Congratulazioni: oggi analizzeremo le radici, uno degli argomenti più strabilianti della terza media. :)
Molte persone si confondono sulle radici, non perché siano complesse (il che è complicato - un paio di definizioni e un paio di proprietà in più), ma perché nella maggior parte dei libri di testo scolastici le radici sono definite in modo tale che solo gli autori dei libri di testo stessi può capire questo scarabocchio. E anche allora solo con una bottiglia di buon whisky. :)
Pertanto, ora darò la definizione più corretta e competente della radice, l'unica che devi davvero ricordare. E solo allora ti spiegherò: perché tutto questo è necessario e come applicarlo nella pratica.
Ma prima, ricorda un punto importante, che per qualche motivo molti compilatori di libri di testo "dimenticano":
Le radici possono essere di grado pari (il nostro preferito $\sqrt(a)$, così come qualsiasi $\sqrt(a)$ e anche $\sqrt(a)$) e dispari (qualsiasi $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ ecc.). E la definizione della radice di un grado dispari è alquanto diversa da quella pari.
Qui in questo fottuto “un po' diverso” si nasconde, probabilmente, il 95% di tutti gli errori e le incomprensioni legate alle radici. Quindi chiariamo una volta per tutte la terminologia:
Definizione. Anche radice n dal numero $a$ è qualsiasi non negativo un numero $b$ tale che $((b)^(n))=a$. E la radice di un grado dispari dallo stesso numero $a$ è generalmente qualsiasi numero $b$ per il quale vale la stessa uguaglianza: $((b)^(n))=a$.
In ogni caso, la radice è indicata in questo modo:
\(un)\]
Il numero $n$ in tale notazione è chiamato esponente della radice e il numero $a$ è chiamato espressione radicale. In particolare, per $n=2$ otteniamo la nostra radice quadrata “preferita” (a proposito, questa è una radice di grado pari), e per $n=3$ otteniamo una radice cubica (un grado dispari), che si trova spesso anche nei problemi e nelle equazioni.
Esempi. Esempi classici di radici quadrate:
\[\begin(allineamento) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fine(allineamento)\]
A proposito, $\sqrt(0)=0$ e $\sqrt(1)=1$. Questo è abbastanza logico poiché $((0)^(2))=0$ e $((1)^(2))=1$.
Anche le radici del cubo sono comuni: non aver paura di loro:
\[\begin(allineamento) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fine(allineamento)\]
Bene, un paio di "esempi esotici":
\[\begin(allineamento) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fine(allineamento)\]
Se non capisci qual è la differenza tra un grado pari e uno dispari, rileggi di nuovo la definizione. È molto importante!
Nel frattempo, considereremo una caratteristica spiacevole delle radici, per cui dovevamo introdurre una definizione separata per esponenti pari e dispari.
Perché abbiamo bisogno di radici?
Dopo aver letto la definizione, molti studenti chiederanno: "Cosa fumavano i matematici quando hanno inventato questo?" E proprio: perché abbiamo bisogno di tutte queste radici?
Per rispondere a questa domanda, torniamo un attimo alle elementari. Ricorda: in quei tempi lontani, quando gli alberi erano più verdi e gli gnocchi erano più gustosi, la nostra principale preoccupazione era moltiplicare correttamente i numeri. Bene, qualcosa nello spirito del "cinque per cinque - venticinque", tutto qui. Ma dopotutto, puoi moltiplicare i numeri non in coppia, ma in terzine, quattro e generalmente interi set:
\[\begin(allinea) & 5\cpunto 5=25; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5=125; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5=625; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5=3125; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5=15\ 625. \end(allineamento)\]
Tuttavia, non è questo il punto. Il trucco è un altro: i matematici sono persone pigre, quindi hanno dovuto scrivere la moltiplicazione di dieci cinque in questo modo:
Quindi hanno ottenuto dei diplomi. Perché non scrivere il numero di fattori come apice invece di una lunga stringa? Come questo:
È molto conveniente! Tutti i calcoli vengono ridotti di diverse volte e non puoi spendere un mucchio di fogli di quaderni di pergamena per scriverne 5 183 . Tale voce era chiamata il grado di un numero, in essa si trovavano un mucchio di proprietà, ma la felicità si rivelò di breve durata.
Dopo una grandiosa sbronza, organizzata proprio per la "scoperta" delle lauree, un matematico particolarmente stordito ha improvvisamente chiesto: "E se conoscessimo il grado di un numero, ma non conoscessimo il numero stesso?" Infatti, se sappiamo che un certo numero $b$, per esempio, dà 243 alla quinta potenza, allora come possiamo indovinare a cosa è uguale il numero $b$ stesso?
Questo problema si è rivelato molto più globale di quanto potrebbe sembrare a prima vista. Perché si è scoperto che per la maggior parte dei diplomi "pronti" non ci sono numeri "iniziali". Giudica tu stesso:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Freccia destra b=3\cpunto 3\cpunto 3\Freccia destra b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Freccia destra b=4\cpunto 4\cpunto 4\Freccia destra b=4. \\ \fine(allineamento)\]
E se $((b)^(3))=50$? Si scopre che è necessario trovare un certo numero che, moltiplicato per tre volte per se stesso, ci darà 50. Ma qual è questo numero? È chiaramente maggiore di 3 perché 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Cioè questo numero è compreso tra tre e quattro, ma a cosa è uguale - FIG lo capirai.
Questo è esattamente il motivo per cui i matematici hanno inventato $n$-esima radice. Ecco perché è stata introdotta l'icona radicale $\sqrt(*)$. Per denotare lo stesso numero $b$, che, alla potenza specificata, ci darà un valore precedentemente noto
\[\sqrt[n](a)=b\Freccia destra ((b)^(n))=a\]
Non discuto: spesso queste radici sono facilmente considerate - abbiamo visto molti esempi di questo tipo sopra. Tuttavia, nella maggior parte dei casi, se pensi a un numero arbitrario e poi provi a estrarne la radice di un grado arbitrario, ti aspetta un crudele peccato.
Cosa c'è! Anche il più semplice e familiare $\sqrt(2)$ non può essere rappresentato nella nostra forma usuale, come un intero o una frazione. E se guidi questo numero in una calcolatrice, vedrai questo:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Come puoi vedere, dopo il punto decimale c'è una sequenza infinita di numeri che non obbediscono a nessuna logica. Ovviamente puoi arrotondare questo numero per confrontarlo rapidamente con altri numeri. Per esempio:
\[\sqrt(2)=1.4142...\circa 1.4 \lt 1.5\]
Oppure ecco un altro esempio:
\[\sqrt(3)=1.73205...\circa 1.7 \gt 1.5\]
Ma tutti questi arrotondamenti sono, in primo luogo, piuttosto approssimativi; e in secondo luogo, devi anche essere in grado di lavorare con valori approssimativi, altrimenti puoi cogliere un sacco di errori non evidenti (a proposito, l'abilità di confronto e arrotondamento è necessariamente verificata all'esame del profilo).
Pertanto, nella matematica seria non si può fare a meno delle radici: sono gli stessi rappresentanti uguali dell'insieme di tutti i numeri reali $\mathbb(R)$, così come frazioni e interi a noi familiari da molto tempo.
L'impossibilità di rappresentare la radice come una frazione della forma $\frac(p)(q)$ significa che questa radice non è un numero razionale. Tali numeri sono chiamati irrazionali e non possono essere rappresentati accuratamente se non con l'aiuto di un radicale o di altre costruzioni appositamente progettate per questo (logaritmi, gradi, limiti, ecc.). Ma ne parleremo un'altra volta.
Considera alcuni esempi in cui, dopo tutti i calcoli, i numeri irrazionali rimarranno ancora nella risposta.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\circa 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\circa -1,2599... \\ \end(align)\]
Naturalmente, dall'aspetto della radice, è quasi impossibile indovinare quali numeri verranno dopo la virgola. Tuttavia, è possibile calcolare su una calcolatrice, ma anche il calcolatore di data più avanzato ci fornisce solo le prime cifre di un numero irrazionale. Pertanto, è molto più corretto scrivere le risposte come $\sqrt(5)$ e $\sqrt(-2)$.
Ecco per cosa sono stati inventati. Per semplificare la scrittura delle risposte.
Perché sono necessarie due definizioni?
Il lettore attento ha probabilmente già notato che tutte le radici quadrate riportate negli esempi sono tratte da numeri positivi. Beh, almeno da zero. Ma le radici cubiche vengono estratte con calma da qualsiasi numero, anche positivo, persino negativo.
Perché sta succedendo? Dai un'occhiata al grafico della funzione $y=((x)^(2))$:
Il grafico di una funzione quadratica fornisce due radici: positiva e negativa Proviamo a calcolare $\sqrt(4)$ usando questo grafico. Per fare ciò, sul grafico viene tracciata una linea orizzontale $y=4$ (contrassegnata in rosso), che interseca la parabola in due punti: $((x)_(1))=2$ e $((x) _(2)) =-2$. Questo è abbastanza logico, dal momento che
Tutto è chiaro con il primo numero: è positivo, quindi è la radice:
Ma allora cosa fare con il secondo punto? Il 4 ha due radici contemporaneamente? Dopotutto, se rendiamo al quadrato il numero −2, otteniamo anche 4. Perché allora non scrivere $\sqrt(4)=-2$? E perché gli insegnanti guardano questi dischi come se volessero mangiarti? :)
Il problema è che se non vengono imposte ulteriori condizioni, i quattro avranno due radici quadrate: positiva e negativa. E qualsiasi numero positivo ne avrà anche due. Ma i numeri negativi non avranno affatto radici - questo può essere visto dallo stesso grafico, poiché la parabola non scende mai al di sotto dell'asse y, cioè. non assume valori negativi.
Un problema simile si verifica per tutte le radici con esponente pari:
- A rigor di termini, ogni numero positivo avrà due radici con esponente pari $n$;
- Da numeri negativi, la radice pari $n$ non viene estratta affatto.
Ecco perché la definizione di radice pari $n$ stabilisce specificamente che la risposta deve essere un numero non negativo. È così che ci liberiamo dell'ambiguità.
Ma per $n$ dispari non c'è questo problema. Per vederlo, diamo un'occhiata al grafico della funzione $y=((x)^(3))$:
La parabola cubica assume qualsiasi valore, quindi la radice cubica può essere ricavata da qualsiasi numero Da questo grafico si possono trarre due conclusioni:
- I rami di una parabola cubica, a differenza della solita, vanno all'infinito in entrambe le direzioni, sia in alto che in basso. Pertanto, a qualsiasi altezza disegniamo una linea orizzontale, questa linea si intersecherà sicuramente con il nostro grafico. Pertanto, la radice cubica può sempre essere presa, assolutamente da qualsiasi numero;
- Inoltre, tale intersezione sarà sempre unica, quindi non è necessario pensare a quale numero considerare la radice "corretta" e quale segnare. Ecco perché la definizione delle radici per un grado dispari è più semplice che per uno pari (non esiste un requisito di non negatività).
È un peccato che queste cose semplici non siano spiegate nella maggior parte dei libri di testo. Invece, i nostri cervelli iniziano a volare con ogni sorta di radici aritmetiche e le loro proprietà.
Sì, non discuto: cos'è una radice aritmetica - devi anche sapere. E ne parlerò in dettaglio in una lezione separata. Oggi ne parleremo anche, perché senza di essa tutte le riflessioni sulle radici della $n$-esima molteplicità sarebbero incomplete.
Ma prima devi capire chiaramente la definizione che ho dato sopra. Altrimenti, a causa dell'abbondanza di termini, nella tua testa inizierà un tale pasticcio che alla fine non capirai nulla.
E tutto ciò che devi capire è la differenza tra numeri pari e dispari. Pertanto, ancora una volta raccoglieremo tutto ciò che devi davvero sapere sulle radici:
- Una radice pari esiste solo da un numero non negativo ed è essa stessa sempre un numero non negativo. Per i numeri negativi, tale radice non è definita.
- Ma la radice di un grado dispari esiste da qualsiasi numero e può essere essa stessa qualsiasi numero: per i numeri positivi è positivo, e per i numeri negativi, come suggerisce il cap, è negativo.
È difficile? No, non è difficile. Chiaro? Sì, è ovvio! Pertanto, ora ci eserciteremo un po' con i calcoli.
Proprietà e limitazioni di base
Le radici hanno molte strane proprietà e restrizioni: questa sarà una lezione separata. Pertanto, ora considereremo solo il "chip" più importante, che si applica solo alle radici con un esponente pari. Scriviamo questa proprietà sotto forma di formula:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\sinistra| x\destra|\]
In altre parole, se eleviamo un numero a potenza pari, e poi ne estraiamo la radice dello stesso grado, otterremo non il numero originario, ma il suo modulo. Questo è un semplice teorema facile da dimostrare (basta considerare separatamente $x$ non negativi, e poi considerare separatamente quelli negativi). Gli insegnanti ne parlano costantemente, è dato in ogni libro di testo scolastico. Ma non appena si tratta di risolvere equazioni irrazionali (cioè equazioni contenenti il segno del radicale), gli studenti dimenticano insieme questa formula.
Per capire nel dettaglio la questione, dimentichiamo per un minuto tutte le formule e proviamo a contare due numeri avanti:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Questi sono esempi molto semplici. Il primo esempio sarà risolto dalla maggior parte delle persone, ma nel secondo molti si fermeranno. Per risolvere qualsiasi merda senza problemi, considera sempre la procedura:
- Innanzitutto, il numero viene elevato alla quarta potenza. Beh, è abbastanza facile. Si otterrà un nuovo numero, che si trova anche nella tabellina;
- Ed ora da questo nuovo numero bisogna estrarre la radice del quarto grado. Quelli. non c'è "riduzione" di radici e gradi - queste sono azioni sequenziali.
Trattiamo la prima espressione: $\sqrt(((3)^(4)))$. Ovviamente, devi prima calcolare l'espressione sotto la radice:
\[((3)^(4))=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3=81\]
Quindi estraiamo la quarta radice del numero 81:
Ora facciamo lo stesso con la seconda espressione. Innanzitutto, eleviamo il numero −3 alla quarta potenza, per la quale dobbiamo moltiplicarlo per se stesso 4 volte:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ sinistra(-3 \destra)=81\]
Abbiamo ottenuto un numero positivo, poiché il numero totale di meno nel prodotto è di 4 pezzi e si cancelleranno tutti a vicenda (dopotutto, un meno per un meno dà un più). Quindi, estrai nuovamente la radice:
In linea di principio, questa riga non può essere scritta, poiché è un gioco da ragazzi che la risposta sarà la stessa. Quelli. una radice pari della stessa potenza uniforme "brucia" gli svantaggi, e in questo senso il risultato è indistinguibile dal solito modulo:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\destra|=3; \\ & \sqrt(((\sinistra(-3 \destra))^(4)))=\sinistra| -3 \destra|=3. \\ \fine(allineamento)\]
Questi calcoli sono in buon accordo con la definizione della radice di un grado pari: il risultato è sempre non negativo e anche il segno radicale è sempre un numero non negativo. In caso contrario, la radice non è definita.
Nota sull'ordine delle operazioni
- La notazione $\sqrt(((a)^(2)))$ significa che prima quadramo il numero $a$, quindi prendiamo la radice quadrata del valore risultante. Pertanto, possiamo essere sicuri che un numero non negativo si trova sempre sotto il segno della radice, poiché $((a)^(2))\ge 0$ comunque;
- Ma la notazione $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, al contrario, significa che prima si estrae la radice da un certo numero $a$ e solo dopo si quadra il risultato. Pertanto, il numero $a$ in nessun caso può essere negativo: questo è un requisito obbligatorio incorporato nella definizione.
Pertanto, in nessun caso si dovrebbero ridurre sconsideratamente le radici e i gradi, presumibilmente "semplificando" l'espressione originale. Perché se c'è un numero negativo sotto la radice, e il suo esponente è pari, avremo molti problemi.
Tuttavia, tutti questi problemi sono rilevanti solo per gli indicatori pari.
Rimuovere un segno meno da sotto il segno della radice
Naturalmente, anche le radici con esponenti dispari hanno una loro caratteristica, che, in linea di principio, non esiste per quelle pari. Vale a dire:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
In breve, puoi togliere un meno da sotto il segno delle radici di grado dispari. Questa è una proprietà molto utile che ti consente di "buttare fuori" tutti gli svantaggi:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cpunto 2=6. \fine(allineamento)\]
Questa semplice proprietà semplifica notevolmente molti calcoli. Ora non devi preoccuparti: e se un'espressione negativa fosse arrivata sotto la radice e il grado alla radice risultasse pari? Basta “buttare via” tutti gli aspetti negativi al di fuori delle radici, dopodiché possono essere moltiplicati tra loro, divisi e in genere fare molte cose sospette, che nel caso delle radici “classiche” sono garantite per portarci ad un errore.
E qui entra in scena un'altra definizione, quella stessa con cui la maggior parte delle scuole inizia lo studio delle espressioni irrazionali. E senza il quale il nostro ragionamento sarebbe incompleto. Incontrare!
radice aritmetica
Assumiamo per un momento che solo numeri positivi o, in casi estremi, zero possano essere sotto il segno della radice. Segnaliamo su indicatori pari/dispari, puntiamo su tutte le definizioni fornite sopra - lavoreremo solo con numeri non negativi. Cosa poi?
E poi otteniamo la radice aritmetica: si interseca parzialmente con le nostre definizioni "standard", ma differisce comunque da esse.
Definizione. Una radice aritmetica del $n$esimo grado di un numero non negativo $a$ è un numero non negativo $b$ tale che $((b)^(n))=a$.
Come puoi vedere, la parità non ci interessa più. Apparve invece una nuova restrizione: l'espressione radicale ora è sempre non negativa, e anche la radice stessa non è negativa.
Per capire meglio come la radice aritmetica differisca da quella usuale, diamo un'occhiata ai grafici della parabola quadrata e cubica a noi già familiari:
Area di ricerca radice - numeri non negativi Come puoi vedere, d'ora in poi, siamo interessati solo a quei pezzi di grafici che si trovano nel primo quarto di coordinate - dove le coordinate $x$ e $y$ sono positive (o almeno zero). Non è più necessario guardare l'indicatore per capire se abbiamo il diritto di rootare un numero negativo o meno. Perché i numeri negativi non sono più considerati in linea di principio.
Potresti chiedere: "Beh, perché abbiamo bisogno di una definizione così castrata?" Oppure: "Perché non possiamo cavarcela con la definizione standard data sopra?"
Bene, darò solo una proprietà, per cui la nuova definizione diventa appropriata. Ad esempio, la regola dell'esponenziazione:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Nota: possiamo elevare l'espressione radice a qualsiasi potenza e allo stesso tempo moltiplicare l'esponente radice per la stessa potenza - e il risultato sarà lo stesso numero! Ecco alcuni esempi:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]
Bene, cosa c'è di sbagliato in questo? Perché non potevamo farlo prima? Ecco perché. Consideriamo una semplice espressione: $\sqrt(-2)$ è un numero abbastanza normale nel nostro senso classico, ma assolutamente inaccettabile dal punto di vista della radice aritmetica. Proviamo a convertirlo:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=--\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Come puoi vedere, nel primo caso, abbiamo tolto il meno da sotto il radicale (abbiamo tutti i diritti, perché l'indicatore è dispari), e nel secondo abbiamo usato la formula sopra. Quelli. dal punto di vista della matematica, tutto si fa secondo le regole.
WTF?! Come può lo stesso numero essere sia positivo che negativo? Non c'è modo. È solo che la formula dell'esponenziazione, che funziona benissimo per numeri positivi e zero, inizia a dare completa eresia nel caso di numeri negativi.
Qui, per sbarazzarsi di tale ambiguità, hanno escogitato radici aritmetiche. A loro è dedicata una grande lezione separata, in cui consideriamo in dettaglio tutte le loro proprietà. Quindi ora non ci soffermeremo su di loro: la lezione si è comunque rivelata troppo lunga.
Radice algebrica: per chi vuole saperne di più
Ho pensato a lungo: rendere questo argomento in un paragrafo separato o meno. Alla fine ho deciso di andarmene da qui. Questo materiale è destinato a coloro che vogliono comprendere ancora meglio le radici, non più a livello medio di "scuola", ma a livello vicino alle Olimpiadi.
Quindi: oltre alla definizione "classica" della radice del $n$-esimo grado da un numero e alla relativa divisione in indicatori pari e dispari, esiste una definizione più "adulta", che non dipende dalla parità e altre sottigliezze a tutti. Questa è chiamata radice algebrica.
Definizione. Una radice algebrica $n$-esima di qualsiasi $a$ è l'insieme di tutti i numeri $b$ tali che $((b)^(n))=a$. Non esiste una designazione consolidata per tali radici, quindi metti un trattino sopra:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
La differenza fondamentale rispetto alla definizione standard data all'inizio della lezione è che la radice algebrica non è un numero specifico, ma un insieme. E poiché stiamo lavorando con numeri reali, questo set è di soli tre tipi:
- Set vuoto. Si verifica quando è necessario trovare una radice algebrica di grado pari da un numero negativo;
- Un set composto da un unico elemento. Tutte le radici delle potenze dispari, così come le radici delle potenze pari da zero, rientrano in questa categoria;
- Infine, l'insieme può includere due numeri: gli stessi $((x)_(1))$ e $((x)_(2))=-((x)_(1))$ che abbiamo visto sul funzione quadratica del grafico. Di conseguenza, un tale allineamento è possibile solo quando si estrae la radice di un grado pari da un numero positivo.
L'ultimo caso merita una considerazione più approfondita. Contiamo un paio di esempi per capire la differenza.
Esempio. Espressioni di calcolo:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Soluzione. La prima espressione è semplice:
\[\overline(\sqrt(4))=\sinistra\( 2;-2 \destra\)\]
Sono due numeri che fanno parte del set. Perché ognuno di loro al quadrato dà un quattro.
\[\overline(\sqrt(-27))=\sinistra\( -3 \destra\)\]
Qui vediamo un insieme composto da un solo numero. Questo è abbastanza logico, poiché l'esponente della radice è dispari.
Infine, l'ultima espressione:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varniente \]
Abbiamo un set vuoto. Perché non esiste un solo numero reale che, elevato alla quarta (cioè pari!) Potenza, ci dia un numero negativo −16.
Nota finale. Nota: non a caso ho notato ovunque che stiamo lavorando con i numeri reali. Poiché ci sono anche numeri complessi, è del tutto possibile calcolare $\sqrt(-16)$ e molte altre cose strane lì.
Tuttavia, nel moderno curriculum scolastico di matematica, i numeri complessi non si trovano quasi mai. Sono stati omessi dalla maggior parte dei libri di testo perché i nostri funzionari considerano l'argomento "troppo difficile da capire".
È tutto. Nella prossima lezione, esamineremo tutte le proprietà chiave delle radici e infine impareremo come semplificare le espressioni irrazionali. :)
Per utilizzare con successo l'operazione di estrazione della radice in pratica, è necessario familiarizzare con le proprietà di questa operazione.
Tutte le proprietà sono formulate e dimostrate solo per valori non negativi di variabili contenute sotto i segni di radice.
Teorema 1. L'ennesima radice (n=2, 3, 4,...) del prodotto di due chipset non negativi è uguale al prodotto dell'ennesima radice di questi numeri:
Commento:
1.
Il teorema 1 resta valido nel caso in cui l'espressione radicale sia il prodotto di più di due numeri non negativi.
Teorema 2.Se una,
e n è un numero naturale maggiore di 1, quindi l'uguaglianza
Breve formulazione (seppur imprecisa) che risulta più comoda da usare in pratica: la radice della frazione è uguale alla frazione delle radici.
Il teorema 1 permette di moltiplicare m solo radici dello stesso grado
, cioè. solo radici con lo stesso esponente.
Teorema 3. Se ,k è un numero naturale e n è un numero naturale maggiore di 1, quindi l'uguaglianza
In altre parole, per elevare una radice a un potere naturale, basta elevare l'espressione radice a questo potere.
Questa è una conseguenza del Teorema 1. Infatti, ad esempio, per k = 3 otteniamo
Teorema 4. Se ,k, n sono numeri naturali maggiori di 1, quindi l'uguaglianza
In altre parole, per estrarre una radice da una radice, basta moltiplicare gli esponenti delle radici.
Per esempio,
Stai attento! Abbiamo imparato che quattro operazioni possono essere eseguite sulle radici: moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice (dalla radice). Ma che dire dell'addizione e sottrazione di radici? Non c'è modo.
Ad esempio, non puoi scrivere al posto di Indeed, ma è ovvio che
Teorema 5. Se gli indicatori della radice e dell'espressione della radice vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, quindi il valore della radice non cambierà, ad es.
Esempi di problem solving
Esempio 1 Calcolare
Soluzione. Utilizzando la prima proprietà delle radici (Teorema 1), otteniamo:
Esempio 2 Calcolare
Soluzione. Converti il numero misto in una frazione impropria.
Abbiamo Using la seconda proprietà delle radici ( teorema 2
), noi abbiamo:
Esempio 3 Calcolare: 
Soluzione. Qualsiasi formula in algebra, come ben sai, viene utilizzata non solo "da sinistra a destra", ma anche "da destra a sinistra". Quindi, la prima proprietà delle radici significa che può essere rappresentata nella forma e, al contrario, può essere sostituita dall'espressione. Lo stesso vale per la seconda proprietà delle radici. Con questo in mente, facciamo i calcoli.
Lezione e presentazione sul tema: "Proprietà della radice dell'ennesimo grado. Teoremi"
Materiali aggiuntivi
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Proprietà della radice dell'ennesimo grado. Teoremi
Ragazzi, continuiamo a studiare le radici dell'ennesimo grado di un numero reale. Come quasi tutti gli oggetti matematici, le radici dell'ennesimo grado hanno delle proprietà, oggi le studieremo.Tutte le proprietà che consideriamo sono formulate e dimostrate solo per valori non negativi delle variabili contenute sotto il segno della radice.
Nel caso di un esponente radice dispari, valgono anche per variabili negative.
Teorema 1. La radice ennesima del prodotto di due numeri non negativi è uguale al prodotto delle radici ennesima di questi numeri: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .
Dimostriamo il teorema.
Prova. Ragazzi, per dimostrare il teorema, introduciamo nuove variabili, indichiamo:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Dobbiamo dimostrare che $x=y*z$.
Si noti che valgono anche le seguenti identità:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Quindi vale anche la seguente identità: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
I gradi di due numeri non negativi ei loro esponenti sono uguali, quindi le basi dei gradi stessi sono uguali. Quindi $x=y*z$, che è ciò che doveva essere dimostrato.
Teorema 2. Se $a≥0$, $b>0$ e n è un numero naturale maggiore di 1, vale la seguente uguaglianza: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Cioè, l'ennesima radice del quoziente è uguale al quoziente dell'ennesima radice.
Prova.
Per dimostrarlo, utilizziamo uno schema semplificato sotto forma di tabella:
Esempi di calcolo dell'ennesima radice
Esempio.Calcola: $\sqrt(16*81*256)$.
Soluzione. Usiamo il Teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Esempio.
Calcola: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Soluzione. Rappresentiamo l'espressione radicale come una frazione impropria: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Usiamo il Teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Esempio.
Calcolare:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Soluzione:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorema 3. Se $a≥0$, k e n sono numeri naturali maggiori di 1, l'uguaglianza è vera: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Per elevare una radice a un potere naturale, basta elevare l'espressione radicale a questo potere.
Prova.
Consideriamo un caso speciale per $k=3$. Usiamo il Teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Lo stesso può essere dimostrato per ogni altro caso. Ragazzi, dimostratelo voi stessi per il caso in cui $k=4$ e $k=6$.
Teorema 4. Se $a≥0$ b n,k sono numeri naturali maggiori di 1, l'uguaglianza è vera: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Per estrarre una radice da una radice basta moltiplicare gli esponenti delle radici.
Prova.
Proviamo ancora brevemente usando la tabella. Per dimostrarlo, utilizziamo uno schema semplificato sotto forma di tabella: 
Esempio.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Teorema 5. Se gli indici della radice e l'espressione della radice vengono moltiplicati per lo stesso numero naturale, il valore della radice non cambierà: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Prova.
Il principio della dimostrazione del nostro teorema è lo stesso di altri esempi. Introduciamo nuove variabili:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (per definizione).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (per definizione).
Alziamo l'ultima uguaglianza alla potenza p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Avuto:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Cioè, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, che doveva essere dimostrato.
Esempi:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (diviso per 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (diviso per 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (moltiplicato per 3).
Esempio.
Esegui azioni: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Soluzione.
Gli esponenti delle radici sono numeri diversi, quindi non possiamo usare il Teorema 1, ma applicando il Teorema 5 possiamo ottenere esponenti uguali.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (moltiplicato per 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (moltiplicato per 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Compiti per soluzione indipendente
1. Calcola: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Calcola: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Calcola:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Semplifica:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Eseguire le azioni: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
