ઘર બાળરોગ ચતુર્ભુજ પેરાબોલાના ગુણધર્મો. પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો

બાળરોગ

ચતુર્ભુજ પેરાબોલાના ગુણધર્મો. પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો

આ શિક્ષણ સામગ્રી ફક્ત સંદર્ભ માટે છે અને વિષયોની વિશાળ શ્રેણી સાથે સંબંધિત છે. લેખ મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખની ઝાંખી આપે છે અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાને ધ્યાનમાં લે છે - યોગ્ય રીતે અને ઝડપથી ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખની જાણકારી વિના ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસ દરમિયાન, તે મુશ્કેલ બનશે, તેથી એ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે પેરાબોલા, હાયપરબોલા, સાઈન, કોસાઈન, વગેરેના આલેખ કેવા દેખાય છે, અને કેટલાક યાદ રાખો. કાર્યોના અર્થો. અમે મુખ્ય કાર્યોના કેટલાક ગુણધર્મો વિશે પણ વાત કરીશું.

હું સામગ્રીની સંપૂર્ણતા અને વૈજ્ઞાનિક સંપૂર્ણતાનો દાવો કરતો નથી; ભાર મૂકવામાં આવશે, સૌ પ્રથમ, પ્રેક્ટિસ પર - તે વસ્તુઓ જેની સાથે ઉચ્ચ ગણિતના કોઈપણ વિષયમાં દરેક પગલા પર વ્યક્તિનો શાબ્દિક સામનો થાય છે. ડમી માટે ચાર્ટ? એક એવું કહી શકે.

વાચકોની અસંખ્ય વિનંતીઓને કારણે ક્લિક કરી શકાય તેવી સામગ્રીઓનું કોષ્ટક:

વધુમાં, વિષય પર અલ્ટ્રા-ટૂંકા સારાંશ છે
- છ પૃષ્ઠોનો અભ્યાસ કરીને 16 પ્રકારના ચાર્ટમાં માસ્ટર!

ગંભીરતાપૂર્વક, છ, મને પણ આશ્ચર્ય થયું. આ સારાંશમાં સુધારેલ ગ્રાફિક્સ છે અને તે નજીવી ફી માટે ઉપલબ્ધ છે; ડેમો સંસ્કરણ જોઈ શકાય છે. ફાઇલને છાપવા માટે તે અનુકૂળ છે જેથી ગ્રાફ હંમેશા હાથમાં હોય. પ્રોજેક્ટને ટેકો આપવા બદલ આભાર!

અને ચાલો તરત જ શરૂ કરીએ:

સંકલન અક્ષને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે બનાવવું?

વ્યવહારમાં, પરીક્ષણો લગભગ હંમેશા વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા ચોરસમાં રેખાંકિત અલગ નોટબુકમાં પૂર્ણ કરવામાં આવે છે. તમારે ચેકર્ડ માર્કિંગની કેમ જરૂર છે? છેવટે, કાર્ય, સૈદ્ધાંતિક રીતે, A4 શીટ્સ પર કરી શકાય છે. અને પાંજરા માત્ર ડ્રોઇંગની ઉચ્ચ-ગુણવત્તા અને સચોટ ડિઝાઇન માટે જરૂરી છે.

ફંક્શન ગ્રાફનું કોઈપણ ચિત્ર સંકલન અક્ષોથી શરૂ થાય છે.

રેખાંકનો દ્વિ-પરિમાણીય અથવા ત્રિ-પરિમાણીય હોઈ શકે છે.

ચાલો પહેલા દ્વિ-પરિમાણીય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ:

1) સંકલન અક્ષો દોરો. ધરી કહેવાય છે x-અક્ષ , અને ધરી છે y-અક્ષ . અમે હંમેશા તેમને દોરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ સુઘડ અને કુટિલ નથી. તીરો પણ પાપા કાર્લોની દાઢી જેવા ન હોવા જોઈએ.

2) અમે મોટા અક્ષરો "X" અને "Y" સાથે અક્ષો પર સહી કરીએ છીએ. કુહાડીઓને લેબલ કરવાનું ભૂલશો નહીં.

3) અક્ષો સાથે સ્કેલ સેટ કરો: શૂન્ય અને બે દોરો. ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, સૌથી અનુકૂળ અને વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતું સ્કેલ છે: 1 યુનિટ = 2 કોષો (ડાબી બાજુએ દોરો) - જો શક્ય હોય તો, તેને વળગી રહો. જો કે, સમય-સમય પર એવું બને છે કે ડ્રોઇંગ નોટબુક શીટ પર બંધબેસતું નથી - પછી અમે સ્કેલ ઘટાડીએ છીએ: 1 યુનિટ = 1 સેલ (જમણી બાજુએ રેખાંકન). તે દુર્લભ છે, પરંતુ એવું બને છે કે ડ્રોઇંગના સ્કેલને વધુ ઘટાડવું (અથવા વધારવું) પડશે

"મશીનગન" ની કોઈ જરૂર નથી …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….કોઓર્ડિનેટ પ્લેન માટે ડેસકાર્ટેસનું સ્મારક નથી, અને વિદ્યાર્થી કબૂતર નથી. અમે મૂક્યુ શૂન્યઅને અક્ષો સાથે બે એકમો. ક્યારેક ની બદલેએકમો, અન્ય મૂલ્યોને "ચિહ્નિત" કરવા માટે અનુકૂળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, એબ્સીસા અક્ષ પર "બે" અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર "ત્રણ" - અને આ સિસ્ટમ (0, 2 અને 3) પણ સંકલન ગ્રીડને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરશે.

ડ્રોઇંગ બનાવતા પહેલા ડ્રોઇંગના અંદાજિત પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવો વધુ સારું છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો કાર્યને શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણ દોરવાની જરૂર હોય, તો તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે કે 1 એકમ = 2 કોષોનો લોકપ્રિય સ્કેલ કામ કરશે નહીં. શા માટે? ચાલો બિંદુ જોઈએ - અહીં તમારે પંદર સેન્ટિમીટર નીચે માપવું પડશે, અને, દેખીતી રીતે, ડ્રોઇંગ નોટબુક શીટ પર ફિટ (અથવા ભાગ્યે જ ફિટ) થશે નહીં. તેથી, અમે તરત જ એક નાનું સ્કેલ પસંદ કરીએ છીએ: 1 યુનિટ = 1 સેલ.

માર્ગ દ્વારા, સેન્ટીમીટર અને નોટબુક કોષો વિશે. શું તે સાચું છે કે 30 નોટબુક કોષોમાં 15 સેન્ટિમીટર હોય છે? આનંદ માટે, શાસક સાથે તમારી નોટબુકમાં 15 સેન્ટિમીટર માપો. યુએસએસઆરમાં, આ સાચું હોઈ શકે છે... એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે જો તમે આ સમાન સેન્ટિમીટરને આડા અને ઊભી રીતે માપશો, તો પરિણામો (કોષોમાં) અલગ હશે! કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, આધુનિક નોટબુક ચેકર્ડ નથી, પરંતુ લંબચોરસ છે. આ બકવાસ લાગે છે, પરંતુ ચિત્રકામ, ઉદાહરણ તરીકે, આવી પરિસ્થિતિઓમાં હોકાયંત્ર સાથેનું વર્તુળ ખૂબ અસુવિધાજનક છે. સાચું કહું તો, આવી ક્ષણો પર તમે કામરેજ સ્ટાલિનની સાચીતા વિશે વિચારવાનું શરૂ કરો છો, જેમને ઉત્પાદનમાં હેક વર્ક માટે કેમ્પમાં મોકલવામાં આવ્યા હતા, સ્થાનિક ઓટોમોબાઈલ ઉદ્યોગ, પડતા વિમાનો અથવા વિસ્ફોટિત પાવર પ્લાન્ટનો ઉલ્લેખ ન કરવો.

ગુણવત્તા વિશે બોલતા, અથવા સ્ટેશનરી પર સંક્ષિપ્ત ભલામણ. આજે, વેચાણ પરની મોટાભાગની નોટબુક્સ, ઓછામાં ઓછું કહીએ તો, સંપૂર્ણ વાહિયાત છે. કારણ કે તેઓ ભીના થઈ જાય છે, અને માત્ર જેલ પેનથી જ નહીં, પણ બોલપોઈન્ટ પેનથી પણ! તેઓ કાગળ પર પૈસા બચાવે છે. પરીક્ષણો પૂર્ણ કરવા માટે, હું આર્ખાંગેલ્સ્ક પલ્પ અને પેપર મિલ (18 શીટ્સ, ચોરસ) અથવા "પ્યાટેરોચકા" માંથી નોટબુકનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરું છું, જો કે તે વધુ ખર્ચાળ છે. જેલ પેન પસંદ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે; સૌથી સસ્તી ચાઈનીઝ જેલ રિફિલ પણ બોલપોઈન્ટ પેન કરતાં ઘણી સારી છે, જે કાગળને કાં તો સ્મજ કરે છે અથવા ફાડી નાખે છે. એકમાત્ર "સ્પર્ધાત્મક" બોલપોઇન્ટ પેન જે મને યાદ છે તે એરિક ક્રાઉઝ છે. તેણી સ્પષ્ટ, સુંદર અને સતત લખે છે - પછી ભલે તે સંપૂર્ણ કોર સાથે હોય અથવા લગભગ ખાલી હોય.

વધુમાં: વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની આંખો દ્વારા લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીની દ્રષ્ટિ લેખમાં આવરી લેવામાં આવી છે વેક્ટર્સની રેખીય (બિન) અવલંબન. વેક્ટર્સનો આધાર, કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર વિશે વિગતવાર માહિતી પાઠના બીજા ફકરામાં મળી શકે છે રેખીય અસમાનતાઓ.

3D કેસ

અહીં પણ લગભગ એવું જ છે.

1) સંકલન અક્ષો દોરો. ધોરણ: ધરી લાગુ – ઉપર તરફ નિર્દેશિત, ધરી – જમણી તરફ નિર્દેશિત, ધરી – નીચે ડાબી તરફ નિર્દેશિત કડક રીતે 45 ડિગ્રીના ખૂણા પર.

2) અક્ષોને લેબલ કરો.

3) અક્ષો સાથે સ્કેલ સેટ કરો. અક્ષ સાથેનો સ્કેલ અન્ય અક્ષો સાથેના સ્કેલ કરતાં બે ગણો નાનો છે. એ પણ નોંધ કરો કે જમણી ડ્રોઇંગમાં મેં ધરી સાથે બિન-માનક "નોચ" નો ઉપયોગ કર્યો છે (આ શક્યતા ઉપર પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે). મારા દૃષ્ટિકોણથી, આ વધુ સચોટ, ઝડપી અને વધુ સૌંદર્યલક્ષી આનંદદાયક છે - માઇક્રોસ્કોપ હેઠળ કોષની મધ્યમાં જોવાની અને કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિની નજીકના એકમને "શિલ્પ" કરવાની જરૂર નથી.

3D ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, ફરીથી, સ્કેલને પ્રાધાન્ય આપો
1 યુનિટ = 2 કોષો (ડાબી બાજુએ દોરો).

આ બધા નિયમો શેના માટે છે? નિયમો તોડવા માટે બનાવવામાં આવે છે. તે હવે હું કરીશ. હકીકત એ છે કે લેખના અનુગામી રેખાંકનો મારા દ્વારા Excel માં બનાવવામાં આવશે, અને સંકલન અક્ષ યોગ્ય ડિઝાઇનના દૃષ્ટિકોણથી ખોટા દેખાશે. હું બધા આલેખ હાથ વડે દોરી શકતો હતો, પરંતુ તે ખરેખર ડરામણી છે કારણ કે એક્સેલ તેમને વધુ સચોટ રીતે દોરવામાં અનિચ્છા ધરાવે છે.

પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો

એક રેખીય કાર્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. રેખીય કાર્યોનો આલેખ છે પ્રત્યક્ષ. સીધી રેખા બાંધવા માટે, બે બિંદુઓને જાણવું પૂરતું છે.

ઉદાહરણ 1

ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો. ચાલો બે મુદ્દા શોધીએ. એક બિંદુ તરીકે શૂન્ય પસંદ કરવાનું ફાયદાકારક છે.

તો પછી

ચાલો બીજો મુદ્દો લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, 1.

તો પછી

કાર્યો પૂર્ણ કરતી વખતે, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સામાન્ય રીતે કોષ્ટકમાં સારાંશ આપવામાં આવે છે:

અને મૂલ્યોની ગણતરી મૌખિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ, કેલ્ક્યુલેટર પર કરવામાં આવે છે.

બે મુદ્દા મળ્યા છે, ચાલો ચિત્ર બનાવીએ:

ડ્રોઇંગ તૈયાર કરતી વખતે, અમે હંમેશા ગ્રાફિક્સ પર સહી કરીએ છીએ.

રેખીય કાર્યના વિશિષ્ટ કેસો યાદ કરવા માટે તે ઉપયોગી થશે:

નોંધ લો કે મેં કેવી રીતે હસ્તાક્ષર કર્યા, ડ્રોઇંગનો અભ્યાસ કરતી વખતે સહીઓમાં વિસંગતતાઓને મંજૂરી આપવી જોઈએ નહીં. આ કિસ્સામાં, રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુની બાજુમાં અથવા ગ્રાફની વચ્ચે નીચે જમણી બાજુએ હસ્તાક્ષર મૂકવું અત્યંત અનિચ્છનીય હતું.

1) ફોર્મ () ના રેખીય કાર્યને પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા કહેવામાં આવે છે. દાખ્લા તરીકે, . પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા ગ્રાફ હંમેશા મૂળમાંથી પસાર થાય છે. આમ, સીધી રેખા બાંધવી સરળ છે - તે માત્ર એક બિંદુ શોધવા માટે પૂરતું છે.

2) ફોર્મનું સમીકરણ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાને સ્પષ્ટ કરે છે, ખાસ કરીને, અક્ષ પોતે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ફંક્શનનો આલેખ કોઈપણ બિંદુઓ શોધ્યા વિના તરત જ રચાયેલ છે. એટલે કે, એન્ટ્રી નીચે પ્રમાણે સમજવી જોઈએ: "x ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, y હંમેશા -4 ની બરાબર છે."

3) ફોર્મનું સમીકરણ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાને સ્પષ્ટ કરે છે, ખાસ કરીને, અક્ષ પોતે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ફંક્શનનો ગ્રાફ પણ તરત જ રચવામાં આવે છે. એન્ટ્રી નીચે પ્રમાણે સમજવી જોઈએ: "x હંમેશા, y ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, 1 ની બરાબર છે."

કેટલાક પૂછશે, શા માટે 6ઠ્ઠું ધોરણ યાદ છે ?! તે આવું છે, કદાચ તે આવું છે, પરંતુ અભ્યાસના વર્ષોમાં હું એક સારા ડઝન વિદ્યાર્થીઓને મળ્યો છું જેઓ અથવા જેવા ગ્રાફ બનાવવાના કાર્યથી આશ્ચર્યચકિત હતા.

રેખાંકનો બનાવતી વખતે સીધી રેખા બાંધવી એ સૌથી સામાન્ય ક્રિયા છે.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં સીધી રેખાની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે, અને રસ ધરાવતા લોકો લેખનો સંદર્ભ લઈ શકે છે. પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ.

ચતુર્ભુજ, ઘન કાર્યનો આલેખ, બહુપદીનો આલેખ

પેરાબોલા. ચતુર્ભુજ કાર્યનો આલેખ () પેરાબોલાને રજૂ કરે છે. પ્રખ્યાત કેસ ધ્યાનમાં લો:

ચાલો ફંક્શનના કેટલાક ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

તેથી, આપણા સમીકરણનો ઉકેલ: – આ બિંદુએ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ સ્થિત છે. આવું શા માટે થાય છે તે ડેરિવેટિવ પરના સૈદ્ધાંતિક લેખમાં અને કાર્યના અંતિમ ભાગ પરના પાઠમાં મળી શકે છે. આ દરમિયાન, ચાલો અનુરૂપ "Y" મૂલ્યની ગણતરી કરીએ:

આમ, શિરોબિંદુ બિંદુ પર છે

હવે આપણે અન્ય બિંદુઓ શોધીએ છીએ, જ્યારે પેરાબોલાની સમપ્રમાણતાનો બેશરમ ઉપયોગ કરીએ છીએ. એ નોંધવું જોઇએ કે કાર્ય – પણ નથી, પરંતુ, તેમ છતાં, કોઈએ પેરાબોલાની સપ્રમાણતાને રદ કરી નથી.

બાકીના મુદ્દા શોધવા માટે કયા ક્રમમાં, મને લાગે છે કે તે અંતિમ કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ થશે:

આ બાંધકામ અલ્ગોરિધમને અલંકારિક રીતે "શટલ" અથવા "આગળ અને પાછળ" સિદ્ધાંત કહી શકાય.

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

તપાસવામાં આવેલા ગ્રાફમાંથી, બીજી ઉપયોગી સુવિધા ધ્યાનમાં આવે છે:

ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે () નીચેનું સાચું છે:

જો , તો પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ દિશામાન થાય છે.

જો , તો પેરાબોલાની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

હાઇપરબોલા અને પેરાબોલા પાઠમાં વળાંક વિશે ઊંડાણપૂર્વકનું જ્ઞાન મેળવી શકાય છે.

એક ક્યુબિક પેરાબોલા ફંક્શન દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં શાળામાંથી પરિચિત ચિત્ર છે:

ચાલો ફંક્શનના મુખ્ય ગુણધર્મોની યાદી કરીએ

કાર્યનો આલેખ

તે પેરાબોલાની શાખાઓમાંની એકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

આ કિસ્સામાં, ધરી છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ પર હાઇપરબોલાના ગ્રાફ માટે.

જો, ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, તમે બેદરકારીપૂર્વક ગ્રાફને એસિમ્પ્ટોટ સાથે છેદવાની મંજૂરી આપો છો તો તે એક સંપૂર્ણ ભૂલ હશે.

એકતરફી મર્યાદાઓ પણ અમને કહે છે કે અતિપરવલય ઉપરથી મર્યાદિત નથીઅને નીચેથી મર્યાદિત નથી.

ચાલો અનંત પર કાર્યની તપાસ કરીએ: , એટલે કે, જો આપણે ધરી સાથે ડાબે (અથવા જમણે) અનંત તરફ જવાનું શરૂ કરીએ, તો "રમતો" વ્યવસ્થિત પગલામાં હશે. અનંત નજીકશૂન્ય સુધી પહોંચો, અને તે મુજબ, હાયપરબોલાની શાખાઓ અનંત નજીકધરીનો સંપર્ક કરો.

તેથી ધરી છે આડી એસિમ્પ્ટોટ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે, જો "x" વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

કાર્ય છે એકી, અને તેથી, હાયપરબોલા મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે. આ હકીકત ડ્રોઇંગમાંથી સ્પષ્ટ છે, વધુમાં, તે સરળતાથી વિશ્લેષણાત્મક રીતે ચકાસવામાં આવે છે: .

ફોર્મ () ના ફંક્શનનો ગ્રાફ હાઇપરબોલાની બે શાખાઓ દર્શાવે છે.

જો , તો હાઇપરબોલા પ્રથમ અને ત્રીજા સંકલન ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે(ઉપરનું ચિત્ર જુઓ).

જો , તો હાઇપરબોલા બીજા અને ચોથા સંકલન ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે.

આલેખના ભૌમિતિક રૂપાંતરણના દૃષ્ટિકોણથી હાયપરબોલા રહેઠાણની દર્શાવેલ પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરવું સરળ છે.

ઉદાહરણ 3

હાઇપરબોલાની જમણી શાખા બનાવો

અમે બિંદુ મુજબની બાંધકામ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને મૂલ્યો પસંદ કરવા માટે તે ફાયદાકારક છે જેથી તેઓ સંપૂર્ણ દ્વારા વિભાજિત થાય:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

હાઇપરબોલાની ડાબી શાખા બનાવવી મુશ્કેલ નહીં હોય; કાર્યની વિચિત્રતા અહીં મદદ કરશે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પોઈન્ટવાઈઝ કન્સ્ટ્રક્શનના કોષ્ટકમાં, આપણે માનસિક રીતે દરેક સંખ્યામાં માઈનસ ઉમેરીએ છીએ, અનુરૂપ બિંદુઓ મૂકીએ છીએ અને બીજી શાખા દોરીએ છીએ.

ગણવામાં આવેલ રેખા વિશે વિગતવાર ભૌમિતિક માહિતી હાયપરબોલા અને પેરાબોલા લેખમાં મળી શકે છે.

ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ

આ વિભાગમાં, હું તરત જ ઘાતાંકીય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈશ, કારણ કે 95% કિસ્સાઓમાં ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યાઓમાં તે ઘાતાંકીય જ દેખાય છે.

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આ એક અતાર્કિક સંખ્યા છે: , આલેખ બનાવતી વખતે આની જરૂર પડશે, જે હકીકતમાં, હું સમારંભ વિના બનાવીશ. ત્રણ મુદ્દા કદાચ પૂરતા છે:

ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફને હમણાં માટે એકલા છોડીએ, તેના પર વધુ પછીથી.

કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

ફંક્શન ગ્રાફ, વગેરે, મૂળભૂત રીતે સમાન દેખાય છે.

મારે કહેવું જ જોઇએ કે બીજો કિસ્સો વ્યવહારમાં ઓછી વાર જોવા મળે છે, પરંતુ તે થાય છે, તેથી મેં તેને આ લેખમાં શામેલ કરવું જરૂરી માન્યું.

લઘુગણક કાર્યનો આલેખ

કુદરતી લઘુગણક સાથેના કાર્યને ધ્યાનમાં લો.
ચાલો પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ ડ્રોઈંગ કરીએ:

જો તમે ભૂલી ગયા હો કે લઘુગણક શું છે, તો કૃપા કરીને તમારી શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોનો સંદર્ભ લો.

કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

ડોમેન:

મૂલ્યોની શ્રેણી: .

કાર્ય ઉપરથી મર્યાદિત નથી: , ભલે ધીમે ધીમે, પરંતુ લઘુગણકની શાખા અનંત સુધી જાય છે.
ચાલો જમણી બાજુએ શૂન્યની નજીક ફંક્શનની વર્તણૂક તપાસીએ: . તેથી ધરી છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે "x" જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.

લઘુગણકનું લાક્ષણિક મૂલ્ય જાણવું અને યાદ રાખવું હિતાવહ છે: .

સૈદ્ધાંતિક રીતે, આધાર માટે લઘુગણકનો ગ્રાફ સમાન દેખાય છે: , , (આધાર 10 માટે દશાંશ લઘુગણક), વગેરે. તદુપરાંત, આધાર જેટલો મોટો હશે, તેટલો ગ્રાફ ચપટી હશે.

અમે કેસને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં; મને યાદ નથી કે મેં છેલ્લી વખત આવા આધાર સાથે ગ્રાફ બનાવ્યો હતો. અને ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યાઓમાં લઘુગણક ખૂબ જ દુર્લભ મહેમાન લાગે છે.

આ ફકરાના અંતે હું એક વધુ હકીકત કહીશ: ઘાતાંકીય કાર્ય અને લઘુગણક કાર્ય- આ બે પરસ્પર વ્યસ્ત કાર્યો છે. જો તમે લઘુગણકના ગ્રાફને નજીકથી જોશો, તો તમે જોઈ શકો છો કે આ એક જ ઘાતાંક છે, તે થોડી અલગ રીતે સ્થિત છે.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો આલેખ

શાળામાં ત્રિકોણમિતિની યાતના ક્યાંથી શરૂ થાય છે? અધિકાર. સાઈન થી

ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ

આ રેખા કહેવાય છે સાઇનસૉઇડ.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે "pi" એ અતાર્કિક સંખ્યા છે: , અને ત્રિકોણમિતિમાં તે તમારી આંખોને ચમકાવે છે.

કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

આ કાર્ય છે સામયિકસમયગાળા સાથે. તેનો અર્થ શું છે? ચાલો સેગમેન્ટ જોઈએ. તેની ડાબી અને જમણી બાજુએ, ગ્રાફનો બરાબર એ જ ભાગ અવિરતપણે પુનરાવર્તિત થાય છે.

ડોમેન: , એટલે કે, “x” ની કોઈપણ કિંમત માટે સાઈન વેલ્યુ છે.

મૂલ્યોની શ્રેણી: . કાર્ય છે મર્યાદિત: , એટલે કે, બધી "રમતો" સેગમેન્ટમાં સખત રીતે બેસે છે.
આવું થતું નથી: અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે થાય છે, પરંતુ આ સમીકરણોનો ઉકેલ નથી.

પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, ચતુર્ભુજ કાર્યના ગુણધર્મો અને આલેખ પરના કાર્યો ગંભીર મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. આ એકદમ વિચિત્ર છે, કારણ કે તેઓ 8 મા ધોરણમાં ચતુર્ભુજ કાર્યનો અભ્યાસ કરે છે, અને પછી 9 મા ધોરણના પ્રથમ ક્વાર્ટર દરમિયાન તેઓ પેરાબોલાના ગુણધર્મોને "પીડિત" કરે છે અને વિવિધ પરિમાણો માટે તેના આલેખ બનાવે છે.

આ એ હકીકતને કારણે છે કે જ્યારે વિદ્યાર્થીઓને પેરાબોલાસ બનાવવાની ફરજ પાડે છે, ત્યારે તેઓ વ્યવહારીક રીતે આલેખને "વાંચવા" માટે સમય ફાળવતા નથી, એટલે કે, તેઓ ચિત્રમાંથી પ્રાપ્ત માહિતીને સમજવાની પ્રેક્ટિસ કરતા નથી. દેખીતી રીતે, એવું માનવામાં આવે છે કે, એક ડઝન કે બે આલેખ બનાવ્યા પછી, એક સ્માર્ટ વિદ્યાર્થી પોતે સૂત્રમાંના ગુણાંક અને ગ્રાફના દેખાવ વચ્ચેના સંબંધને શોધી અને ઘડશે. વ્યવહારમાં આ કામ કરતું નથી. આવા સામાન્યીકરણ માટે, ગાણિતિક લઘુ-સંશોધનમાં ગંભીર અનુભવ જરૂરી છે, જે મોટાભાગના નવમા-ગ્રેડર્સ પાસે નથી. દરમિયાન, રાજ્ય નિરીક્ષક શેડ્યૂલનો ઉપયોગ કરીને ગુણાંકના ચિહ્નો નક્કી કરવાની દરખાસ્ત કરે છે.

અમે સ્કૂલનાં બાળકો પાસેથી અશક્યની માગણી કરીશું નહીં અને આવી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે ફક્ત એક અલ્ગોરિધમ્સ ઑફર કરીશું.

તેથી, ફોર્મનું કાર્ય y = કુહાડી 2 + bx + cચતુર્ભુજ કહેવાય છે, તેનો આલેખ એક પેરાબોલા છે. નામ સૂચવે છે તેમ, મુખ્ય શબ્દ છે કુહાડી 2. તે જ એશૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, બાકીના ગુણાંક ( bઅને સાથે) શૂન્ય બરાબર થઈ શકે છે.

ચાલો જોઈએ કે તેના ગુણાંકના ચિહ્નો પેરાબોલાના દેખાવને કેવી રીતે અસર કરે છે.

ગુણાંક માટે સૌથી સરળ અવલંબન એ. મોટાભાગના શાળાના બાળકો આત્મવિશ્વાસથી જવાબ આપે છે: “જો એ> 0, પછી પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, અને જો એ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой એ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

આ બાબતે એ = 0,5

અને હવે માટે એ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

આ બાબતે એ = - 0,5

ગુણાંકની અસર સાથેતે અનુસરવા માટે પણ ખૂબ સરળ છે. ચાલો કલ્પના કરીએ કે આપણે એક બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધવા માંગીએ છીએ એક્સ= 0. સૂત્રમાં શૂન્યને બદલો:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. તે તારણ આપે છે કે y = c. તે જ સાથે y-અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે. સામાન્ય રીતે, આ બિંદુ ગ્રાફ પર શોધવાનું સરળ છે. અને નક્કી કરો કે તે શૂન્ય ઉપર છે કે નીચે. તે જ સાથે> 0 અથવા સાથે < 0.

સાથે > 0:

y = x 2 + 4x + 3

સાથે < 0

y = x 2 + 4x - 3

તદનુસાર, જો સાથે= 0, પછી પેરાબોલા આવશ્યકપણે મૂળમાંથી પસાર થશે:

y = x 2 + 4x

પરિમાણ સાથે વધુ મુશ્કેલ b. જે બિંદુએ આપણે તેને શોધીશું તે ફક્ત તેના પર જ નિર્ભર નથી bપણ થી એ. આ પેરાબોલાની ટોચ છે. તેનું એબ્સીસા (અક્ષ સંકલન એક્સ) સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે x માં = - b/(2a). આમ, b = - 2ax in. એટલે કે, આપણે નીચે પ્રમાણે આગળ વધીએ છીએ: આપણે ગ્રાફ પર પેરાબોલાના શિરોબિંદુ શોધીએ છીએ, તેના એબ્સીસાનું ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ, એટલે કે, આપણે શૂન્યની જમણી તરફ જોઈએ છીએ ( x માં> 0) અથવા ડાબી બાજુએ ( x માં < 0) она лежит.

જો કે, તે બધુ જ નથી. આપણે ગુણાંકના ચિહ્ન પર પણ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે એ. એટલે કે, પેરાબોલાની શાખાઓ ક્યાં નિર્દેશિત છે તે જુઓ. અને તે પછી જ, સૂત્ર મુજબ b = - 2ax inનિશાની નક્કી કરો b.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે એ> 0, પેરાબોલા ધરીને છેદે છે ખાતેશૂન્યથી નીચે, એટલે કે સાથે < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x માં> 0. તેથી b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: એ > 0, b < 0, સાથે < 0.

શાળામાં ગણિતના પાઠમાં, તમે ફંક્શનના સરળ ગુણધર્મો અને ગ્રાફથી પહેલેથી જ પરિચિત થયા છો. y = x 2. ચાલો આપણું જ્ઞાન વધારીએ ચતુર્ભુજ કાર્ય.

વ્યાયામ 1.

કાર્યનો આલેખ કરો y = x 2. સ્કેલ: 1 = 2 સે.મી. ઓય અક્ષ પર એક બિંદુને ચિહ્નિત કરો એફ(0; 1/4). હોકાયંત્ર અથવા કાગળની પટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને, બિંદુથી અંતર માપો એફઅમુક બિંદુ સુધી એમપેરાબોલાસ પછી સ્ટ્રીપને બિંદુ M પર પિન કરો અને જ્યાં સુધી તે ઊભી ન થાય ત્યાં સુધી તેને તે બિંદુની આસપાસ ફેરવો. સ્ટ્રીપનો અંત x-અક્ષથી થોડો નીચે આવશે (ફિગ. 1). સ્ટ્રીપ પર ચિહ્નિત કરો કે તે x-અક્ષની બહાર કેટલી દૂર વિસ્તરે છે. હવે પેરાબોલા પર બીજું બિંદુ લો અને માપનું પુનરાવર્તન કરો. સ્ટ્રીપની ધાર x-અક્ષની નીચે કેટલી દૂર આવી છે?

પરિણામ:તમે પેરાબોલા y = x 2 પર જે પણ બિંદુ લો છો તે મહત્વનું નથી, આ બિંદુથી બિંદુ F(0; 1/4) સુધીનું અંતર એ જ બિંદુથી એબ્સિસા અક્ષ સુધીના અંતર કરતાં હંમેશા સમાન સંખ્યા દ્વારા વધારે હશે - 1/4.

આપણે તેને અલગ રીતે કહી શકીએ: પેરાબોલાના કોઈપણ બિંદુથી બિંદુ (0; 1/4) સુધીનું અંતર પેરાબોલાના સમાન બિંદુથી સીધી રેખા y = -1/4 સુધીના અંતર જેટલું છે. આ અદ્ભુત બિંદુ F(0; 1/4) કહેવાય છે ફોકસપેરાબોલાસ y = x 2, અને સીધી રેખા y = -1/4 – મુખ્ય શિક્ષિકાઆ પેરાબોલા. દરેક પેરાબોલામાં ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને ફોકસ હોય છે.

પેરાબોલાના રસપ્રદ ગુણધર્મો:

1. પેરાબોલાના કોઈપણ બિંદુ અમુક બિંદુથી સમાન અંતરે હોય છે, જેને પેરાબોલાનું કેન્દ્ર કહેવાય છે, અને કેટલીક સીધી રેખા, જેને તેનું ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવાય છે.

2. જો તમે સમપ્રમાણતાના અક્ષની આસપાસ પેરાબોલાને ફેરવો છો (ઉદાહરણ તરીકે, પેરાબોલા y = x 2 Oy અક્ષની આસપાસ), તો તમને એક ખૂબ જ રસપ્રદ સપાટી મળશે જેને ક્રાંતિનો પેરાબોલોઇડ કહેવાય છે.

ફરતા જહાજમાં પ્રવાહીની સપાટી પરિભ્રમણના પેરાબોલોઇડનો આકાર ધરાવે છે. જો તમે ચાના અધૂરા ગ્લાસમાં ચમચી વડે જોરશોરથી હલાવો અને પછી ચમચી કાઢી નાખો તો તમે આ સપાટી જોઈ શકો છો.

3. જો તમે ક્ષિતિજના ચોક્કસ ખૂણા પર એક પથ્થરને રદબાતલમાં ફેંકી દો છો, તો તે પેરાબોલામાં ઉડી જશે. (ફિગ. 2).

4. જો તમે શંકુની સપાટીને તેના કોઈપણ એક જનરેટિસની સમાંતર સમતલ સાથે છેદશો, તો ક્રોસ સેક્શન પેરાબોલામાં પરિણમશે (ફિગ. 3).

5. એમ્યુઝમેન્ટ પાર્કમાં ક્યારેક પેરાબોલોઈડ ઓફ વંડર્સ નામની મજાની રાઈડ હોય છે. ફરતા પેરાબોલોઇડની અંદર ઊભેલા દરેકને લાગે છે કે તે ફ્લોર પર ઊભો છે, જ્યારે બાકીના લોકો કોઈક ચમત્કારિક રીતે દિવાલોને પકડી રાખે છે.

6. પ્રતિબિંબિત ટેલિસ્કોપમાં, પેરાબોલિક મિરર્સનો પણ ઉપયોગ થાય છે: દૂરના તારાનો પ્રકાશ, સમાંતર બીમમાં આવતો, ટેલિસ્કોપ મિરર પર પડતો, ફોકસમાં એકત્રિત થાય છે.

7. સ્પોટલાઇટ્સમાં સામાન્ય રીતે પેરાબોલોઇડના આકારમાં અરીસો હોય છે. જો તમે પેરાબોલોઇડના ફોકસ પર પ્રકાશ સ્ત્રોત મૂકો છો, તો પેરાબોલિક મિરરમાંથી પ્રતિબિંબિત કિરણો સમાંતર બીમ બનાવે છે.

ચતુર્ભુજ કાર્ય આલેખન

ગણિતના પાઠમાં, તમે ફંક્શન y = x 2 ના ગ્રાફમાંથી ફોર્મના ફંક્શનના ગ્રાફ કેવી રીતે મેળવવો તે અભ્યાસ કર્યો:

1) y = કુહાડી 2– |a| માં Oy અક્ષ સાથે ગ્રાફ y = x 2 ને ખેંચવું વખત (|a| સાથે< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ચોખા 4).

2) y = x 2 + n– ઓય અક્ષ સાથે n એકમો દ્વારા ગ્રાફનું શિફ્ટ, અને જો n > 0, તો શિફ્ટ ઉપરની તરફ છે, અને જો n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2- ઓક્સ અક્ષ સાથે m એકમો દ્વારા ગ્રાફનું શિફ્ટ: જો m< 0, то вправо, а если m >0, પછી બાકી, (ફિગ. 5).

4) y = -x 2– ગ્રાફ y = x 2 ના ઓક્સ અક્ષને સંબંધિત સપ્રમાણ પ્રદર્શન.

ચાલો ફંક્શનને કાવતરું કરવા પર નજીકથી નજર કરીએ y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c ફોર્મનું ચતુર્ભુજ કાર્ય હંમેશા ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે

y = a(x – m) 2 + n, જ્યાં m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

ચાલો તે સાબિત કરીએ.

ખરેખર,

y = કુહાડી 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

ચાલો નવા સંકેતો રજૂ કરીએ.

દો m = -b/(2a), એ n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

પછી આપણને y = a(x – m) 2 + n અથવા y – n = a(x – m) 2 મળે છે.

ચાલો કેટલાક વધુ અવેજી બનાવીએ: ચાલો y – n = Y, x – m = X (*).

પછી આપણે ફંક્શન Y = aX 2 મેળવીએ છીએ, જેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ મૂળ પર છે. X = 0; Y = 0.

શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને (*) માં બદલીને, અમે ગ્રાફ y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n ગ્રાફના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ.

આમ, એક ચતુર્ભુજ કાર્યને આ રીતે રજૂ કરવા માટે

y = a(x – m) 2 + n

પરિવર્તન દ્વારા, તમે નીચે પ્રમાણે આગળ વધી શકો છો:

a)ફંક્શન y = x 2 ની રચના કરો;

b)ઓક્સ અક્ષ સાથે m એકમો દ્વારા અને n એકમો દ્વારા ઓય અક્ષ સાથે સમાંતર અનુવાદ દ્વારા - પેરાબોલાના શિરોબિંદુને મૂળથી બિંદુ સુધી કોઓર્ડિનેટ્સ (m; n) સાથે સ્થાનાંતરિત કરો (ફિગ. 6).

રેકોર્ડિંગ પરિવર્તનો:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

ઉદાહરણ.

ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શન y = 2(x – 3) 2 નો ગ્રાફ બનાવો – 2.

ઉકેલ.

પરિવર્તનની સાંકળ:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

પ્લોટીંગમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે ચોખા 7.

તમે તમારા પોતાના પર ગ્રાફિંગ ચતુર્ભુજ કાર્યોની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને એક સંકલન પ્રણાલીમાં ફંક્શન y = 2(x + 3) 2 + 2 નો ગ્રાફ બનાવો. જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય અથવા શિક્ષક પાસેથી સલાહ લેવી હોય, તો તમારી પાસે આચાર કરવાની તક છે. ઑનલાઇન શિક્ષક સાથે મફત 25-મિનિટનો પાઠનોંધણી પછી. શિક્ષક સાથે આગળ કામ કરવા માટે, તમે ટેરિફ પ્લાન પસંદ કરી શકો છો જે તમને અનુકૂળ હોય.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? ચતુર્ભુજ કાર્યનો આલેખ કેવી રીતે કરવો તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

વ્યાયામ 1.

પેરાબોલાના રસપ્રદ ગુણધર્મો:

ચતુર્ભુજ કાર્ય આલેખન

4) y = -x 2– ગ્રાફ y = x 2 ના ઓક્સ અક્ષને સંબંધિત સપ્રમાણ પ્રદર્શન.

ચાલો ફંક્શનને કાવતરું કરવા પર નજીકથી નજર કરીએ y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c ફોર્મનું ચતુર્ભુજ કાર્ય હંમેશા ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે

y = a(x – m) 2 + n, જ્યાં m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

ચાલો તે સાબિત કરીએ.

ખરેખર,

y = કુહાડી 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

ચાલો નવા સંકેતો રજૂ કરીએ.

દો m = -b/(2a), એ n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

પછી આપણને y = a(x – m) 2 + n અથવા y – n = a(x – m) 2 મળે છે.

ચાલો કેટલાક વધુ અવેજી બનાવીએ: ચાલો y – n = Y, x – m = X (*).

પછી આપણે ફંક્શન Y = aX 2 મેળવીએ છીએ, જેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ મૂળ પર છે. X = 0; Y = 0.

આમ, એક ચતુર્ભુજ કાર્યને આ રીતે રજૂ કરવા માટે

y = a(x – m) 2 + n

પરિવર્તન દ્વારા, તમે નીચે પ્રમાણે આગળ વધી શકો છો:

a)ફંક્શન y = x 2 ની રચના કરો;

રેકોર્ડિંગ પરિવર્તનો:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

ઉદાહરણ.

ઉકેલ.

પરિવર્તનની સાંકળ:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

પ્લોટીંગમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે ચોખા 7.

તમે તમારા પોતાના પર ગ્રાફિંગ ચતુર્ભુજ કાર્યોની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને એક સંકલન પ્રણાલીમાં ફંક્શન y = 2(x + 3) 2 + 2 નો ગ્રાફ બનાવો. જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય અથવા શિક્ષક પાસેથી સલાહ લેવી હોય, તો તમારી પાસે આચાર કરવાની તક છે. ઑનલાઇન શિક્ષક સાથે મફત 25-મિનિટનો પાઠપછી શિક્ષક સાથે વધુ કામ કરવા માટે, તમે તમારા માટે અનુકૂળ હોય તે પસંદ કરી શકો છો

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? ચતુર્ભુજ કાર્યનો આલેખ કેવી રીતે કરવો તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.