વિભેદક કેલ્ક્યુલસના સૌથી મહત્વપૂર્ણ કાર્યોમાંનું એક એ કાર્યોના વર્તનનો અભ્યાસ કરવાના સામાન્ય ઉદાહરણોનો વિકાસ છે.
જો ફંક્શન y=f(x) અંતરાલ પર સતત હોય, અને તેનું વ્યુત્પન્ન ધન અંતરાલ (a,b) પર 0 ની બરાબર હોય, તો y=f(x) (f"(x)0) વડે વધે છે. જો ફંક્શન y=f (x) સેગમેન્ટ પર સતત હોય, અને તેનું વ્યુત્પન્ન ઋણ હોય અથવા અંતરાલ (a,b) પર 0 ની બરાબર હોય, તો y=f(x) (f"(x)0 થી ઘટે છે. )
અંતરાલો જેમાં ફંક્શન ઘટતું નથી અથવા વધતું નથી તેને ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલ કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનની એકવિધતા તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રના તે બિંદુઓ પર જ બદલાઈ શકે છે જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્નની નિશાની બદલાય છે. જે બિંદુઓ પર ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અદૃશ્ય થઈ જાય છે અથવા તેમાં અવ્યવસ્થા હોય છે તેને જટિલ કહેવામાં આવે છે.
પ્રમેય 1 (એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે 1લી પર્યાપ્ત સ્થિતિ).
ફંક્શન y=f(x) ને બિંદુ x 0 પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને ત્યાં એક પડોશી δ>0 રહેવા દો કે જેથી ફંક્શન અંતરાલ પર સતત હોય અને અંતરાલ (x 0 -δ,x 0)u(x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , અને તેનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક અંતરાલ પર સતત ચિહ્ન જાળવી રાખે છે. પછી જો x 0 -δ,x 0) અને (x 0 , x 0 +δ) પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો અલગ હોય, તો x 0 એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ છે, અને જો તેઓ એકસરખા હોય, તો x 0 એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી. . તદુપરાંત, જો, x0 બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, વ્યુત્પન્ન ફેરફારો વત્તાથી માઈનસ (x 0 f"(x)>0 ની ડાબી બાજુએ સંતુષ્ટ હોય, તો x 0 એ મહત્તમ બિંદુ છે; જો વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્નમાંથી બાદબાકીથી વત્તા (x 0 ની જમણી બાજુએ f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓને કાર્યના આત્યંતિક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમને તેના આત્યંતિક મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે.
પ્રમેય 2 (સ્થાનિક ચરમસીમાની આવશ્યક નિશાની).
જો ફંક્શન y=f(x) વર્તમાન x=x 0 પર એક્સ્ટ્રીમમ ધરાવે છે, તો કાં તો f’(x 0)=0 અથવા f’(x 0) અસ્તિત્વમાં નથી.
વિભેદક કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ પર, તેના ગ્રાફની સ્પર્શક ઓક્સ અક્ષની સમાંતર છે.
એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવા માટે અલ્ગોરિધમ:
1) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
2) નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, એટલે કે. બિંદુઓ કે જેના પર કાર્ય સતત છે અને વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
3) દરેક બિંદુના પડોશને ધ્યાનમાં લો, અને આ બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુએ વ્યુત્પન્નના ચિહ્નનું પરીક્ષણ કરો.
4) આત્યંતિક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો; આ માટે, આ કાર્યમાં નિર્ણાયક બિંદુઓના મૂલ્યોને બદલો. એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી શરતોનો ઉપયોગ કરીને, યોગ્ય તારણો દોરો.
ઉદાહરણ 18. એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શન y=x 3 -9x 2 +24x તપાસો
ઉકેલ.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, આપણને x 1 =2, x 2 =4 મળે છે. આ કિસ્સામાં, વ્યુત્પન્ન દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે; આનો અર્થ એ છે કે બે બિંદુઓ સિવાય, અન્ય કોઈ નિર્ણાયક બિંદુઓ નથી.
3) વ્યુત્પન્ન y"=3(x-2)(x-4) ની નિશાની આકૃતિ 1 માં બતાવ્યા પ્રમાણે અંતરાલના આધારે બદલાય છે. જ્યારે x=2 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન વત્તાથી માઈનસમાં બદલાય છે, અને જ્યારે x=4 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે - માઈનસથી પ્લસ સુધી.
4) બિંદુ x=2 પર કાર્યમાં મહત્તમ y મહત્તમ =20 છે અને બિંદુ x=4 પર - ન્યૂનતમ y min =16.
પ્રમેય 3. (એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે 2જી પર્યાપ્ત સ્થિતિ).
ચાલો f"(x 0) અને બિંદુ x 0 પર f""(x 0) અસ્તિત્વમાં છે. પછી જો f""(x 0)>0, તો x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, અને જો f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
સેગમેન્ટ પર, ફંક્શન y=f(x) અંતરાલ (a;b) માં પડેલા ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર અથવા સૌથી નાના (y સૌથી ઓછા) અથવા સૌથી મોટા (y ઉચ્ચતમ) મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે. સેગમેન્ટના છેડા.
સેગમેન્ટ પર સતત કાર્ય y=f(x) ના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:
1) f"(x) શોધો.
2) બિંદુઓ શોધો કે જેના પર f"(x)=0 અથવા f"(x) અસ્તિત્વમાં નથી, અને તેમાંથી તેમાંથી પસંદ કરો કે જે સેગમેન્ટની અંદર આવેલા છે.
3) ફંક્શન y=f(x) ની કિંમતની ગણતરી સ્ટેપ 2 માં મેળવેલા પોઈન્ટ પર, તેમજ સેગમેન્ટના છેડા પર કરો અને તેમાંથી સૌથી મોટું અને નાનું પસંદ કરો: તે અનુક્રમે સૌથી મોટા (y) છે. અંતરાલ પર ફંક્શનના સૌથી મોટા) અને સૌથી નાના (વાય સૌથી ઓછા) મૂલ્યો.
ઉદાહરણ 19. સેગમેન્ટ પર સતત ફંક્શન y=x 3 -3x 2 -45+225નું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો.
1) અમારી પાસે સેગમેન્ટ પર y"=3x 2 -6x-45 છે
2) વ્યુત્પન્ન y" બધા x માટે અસ્તિત્વમાં છે. ચાલો તે બિંદુઓ શોધીએ કે જેના પર y"=0; અમને મળે છે:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) પોઈન્ટ x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરો
સેગમેન્ટમાં માત્ર બિંદુ x=5 છે. ફંક્શનના મળેલા મૂલ્યોમાં સૌથી મોટું 225 છે, અને સૌથી નાનું 50 નંબર છે. તેથી, y મહત્તમ = 225, y મિનિટ = 50.
બહિર્મુખતા પર કાર્યનો અભ્યાસ
આકૃતિ બે કાર્યોના આલેખ બતાવે છે. તેમાંથી પ્રથમ બહિર્મુખ ઉપર તરફ છે, બીજો બહિર્મુખ નીચે તરફ છે.
ફંક્શન y=f(x) સેગમેન્ટ પર સતત હોય છે અને અંતરાલ (a;b) માં ભિન્ન હોય છે, તેને આ સેગમેન્ટ પર બહિર્મુખ ઉપરની તરફ (નીચે) કહેવામાં આવે છે જો, axb માટે, તેનો આલેખ તેના કરતા ઊંચો (નીચો નહીં) હોય. કોઈપણ બિંદુ M 0 (x 0 ;f(x 0)) પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક, જ્યાં axb.
પ્રમેય 4. ફંક્શન y=f(x) ને સેગમેન્ટના કોઈપણ આંતરિક બિંદુ x પર બીજું વ્યુત્પન્ન થવા દો અને આ સેગમેન્ટના છેડે સતત રહેવા દો. પછી જો અસમાનતા f""(x)0 અંતરાલ (a;b) પર ધરાવે છે, તો ફંક્શન અંતરાલ પર નીચે તરફ બહિર્મુખ છે; જો અસમાનતા f""(x)0 અંતરાલ (a;b) પર ધરાવે છે, તો ફંક્શન ઉપરની તરફ બહિર્મુખ છે.
પ્રમેય 5. જો ફંક્શન y=f(x) માં અંતરાલ (a;b) પર બીજું વ્યુત્પન્ન હોય અને જો તે બિંદુ x 0માંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન બદલાય, તો M(x 0 ;f(x 0)) છે એક વળાંક બિંદુ.
ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધવાનો નિયમ:
1) એવા બિંદુઓ શોધો કે જેના પર f""(x) અસ્તિત્વમાં નથી અથવા અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
2) પ્રથમ પગલામાં મળેલ દરેક બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુએ ચિહ્ન f""(x) નું પરીક્ષણ કરો.
3) પ્રમેય 4 ના આધારે, નિષ્કર્ષ દોરો.
ઉદાહરણ 20. ફંક્શન y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ફંક્શનના આલેખના એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ અને ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધો.
આપણી પાસે f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 છે. દેખીતી રીતે, f"(x)=0 જ્યારે x 1 =0, x 2 =1. જ્યારે x=0 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન નિશાની બાદબાકીથી વત્તામાં બદલાય છે, પરંતુ જ્યારે x=1 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તે ચિહ્ન બદલાતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે x=0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે (y min =12), અને બિંદુ x=1 પર કોઈ સીમા નથી. આગળ, અમે શોધીએ છીએ 
. બીજું વ્યુત્પન્ન બિંદુ x 1 =1, x 2 =1/3 પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. બીજા વ્યુત્પન્ન પરિવર્તનના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે: કિરણ (-∞;) પર આપણી પાસે f""(x)>0 છે, અંતરાલ પર (;1) આપણી પાસે f""(x) છે<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. તેથી, x= એ ફંક્શન ગ્રાફનો ઇન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ છે (બહિર્મુખથી નીચેથી બહિર્મુખ તરફનું સંક્રમણ) અને x=1 એ ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ પણ છે (ઉર્ધ્વગામીથી બહિર્મુખ તરફ નીચે તરફ સંક્રમણ). જો x=, તો y= ; જો, તો x=1, y=13.
ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ
I. જો y=f(x) x → a તરીકે હોય, તો x=a એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.
II. જો y=f(x) x → ∞ અથવા x → -∞ તરીકે હોય, તો y=A એ આડી એસિમ્પટોટ છે.
III. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, અમે નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
1) ગણતરી કરો. જો મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને તે b ની બરાબર છે, તો y=b એ આડી એસિમ્પ્ટોટ છે; જો, તો પછી બીજા પગલા પર જાઓ.
2) ગણતરી કરો. જો આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી, તો ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ નથી; જો તે અસ્તિત્વમાં છે અને k બરાબર છે, તો ત્રીજા પગલા પર જાઓ.
3) ગણતરી કરો. જો આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી, તો ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ નથી; જો તે અસ્તિત્વમાં છે અને b ની બરાબર છે, તો પછી ચોથા પગલા પર જાઓ.
4) ત્રાંસી એસિમ્પટોટ y=kx+b નું સમીકરણ લખો.
ઉદાહરણ 21: ફંક્શન માટે એસિમ્પ્ટોટ શોધો 
1) 
2)
3)
4) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે
કાર્યનો અભ્યાસ કરવા અને તેનો ગ્રાફ બનાવવા માટેની યોજના
I. કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.
II. સંકલન અક્ષો સાથે કાર્યના ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો.
III. એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.
IV. સંભવિત અંતિમ બિંદુઓ શોધો.
V. નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો.
VI. સહાયક આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને, પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના ચિહ્નનું અન્વેષણ કરો. વધતા અને ઘટતા કાર્યના ક્ષેત્રો નક્કી કરો, આલેખની બહિર્મુખતાની દિશા, છેડાના બિંદુઓ અને વળાંક બિંદુઓ શોધો.
VII. ફકરા 1-6 માં કરાયેલા સંશોધનને ધ્યાનમાં રાખીને ગ્રાફ બનાવો.
ઉદાહરણ 22: ઉપરોક્ત રેખાકૃતિ અનુસાર ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો
ઉકેલ.
I. ફંક્શનનું ડોમેન એ x=1 સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
II. સમીકરણ x 2 +1=0 ના કોઈ વાસ્તવિક મૂળ ન હોવાથી, ફંક્શનના ગ્રાફમાં Ox અક્ષ સાથે છેદનના કોઈ બિંદુ નથી, પરંતુ બિંદુ (0;-1) પર Oy અક્ષને છેદે છે.
III. ચાલો એસિમ્પ્ટોટ્સના અસ્તિત્વના પ્રશ્નને સ્પષ્ટ કરીએ. ચાલો વિરામ બિંદુ x=1 નજીકના કાર્યની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરીએ. કારણ કે y → ∞ x → -∞ તરીકે, y → +∞ x → 1+ તરીકે, પછી સીધી રેખા x=1 એ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પટોટ છે.
જો x → +∞(x → -∞), તો y → +∞(y → -∞); તેથી, આલેખમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ નથી. આગળ, મર્યાદાના અસ્તિત્વમાંથી
સમીકરણ x 2 -2x-1=0 ઉકેલવાથી આપણે બે સંભવિત અંતિમ બિંદુઓ મેળવીએ છીએ:
x 1 =1-√2 અને x 2 =1+√2
V. નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધવા માટે, અમે બીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:
કારણ કે f""(x) અદૃશ્ય થતું નથી, ત્યાં કોઈ નિર્ણાયક બિંદુઓ નથી.
VI. ચાલો પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝની નિશાની તપાસીએ. ધ્યાનમાં લેવાના સંભવિત અંતિમ બિંદુઓ: x 1 =1-√2 અને x 2 =1+√2, કાર્યના અસ્તિત્વના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) અને (1+√2;+∞).
આ દરેક અંતરાલોમાં, વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે: પ્રથમમાં - વત્તા, બીજામાં - બાદબાકી, ત્રીજામાં - વત્તા. પ્રથમ વ્યુત્પન્નના સંકેતોનો ક્રમ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે: +,-,+.
આપણે જોયું કે ફંક્શન (-∞;1-√2) પર વધે છે, (1-√2;1+√2) પર ઘટે છે, અને (1+√2;+∞) પર ફરી વધે છે. એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ: મહત્તમ x=1-√2, અને f(1-√2)=2-2√2 ન્યૂનતમ x=1+√2 પર, અને f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) પર આલેખ ઉપરની તરફ બહિર્મુખ છે અને (1;+∞) પર તે નીચે તરફ બહિર્મુખ છે.
VII ચાલો પ્રાપ્ત મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ
VIII મેળવેલ ડેટાના આધારે, અમે ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવીએ છીએ 
આજે અમે તમને અમારી સાથે ફંક્શનનો ગ્રાફ અન્વેષણ કરવા અને બનાવવા માટે આમંત્રિત કરીએ છીએ. આ લેખનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કર્યા પછી, તમારે આ પ્રકારનું કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે લાંબા સમય સુધી પરસેવો કરવો પડશે નહીં. ફંક્શનના ગ્રાફનો અભ્યાસ કરવો અને તેનું નિર્માણ કરવું સરળ નથી; તે એક વિશાળ કાર્ય છે જેમાં મહત્તમ ધ્યાન અને ગણતરીઓની ચોકસાઈની જરૂર છે. સામગ્રીને સમજવામાં સરળ બનાવવા માટે, અમે તબક્કાવાર સમાન કાર્યનો અભ્યાસ કરીશું અને અમારી બધી ક્રિયાઓ અને ગણતરીઓ સમજાવીશું. ગણિતની અદ્ભુત અને આકર્ષક દુનિયામાં આપનું સ્વાગત છે! જાઓ!
ડોમેન
ફંક્શનનું અન્વેષણ કરવા અને ગ્રાફ બનાવવા માટે, તમારે ઘણી વ્યાખ્યાઓ જાણવાની જરૂર છે. કાર્ય એ ગણિતની મુખ્ય (મૂળભૂત) વિભાવનાઓમાંની એક છે. તે ફેરફારો દરમિયાન કેટલાક ચલો (બે, ત્રણ અથવા વધુ) વચ્ચેની અવલંબનને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ફંક્શન સેટની અવલંબન પણ દર્શાવે છે.
કલ્પના કરો કે આપણી પાસે બે ચલો છે જેમાં ચોક્કસ ફેરફારની શ્રેણી છે. તેથી, y એ x નું કાર્ય છે, જો કે બીજા ચલની દરેક કિંમત બીજાના એક મૂલ્યને અનુરૂપ હોય. આ કિસ્સામાં, ચલ y નિર્ભર છે, અને તેને કાર્ય કહેવામાં આવે છે. એવું કહેવાનો રિવાજ છે કે x અને y ચલોમાં છે આ નિર્ભરતાની વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે. ફંક્શનનો ગ્રાફ શું છે? આ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ છે, જ્યાં દરેક x મૂલ્ય એક y મૂલ્યને અનુરૂપ છે. આલેખ અલગ અલગ હોઈ શકે છે - સીધી રેખા, હાયપરબોલા, પેરાબોલા, સાઈન વેવ, વગેરે.
સંશોધન વિના કાર્યનો આલેખ કરવો અશક્ય છે. આજે આપણે શીખીશું કે કેવી રીતે સંશોધન કરવું અને ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો. અભ્યાસ દરમિયાન નોંધ લેવી ખૂબ જ જરૂરી છે. આ કાર્યને સામનો કરવા માટે ખૂબ સરળ બનાવશે. સૌથી અનુકૂળ સંશોધન યોજના:
- ડોમેન.
- સાતત્ય.
- સમ અથવા વિષમ.
- સામયિકતા.
- એસિમ્પ્ટોટ્સ.
- શૂન્ય.
- સહી સ્થિરતા.
- વધતા અને ઘટતા.
- આત્યંતિક.
- બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતા.
ચાલો પ્રથમ મુદ્દાથી શરૂઆત કરીએ. ચાલો વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ, એટલે કે, આપણું કાર્ય કયા અંતરાલ પર અસ્તિત્વમાં છે: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). અમારા કિસ્સામાં, x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે ફંક્શન અસ્તિત્વમાં છે, એટલે કે, વ્યાખ્યાનું ડોમેન R ની બરાબર છે. તેને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે xÎR.
સાતત્ય
હવે આપણે વિરામ કાર્યની તપાસ કરીશું. ગણિતમાં, "સાતત્ય" શબ્દ ગતિના નિયમોના અભ્યાસના પરિણામે દેખાયો. અનંત શું છે? અવકાશ, સમય, કેટલીક અવલંબન (ઉદાહરણ એ ચળવળની સમસ્યાઓમાં S અને t ચલોની અવલંબન છે), ગરમ વસ્તુનું તાપમાન (પાણી, ફ્રાઈંગ પાન, થર્મોમીટર, વગેરે), એક સતત રેખા (એટલે કે, એક તેને શીટ પેન્સિલમાંથી ઉપાડ્યા વિના દોરી શકાય છે).
ગ્રાફને સતત ગણવામાં આવે છે જો તે કોઈ સમયે તૂટતો નથી. આવા ગ્રાફના સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણોમાંનું એક સાઇનસૉઇડ છે, જે તમે આ વિભાગમાં ચિત્રમાં જોઈ શકો છો. જો સંખ્યાબંધ શરતો પૂરી થઈ હોય તો કોઈક બિંદુ x0 પર કાર્ય સતત રહે છે:
- કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે;
- એક બિંદુ પર જમણી અને ડાબી મર્યાદા સમાન છે;
- મર્યાદા બિંદુ x0 પર ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.
જો ઓછામાં ઓછી એક શરત પૂરી ન થઈ હોય, તો ફંક્શન નિષ્ફળ હોવાનું કહેવાય છે. અને જે બિંદુઓ પર ફંક્શન બ્રેક થાય છે તેને સામાન્ય રીતે બ્રેક પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનનું ઉદાહરણ જે ગ્રાફિકલી પ્રદર્શિત થાય ત્યારે "બ્રેક" કરશે: y=(x+4)/(x-3). તદુપરાંત, y બિંદુ x = 3 પર અસ્તિત્વમાં નથી (કારણ કે તેને શૂન્ય વડે ભાગવું અશક્ય છે).
આપણે જે કાર્યનો અભ્યાસ કરી રહ્યા છીએ તેમાં (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) બધું જ સરળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે ગ્રાફ સતત રહેશે.
બેકી એકી
હવે સમાનતા માટે કાર્ય તપાસો. પ્રથમ, થોડો સિદ્ધાંત. સમ કાર્ય એ એક છે જે ચલ x (મૂલ્યોની શ્રેણીમાંથી) ની કોઈપણ કિંમત માટે f(-x)=f(x) ની સ્થિતિને સંતોષે છે. ઉદાહરણોમાં શામેલ છે:
- મોડ્યુલ x (ગ્રાફ ડૉ જેવો દેખાય છે, ગ્રાફના પ્રથમ અને બીજા ક્વાર્ટરનો દ્વિભાજક);
- x ચોરસ (પેરાબોલા);
- કોસાઇન x (કોસાઇન).
નોંધ કરો કે જ્યારે y-અક્ષ (એટલે કે, y-અક્ષ) ના સંદર્ભમાં જોવામાં આવે ત્યારે આ તમામ આલેખ સપ્રમાણ છે.
તો પછી વિષમ કાર્ય શું કહેવાય? આ તે ફંકશન છે જે શરતને સંતોષે છે: ચલ xના કોઈપણ મૂલ્ય માટે f(-x)=-f(x). ઉદાહરણો:
- અતિશય
- ક્યુબિક પેરાબોલા;
- sinusoid;
- સ્પર્શક અને તેથી વધુ.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ કાર્યો બિંદુ (0:0) વિશે સપ્રમાણ છે, એટલે કે, મૂળ. લેખના આ વિભાગમાં જે કહેવામાં આવ્યું હતું તેના આધારે, એક સમાન અને વિષમ કાર્યમાં ગુણધર્મ હોવો આવશ્યક છે: x વ્યાખ્યા સમૂહનો છે અને -x પણ.
ચાલો સમાનતા માટે કાર્યની તપાસ કરીએ. અમે જોઈ શકીએ છીએ કે તેણી કોઈપણ વર્ણનો સાથે બંધબેસતી નથી. તેથી, આપણું કાર્ય સમ કે વિષમ નથી.
એસિમ્પ્ટોટ્સ
ચાલો વ્યાખ્યા સાથે શરૂ કરીએ. એસિમ્પ્ટોટ એ વળાંક છે જે ગ્રાફની શક્ય તેટલી નજીક છે, એટલે કે, ચોક્કસ બિંદુથી અંતર શૂન્ય તરફ વળે છે. કુલ, ત્રણ પ્રકારના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે:
- વર્ટિકલ, એટલે કે, y-અક્ષની સમાંતર;
- આડું, એટલે કે, x અક્ષની સમાંતર;
- વલણ
પ્રથમ પ્રકાર માટે, આ રેખાઓ કેટલાક બિંદુઓ પર જોવી જોઈએ:
- અંતર
- વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રનો છેડો.
અમારા કિસ્સામાં, કાર્ય સતત છે, અને વ્યાખ્યાનું ડોમેન R ની બરાબર છે. તેથી, ત્યાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.
ફંક્શનના ગ્રાફમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ હોય છે, જે નીચેની આવશ્યકતાઓને પૂર્ણ કરે છે: જો x અનંત અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, અને મર્યાદા ચોક્કસ સંખ્યાની બરાબર છે (ઉદાહરણ તરીકે, a). આ કિસ્સામાં, y=a એ આડી એસિમ્પ્ટોટ છે. આપણે જે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરી રહ્યા છીએ તેમાં કોઈ આડા એસિમ્પટોટ્સ નથી.
ત્રાંસી એસિમ્પટોટ ફક્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં છે જો બે શરતો પૂરી થાય:
- lim(f(x))/x=k;
- લિમ f(x)-kx=b.
પછી તે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: y=kx+b. ફરીથી, અમારા કિસ્સામાં કોઈ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.
કાર્ય શૂન્ય
આગળનું પગલું શૂન્ય માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરવાનું છે. એ નોંધવું પણ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે ફંક્શનના શૂન્ય શોધવા સાથે સંકળાયેલું કાર્ય ફંક્શનના ગ્રાફનો અભ્યાસ અને નિર્માણ કરતી વખતે જ નહીં, પણ એક સ્વતંત્ર કાર્ય તરીકે અને અસમાનતાઓને ઉકેલવાના માર્ગ તરીકે પણ થાય છે. તમારે ગ્રાફ પર ફંક્શનના શૂન્ય શોધવા અથવા ગાણિતિક સંકેતનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડી શકે છે.
આ મૂલ્યો શોધવાથી તમને કાર્યને વધુ સચોટ રીતે ગ્રાફ કરવામાં મદદ મળશે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ફંક્શનનું શૂન્ય એ ચલ xનું મૂલ્ય છે જેના પર y = 0 છે. જો તમે ગ્રાફ પર ફંક્શનના શૂન્ય શોધી રહ્યા છો, તો તમારે તે બિંદુઓ પર ધ્યાન આપવું જોઈએ કે જ્યાં ગ્રાફ x-અક્ષ સાથે છેદે છે.
ફંક્શનના શૂન્ય શોધવા માટે, તમારે નીચેના સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. જરૂરી ગણતરીઓ કર્યા પછી, અમને નીચેનો જવાબ મળે છે:
સહી સ્થિરતા
ફંક્શન (ગ્રાફ) ના સંશોધન અને નિર્માણનો આગળનો તબક્કો એ સતત ચિહ્નના અંતરાલો શોધવાનું છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે નક્કી કરવું જોઈએ કે કયા અંતરાલોમાં ફંક્શન હકારાત્મક મૂલ્ય લે છે અને કયા અંતરાલો પર તે નકારાત્મક મૂલ્ય લે છે. છેલ્લા વિભાગમાં મળેલ શૂન્ય કાર્યો આપણને આ કરવામાં મદદ કરશે. તેથી, આપણે એક સીધી રેખા (ગ્રાફથી અલગ) બનાવવાની જરૂર છે અને તેની સાથે ફંક્શનના શૂન્યને નાનાથી મોટામાં યોગ્ય ક્રમમાં વિતરિત કરવાની જરૂર છે. હવે તમારે તે નક્કી કરવાની જરૂર છે કે પરિણામી અંતરાલોમાંથી કયામાં “+” ચિહ્ન છે અને જેમાં “-” છે.
અમારા કિસ્સામાં, કાર્ય અંતરાલો પર હકારાત્મક મૂલ્ય લે છે:
- 1 થી 4 સુધી;
- 9 થી અનંત સુધી.
નકારાત્મક અર્થ:
- માઈનસ અનંતથી 1 સુધી;
- 4 થી 9 સુધી.
આ નક્કી કરવું એકદમ સરળ છે. અંતરાલમાંથી કોઈપણ સંખ્યાને ફંક્શનમાં બદલો અને જુઓ કે જવાબમાં કઈ નિશાની છે (માઈનસ અથવા વત્તા).
કાર્યોમાં વધારો અને ઘટાડો
ફંક્શનનું અન્વેષણ અને નિર્માણ કરવા માટે, આપણે જાણવાની જરૂર છે કે ગ્રાફ ક્યાં વધશે (ઓય અક્ષ સાથે ઉપર જશે) અને તે ક્યાં પડશે (વાય-અક્ષ સાથે નીચે ક્રોલ થશે).
ચલ x નું મોટું મૂલ્ય y ના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો જ કાર્ય વધે છે. એટલે કે, x2 એ x1 કરતા મોટો છે, અને f(x2) એ f(x1) કરતા મોટો છે. અને આપણે ઘટતા કાર્ય (વધુ x, ઓછા y) સાથે સંપૂર્ણપણે વિપરીત ઘટનાનું અવલોકન કરીએ છીએ. વધારો અને ઘટાડાના અંતરાલો નક્કી કરવા માટે, તમારે નીચેના શોધવાની જરૂર છે:
- વ્યાખ્યાનું ડોમેન (અમારી પાસે પહેલેથી જ છે);
- વ્યુત્પન્ન (અમારા કિસ્સામાં: 1/3(3x^2-28x+49);
- સમીકરણ 1/3(3x^2-28x+49)=0 ઉકેલો.
ગણતરીઓ પછી અમને પરિણામ મળે છે:
અમને મળે છે: કાર્ય અંતરાલ પર માઈનસ અનંતથી 7/3 અને 7 થી અનંત સુધી વધે છે, અને 7/3 થી 7 સુધીના અંતરાલ પર ઘટે છે.
આત્યંતિક
અભ્યાસ હેઠળનું કાર્ય y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) સતત છે અને x ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અસ્તિત્વમાં છે. આત્યંતિક બિંદુ આપેલ કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ દર્શાવે છે. અમારા કિસ્સામાં ત્યાં કોઈ નથી, જે બાંધકામ કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. નહિંતર, તેઓ વ્યુત્પન્ન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને પણ શોધી શકાય છે. એકવાર મળી ગયા પછી, તેમને ચાર્ટ પર ચિહ્નિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.
બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતા
અમે ફંક્શન y(x) નું વધુ અન્વેષણ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. હવે આપણે તેને બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતા માટે તપાસવાની જરૂર છે. આ ખ્યાલોની વ્યાખ્યાઓ સમજવી ખૂબ મુશ્કેલ છે; ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને દરેક વસ્તુનું વિશ્લેષણ કરવું વધુ સારું છે. પરીક્ષણ માટે: ફંક્શન બહિર્મુખ છે જો તે બિન-ઘટતું કાર્ય છે. સંમત થાઓ, આ અગમ્ય છે!
આપણે સેકન્ડ ઓર્ડર ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે. અમને મળે છે: y=1/3(6x-28). હવે જમણી બાજુને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ અને સમીકરણ ઉકેલીએ. જવાબ: x=14/3. અમને ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ મળ્યો, એટલે કે તે સ્થાન જ્યાં આલેખ બહિર્મુખથી અવતરણમાં અથવા ઊલટું બદલાય છે. માઇનસ અનંતથી 14/3 સુધીના અંતરાલ પર ફંક્શન બહિર્મુખ છે, અને 14/3 થી વત્તા અનંત સુધી તે અંતર્મુખ છે. તે નોંધવું પણ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે ગ્રાફ પરનું વળાંક બિંદુ સરળ અને નરમ હોવું જોઈએ, ત્યાં કોઈ તીક્ષ્ણ ખૂણા ન હોવા જોઈએ.
વધારાના મુદ્દાઓની વ્યાખ્યા
અમારું કાર્ય ફંક્શનની તપાસ અને ગ્રાફ બનાવવાનું છે. અમે અભ્યાસ પૂર્ણ કર્યો છે; કાર્યનો ગ્રાફ બનાવવો હવે મુશ્કેલ નથી. કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર વળાંક અથવા સીધી રેખાના વધુ ચોક્કસ અને વિગતવાર પ્રજનન માટે, તમે ઘણા સહાયક બિંદુઓ શોધી શકો છો. તેઓ ગણતરી કરવા માટે એકદમ સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે x=3 લઈએ છીએ, પરિણામી સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ અને y=4 શોધીએ છીએ. અથવા x=5, અને y=-5 અને તેથી વધુ. તમે બાંધકામ માટે જરૂરી હોય તેટલા વધારાના પોઈન્ટ લઈ શકો છો. તેમાંથી ઓછામાં ઓછા 3-5 મળી આવે છે.
આલેખનું કાવતરું
અમારે ફંક્શનની તપાસ કરવાની જરૂર છે (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. ગણતરી દરમિયાન તમામ જરૂરી ગુણ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર બનાવવામાં આવ્યા હતા. જે કરવાનું બાકી છે તે ગ્રાફ બનાવવાનું છે, એટલે કે તમામ બિંદુઓને જોડવાનું છે. બિંદુઓને કનેક્ટ કરવું સરળ અને સચોટ હોવું જોઈએ, આ કૌશલ્યની બાબત છે - થોડી પ્રેક્ટિસ કરો અને તમારું શેડ્યૂલ સંપૂર્ણ હશે.
સૂચનાઓ
ફંક્શનનું ડોમેન શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન sin(x) એ -∞ થી +∞ સુધીના સમગ્ર અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અને ફંક્શન 1/x એ -∞ થી +∞ સુધી વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, બિંદુ x = 0 સિવાય.
સાતત્યના ક્ષેત્રો અને વિરામના બિંદુઓને ઓળખો. સામાન્ય રીતે ફંક્શન એ જ પ્રદેશમાં સતત હોય છે જ્યાં તેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અસંતુલન શોધવા માટે, વ્યક્તિએ ગણતરી કરવી જોઈએ કારણ કે દલીલ વ્યાખ્યાના ડોમેનની અંદર અલગ બિંદુઓ સુધી પહોંચે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન 1/x જ્યારે x→0+ હોય ત્યારે અનંતતા તરફ અને જ્યારે x→0- હોય ત્યારે અનંતતા તરફ વળે છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x = 0 પર તે બીજા પ્રકારનું વિરામ ધરાવે છે.
જો વિરામ બિંદુ પરની મર્યાદાઓ મર્યાદિત છે, પરંતુ સમાન નથી, તો આ પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ છે. જો તેઓ સમાન હોય, તો કાર્યને સતત ગણવામાં આવે છે, જો કે તે એક અલગ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી.
વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો, જો કોઈ હોય તો. અગાઉના પગલાની ગણતરીઓ તમને અહીં મદદ કરશે, કારણ કે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ લગભગ હંમેશા બીજા પ્રકારના વિરામ બિંદુ પર સ્થિત હોય છે. જો કે, કેટલીકવાર તે વ્યક્તિગત બિંદુઓ નથી કે જેને વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, પરંતુ બિંદુઓના સમગ્ર અંતરાલો, અને પછી વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ આ અંતરાલોની કિનારીઓ પર સ્થિત થઈ શકે છે.
તપાસો કે શું ફંક્શનમાં વિશિષ્ટ ગુણધર્મો છે: સમાન, વિષમ અને સામયિક.
ડોમેન f(x) = f(-x) માં કોઈપણ x માટે હોય તો પણ કાર્ય હશે. ઉદાહરણ તરીકે, cos(x) અને x^2 સમ વિધેયો છે.
આવર્તન એ એક ગુણધર્મ છે જે કહે છે કે ચોક્કસ સંખ્યા T છે, જેને અવધિ કહેવાય છે, જે કોઈપણ x f(x) = f(x + T) માટે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમામ મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો (સાઇન, કોસાઇન, ટેન્જેન્ટ) સામયિક છે.
પોઈન્ટ શોધો. આ કરવા માટે, આપેલ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો અને x ની તે કિંમતો શોધો જ્યાં તે શૂન્ય બને છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન f(x) = x^3 + 9x^2 -15 માં વ્યુત્પન્ન g(x) = 3x^2 + 18x છે, જે x = 0 અને x = -6 પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
કયા એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ મેક્સિમા છે અને કયા મિનિમા છે તે નક્કી કરવા માટે, મળેલા શૂન્ય પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નોમાં ફેરફારને ટ્રૅક કરો. g(x) બિંદુ x = -6 પર વત્તાના ચિહ્નમાં ફેરફાર કરે છે, અને બિંદુ x = 0 પર માઈનસથી વત્તામાં પાછા આવે છે. પરિણામે, ફંક્શન f(x) પ્રથમ બિંદુ પર લઘુત્તમ અને બીજા બિંદુ પર લઘુત્તમ ધરાવે છે.
આમ, તમને એકવિધતાના ક્ષેત્રો પણ મળ્યા છે: f(x) એકવિધ રીતે અંતરાલ -∞;-6 પર વધે છે, -6;0 પર એકવિધ રીતે ઘટે છે અને 0;+∞ પર ફરી વધે છે.
બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો. તેના મૂળ બતાવશે કે આપેલ કાર્યનો આલેખ ક્યાં બહિર્મુખ હશે અને તે ક્યાં અંતર્મુખ હશે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન f(x) નું બીજું વ્યુત્પન્ન h(x) = 6x + 18 હશે. તે x = -3 પર શૂન્ય પર જાય છે, માઈનસથી વત્તામાં ચિહ્ન બદલાય છે. પરિણામે, આ બિંદુ પહેલાંનો f(x) નો ગ્રાફ બહિર્મુખ હશે, તેના પછી - અંતર્મુખ, અને આ બિંદુ પોતે જ એક વિવર્તન બિંદુ હશે.
ફંક્શનમાં વર્ટિકલ સિવાય અન્ય એસિમ્પ્ટોટ્સ હોઈ શકે છે, પરંતુ માત્ર જો તેની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં . તેમને શોધવા માટે, જ્યારે x→∞ અથવા x→-∞ હોય ત્યારે f(x) ની મર્યાદાની ગણતરી કરો. જો તે સીમિત છે, તો તમને આડું એસિમ્પ્ટોટ મળ્યું છે.
ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ એ kx + b સ્વરૂપની સીધી રેખા છે. k શોધવા માટે, f(x)/x ની મર્યાદા x→∞ તરીકે ગણો. સમાન x→∞ માટે b - મર્યાદા (f(x) – kx) શોધવા માટે.
સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરો અને કાર્યનો આલેખ કરો
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) કાર્યનો અવકાશ. ફંક્શન અપૂર્ણાંક હોવાથી, આપણે છેદના શૂન્ય શોધવાની જરૂર છે.
1−x=0,⇒x=1.1−x=0, ⇒x=1.
અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી એકમાત્ર બિંદુ x=1x=1 બાકાત કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) ચાલો વિરામ બિંદુની નજીકમાં કાર્યની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરીએ. ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓ શોધીએ:
મર્યાદાઓ અનંતની સમાન હોવાથી, બિંદુ x=1x=1 એ બીજા પ્રકારનું વિરામ છે, સીધી રેખા x=1x=1 એ ઊભી એસિમ્પટોટ છે.
3) ચાલો સંકલન અક્ષો સાથે ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓને નિર્ધારિત કરીએ.
ચાલો ઓર્ડિનેટ અક્ષ OyOy સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ, જેના માટે આપણે x=0x=0 સમાન કરીએ છીએ:
આમ, OyOy અક્ષ સાથે આંતરછેદના બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (0;8)(0;8) છે.
ચાલો એબ્સીસા અક્ષ OxOx સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ, જેના માટે આપણે y=0y=0 સેટ કરીએ છીએ:
સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, તેથી OxOx અક્ષ સાથે આંતરછેદના કોઈ બિંદુઓ નથી.
નોંધ કરો કે કોઈપણ xx માટે x2+8>0x2+8>0. તેથી, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), કાર્ય y>0y>0 (ધન મૂલ્યો લે છે, આલેખ x-અક્ષની ઉપર છે), x∈(1;+∞) માટે )x∈(1; +∞) ફંક્શન y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) ફંક્શન સમ કે વિચિત્ર નથી કારણ કે:
5) ચાલો સામયિકતા માટે કાર્યની તપાસ કરીએ. કાર્ય સામયિક નથી, કારણ કે તે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય છે.
6) ચાલો એક્સ્ટ્રીમા અને એકવિધતા માટેના કાર્યની તપાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમને ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન મળે છે:
ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ અને સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ (જેના પર y′=0y′=0):
અમને ત્રણ નિર્ણાયક બિંદુઓ મળ્યા: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને આ બિંદુઓ સાથે અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીએ અને દરેક અંતરાલમાં વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ:
x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) વ્યુત્પન્ન y′ માટે<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) વ્યુત્પન્ન y′>0y′>0 માટે, આ અંતરાલો પર કાર્ય વધે છે.
આ કિસ્સામાં, x=−2x=−2 એ સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ છે (કાર્ય ઘટે છે અને પછી વધે છે), x=4x=4 એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે (ફંક્શન વધે છે અને પછી ઘટે છે).
ચાલો આ બિંદુઓ પર ફંક્શનની કિંમતો શોધીએ: 
આમ, લઘુત્તમ બિંદુ (−2;4)(−2;4) છે, મહત્તમ બિંદુ (4;−8)(4;−8) છે.
7) ચાલો કિન્ક્સ અને બહિર્મુખતા માટેના કાર્યની તપાસ કરીએ. ચાલો ફંક્શનનું બીજું ડેરિવેટિવ શોધીએ:
ચાલો બીજા ડેરિવેટિવને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
પરિણામી સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, તેથી ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી. વધુમાં, જ્યારે x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 સંતુષ્ટ થાય છે, એટલે કે, કાર્ય અંતર્મુખ છે, જ્યારે x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y′ દ્વારા સંતુષ્ટ છે<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) ચાલો આપણે અનંત પરના કાર્યની વર્તણૂકનું પરીક્ષણ કરીએ, એટલે કે, પર.
મર્યાદાઓ અનંત હોવાથી, ત્યાં કોઈ આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.
ચાલો y=kx+by=kx+b ફોર્મના ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. અમે જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને k,bk,b ના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:
અમને જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનમાં એક ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ y=−x−1y=−x−1 છે.
9) વધારાના પોઈન્ટ. ચાલો આલેખને વધુ સચોટ રીતે બાંધવા માટે કેટલાક અન્ય બિંદુઓ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ.
y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.
10) મેળવેલા ડેટાના આધારે, અમે ગ્રાફ બનાવીશું, તેને એસિમ્પ્ટોટ્સ x=1x=1 (વાદળી), y=−x−1y=−x−1 (લીલો) સાથે પૂરક બનાવીશું અને લાક્ષણિક બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીશું (ઓર્ડિનેટ સાથે જાંબલી આંતરછેદ અક્ષ, નારંગી ચરમસીમા, કાળા વધારાના બિંદુઓ):
કાર્ય 4: ભૌમિતિક, આર્થિક સમસ્યાઓ (મને શું ખબર નથી, અહીં ઉકેલો અને સૂત્રો સાથે સમસ્યાઓની અંદાજિત પસંદગી છે) 
ઉદાહરણ 3.23. a
ઉકેલ. xઅને y y
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 એ એકમાત્ર નિર્ણાયક બિંદુ હોવાથી, ચાલો તપાસીએ કે આ બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્નની નિશાની બદલાય છે કે કેમ. xa/4 S " > 0 માટે અને x >a/4 S " માટે< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
ઉદાહરણ 3.24.
ઉકેલ.
R = 2, H = 16/4 = 4.
ઉદાહરણ 3.22.ફંક્શન f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ની સીમા શોધો.
ઉકેલ. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), ત્યારથી x 1 = 2 અને x 2 = 3 ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ. એક્સ્ટ્રીમા ફક્ત આ બિંદુઓ. તેથી જ્યારે x 1 = 2 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને વત્તાથી બાદમાં બદલી નાખે છે, તો આ બિંદુએ કાર્ય મહત્તમ હોય છે. જ્યારે x 2 = 3 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને બાદબાકીથી બદલે છે. વત્તા માટે, તેથી બિંદુ x 2 = 3 પર ફંક્શન ન્યૂનતમ છે. બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યોની ગણતરી કર્યા પછી
x 1 = 2 અને x 2 = 3, આપણે ફંક્શનની સીમા શોધીએ છીએ: મહત્તમ f(2) = 14 અને ન્યૂનતમ f(3) = 13.
ઉદાહરણ 3.23.પત્થરની દિવાલની નજીક એક લંબચોરસ વિસ્તાર બનાવવો જરૂરી છે જેથી તે ત્રણ બાજુઓ પર વાયર મેશ વડે બંધ કરવામાં આવે અને ચોથી બાજુ દિવાલની અડીને હોય. આ માટે છે aજાળીદાર રેખીય મીટર. કયા પાસા રેશિયો પર સાઇટનો વિસ્તાર સૌથી મોટો હશે?
ઉકેલ.ચાલો પ્લેટફોર્મની બાજુઓ દ્વારા સૂચિત કરીએ xઅને y. સાઇટનો વિસ્તાર S = xy છે. દો y- આ દિવાલને અડીને બાજુની લંબાઈ છે. પછી, શરત પ્રમાણે, સમાનતા 2x + y = a હોવી આવશ્યક છે. તેથી y = a - 2x અને S = x(a - 2x), જ્યાં
0 ≤ x ≤ a/2 (પેડની લંબાઈ અને પહોળાઈ નકારાત્મક હોઈ શકતી નથી). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, ક્યાંથી
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 એ એકમાત્ર નિર્ણાયક બિંદુ હોવાથી, ચાલો તપાસીએ કે આ બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્નની નિશાની બદલાય છે કે કેમ. xa/4 S " > 0 માટે અને x >a/4 S " માટે< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
ઉદાહરણ 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 ક્ષમતા સાથે બંધ નળાકાર ટાંકીનું ઉત્પાદન કરવું જરૂરી છે. ટાંકીના પરિમાણો શું હોવા જોઈએ (ત્રિજ્યા આર અને ઊંચાઈ H) જેથી તેના ઉત્પાદન માટે ઓછામાં ઓછી સામગ્રીનો ઉપયોગ થાય?
ઉકેલ.સિલિન્ડરનો કુલ સપાટી વિસ્તાર S = 2pR(R+H) છે. આપણે સિલિન્ડર V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 = 16p/ pR 2 = 16/ R 2 નું પ્રમાણ જાણીએ છીએ. આનો અર્થ છે S(R) = 2p(R 2 +16/R). અમે આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 માટે R 3 = 8, તેથી,
R = 2, H = 16/4 = 4.
સંબંધિત માહિતી.
