Tebrikler: bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan kökleri analiz edeceğiz. :)
Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, karmaşık oldukları için değil (ki bu karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha vardır), ancak çoğu okul ders kitabında kökler, yalnızca ders kitaplarının yazarlarının kendilerinin olduğu gibi vahşi bir şekilde tanımlandığı için bu karalamayı anlayabilir. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle. :)
Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Ve ancak o zaman açıklayacağım: tüm bunların neden gerekli olduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.
Ama önce, bir nedenden dolayı birçok ders kitabı derleyicisinin “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:
Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$ yanı sıra herhangi bir $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (herhangi bir $\sqrt(a)$) olabilir , $\ sqrt(a)$ vb.). Ve tek bir derecenin kökünün tanımı, çift olandan biraz farklıdır.
Burada, bu lanet olası "biraz farklı", muhtemelen, köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'ini gizler. Öyleyse terminolojiyi bir kez ve herkes için açıklığa kavuşturalım:
Tanım. Hatta kök n$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$((b)^(n))=a$ olacak şekilde bir $b$ sayısı. Ve aynı $a$ sayısından tek bir derecenin kökü, genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.
Her durumda, kök şu şekilde gösterilir:
\(a)\]
Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üs, $a$ sayısına ise kök ifade denir. Özellikle, $n=2$ için “favori” karekökümüzü alırız (bu arada, bu bir çift derecenin köküdür) ve $n=3$ için bir kübik kök (tek bir derece) elde ederiz, bu da sıklıkla problemlerde ve denklemlerde bulunur.
Örnekler. Klasik karekök örnekleri:
\[\begin(hizalama) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hiza)\]
Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $(0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.
Kübik kökler de yaygındır - onlardan korkmayın:
\[\begin(hizalama) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hiza)\]
Eh, birkaç "egzotik örnek":
\[\begin(hizalama) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hiza)\]
Çift ve tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamadıysanız, tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!
Bu arada, çift ve tek üsler için ayrı bir tanım getirmemiz gerektiğinden, köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız.
Neden köklere ihtiyacımız var?
Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci soracaktır: “Matematikçiler bunu bulduklarında ne içtiler?” Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyacımız var?
Bu soruyu cevaplamak için bir an için ilkokula geri dönelim. Unutmayın: ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda, asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. Eh, "beşte beş - yirmi beş" ruhu içinde bir şey, hepsi bu. Ancak sonuçta, sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtler ve genellikle tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:
\[\begin(hizalama) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Ancak, mesele bu değil. İşin püf noktası farklı: matematikçiler tembel insanlar, bu yüzden on beşin çarpımını şöyle yazmak zorunda kaldılar:
Böylece derecelerle geldiler. Neden faktörlerin sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi:
Çok uygun! Tüm hesaplamalar birkaç kez azaltılır ve 5 183'ü yazmak için bir sürü parşömen yaprağını harcayamazsınız. Böyle bir girişe bir sayının derecesi denildi, içinde bir sürü özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.
Derecelerin "keşfi" üzerine düzenlenen görkemli bir içkiden sonra, özellikle kafayı sıyırmış bir matematikçi birdenbire sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisini bilmiyorsak?" Gerçekten de, örneğin belirli bir $b$ sayısının 5. kuvveti 243'e verdiğini biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?
Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü “hazır” derecelerin çoğunluğu için böyle bir “ilk” sayıların olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz için yargıç:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hiza)\]
$((b)^(3))=50$ ise ne olur? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek olan belirli bir sayıyı bulmanız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? Açıkça 3'ten büyüktür çünkü 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerdedir, ancak neye eşittir - ŞEKİL anlayacaksınız.
İşte tam da bu yüzden matematikçiler $n$-th köklerini buldular. Bu nedenle $\sqrt(*)$ radikal simgesi tanıtıldı. Belirtilen güce göre bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
Tartışmıyorum: genellikle bu kökler kolayca kabul edilir - yukarıda böyle birkaç örnek gördük. Ama yine de, çoğu durumda, keyfi bir sayı düşünürseniz ve ondan keyfi bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, acımasız bir serseri içindesiniz.
Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki formumuzla temsil edilemez - bir tamsayı veya kesir olarak. Ve bu sayıyı bir hesap makinesine sürerseniz şunu göreceksiniz:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Gördüğünüz gibi, ondalık noktadan sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi vardır. Elbette, diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:
\[\sqrt(2)=1.4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]
Veya işte başka bir örnek:
\[\sqrt(3)=1.73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]
Ancak tüm bu yuvarlamalar, öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir sürü belirgin olmayan hatayı yakalayabilirsiniz (bu arada, karşılaştırma ve yuvarlama becerisi mutlaka profil sınavında kontrol edilir).
Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapılamaz - bunlar, uzun süredir aşina olduğumuz kesirler ve tam sayıların yanı sıra tüm $\mathbb(R)$ gerçek sayıları kümesinin aynı eşit temsilcileridir.
Kökü $\frac(p)(q)$ biçiminin bir kesri olarak göstermenin imkansızlığı, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikal veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapılar (logaritmalar, dereceler, sınırlar vb.) Ama daha fazlası başka bir zaman.
Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örnek düşünün.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\yaklaşık 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(hizalama)\]
Doğal olarak, kökün görünümünden, ondalık noktadan sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak, bir hesap makinesinde hesaplamak mümkündür, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize bir irrasyonel sayının yalnızca ilk birkaç basamağını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ olarak yazmak çok daha doğrudur.
Bunun için icat edildiler. Cevapları yazmayı kolaylaştırmak için.
Neden iki tanım gerekli?
Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökleri kesinlikle herhangi bir sayıdan sakince çıkarılır - hatta pozitif, hatta negatif.
Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği iki kök verir: pozitif ve negatif Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$'ı hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafiğin üzerine, parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ (kırmızı ile işaretlenmiş) çizgisi çizilir: $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı, çünkü
İlk sayı ile her şey açıktır - pozitiftir, bu nedenle köktür:
Ama o zaman ikinci nokta ile ne yapmalı? 4'ün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, −2 sayısının karesini alırsak 4 elde ederiz. O zaman neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyorsunuz? Ve öğretmenler neden bu tür kayıtlara sizi yemek istiyorlarmış gibi bakıyorlar? :)
Sorun şu ki, herhangi bir ek koşul empoze edilmezse, dördünün iki karekökü olacaktır - pozitif ve negatif. Ve herhangi bir pozitif sayı da iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların kökleri olmayacak - bu aynı grafikten görülebilir, çünkü parabol asla eksenin altına düşmez y, yani negatif değerler almaz.
Eşit üslü tüm kökler için benzer bir sorun oluşur:
- Kesin olarak söylemek gerekirse, her pozitif sayının çift üssü $n$ olan iki kökü olacaktır;
- Negatif sayılardan $n$ bile olan kök hiç çıkarılmaz.
Bu nedenle $n$ çift kökünün tanımı, cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiğini özellikle şart koşar. Böylece belirsizlikten kurtuluruz.
Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:
Kübik parabol herhangi bir değeri alır, böylece küp kökü herhangi bir sayıdan alınabilir. Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:
- Kübik bir parabolün dalları, normalden farklı olarak, her iki yönde de sonsuza gider - hem yukarı hem de aşağı. Bu nedenle, hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Bu nedenle, küp kökü her zaman, kesinlikle herhangi bir sayıdan alınabilir;
- Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kökü dikkate alacağınızı ve hangisini puanlayacağınızı düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle, tek bir derece için köklerin tanımı, çift bir dereceye göre daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).
Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine, beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.
Evet, tartışmıyorum: aritmetik kök nedir - ayrıca bilmeniz gerekir. Ve bunun hakkında ayrı bir derste ayrıntılı olarak konuşacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü onsuz, $n$-th çokluğunun kökleri üzerindeki tüm düşünceler eksik olurdu.
Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamanız gerekiyor. Aksi takdirde, terimlerin bolluğu nedeniyle kafanızda öyle bir karmaşa başlar ki sonunda hiçbir şey anlamazsınız.
Ve anlaman gereken tek şey, çift ve tek sayılar arasındaki farktır. Bu nedenle, kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayacağız:
- Bir çift kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan gelir ve kendisi her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
- Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan gelir ve kendisi de herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, başlığın ima ettiği gibi, negatiftir.
Zor mu? Hayır, zor değil. Temizlemek? Evet, belli! Bu nedenle, şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.
Temel özellikler ve sınırlamalar
Köklerin birçok garip özelliği ve kısıtlaması var - bu ayrı bir ders olacak. Bu nedenle, şimdi yalnızca eşit üslü kökler için geçerli olan yalnızca en önemli "çipi" ele alacağız. Bu özelliği bir formül şeklinde yazıyoruz:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\sol| x\sağ|\]
Başka bir deyişle, bir sayıyı eşit bir kuvvete yükseltirsek ve sonra bundan aynı derecenin kökünü çıkarırsak, orijinal sayıyı değil, modülünü elde ederiz. Bu, ispatı kolay basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'ı ayrı ayrı ele almak ve sonra negatif olanları ayrı ayrı ele almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşur, her okul ders kitabında verilir. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani radikalin işaretini içeren denklemleri) çözmeye gelir gelmez öğrenciler bu formülü birlikte unuturlar.
Konuyu detaylı anlamak için tüm formülleri bir dakikalığına unutalım ve iki sayıyı önde saymaya çalışalım:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\sol(-3 \sağ))^(4)))=?\]
Bunlar çok basit örnekler. İlk örnek çoğu kişi tarafından çözülecek, ancak ikincisinde birçok sopa var. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman prosedürü göz önünde bulundurun:
- İlk olarak, sayı dördüncü güce yükseltilir. Bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edilecektir;
- Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü derecenin kökünü çıkarmak gerekiyor. Şunlar. köklerin ve derecelerin "indirgenmesi" yoktur - bunlar sıralı eylemlerdir.
İlk ifadeyle ilgilenelim: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, önce kök altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarırız:
Şimdi aynısını ikinci ifadeyle yapalım. İlk olarak, -3 sayısını, 4 kez kendisiyle çarpmamız gereken dördüncü güce yükseltiyoruz:
\[((\sol(-3 \sağ))^(4))=\sol(-3 \sağ)\cdot \sol(-3 \sağ)\cdot \sol(-3 \sağ)\cdot \ sol(-3 \sağ)=81\]
Üründeki toplam eksi sayısı 4 parça olduğu için pozitif bir sayı elde ettik ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksi eksi artı bir artı verir). Ardından, kökü tekrar çıkarın:
Prensip olarak, cevabın aynı olacağı akıl almaz olduğu için bu satır yazılamaz. Şunlar. aynı eşit gücün eşit kökü eksileri "yakar" ve bu anlamda sonuç normal modülden ayırt edilemez:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\sağ|=3; \\ & \sqrt(((\sol(-3 \sağ))^(4)))=\sol| -3 \sağ|=3. \\ \end(hiza)\]
Bu hesaplamalar, bir çift derecenin kökünün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Aksi takdirde, kök tanımlanmaz.
İşlem sırasına ilişkin not
- $\sqrt(((a)^(2)))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $((a)^(2))\ge 0$ zaten;
- Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısından kökü çıkardığımız ve ancak daha sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz - bu, tanımın içine yerleştirilmiş zorunlu bir gerekliliktir.
Bu nedenle, hiçbir durumda kökleri ve dereceleri düşüncesizce azaltmamalı, böylece orijinal ifadeyi sözde "basitleştirmemelidir". Çünkü kökün altında negatif bir sayı varsa ve üssü çift ise, birçok sorunla karşılaşırız.
Bununla birlikte, tüm bu problemler sadece göstergeler için geçerlidir.
Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma
Doğal olarak, tek üslü köklerin de prensipte çiftler için mevcut olmayan kendi özellikleri vardır. Yani:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kısacası, tek dereceli köklerin işaretinin altından bir eksi çıkarabilirsiniz. Bu, tüm eksileri "atmanıza" izin veren çok kullanışlı bir özelliktir:
\[\begin(hizalama) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \sağ)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hiza)\]
Bu basit özellik, birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Şimdi endişelenmenize gerek yok: Ya kökün altına olumsuz bir ifade girdiyse ve kökteki derece eşit çıktıysa? Köklerin dışındaki tüm eksileri “atmak” yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genellikle “klasik” kökler söz konusu olduğunda bizi bir sonuca götürmesi garanti edilen birçok şüpheli şey yapabilir. hata.
Ve burada sahneye başka bir tanım giriyor - çoğu okulun irrasyonel ifadeleri incelemeye başladığı tanım. Ve bunlar olmadan akıl yürütmemiz eksik kalır. Tanışmak!
aritmetik kök
Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift / tek göstergelere puan verelim, yukarıda verilen tüm tanımlara puan verelim - sadece negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?
Ve sonra aritmetik kökü elde ederiz - kısmen "standart" tanımlarımızla kesişir, ancak yine de onlardan farklıdır.
Tanım. Negatif olmayan bir $a$ sayısının $n$inci derecesinin aritmetik kökü, $(b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.
Gördüğünüz gibi artık parite ile ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.
Aritmetik kökün normalden nasıl farklı olduğunu daha iyi anlamak için, bize zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabolün grafiklerine bir göz atın:
Kök arama alanı - negatif olmayan sayılar Gördüğünüz gibi, bundan böyle, yalnızca $x$ ve $y$ koordinatlarının pozitif (veya en az sıfır) olduğu ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz. Negatif bir sayıyı köklendirme hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmamaktadır.
Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden böyle hadım edilmiş bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Neden yukarıda verilen standart tanımla anlaşamıyoruz?"
Pekala, yeni tanımın uygun hale geldiği için sadece bir özellik vereceğim. Örneğin, üs kuralı:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Lütfen dikkat: radikal ifadeyi herhangi bir güce yükseltebiliriz ve aynı zamanda kök üssü aynı güçle çarpabiliriz - ve sonuç aynı sayı olacaktır! İşte bazı örnekler:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(hizalama)\]
Sorun ne? Neden daha önce yapamadık? İşte neden. Basit bir ifade düşünün: $\sqrt(-2)$ bizim klasik anlamda oldukça normal olan, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez bir sayıdır. Onu dönüştürmeye çalışalım:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\sol(-2 \sağ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(hiza)$
Gördüğünüz gibi, ilk durumda, eksiyi radikalin altından çıkardık (gösterge tek olduğu için her hakkımız var) ve ikincisinde yukarıdaki formülü kullandık. Şunlar. matematik açısından her şey kurallara göre yapılır.
O NE LAN?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Sadece pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar durumunda tam bir sapkınlık vermeye başlar.
İşte böyle bir belirsizlikten kurtulmak için aritmetik kökler buldular. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız onlara ayrı bir büyük ders ayrılmıştır. Şimdi onlar üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun çıktı.
Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için
Uzun süre düşündüm: Bu konuyu ayrı bir paragrafta yapmak ya da yapmamak. Sonunda buradan ayrılmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama “okul” düzeyinde değil, Olimpiyat'a yakın düzeyde.
Yani: bir sayıdan $n$-th derecesinin kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek göstergelere bölünmesine ek olarak, pariteye bağlı olmayan daha "yetişkin" bir tanım vardır ve diğer incelikler. Buna cebirsel kök denir.
Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$-th kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayılarının kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu yüzden üstüne bir tire koyun:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \sağ. \sağ\) \]
Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Ve gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme sadece üç türdendir:
- Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli bir cebirsel kök bulmak gerektiğinde oluşur;
- Tek bir elemandan oluşan bir küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırdan gelen çift kuvvetlerin kökleri bu kategoriye girer;
- Son olarak, küme iki sayı içerebilir - aynı $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ikinci dereceden fonksiyon grafiği. Buna göre, böyle bir hizalama ancak bir çift derecenin kökünü pozitif bir sayıdan çıkarırken mümkündür.
Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.
Örnek. Hesaplama ifadeleri:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Çözüm. İlk ifade basittir:
\[\overline(\sqrt(4))=\sol\( 2;-2 \sağ\)\]
Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört veriyor.
\[\overline(\sqrt(-27))=\sol\( -3 \sağ\)\]
Burada sadece bir sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Bu oldukça mantıklı, çünkü kökün üssü tuhaf.
Son olarak, son ifade:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Boş bir setimiz var. Çünkü dördüncü (yani, hatta!) Kuvvete yükseltildiğinde bize negatif bir sayı -16 verecek tek bir gerçek sayı yoktur.
Son not. Lütfen dikkat: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Karmaşık sayılar da olduğu için - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok garip şeyi hesaplamak oldukça mümkündür.
Bununla birlikte, modern okul matematik müfredatında karmaşık sayılar neredeyse hiç bulunmaz. Yetkililerimiz konuyu "anlaşılması çok zor" olarak değerlendirdiği için çoğu ders kitabından çıkarılmıştır.
Bu kadar. Bir sonraki derste, köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve sonunda irrasyonel ifadeleri nasıl sadeleştireceğimizi öğreneceğiz. :)
Kök çıkarma işlemini pratikte başarılı bir şekilde kullanmak için, bu işlemin özelliklerini tanımanız gerekir.
Tüm özellikler, yalnızca kök işaretleri altında yer alan değişkenlerin negatif olmayan değerleri için formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır.
Teorem 1. Negatif olmayan iki yonga setinin çarpımının n'nci kökü (n=2, 3, 4,...), şu sayıların n'inci köklerinin çarpımına eşittir:
Yorum:
1.
Teorem 1, radikal ifadenin ikiden fazla negatif olmayan sayının ürünü olduğu durumda geçerliliğini korur.
Teorem 2.Eğer bir,
ve n, 1'den büyük bir doğal sayıysa, eşitlik
Kısa bilgi(yanlış da olsa) pratikte kullanımı daha uygun olan formülasyon: kesrin kökü, köklerin kesrine eşittir.
Teorem 1, m'yi çarpmamıza izin verir sadece aynı dereceden kökler
, yani sadece aynı üslü kökler.
Teorem 3. Eğer ,k bir doğal sayıdır ve n 1'den büyük bir doğal sayıdır, o zaman eşitlik
Yani bir kökü doğal bir güce yükseltmek için kök ifadesini bu güce yükseltmek yeterlidir.
Bu Teorem 1'in bir sonucudur. Gerçekten de, örneğin, k = 3 için
Teorem 4. Eğer ,k, n 1'den büyük doğal sayılardır, sonra eşitlik
Yani bir kökten kök çıkarmak için köklerin üslerini çarpmak yeterlidir.
Örneğin,
Dikkat olmak! Kökler üzerinde dört işlemin yapılabileceğini öğrendik: çarpma, bölme, üs alma ve kökü çıkarma (kökten). Peki ya köklerin toplanması ve çıkarılması? Mümkün değil.
Örneğin, Indeed yerine yazamazsınız, Ama belli ki
Teorem 5. Eğer kökün ve kök ifadesinin göstergeleri aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünür, o zaman kökün değeri değişmez, yani.
Problem çözme örnekleri
örnek 1 Hesaplamak
Çözüm. Köklerin ilk özelliğini (Teorem 1) kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 2 Hesaplamak
Çözüm. Karışık sayıyı uygun olmayan bir kesre dönüştürün.
Köklerin ikinci özelliğini kullanıyoruz ( teorem 2
), şunu elde ederiz:
Örnek 3 Hesaplamak: 
Çözüm. Cebirdeki herhangi bir formül, bildiğiniz gibi, sadece "soldan sağa" değil, aynı zamanda "sağdan sola" da kullanılır. Bu nedenle, köklerin ilk özelliği, onun olarak temsil edilebileceği ve bunun tersine ifade ile değiştirilebileceği anlamına gelir. Aynısı köklerin ikinci özelliği için de geçerlidir. Bunu akılda tutarak, hesaplamaları yapalım.
Konuyla ilgili ders ve sunum: "N. derecenin kökünün özellikleri. Teoremler"
Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.
11. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11 "Trigonometri" sınıfları için etkileşimli kılavuz
10-11 "Logaritmalar" sınıfları için etkileşimli kılavuz
N'inci derecenin kökünün özellikleri. teoremler
Beyler, gerçek bir sayının n'inci derecesinin köklerini incelemeye devam ediyoruz. Hemen hemen tüm matematiksel nesneler gibi, n'inci derecenin kökleri de bazı özelliklere sahiptir, bugün onları inceleyeceğiz.Düşündüğümüz tüm özellikler, yalnızca kök işaretinin altında yer alan değişkenlerin negatif olmayan değerleri için formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır.
Tek bir kök üs olması durumunda, negatif değişkenler için de geçerlidir.
Teorem 1. Negatif olmayan iki sayının çarpımının n'inci kökü, şu sayıların n'inci köklerinin çarpımına eşittir: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .
Teoremi ispatlayalım.
Kanıt. Beyler, teoremi kanıtlamak için yeni değişkenleri tanıtalım, şunu belirtin:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$ olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Aşağıdaki kimliklerin de geçerli olduğunu unutmayın:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
O zaman aşağıdaki özdeşlik de tutar: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Negatif olmayan iki sayının dereceleri ve üsleri eşittir, bu durumda derecelerin tabanları da eşittir. Dolayısıyla $x=y*z$, kanıtlanması gereken buydu.
Teorem 2. $a≥0$, $b>0$ ve n 1'den büyük bir doğal sayıysa, aşağıdaki eşitlik geçerlidir: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Yani, bölümün n'inci kökü, n'inci köklerin bölümüne eşittir.
Kanıt.
Bunu kanıtlamak için tablo şeklinde basitleştirilmiş bir şema kullanıyoruz:
n'inci kökü hesaplama örnekleri
Örnek.Hesaplayın: $\sqrt(16*81*256)$.
Çözüm. Teorem 1'i kullanalım: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Örnek.
Hesaplayın: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Çözüm. Radikal ifadeyi uygun olmayan bir kesir olarak gösterelim: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Teoremi 2'yi kullanalım: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Örnek.
Hesaplamak:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Çözüm:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorem 3. $a≥0$, k ve n 1'den büyük doğal sayılarsa, eşitlik doğrudur: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Doğal bir güce kök salmak için radikal ifadeyi bu güce yükseltmek yeterlidir.
Kanıt.
$k=3$ için özel bir durumu ele alalım. Teorem 1'i kullanalım.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Aynı şey başka bir durum için de kanıtlanabilir. Beyler, $k=4$ ve $k=6$ durumları için bunu kendiniz kanıtlayın.
Teorem 4. $a≥0$ b n,k 1'den büyük doğal sayılarsa, eşitlik doğrudur: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Bir kökten kök çıkarmak için köklerin üslerini çarpmak yeterlidir.
Kanıt.
Tabloyu kullanarak kısaca tekrar ispatlayalım. Bunu kanıtlamak için tablo şeklinde basitleştirilmiş bir şema kullanıyoruz: 
Örnek.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Teorem 5. Kökün indeksleri ve kök ifadesi aynı doğal sayı ile çarpılırsa, kökün değeri değişmez: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Kanıt.
Teoremimizin ispat ilkesi diğer örneklerdekiyle aynıdır. Yeni değişkenleri tanıtalım:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (tanım gereği).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (tanım gereği).
Son eşitliği p kuvvetine yükseltiyoruz
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Var:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Yani, ispatlanacak olan $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$.
Örnekler:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5'e bölünür).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2'ye bölünür).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 ile çarpılır).
Örnek.
Eylemleri çalıştırın: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Çözüm.
Köklerin üsleri farklı sayılardır, bu yüzden Teorem 1'i kullanamayız, ancak Teorem 5'i uygulayarak eşit üsler elde edebiliriz.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 ile çarpılır).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 ile çarpılır).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Bağımsız çözüm için görevler
1. Hesaplayın: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Hesaplayın: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Hesaplayın:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Basitleştirin:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Eylemleri gerçekleştirin: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
