

O'rnatilgan monotonlik intervallari va ekstremallarni bilish asimptotlar allaqachon funktsiya grafigining ko'rinishi haqida juda yaxshi fikr beradi. O'rtacha tayyorgarlikka ega odam funktsiya grafigida ikkita vertikal asimptota va qiya asimptota borligini og'zaki aniqlashga qodir. Mana bizning qahramonimiz:

Tadqiqot natijalarini ushbu funktsiya grafigi bilan bog'lashga yana bir bor urinib ko'ring.
Kritik nuqtada ekstremum yo'q, lekin bor grafik burilish(bu, qoida tariqasida, shunga o'xshash holatlarda sodir bo'ladi).

4-misol

Funksiyaning ekstremal qismini toping

5-misol

Funksiyaning monotonlik intervallarini, maksimal va minimallarini toping

…bu deyarli qandaydir “Kubdagi X” bayramiga o‘xshaydi....
Xo'sh, galereyada kim buning uchun ichishni taklif qildi? =)

Har bir topshiriqning o'ziga xos muhim nuanslari va texnik nozikliklari bor, ular dars oxirida sharhlanadi.

Monoton

Funktsiyaning juda muhim xususiyati uning monotonligidir. Turli xil maxsus funktsiyalarning ushbu xususiyatini bilib, turli xil jismoniy, iqtisodiy, ijtimoiy va boshqa ko'plab jarayonlarning xatti-harakatlarini aniqlash mumkin.

Funktsiyalarning monotonligining quyidagi turlari ajratiladi:

1) funktsiyasi ortadi, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, har qanday ikkita nuqta uchun bo'lsa va bu interval shundayki. Bular. kattaroq argument qiymati kattaroq funktsiya qiymatiga mos keladi;

2) funktsiyasi kamayadi, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, har qanday ikkita nuqta uchun bo'lsa va bu interval shundayki. Bular. kattaroq argument qiymati kichikroq funktsiya qiymatiga mos keladi;

3) funktsiyasi kamaymaydigan, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, har qanday ikki nuqta uchun va bu oraliq shunday bo'lsa;

4) funktsiyasi oshmaydi, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, har qanday ikkita nuqta uchun bo'lsa va bu interval shundayki.

2. Birinchi ikki holat uchun "qat'iy monotonlik" atamasi ham qo'llaniladi.

3. Oxirgi ikki holat o'ziga xos bo'lib, odatda bir nechta funksiyalar tarkibi sifatida ko'rsatiladi.

4. Alohida ta'kidlaymizki, funksiya grafigining o'sishi va kamayishi chapdan o'ngga qarab ko'rib chiqilishi kerak va boshqa hech narsa emas.

2. Juft toq.

Funktsiya g'alati deb ataladi, agar argumentning belgisi o'zgarganda, u o'z qiymatini aksincha o'zgartiradi. Buning formulasi quyidagicha ko'rinadi . Bu shuni anglatadiki, "minus x" qiymatlarini barcha x o'rniga funktsiyaga almashtirgandan so'ng, funktsiya o'z belgisini o'zgartiradi. Bunday funktsiyaning grafigi boshlang'ichga nisbatan simmetrikdir.

G'alati funktsiyalarga misollar va boshqalar.

Masalan, grafik aslida kelib chiqishga nisbatan simmetriyaga ega:

Funktsiya juft deb ataladi, agar argumentning belgisi o'zgarganda, u o'z qiymatini o'zgartirmaydi. Buning formulasi quyidagicha ko'rinadi. Bu shuni anglatadiki, "minus x" qiymatlarini barcha x o'rniga funktsiyaga almashtirgandan so'ng, funktsiya natijada o'zgarmaydi. Bunday funktsiyaning grafigi o'qga nisbatan simmetrikdir.

Juft funksiyalarga misollar va boshqalar.

Misol uchun, o'qga nisbatan grafikning simmetriyasini ko'rsatamiz:

Agar funktsiya belgilangan turlarning birortasiga tegishli bo'lmasa, u na juft, na toq yoki deyiladi umumiy funktsiya. Bunday funktsiyalar simmetriyaga ega emas.

Bunday funktsiya, masalan, biz yaqinda grafik bilan ko'rib chiqqan chiziqli funktsiyadir:

3. Funksiyalarning maxsus xossasi hisoblanadi davriylik.

Gap shundaki, standart maktab o'quv dasturida ko'rib chiqilgan davriy funktsiyalar faqat trigonometrik funktsiyalardir. Tegishli mavzuni o'rganayotganda biz ular haqida batafsil gaplashdik.

Davriy funktsiya argumentga ma'lum bir doimiy nolga teng bo'lmagan son qo'shilganda o'z qiymatlarini o'zgartirmaydigan funktsiyadir.

Bu minimal raqam deyiladi funktsiya davri va harf bilan belgilanadi.

Buning uchun formula quyidagicha ko'rinadi: .

Keling, sinus grafik misolidan foydalanib, ushbu xususiyatni ko'rib chiqaylik:

Va funksiyalarining davri va is, va davri va ekanligini eslaylik.

Biz allaqachon bilganimizdek, murakkab argumentli trigonometrik funktsiyalar nostandart davrga ega bo'lishi mumkin. Biz shaklning funktsiyalari haqida gapiramiz:

Ularning davri teng. Va funktsiyalar haqida:

Ularning davri teng.

Ko'rib turganingizdek, yangi davrni hisoblash uchun standart davr oddiygina argumentdagi omilga bo'linadi. Bu funktsiyaning boshqa modifikatsiyalariga bog'liq emas.

Cheklash.

Funktsiya y=f(x) X⊂D(f) to‘plamda pastdan chegaralangan deb ataladi, agar har qanday xsX uchun f(x) tengsizlik bajariladigan a son bo‘lsa.< a.

Funktsiya y=f(x) X⊂D(f) to'plamda yuqoridan chegaralangan deb ataladi, agar har qanday xsX uchun f(x) tengsizlik bajariladigan a son bo'lsa.< a.

Agar X oralig'i ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha cheklangan deb hisoblanadi. Yuqoridan ham, pastdan ham chegaralangan funksiya chegaralangan deyiladi.

Funktsiyaning cheklanishini grafikdan o'qish oson. Siz y=a qatorini chizishingiz mumkin va agar funktsiya bu chiziqdan yuqori bo'lsa, u pastdan chegaralanadi.

Agar quyida bo'lsa, unda mos ravishda yuqorida. Quyida quyida chegaralangan funksiya grafigi keltirilgan. Bolalar, o'zingiz cheklangan funksiya grafigini chizishga harakat qiling.

Mavzu: Funksiyalarning xossalari: ortish va kamayish intervallari; eng yuqori va eng past qiymatlar; ekstremum nuqtalari (mahalliy maksimal va minimal), funksiyaning qavariqligi.

O'sish va pasayish intervallari.

Funksiyaning ortishi va kamayishi uchun yetarli shartlar (belgilar) asosida funksiyaning ortish va kamayish intervallari topiladi.

Intervaldagi o'sish va kamayuvchi funktsiyalar belgilarining formulalari:

· funktsiyaning hosilasi bo'lsa y=f(x) har kim uchun ijobiy x intervaldan X, keyin funksiya ga ortadi X;

· funktsiyaning hosilasi bo'lsa y=f(x) har kim uchun salbiy x intervaldan X, keyin funktsiya ga kamayadi X.

Shunday qilib, funktsiyaning ortishi va kamayishi oraliqlarini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

· funksiyaning aniqlanish sohasini topish;

· funksiyaning hosilasini toping;

· ta'rif sohasi bo'yicha tengsizliklarni yechish;

"Funktsiyani oshirish va kamaytirish"

Dars maqsadlari:

1. Monotonlik davrlarini topishni o'rganing.

2. Vaziyatni tahlil qilishni ta'minlaydigan fikrlash qobiliyatlarini rivojlantirish va adekvat harakat usullarini ishlab chiqish (tahlil, sintez, taqqoslash).

3. Mavzuga qiziqishni shakllantirish.

Darslar davomida

Bugun biz hosilaning qo'llanilishini o'rganishni davom ettiramiz va uning funktsiyalarni o'rganishga qo'llanilishi masalasini ko'rib chiqamiz. Old ish

Endi "Aqliy hujum" funksiyasining xususiyatlariga ba'zi ta'riflar beraylik.

1. Funktsiya nima deyiladi?

2. X o'zgaruvchining nomi nima?

3. Y o'zgaruvchining nomi nima?

4. Funktsiyaning sohasi nima?

5. Funktsiyaning qiymatlar to'plami nima?

6. Qaysi funksiya juft deb ataladi?

7. Qaysi funksiya toq deb ataladi?

8. Juft funksiya grafigi haqida nima deya olasiz?

9. Toq funksiya grafigi haqida nima deya olasiz?

10. Qanday funktsiya oshirish deyiladi?

11. Qaysi funksiya kamayuvchi deb ataladi?

12. Qaysi funksiya davriy deyiladi?

Matematika - bu matematik modellarni o'rganadigan fan. Eng muhim matematik modellardan biri bu funksiyadir. Funktsiyalarni tavsiflashning turli usullari mavjud. Qaysi biri eng aniq?

- Grafika.

- Grafikni qanday qurish mumkin?

- Nuqtama-nuqta.

Agar siz grafikning taxminan qanday ko'rinishini oldindan bilsangiz, bu usul mos keladi. Masalan, kvadrat funktsiya, chiziqli funktsiya, teskari proporsionallik yoki y = sinx grafigi nima? (Tegishli formulalar ko'rsatiladi, talabalar grafik bo'lgan egri chiziqlarni nomlaydilar.)

Agar siz funktsiyaning yoki undan ham murakkabroq grafigini chizishingiz kerak bo'lsa-chi? Siz bir nechta nuqtalarni topishingiz mumkin, ammo funktsiya bu nuqtalar orasida qanday ishlaydi?

Doskaga ikkita nuqta qo'ying va o'quvchilardan "ular orasidagi" grafik qanday ko'rinishini ko'rsatishni so'rang:

Uning hosilasi funksiya qanday ishlashini aniqlashga yordam beradi.

Daftarlaringizni oching, raqamni yozing, ajoyib ish.

Darsning maqsadi: funktsiya grafigi uning hosilasi grafigi bilan qanday bog'liqligini bilib oling va ikkita turdagi muammolarni echishni o'rganing:

1. Hosila grafigi yordamida funksiyaning o‘zining ortish va kamayish oraliqlarini, shuningdek funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping;

2. Intervallar bo‘yicha hosila belgilari sxemasidan foydalanib, funksiyaning o‘zining ortish va kamayish oraliqlarini, shuningdek, funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.

Shunga o'xshash vazifalar bizning darsliklarimizda yo'q, lekin yagona davlat imtihonining testlarida (A va B qismlari) mavjud.

Bugun darsda biz jarayonni o'rganishning ikkinchi bosqichi ishining kichik elementini ko'rib chiqamiz, funktsiyaning xususiyatlaridan birini o'rganish - monotonlik intervallarini aniqlash.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz ilgari muhokama qilingan ba'zi masalalarni esga olishimiz kerak.

Shunday qilib, bugungi dars mavzusini yozamiz: Funksiyalarning ortish va kamayish belgilari.

Funktsiyaning ortishi va kamayishi belgilari:

Agar berilgan funktsiyaning hosilasi x ning (a; b) oralig'idagi barcha qiymatlari uchun ijobiy bo'lsa, ya'ni f"(x) > 0 bo'lsa, u holda funktsiya bu oraliqda ortadi.
Agar berilgan funktsiyaning hosilasi (a; b) oraliqdagi x ning barcha qiymatlari uchun manfiy bo'lsa, ya'ni f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Monotonlik oraliqlarini topish tartibi:

Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

1. Funktsiyaning birinchi hosilasini toping.

2. doskada o'zingiz qaror qiling

Kritik nuqtalarni toping, topilgan kritik nuqtalar funktsiyani aniqlash sohasini ajratadigan oraliqlarda birinchi hosilaning belgisini o'rganing. Funksiyalarning monotonlik intervallarini toping:

a) ta'rif sohasi;

b) birinchi hosilani toping:

v) kritik nuqtalarni toping: ; , Va

3. Hosil bo'lgan oraliqlarda hosila belgisini ko'rib chiqamiz va yechimni jadval ko'rinishida keltiramiz.

ekstremal nuqtalarga ishora qiling

Keling, o'sish va kamaytirish funktsiyalarini o'rganishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

Maksimalning mavjudligi uchun etarli shart - bu kritik nuqtadan o'tishda hosila belgisini "+" dan "-" ga, minimal esa "-" dan "+" ga o'zgartirishdir. Agar kritik nuqtadan o'tayotganda hosilaning belgisi o'zgarmasa, bu nuqtada ekstremum yo'q.

1. D(f) ni toping.

2. f"(x) ni toping.

3. Statsionar nuqtalarni toping, ya'ni. f"(x) = 0 yoki f"(x) mavjud bo'lmagan nuqtalar.
(hisoblagichning nollarida hosila 0 ga teng, maxrajning nollarida hosila mavjud emas)

4. D(f) va shu nuqtalarni koordinata chizig‘iga qo‘ying.

5. Har bir intervaldagi hosila belgilarini aniqlang

6. Belgilarni qo'llang.

7. Javobni yozing.

Yangi materialni birlashtirish.

Talabalar juftlik bilan ishlaydilar va yechimni daftarlariga yozadilar.

a) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y = 3 x² - 5x + 4.

Kengashda ikki kishi ishlaydi.

a) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y = x4-2 x³

3. Darsning xulosasi

Uyga vazifa: test (differentsial)

O'sish va kamaytirish funktsiyasi

funktsiyasi y = f(x) oraliqda ortish deyiladi [ a, b], agar har qanday juft nuqta uchun X Va X", a ≤ x tengsizlik amal qiladi f(x) ≤ f (x"), va qat'iy ortib borayotgan - tengsizlik bo'lsa f (x) f(x"). Kamaytiruvchi va qat’iy kamayuvchi funksiyalar ham xuddi shunday aniqlanadi. Masalan, funktsiya da = X 2 (guruch. , a) segmentida qat'iy ortadi , va

(guruch. , b) bu ​​segmentda qat'iy kamayadi. Ko'paytirish funktsiyalari belgilangan f (x) va kamayadi f (x)↓. Differensiallanuvchi funksiya uchun f (x) segmentida ortib bordi [ A, b], uning hosilasi zarur va yetarli f"(x) [ da salbiy emas edi A, b].

Segmentdagi funksiyaning ortishi va kamayishi bilan bir qatorda nuqtadagi funksiyaning ortishi va kamayishini ham ko‘rib chiqamiz. Funktsiya da = f (x) nuqtada ortish deyiladi x 0 nuqtani o'z ichiga olgan interval (a, b) bo'lsa x 0, bu har qanday nuqta uchun X dan (a, b), x> x 0 bo'lsa, tengsizlik o'rinli f (x 0) ≤ f (x) va har qanday nuqta uchun X dan (a, b), x 0, tengsizlik o'rinli f (x) ≤ f (x 0). Funktsiyaning nuqtadagi qat'iy ortishi ham xuddi shunday aniqlanadi x 0 . Agar f"(x 0) > 0, keyin funksiya f(x) nuqtada qat'iy ravishda ortadi x 0 . Agar f (x) intervalning har bir nuqtasida ortadi ( a, b), keyin bu oraliqda ortadi.

S. B. Stechkin.

Buyuk Sovet Entsiklopediyasi. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. 1969-1978 .

Boshqa lug'atlarda "O'sish va kamaytirish funktsiyalari" nima ekanligini ko'ring:

Matematik analiz tushunchalari. f(x) funksiya aholining turli yosh guruhlari sonining AHOLINING YOSH TUZILISHI segmentida ortib borayotgan nisbati deyiladi. Tug'ilish va o'lim darajasiga, odamlarning umr ko'rish davomiyligiga bog'liq... Katta ensiklopedik lug'at

Matematik analiz tushunchalari. f(x) funksiya segmentda ortib borayotgan deyiladi, agar x1 va x2 nuqtalar juftligi uchun a≤x1 ... ensiklopedik lug'at

Matematika tushunchalari. tahlil. f(x) funksiya chaqiriladi. [a, b] segmentida ortib borish, agar x1 va x2 nuqtalarining har qanday juftligi uchun va<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Funksiyalarning hosilalari va differentsiallari hamda ularning funksiyalarni oʻrganishda qoʻllanilishini oʻrganuvchi matematikaning boʻlimi. D. dizayni va. mustaqil matematik intizomga I. Nyuton va G. Leybnits nomlari bilan bog'liq (17 ning ikkinchi yarmi ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Matematikaning hosila va differensial tushunchalari va ularning funksiyalarni oʻrganishda qoʻllanilishi oʻrganiladigan boʻlimi. D. rivojlanishi va. integral hisobining rivojlanishi bilan chambarchas bog'liq. Ularning mazmuni ham ajralmasdir. Ular birgalikda asosni tashkil qiladi ... ... Matematik entsiklopediya

Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega, funksiyaga qarang. "Displey" so'rovi bu erda qayta yo'naltiriladi; boshqa maʼnolarga ham qarang... Vikipediya

Aristotel va peripatetiklar- Aristotelning savoli Aristotelning hayoti Aristotel 384/383 yilda tug'ilgan. Miloddan avvalgi e. Stagira shahrida, Makedoniya bilan chegarada. Uning otasi Nikomax Filippning otasi Makedoniya qiroli Amintasning xizmatida shifokor bo'lgan. Oilasi bilan yosh Aristotel... ... G'arb falsafasi o'zining kelib chiqishidan hozirgi kungacha

- (QCD), kvant tasvirida qurilgan kvarklar va glyuonlarning kuchli o'zaro ta'sirining kvant maydoni nazariyasi. "rangli" o'lchov simmetriyasiga asoslangan elektrodinamika (QED). QED dan farqli o'laroq, QCDdagi fermionlar bir-birini to'ldiruvchi xususiyatlarga ega. erkinlikning kvant darajasi raqam, …… Jismoniy ensiklopediya

I Yurak Yurak (lotincha kor, yunoncha cardia) - ichi bo'sh tolali mushak organi bo'lib, nasos vazifasini bajarib, qon aylanish tizimida qon harakatini ta'minlaydi. Anatomiya Yurak oldingi mediastinada (Mediastinum) perikardda... ... orasida joylashgan. Tibbiy ensiklopediya

O'simlik hayoti, boshqa tirik organizmlar kabi, o'zaro bog'liq jarayonlarning murakkab majmuidir; Ulardan eng muhimi, ma'lumki, atrof-muhit bilan moddalar almashinuvidir. Atrof-muhit - bu manba ... ... Biologik ensiklopediya