વિગતો જોવાઈ: 2154

કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા અને બેઝ ફોર્મ્યુલા

આ પાઠમાં આપણે એક મહત્વની કોરોલરરી જોઈશું સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર પ્રમેયઅને વિષય પરની સામાન્ય સમસ્યાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખો. જે વાચકો વિશે લેખ વાંચ્યો છે આશ્રિત ઘટનાઓ, તે સરળ હશે, કારણ કે તેમાં આપણે વાસ્તવમાં કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનું શરૂ કરી દીધું છે. જો તમે સર્ચ એન્જિનમાંથી આવ્યા છો અને/અથવા સમજી શકતા નથી સંભાવના સિદ્ધાંત (કોર્સના 1લા પાઠની લિંક), પછી હું પહેલા આ પૃષ્ઠોની મુલાકાત લેવાની ભલામણ કરું છું.

ખરેખર, ચાલો ચાલુ રાખીએ. ચાલો વિચાર કરીએ આશ્રિત ઘટના, જે ફક્ત અસંગતમાંથી એકના અમલીકરણના પરિણામે થઈ શકે છે પૂર્વધારણાઓ , જે ફોર્મ સંપૂર્ણ જૂથ. તેમની સંભાવનાઓ અને અનુરૂપ શરતી સંભાવનાઓને જાણવા દો. પછી ઘટના બનવાની સંભાવના છે:

આ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે કુલ સંભાવના સૂત્રો. પાઠ્યપુસ્તકોમાં તે પ્રમેય તરીકે ઘડવામાં આવે છે, જેનો પુરાવો પ્રાથમિક છે: અનુસાર ઘટનાઓનું બીજગણિત, (એક ઘટના બની અને અથવાએક ઘટના બની અનેતે પછી એક ઘટના આવી અથવાએક ઘટના બની અનેતે પછી એક ઘટના આવી અથવા …. અથવાએક ઘટના બની અનેતે એક ઘટના આવી તે પછી). પૂર્વધારણાઓ થી અસંગત છે, અને ઘટના નિર્ભર છે, પછી અનુસાર અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરાનું પ્રમેય (પ્રથમ પગલું)અને આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારનું પ્રમેય (બીજું પગલું):

ઘણા લોકો કદાચ પ્રથમ ઉદાહરણની સામગ્રીની અપેક્ષા રાખે છે =)

જ્યાં તમે થૂંકશો ત્યાં એક કલશ છે:

સમસ્યા 1

ત્યાં ત્રણ સરખા ભંડાર છે. પ્રથમ કલરમાં 4 સફેદ અને 7 કાળા દડા છે, બીજામાં - માત્ર સફેદ અને ત્રીજું - માત્ર કાળા દડા. એક કલશ રેન્ડમ પર પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક બોલ રેન્ડમ રીતે દોરવામાં આવે છે. આ બોલ કાળો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ: ઘટનાને ધ્યાનમાં લો - અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવશે. આ ઘટના નીચેની પૂર્વધારણાઓમાંની એકના પરિણામે થઈ શકે છે:
- 1 લી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે;
- 2જી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે;
- 3જી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે.

કલશ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યો હોવાથી, ત્રણમાંથી કોઈપણ કલશની પસંદગી સમાન રીતે શક્ય, તેથી:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ઉપરોક્ત પૂર્વધારણાઓ રચાય છે ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ, એટલે કે, શરત મુજબ, કાળો બોલ ફક્ત આ ભઠ્ઠીઓમાંથી દેખાઈ શકે છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, બિલિયર્ડ ટેબલમાંથી આવી શકતો નથી. ચાલો એક સરળ મધ્યવર્તી તપાસ કરીએ:
, ઠીક છે, ચાલો આગળ વધીએ:

પ્રથમ કલશમાં 4 સફેદ + 7 કાળો = 11 બોલ છે, દરેક શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા:
- કાળો બોલ દોરવાની સંભાવના કે જે આપેલ, કે 1 લી કલશ પસંદ કરવામાં આવશે.

બીજા કલશમાં માત્ર સફેદ દડા હોય છે, તેથી જો પસંદ કરેલ હોયકાળા બોલનો દેખાવ બની જાય છે અશક્ય: .

અને અંતે, ત્રીજા કલશમાં ફક્ત કાળા દડા હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે અનુરૂપ શરતી સંભાવનાકાળા બોલ કાઢવામાં આવશે (ઘટના વિશ્વસનીય છે).

- અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો:

વિશ્લેષિત ઉદાહરણ ફરીથી સૂચવે છે કે શરતની તપાસ કરવી કેટલું મહત્વપૂર્ણ છે. ચાલો ભઠ્ઠીઓ અને દડાઓ સાથે સમાન સમસ્યાઓ લઈએ - તેમની બાહ્ય સમાનતા હોવા છતાં, ઉકેલની પદ્ધતિઓ સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે: ક્યાંક તમારે ફક્ત ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા, ક્યાંક ઘટનાઓ સ્વતંત્ર, ક્યાંક આશ્રિત, અને ક્યાંક આપણે પૂર્વધારણાઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. તે જ સમયે, ઉકેલ પસંદ કરવા માટે કોઈ સ્પષ્ટ ઔપચારિક માપદંડ નથી - તમારે લગભગ હંમેશા તેના વિશે વિચારવાની જરૂર છે. તમારી કુશળતા કેવી રીતે સુધારવી? અમે નક્કી કરીએ છીએ, અમે નક્કી કરીએ છીએ અને અમે ફરીથી નક્કી કરીએ છીએ!

સમસ્યા 2

શૂટિંગ રેન્જમાં વિવિધ ચોકસાઈની 5 રાઈફલ્સ છે. આપેલ શૂટર માટે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે અને 0.4. જો શૂટર અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી રાઇફલમાંથી એક ગોળી ચલાવે તો લક્ષ્યને ફટકારવાની સંભાવના કેટલી છે?

પાઠના અંતે ટૂંકો ઉકેલ અને જવાબ.

મોટાભાગની વિષયોની સમસ્યાઓમાં, પૂર્વધારણાઓ, અલબત્ત, સમાન રીતે સંભવિત નથી:

સમસ્યા 3

પિરામિડમાં 5 રાઇફલ્સ છે, જેમાંથી ત્રણ ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિથી સજ્જ છે. ટેલિસ્કોપિક દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલ ફાયરિંગ કરતી વખતે શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના 0.95 છે; ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિનાની રાઇફલ માટે, આ સંભાવના 0.7 છે. જો શૂટર અવ્યવસ્થિત રીતે લેવામાં આવેલી રાઇફલમાંથી એક ગોળી ચલાવે તો લક્ષ્યને ફટકો પડશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: આ સમસ્યામાં રાઇફલ્સની સંખ્યા અગાઉના એક જેવી જ છે, પરંતુ ત્યાં ફક્ત બે પૂર્વધારણાઓ છે:
- શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલ પસંદ કરશે;
- શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલ પસંદ કરશે.
દ્વારા સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા: .
નિયંત્રણ:

ઘટનાને ધ્યાનમાં લો: - શૂટર રેન્ડમ લેવામાં આવેલી રાઇફલ વડે લક્ષ્યને હિટ કરે છે.
શરત દ્વારા: .

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ આપો: 0,85

વ્યવહારમાં, કાર્યને ફોર્મેટ કરવાની ટૂંકી રીત, જેનાથી તમે પણ પરિચિત છો, તે તદ્દન સ્વીકાર્ય છે:

ઉકેલશાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર: - અનુક્રમે ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે અને ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલ પસંદ કરવાની સંભાવના.

શરતે, - અનુરૂપ પ્રકારની રાઇફલ્સથી લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:
- શૂટર અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી રાઇફલ વડે લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો: 0,85

નીચે આપેલ કાર્ય તમારા પોતાના પર હલ કરવાનું છે:

સમસ્યા 4

એન્જિન ત્રણ મોડમાં કાર્ય કરે છે: સામાન્ય, ફરજિયાત અને નિષ્ક્રિય. નિષ્ક્રિય સ્થિતિમાં, તેની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.05 છે, સામાન્ય ઓપરેશન મોડમાં - 0.1, અને ફરજિયાત મોડમાં - 0.7. 70% સમય એન્જિન સામાન્ય મોડમાં અને 20% ફરજિયાત મોડમાં ચાલે છે. ઓપરેશન દરમિયાન એન્જિનની નિષ્ફળતાની સંભાવના શું છે?

માત્ર કિસ્સામાં, હું તમને યાદ કરાવું કે સંભાવના મૂલ્યો મેળવવા માટે, ટકાવારીને 100 વડે વિભાજીત કરવી આવશ્યક છે. ખૂબ કાળજી રાખો! મારા અવલોકનો અનુસાર, લોકો ઘણી વખત કુલ સંભાવના સૂત્રને સંડોવતા સમસ્યાઓની પરિસ્થિતિઓને ગૂંચવવાનો પ્રયાસ કરે છે; અને મેં ખાસ આ ઉદાહરણ પસંદ કર્યું. હું તમને એક રહસ્ય કહીશ - હું લગભગ મારી જાતને મૂંઝવણમાં મૂક્યો છું =)

પાઠના અંતે ઉકેલ (ટૂંકમાં ફોર્મેટ કરેલ)

બેયસના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતી સમસ્યાઓ

સામગ્રી અગાઉના ફકરાની સામગ્રી સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. એક પૂર્વધારણાના અમલીકરણના પરિણામે ઘટના બનવા દો . કોઈ ચોક્કસ પૂર્વધારણા આવી હોવાની સંભાવના કેવી રીતે નક્કી કરવી?

કે જે આપેલતે ઘટના થઈ ચૂક્યું છે, પૂર્વધારણા સંભાવનાઓ ઓવરરેટેડઅંગ્રેજી પાદરી થોમસ બેયસનું નામ પ્રાપ્ત કરેલા સૂત્રો અનુસાર:

- પૂર્વધારણા થઈ હોવાની સંભાવના;
- પૂર્વધારણા થઈ હોવાની સંભાવના;
…
- પૂર્વધારણા થઈ હોવાની સંભાવના.

પ્રથમ નજરમાં તે સંપૂર્ણપણે વાહિયાત લાગે છે - જો પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ પહેલાથી જ જાણીતી હોય તો શા માટે ફરીથી ગણતરી કરવી? પરંતુ હકીકતમાં એક તફાવત છે:

આ પ્રાથમિકતા(અંદાજિત પહેલાંપરીક્ષણો) સંભાવના.

આ પશ્ચાદવર્તી(અંદાજિત પછીપરીક્ષણો) સમાન પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ, "નવા શોધાયેલા સંજોગો" ના સંબંધમાં પુનઃગણતરી - ઘટના એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા ચોક્કસપણે થયું.

ચાલો આ તફાવતને ચોક્કસ ઉદાહરણ સાથે જોઈએ:

સમસ્યા 5

ઉત્પાદનોના 2 બેચ વેરહાઉસ પર પહોંચ્યા: પ્રથમ - 4000 ટુકડાઓ, બીજા - 6000 ટુકડાઓ. પ્રથમ બેચમાં બિન-માનક ઉત્પાદનોની સરેરાશ ટકાવારી 20% છે, અને બીજામાં - 10%. રેન્ડમ પર વેરહાઉસમાંથી લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સંભવિતતા શોધો કે તે છે: a) પ્રથમ બેચમાંથી, b) બીજા બેચમાંથી.

પ્રથમ ભાગ ઉકેલોકુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણતરીઓ એવી ધારણા હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે કે પરીક્ષણ હજુ સુધી ઉત્પાદન કર્યું નથીઅને ઘટના "ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાનું બહાર આવ્યું"હજી નહિં.

ચાલો બે પૂર્વધારણાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:
- રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન 1લી બેચમાંથી હશે;
- રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન 2જી બેચમાંથી હશે.

કુલ: 4000 + 6000 = 10000 વસ્તુઓ સ્ટોકમાં છે. શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર:
.

નિયંત્રણ:

ચાલો આશ્રિત ઘટનાને ધ્યાનમાં લઈએ: - વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હશે.

પ્રથમ બેચમાં 100% - 20% = 80% પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનો, તેથી: કે જે આપેલકે તે 1લી પાર્ટીનો છે.

એ જ રીતે, બીજા બેચમાં 100% - 10% = 90% પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનો અને - વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના કે જે આપેલકે તે 2જી પાર્ટીનો છે.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:
- વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના.

બીજો ભાગ. વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદનને પ્રમાણભૂત બનવા દો. આ વાક્ય શરતમાં સીધું જ જણાવવામાં આવ્યું છે, અને તે હકીકત જણાવે છે કે ઘટના થયું.

બેયસ સૂત્રો અનુસાર:

a) - પસંદ કરેલ પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન 1લી બેચની છે તેવી સંભાવના;

b) - પસંદ કરેલ પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન 2જી બેચની છે તેવી સંભાવના.

પછી પુનઃમૂલ્યાંકનપૂર્વધારણાઓ, અલબત્ત, હજુ પણ રચાય છે સંપૂર્ણ જૂથ:
(પરીક્ષા;-))

જવાબ આપો:

ઇવાન વાસિલીવિચ, જેણે ફરીથી પોતાનો વ્યવસાય બદલ્યો અને પ્લાન્ટના ડિરેક્ટર બન્યા, અમને પૂર્વધારણાઓના પુનર્મૂલ્યાંકનના અર્થને સમજવામાં મદદ કરશે. તે જાણે છે કે આજે 1લી વર્કશોપમાં 4,000 ઉત્પાદનો વેરહાઉસમાં મોકલવામાં આવ્યા હતા, અને 2જી વર્કશોપ - 6,000 ઉત્પાદનો, અને તેની ખાતરી કરવા આવે છે. ચાલો માની લઈએ કે બધી પ્રોડક્ટ્સ એક જ પ્રકારની છે અને એક જ કન્ટેનરમાં છે. સ્વાભાવિક રીતે, ઇવાન વાસિલીવિચે પ્રારંભિક રીતે ગણતરી કરી હતી કે તે હવે જે ઉત્પાદનને નિરીક્ષણ માટે દૂર કરશે તે સંભવતઃ 1 લી વર્કશોપ દ્વારા બનાવવામાં આવશે અને મોટે ભાગે બીજા દ્વારા બનાવવામાં આવશે. પરંતુ પસંદ કરેલ ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હોવાનું બહાર આવ્યા પછી, તે બૂમ પાડે છે: “કેવો સરસ બોલ્ટ! "તે 2જી વર્કશોપ દ્વારા બહાર પાડવામાં આવ્યું હતું." આમ, બીજી પૂર્વધારણાની સંભાવના વધુ સારી રીતે વધુ અંદાજવામાં આવે છે, અને પ્રથમ પૂર્વધારણાની સંભાવના ઓછી આંકવામાં આવે છે: . અને આ પુનઃમૂલ્યાંકન પાયાવિહોણું નથી - છેવટે, 2જી વર્કશોપ માત્ર વધુ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરતું નથી, પણ 2 ગણું વધુ સારું કામ કરે છે!

શુદ્ધ વિષયવાદ, તમે કહો છો? ભાગમાં - હા, તદુપરાંત, બેયસે પોતે અર્થઘટન કર્યું પશ્ચાદવર્તીતરીકે સંભાવનાઓ વિશ્વાસ સ્તર. જો કે, બધું એટલું સરળ નથી - બાયસિયન અભિગમમાં એક ઉદ્દેશ્ય અનાજ પણ છે. છેવટે, ઉત્પાદન પ્રમાણભૂત હશે તેવી સંભાવના (1લી અને 2જી વર્કશોપ માટે અનુક્રમે 0.8 અને 0.9)આ પ્રારંભિક(apriori) અને સરેરાશઆકારણીઓ પરંતુ, દાર્શનિક રીતે બોલતા, બધું વહે છે, સંભાવનાઓ સહિત બધું બદલાય છે. તે તદ્દન શક્ય છે કે અભ્યાસ સમયેવધુ સફળ 2જી વર્કશોપએ ઉત્પાદિત પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનોની ટકાવારીમાં વધારો કર્યો (અને/અથવા 1લી વર્કશોપમાં ઘટાડો થયો), અને જો તમે વેરહાઉસમાં મોટી સંખ્યા અથવા તમામ 10 હજાર ઉત્પાદનો તપાસો છો, તો અતિશય અંદાજિત મૂલ્યો સત્યની ખૂબ નજીક હશે.

માર્ગ દ્વારા, જો ઇવાન વાસિલીવિચ બિન-માનક ભાગ કાઢે છે, તો તેનાથી વિપરીત - તે 1 લી વર્કશોપનો વધુ "શંકાસ્પદ" અને બીજાનો ઓછો હશે. હું સૂચું છું કે તમે તમારા માટે આ તપાસો:

સમસ્યા 6

ઉત્પાદનોના 2 બેચ વેરહાઉસ પર પહોંચ્યા: પ્રથમ - 4000 ટુકડાઓ, બીજા - 6000 ટુકડાઓ. પ્રથમ બેચમાં બિન-માનક ઉત્પાદનોની સરેરાશ ટકાવારી 20% છે, બીજામાં - 10%. રેન્ડમ પર વેરહાઉસમાંથી લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન હોવાનું બહાર આવ્યું છે નથીધોરણ. સંભવિતતા શોધો કે તે છે: a) પ્રથમ બેચમાંથી, b) બીજા બેચમાંથી.

સ્થિતિ બે અક્ષરો દ્વારા અલગ પડે છે, જે મેં બોલ્ડમાં પ્રકાશિત કરી છે. સમસ્યાને શરૂઆતથી અથવા અગાઉની ગણતરીઓના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. નમૂનામાં, મેં સંપૂર્ણ ઉકેલ હાથ ધર્યો, પરંતુ સમસ્યા નંબર 5 સાથે કોઈપણ ઔપચારિક ઓવરલેપ ટાળવા માટે, ઘટના "વેરહાઉસમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન બિન-માનક હશે"દ્વારા દર્શાવેલ છે.

સંભાવનાઓને પુનઃઆંકિત કરવા માટેની બાયસિયન યોજના દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે, અને વિવિધ પ્રકારના સ્કેમર્સ દ્વારા તેનો સક્રિયપણે શોષણ પણ થાય છે. ચાલો ત્રણ-અક્ષરોની સંયુક્ત સ્ટોક કંપનીને ધ્યાનમાં લઈએ જે ઘરગથ્થુ નામ બની ગઈ છે, જે લોકો પાસેથી થાપણો આકર્ષે છે, માનવામાં આવે છે કે તેનું ક્યાંક રોકાણ કરે છે, નિયમિતપણે ડિવિડન્ડ ચૂકવે છે, વગેરે. શું થઈ રહ્યું છે? દિવસે-દિવસે, મહિનાઓ પછી મહિનાઓ પસાર થાય છે, અને વધુને વધુ નવા તથ્યો, જાહેરાતો અને મુખના શબ્દો દ્વારા જણાવવામાં આવે છે, માત્ર નાણાકીય પિરામિડમાં વિશ્વાસનું સ્તર વધારે છે. (ભૂતકાળની ઘટનાઓને કારણે પોસ્ટરીઓરી બેયેસિયન પુનઃપ્રાપ્તિ!). એટલે કે રોકાણકારોની નજરમાં એવી સંભાવના સતત વધી રહી છે "આ એક ગંભીર કંપની છે"; જ્યારે વિપરીત પૂર્વધારણાની સંભાવના ("આ ફક્ત વધુ સ્કેમર્સ છે"), અલબત્ત, ઘટે છે અને ઘટે છે. શું અનુસરે છે, મને લાગે છે, સ્પષ્ટ છે. નોંધનીય છે કે કમાયેલી પ્રતિષ્ઠા આયોજકોને ઇવાન વાસિલીવિચથી સફળતાપૂર્વક છુપાવવા માટે સમય આપે છે, જે ફક્ત બોલ્ટના બેચ વિના જ નહીં, પણ પેન્ટ વિના પણ છોડી દેવામાં આવ્યો હતો.

અમે થોડા સમય પછી સમાન રસપ્રદ ઉદાહરણો પર પાછા આવીશું, પરંતુ હવે પછીનું પગલું કદાચ ત્રણ પૂર્વધારણાઓ સાથેનો સૌથી સામાન્ય કેસ છે:

સમસ્યા 7

ત્રણ ફેક્ટરીઓમાં ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પનું ઉત્પાદન થાય છે. 1 લી પ્લાન્ટ લેમ્પની કુલ સંખ્યાના 30% ઉત્પાદન કરે છે, 2 જી - 55%, અને 3 જી - બાકીના. 1 લી પ્લાન્ટના ઉત્પાદનોમાં 1% ખામીયુક્ત લેમ્પ હોય છે, 2જી - 1.5%, 3જી - 2%. સ્ટોર ત્રણેય ફેક્ટરીઓમાંથી ઉત્પાદનો મેળવે છે. ખરીદેલ લેમ્પ ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પ્લાન્ટ 2 દ્વારા તેનું ઉત્પાદન થયું હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

નોંધ કરો કે સ્થિતિમાં બેયસ ફોર્મ્યુલા પર સમસ્યાઓ છે જરૂરીત્યાં ચોક્કસ છે શું થયુંઘટના, આ કિસ્સામાં દીવોની ખરીદી.

ઘટનાઓ વધી છે, અને ઉકેલતેને "ઝડપી" શૈલીમાં ગોઠવવાનું વધુ અનુકૂળ છે.

એલ્ગોરિધમ બરાબર એ જ છે: પ્રથમ પગલામાં આપણે સંભવિતતા શોધીએ છીએ કે ખરીદેલ દીવો ખામીયુક્ત બનશે.

પ્રારંભિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે ટકાવારીઓને સંભાવનાઓમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:
- અનુક્રમે 1 લી, 2 જી અને 3 જી ફેક્ટરીઓ દ્વારા દીવો બનાવવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના.
નિયંત્રણ:

એ જ રીતે: - સંબંધિત ફેક્ટરીઓ માટે ખામીયુક્ત દીવો ઉત્પન્ન કરવાની સંભાવના.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:

- ખરીદેલ દીવો ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના.

પગલું બે. ખરીદેલ લેમ્પને ખામીયુક્ત થવા દો (ઘટના બની)

બેયસના સૂત્ર મુજબ:
- ખરીદેલ ખામીયુક્ત દીવો બીજા પ્લાન્ટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના

જવાબ આપો:

પુનઃમૂલ્યાંકન પછી 2જી પૂર્વધારણાની પ્રારંભિક સંભાવના શા માટે વધી? છેવટે, બીજો છોડ સરેરાશ ગુણવત્તાના લેમ્પ્સ ઉત્પન્ન કરે છે (પ્રથમ વધુ સારું છે, ત્રીજો ખરાબ છે). તો શા માટે વધારો થયો પશ્ચાદવર્તીશું તે શક્ય છે કે ખામીયુક્ત દીવો 2 જી છોડનો છે? આ હવે "પ્રતિષ્ઠા" દ્વારા સમજાવાયેલ નથી, પરંતુ કદ દ્વારા. પ્લાન્ટ નંબર 2 એ સૌથી વધુ સંખ્યામાં (અડધા કરતાં વધુ) દીવા ઉત્પન્ન કર્યા હોવાથી, અતિશય અંદાજની વ્યક્તિલક્ષી પ્રકૃતિ ઓછામાં ઓછી તાર્કિક છે. ("મોટા ભાગે, આ ખામીયુક્ત દીવો ત્યાંથી છે").

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે 1લી અને 3જી પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ અપેક્ષિત દિશાઓમાં વધુ પડતી અંદાજવામાં આવી હતી અને સમાન બની હતી:

નિયંત્રણ: , જે તપાસવાની જરૂર હતી.

માર્ગ દ્વારા, ઓછા અંદાજિત અને વધુ પડતા અંદાજો વિશે:

સમસ્યા 8

વિદ્યાર્થી જૂથમાં, 3 લોકોનું ઉચ્ચ સ્તરનું તાલીમ છે, 19 લોકોનું સરેરાશ સ્તર છે અને 3 લોકોનું સ્તર નીચું છે. આ વિદ્યાર્થીઓ માટે સફળતાપૂર્વક પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે: 0.95; 0.7 અને 0.4. કેટલાક વિદ્યાર્થીએ પરીક્ષા પાસ કરી હોવાનું જાણવા મળે છે. સંભાવના શું છે કે:

એ) તે ખૂબ જ સારી રીતે તૈયાર હતો;
b) સાધારણ રીતે તૈયાર કરવામાં આવી હતી;
c) નબળી રીતે તૈયાર હતી.

ગણતરીઓ કરો અને પૂર્વધારણાઓનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરવાના પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરો.

કાર્ય વાસ્તવિકતાની નજીક છે અને ખાસ કરીને પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓના જૂથ માટે બુદ્ધિગમ્ય છે, જ્યાં શિક્ષકને કોઈ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીની ક્ષમતાઓ વિશે વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ જ્ઞાન નથી. આ કિસ્સામાં, પરિણામ તદ્દન અનપેક્ષિત પરિણામોનું કારણ બની શકે છે. (ખાસ કરીને 1લા સેમેસ્ટરની પરીક્ષાઓ માટે). જો નબળી રીતે તૈયાર થયેલ વિદ્યાર્થી ટિકિટ મેળવવા માટે પૂરતો ભાગ્યશાળી હોય, તો શિક્ષક તેને સારો વિદ્યાર્થી અથવા તો એક મજબૂત વિદ્યાર્થી ગણે તેવી શક્યતા છે, જે ભવિષ્યમાં સારા લાભ લાવશે. (અલબત્ત, તમારે "બાર વધારવા" અને તમારી છબી જાળવી રાખવાની જરૂર છે). જો કોઈ વિદ્યાર્થીએ 7 દિવસ અને 7 રાત સુધી અભ્યાસ કર્યો, ખેંચાણ કર્યું અને પુનરાવર્તન કર્યું, પરંતુ તે ફક્ત કમનસીબ હતો, તો પછી આગળની ઘટનાઓ સૌથી ખરાબ રીતે વિકાસ કરી શકે છે - અસંખ્ય રીટેક અને નાબૂદીની અણી પર સંતુલન સાથે.

કહેવાની જરૂર નથી કે પ્રતિષ્ઠા એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ મૂડી છે; તે કોઈ સંયોગ નથી કે ઘણા કોર્પોરેશનો તેમના સ્થાપક પિતાના નામ ધરાવે છે, જેમણે 100-200 વર્ષ પહેલાં વ્યવસાયનું નેતૃત્વ કર્યું હતું અને તેમની દોષરહિત પ્રતિષ્ઠા માટે પ્રખ્યાત બન્યા હતા.

હા, બાયસિયન અભિગમ અમુક હદ સુધી વ્યક્તિલક્ષી છે, પરંતુ... જીવન આ રીતે કાર્ય કરે છે!

ચાલો અંતિમ ઔદ્યોગિક ઉદાહરણ સાથે સામગ્રીને એકીકૃત કરીએ, જેમાં હું ઉકેલની અત્યાર સુધીની અજાણી તકનીકી જટિલતાઓ વિશે વાત કરીશ:

સમસ્યા 9

પ્લાન્ટની ત્રણ વર્કશોપ સમાન પ્રકારના ભાગોનું ઉત્પાદન કરે છે, જે એસેમ્બલી માટે સામાન્ય કન્ટેનરમાં મોકલવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે પ્રથમ વર્કશોપ બીજા વર્કશોપ કરતાં 2 ગણા વધુ ભાગોનું ઉત્પાદન કરે છે, અને ત્રીજા વર્કશોપ કરતાં 4 ગણા વધુ. પ્રથમ વર્કશોપમાં ખામી દર 12% છે, બીજામાં - 8%, ત્રીજામાં - 4%. નિયંત્રણ માટે, એક ભાગ કન્ટેનરમાંથી લેવામાં આવે છે. તે ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે? 3જી વર્કશોપ દ્વારા કાઢવામાં આવેલ ખામીયુક્ત ભાગનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઇવાન વાસિલીવિચ ફરીથી ઘોડા પર છે =) ફિલ્મનો અંત સુખદ હોવો જોઈએ =)

ઉકેલ: સમસ્યા નંબર 5-8થી વિપરીત, અહીં એક પ્રશ્ન સ્પષ્ટપણે પૂછવામાં આવ્યો છે, જે કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. પરંતુ બીજી બાજુ, સ્થિતિ થોડી "એન્ક્રિપ્ટેડ" છે, અને સરળ સમીકરણો કંપોઝ કરવાની શાળા કૌશલ્ય અમને આ કોયડો ઉકેલવામાં મદદ કરશે. સૌથી નાનું મૂલ્ય “x” તરીકે લેવું અનુકૂળ છે:

ત્રીજા વર્કશોપ દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગોનો હિસ્સો બનવા દો.

શરત મુજબ, પ્રથમ વર્કશોપ ત્રીજા વર્કશોપ કરતાં 4 ગણું વધુ ઉત્પાદન કરે છે, તેથી 1 લી વર્કશોપનો હિસ્સો છે.

વધુમાં, પ્રથમ વર્કશોપ બીજા વર્કશોપ કરતાં 2 ગણા વધુ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરે છે, જેનો અર્થ છે કે બાદમાંનો હિસ્સો: .

ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:

આમ: - કન્ટેનરમાંથી દૂર કરવામાં આવેલ ભાગ અનુક્રમે 1લી, 2જી અને 3જી વર્કશોપ દ્વારા બનાવવામાં આવી હોવાની સંભાવના.

નિયંત્રણ:. વધુમાં, શબ્દસમૂહને ફરીથી જોવાથી નુકસાન થશે નહીં "તે જાણીતું છે કે પ્રથમ વર્કશોપ બીજા વર્કશોપ કરતાં 2 ગણા અને ત્રીજા વર્કશોપ કરતાં 4 ગણા વધુ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરે છે."અને ખાતરી કરો કે પ્રાપ્ત સંભાવના મૂલ્યો ખરેખર આ સ્થિતિને અનુરૂપ છે.

શરૂઆતમાં, કોઈ 1 લી અથવા 2 જી વર્કશોપનો હિસ્સો "X" તરીકે લઈ શકે છે - સંભાવનાઓ સમાન હશે. પરંતુ, એક અથવા બીજી રીતે, સૌથી મુશ્કેલ ભાગ પસાર થઈ ગયો છે, અને ઉકેલ ટ્રેક પર છે:

શરતમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
- સંબંધિત વર્કશોપ માટે ખામીયુક્ત ભાગ બનાવવાની સંભાવના.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:
- કન્ટેનરમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે દૂર કરાયેલ ભાગ બિન-માનક હોવાનું બહાર આવશે તેવી સંભાવના.

પ્રશ્ન બે: 3જી વર્કશોપ દ્વારા કાઢવામાં આવેલ ખામીયુક્ત ભાગનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે? આ પ્રશ્ન ધારે છે કે ભાગ પહેલેથી જ દૂર કરવામાં આવ્યો છે અને તે ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અમે બેયસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
- ઇચ્છિત સંભાવના. સંપૂર્ણપણે અપેક્ષિત - છેવટે, ત્રીજી વર્કશોપ માત્ર ભાગોનું સૌથી નાનું પ્રમાણ જ નહીં, પણ ગુણવત્તામાં પણ આગળ વધે છે!

જો ઘટના એમાત્ર ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે એક ઘટના બને છે અસંગત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ , પછી ઘટનાની સંભાવના એસૂત્ર દ્વારા ગણતરી

આ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે કુલ સંભાવના સૂત્ર .

ચાલો આપણે ફરીથી અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથને ધ્યાનમાં લઈએ, જેની સંભાવનાઓ . ઘટના એઅમે કૉલ કરીશું તેવી કોઈપણ ઘટનાઓ સાથે જ થઈ શકે છે પૂર્વધારણાઓ . પછી, કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર

જો ઘટના એથયું, આ પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓને બદલી શકે છે .

સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા

.

એ જ રીતે, બાકીની પૂર્વધારણાઓ માટે

પરિણામી સૂત્ર કહેવામાં આવે છે બેઝ સૂત્ર (બેઝ સૂત્ર ). પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ કહેવામાં આવે છે પાછળની સંભાવનાઓ , જ્યારે - પૂર્વ સંભાવનાઓ .

ઉદાહરણ.સ્ટોરને ત્રણ ફેક્ટરીઓમાંથી નવા ઉત્પાદનો મળ્યા. આ ઉત્પાદનોની ટકાવારી રચના નીચે મુજબ છે: 20% - પ્રથમ એન્ટરપ્રાઇઝના ઉત્પાદનો, 30% - બીજા એન્ટરપ્રાઇઝના ઉત્પાદનો, 50% - ત્રીજા એન્ટરપ્રાઇઝના ઉત્પાદનો; આગળ, પ્રથમ એન્ટરપ્રાઇઝના 10% ઉત્પાદનો ઉચ્ચતમ ગ્રેડના છે, બીજા એન્ટરપ્રાઇઝમાં - 5% અને ત્રીજામાં - ઉચ્ચતમ ગ્રેડના ઉત્પાદનોના 20%. અવ્યવસ્થિત રીતે ખરીદેલ નવું ઉત્પાદન ઉચ્ચતમ ગુણવત્તાનું હશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ INઉચ્ચતમ ગ્રેડના ઉત્પાદનો ખરીદવામાં આવશે તે ઘટના, અમે અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા સાહસો સાથે જોડાયેલા ઉત્પાદનોની ખરીદીમાં સમાવિષ્ટ ઇવેન્ટ્સ દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ.

તમે કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા લાગુ કરી શકો છો, અને અમારા સંકેતમાં:

આ મૂલ્યોને કુલ સંભાવના સૂત્રમાં બદલીને, અમે ઇચ્છિત સંભાવના મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ.ત્રણ શૂટર્સમાંથી એકને ફાયરિંગ લાઇન પર બોલાવવામાં આવે છે અને બે ગોળી ચલાવે છે. પ્રથમ શૂટર માટે એક શોટ સાથે લક્ષ્યને ફટકારવાની સંભાવના 0.3 છે, બીજા માટે - 0.5; ત્રીજા માટે - 0.8. ટાર્ગેટ હિટ નથી. સંભાવના શોધો કે શોટ પ્રથમ શૂટર દ્વારા ચલાવવામાં આવ્યા હતા.

ઉકેલ.ત્રણ પૂર્વધારણાઓ શક્ય છે:

પ્રથમ શૂટરને આગની લાઇન પર બોલાવવામાં આવે છે,

બીજા શૂટરને આગની લાઇનમાં બોલાવવામાં આવે છે,

ત્રીજા શૂટરને ફાયરિંગ લાઇન પર બોલાવવામાં આવે છે.

ત્યારથી કોઈપણ શૂટરને આગની લાઇનમાં બોલાવવું તેટલું જ શક્ય છે

પ્રયોગના પરિણામે, ઘટના B અવલોકન કરવામાં આવી હતી - શોટ ફાયર થયા પછી, લક્ષ્યને હિટ કરવામાં આવ્યું ન હતું. બનાવેલ પૂર્વધારણાઓ હેઠળ આ ઘટનાની શરતી સંભાવનાઓ સમાન છે:

બેયસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્રયોગ પછી પૂર્વધારણાની સંભાવના શોધીએ છીએ:

ઉદાહરણ.ત્રણ સ્વચાલિત મશીનો સમાન પ્રકારના ભાગો પર પ્રક્રિયા કરે છે, જે પ્રક્રિયા કર્યા પછી સામાન્ય કન્વેયરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે. પ્રથમ મશીન 2% ખામી ઉત્પન્ન કરે છે, બીજું - 7%, ત્રીજું - 10%. પ્રથમ મશીનની ઉત્પાદકતા બીજાની ઉત્પાદકતા કરતાં 3 ગણી વધારે છે, અને ત્રીજાની ઉત્પાદકતા બીજા કરતાં 2 ગણી ઓછી છે.

a) એસેમ્બલી લાઇન પર ખામી દર શું છે?

b) કન્વેયર પરના ખામીયુક્ત ભાગોમાં દરેક મશીનમાંથી ભાગોનું પ્રમાણ શું છે?

ઉકેલ.ચાલો એસેમ્બલી લાઇનમાંથી રેન્ડમ એક ભાગ લઈએ અને ઘટના A ને ધ્યાનમાં લઈએ - ભાગ ખામીયુક્ત છે. તે આ ભાગની પ્રક્રિયા ક્યાં કરવામાં આવી હતી તે અંગેની પૂર્વધારણાઓ સાથે સંકળાયેલ છે: - રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ ભાગને મશીન પર પ્રક્રિયા કરવામાં આવી હતી.

શરતી સંભાવનાઓ (સમસ્યાના નિવેદનમાં તેઓ ટકાવારીના સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે):

મશીન ઉત્પાદકતા વચ્ચેની નિર્ભરતાનો અર્થ નીચે મુજબ છે:

અને ત્યારથી પૂર્વધારણાઓ એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, પછી .

પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, આપણે શોધીએ છીએ: .

a) એસેમ્બલી લાઇનમાંથી રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની કુલ સંભાવના:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એસેમ્બલી લાઇનમાંથી આવતા ભાગોના સમૂહમાં, ખામીઓ 4% જેટલી છે.

b) તે જાણીએ કે રેન્ડમ લેવામાં આવેલ ભાગ ખામીયુક્ત છે. બેયસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે પૂર્વધારણાઓની શરતી સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ:

આમ, કન્વેયર પરના ખામીયુક્ત ભાગોના કુલ સમૂહમાં, પ્રથમ મશીનનો હિસ્સો 33% છે, બીજા - 39%, ત્રીજા - 28%.

વ્યવહારુ કાર્યો

વ્યાયામ 1

સંભાવના સિદ્ધાંતની મુખ્ય શાખાઓમાં સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ધ્યેય માં સમસ્યાઓ હલ કરવામાં વ્યવહારુ કુશળતા પ્રાપ્ત કરવાનો છે

સંભાવના સિદ્ધાંતની શાખાઓ

વ્યવહારુ સોંપણી માટેની તૈયારી

આ વિષય પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીથી પોતાને પરિચિત કરો, સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીની સામગ્રી તેમજ સાહિત્યિક સ્ત્રોતોમાં સંબંધિત વિભાગોનો અભ્યાસ કરો.

કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટેની પ્રક્રિયા

કોષ્ટક 1 માં આપેલ કાર્ય વિકલ્પની સંખ્યા અનુસાર 5 સમસ્યાઓ ઉકેલો.

સ્ત્રોત ડેટા વિકલ્પો

કોષ્ટક 1

	કાર્ય નંબર

કાર્ય 1 પર અહેવાલની રચના

5 વિકલ્પ નંબર મુજબ સમસ્યાઓ હલ કરી.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

1.. ઘટનાઓના નીચેના જૂથો છે: a) અનુભવ - સિક્કો ફેંકવો; ઘટનાઓ A1- હથિયારોના કોટનો દેખાવ; A2- સંખ્યાનો દેખાવ; b) પ્રયોગ - બે સિક્કા ફેંકવા; ઘટનાઓ 1 માં- હથિયારોના બે કોટ્સનો દેખાવ; AT 2 -બે સંખ્યાઓનો દેખાવ; એટી 3- હથિયારોના એક કોટ અને એક નંબરનો દેખાવ; c) અનુભવ - ડાઇસ ફેંકવું; ઘટનાઓ C1 -બે કરતાં વધુ બિંદુઓનો દેખાવ; C2 -ત્રણ અથવા ચાર બિંદુઓનો દેખાવ; C3 -ઓછામાં ઓછા પાંચ પોઇન્ટનો દેખાવ; ડી) અનુભવ - લક્ષ્ય પર શૂટિંગ; ઘટનાઓ D1- હિટ; D2-ચૂકી જવું e) અનુભવ - લક્ષ્ય પર બે શોટ; ઘટનાઓ E0- એક પણ હિટ નહીં; E1- એક હિટ; E2- બે હિટ; f) અનુભવ - ડેકમાંથી બે કાર્ડ દૂર કરવું; ઘટનાઓ F1 -બે લાલ કાર્ડ્સનો દેખાવ; F2- બે કાળા કાર્ડ્સનો દેખાવ?

2. ભઠ્ઠીમાં A સફેદ અને B છે કાળા દડા. એક બોલ કલશમાંથી રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ બોલ સફેદ છે.

3. ભઠ્ઠીમાં એ સફેદ અને બી કાળા દડા. એક બોલ કલગીમાંથી લેવામાં આવે છે અને કોરે મૂકવામાં આવે છે. આ બોલ સફેદ નીકળ્યો. આ પછી, કલશમાંથી બીજો બોલ લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ બોલ પણ સફેદ હશે.

4. ભઠ્ઠીમાં એ સફેદ અને બી કાળા દડા. એક બોલ કલગીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવ્યો અને, જોયા વિના, તેને બાજુ પર મૂકવામાં આવ્યો. તે પછી, કલગીમાંથી બીજો બોલ લેવામાં આવ્યો. તે સફેદ નીકળ્યો. સંભાવના શોધો કે પ્રથમ બોલ બાજુએ મૂકેલો પણ સફેદ હોય.

5. A ધરાવતા કલશમાંથી સફેદ અને બી કાળા બોલ્સ, એક સિવાયના બધા બોલને એક પછી એક બહાર કાઢો. કલરમાં બાકી રહેલો છેલ્લો બોલ સફેદ હશે તેની સંભાવના શોધો.

6. કલગીમાંથી જેમાં એ સફેદ દડા અને બી કાળો, તેમાંના બધા બોલને સળંગ બહાર કાઢો. સંભાવના શોધો કે સફેદ બોલ બીજા ક્રમમાં દોરવામાં આવશે.

7. એક ભઠ્ઠીમાં A સફેદ અને B કાળા દડા છે (એ > 2). એક જ સમયે કલશમાંથી બે બોલ લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બંને બોલ સફેદ છે.

8. ભઠ્ઠીમાં A સફેદ અને B છે કાળા દડા (A > 2, B > 3). એક જ સમયે કલશમાંથી પાંચ બોલ લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો આરકે તેમાંથી બે સફેદ અને ત્રણ કાળા હશે.

9. X નો સમાવેશ કરતી રમતમાં ઉપલબ્ધ ઉત્પાદનો આઈખામીયુક્ત નિયંત્રણ I માટે બેચમાંથી પસંદ કરેલ ઉત્પાદનો સંભાવના શોધો આરતેમાંથી બરાબર જે ઉત્પાદનો ખામીયુક્ત હશે.

10. ડાઇને એકવાર ફેરવવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો: A -પોઈન્ટની સમાન સંખ્યાનો દેખાવ; IN- ઓછામાં ઓછા 5 પોઇન્ટનો દેખાવ; સાથે-દેખાવ 5 પોઈન્ટથી વધુ નહીં.

11. ડાઇસ બે વાર વળેલું છે. સંભાવના શોધો આરકે પોઈન્ટની સમાન સંખ્યા બંને વખત દેખાશે.

12. એક જ સમયે બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો: એ- દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો 8 છે; IN- રોલ્ડ પોઈન્ટનું ઉત્પાદન 8 છે; સાથે-રોલ્ડ પોઈન્ટનો સરવાળો તેમના ઉત્પાદન કરતા વધારે છે.

13. બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કઈ ઘટના વધુ સંભવિત છે: A -સિક્કાઓ સમાન બાજુઓ પર રહેશે; માં -શું સિક્કા જુદી જુદી બાજુઓ પર સમાપ્ત થશે?

14. ભઠ્ઠીમાં એ સફેદ અને બી કાળા દડા (એ > 2; બી > 2). એક જ સમયે કલશમાંથી બે બોલ દોરવામાં આવે છે. કઈ ઘટના વધુ સંભવિત છે: એ- સમાન રંગના દડા; માં -વિવિધ રંગોના દડા?

15. ત્રણ ખેલાડીઓ પત્તા રમી રહ્યા છે. તેમાંથી દરેકને 10 કાર્ડની ડીલ કરવામાં આવી હતી અને ડ્રોમાં બે કાર્ડ બાકી હતા. એક ખેલાડી જુએ છે કે તેના હાથમાં હીરાના 6 અને બિન-હીરાના 4 કાર્ડ છે. તે આ ચારમાંથી બે કાર્ડ કાઢી નાખે છે અને પોતાના માટે ડ્રો લે છે. સંભાવના શોધો કે તે બે હીરા ખરીદશે.

16. સમાવતા કલશમાંથી પીક્રમાંકિત દડા, તેમાંના તમામ દડાઓ એક પછી એક રેન્ડમ રીતે બહાર કાઢવામાં આવે છે. સંભવિતતા શોધો કે દોરેલા દડાઓની સંખ્યા ક્રમમાં હશે: 1, 2,..., પી.

17. અગાઉની સમસ્યાની જેમ જ કલશ, પરંતુ દરેક બોલ બહાર કાઢ્યા પછી, તેને ફરીથી અંદર મૂકવામાં આવે છે અને અન્ય લોકો સાથે ભળી જાય છે, અને તેની સંખ્યા લખવામાં આવે છે. સંખ્યાઓનો કુદરતી ક્રમ લખવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો: 1, 2,..., n.

18. કાર્ડ્સની સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ) દરેક 26 શીટ્સના બે સમાન પેકમાં રેન્ડમ રીતે વહેંચાયેલી છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો: A -દરેક પેકમાં બે એસિસ હશે; IN- એક પેકમાં એક પણ પાસાનો પો નહીં હોય, અને બીજામાં બધા ચાર નહીં હોય; એસ-વીએક પેકમાં એક પાસાનો પો હશે, અને બીજામાં ત્રણ હશે.

19. બાસ્કેટબોલ ચેમ્પિયનશિપમાં 18 ટીમો ભાગ લે છે, જેમાંથી દરેક 9 ટીમોના બે જૂથો રેન્ડમલી બનાવવામાં આવે છે. સ્પર્ધામાં ભાગ લેનારાઓમાં 5 ટીમો છે

વધારાનો વર્ગ. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો: A -તમામ ટોપ-ક્લાસ ટીમો સમાન જૂથમાં હશે; IN- બે ટોપ-ક્લાસ ટીમો એક જૂથમાં આવશે, અને ત્રણ - બીજામાં.

20. નંબરો નવ કાર્ડ પર લખવામાં આવે છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. તેમાંથી બેને રેન્ડમમાં બહાર કાઢવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે, પછી પરિણામી સંખ્યા વાંચવામાં આવે છે. , ઉદાહરણ તરીકે 07 (સાત), 14 (ચૌદ), વગેરે. સંખ્યા સમ હશે તેવી સંભાવના શોધો.

21. નંબરો પાંચ કાર્ડ પર લખેલા છે: 1, 2, 3, 4, 5. તેમાંથી બે, એક પછી એક, બહાર કાઢવામાં આવે છે. સંભવિતતા શોધો કે બીજા કાર્ડ પરની સંખ્યા પ્રથમ પરની સંખ્યા કરતાં મોટી હશે.

22. સમસ્યા 21 માં જેવો જ પ્રશ્ન છે, પરંતુ પ્રથમ કાર્ડ બહાર કાઢ્યા પછી, તે પાછું મૂકવામાં આવે છે અને બાકીના સાથે મિશ્રિત થાય છે, અને તેના પરનો નંબર લખવામાં આવે છે.

23. ભઠ્ઠીમાં એ સફેદ, બી કાળા અને સી લાલ દડા. તેમાં રહેલા તમામ બોલને એક પછી એક કલશમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે અને તેના રંગો રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે. આ સૂચિમાં કાળા પહેલા સફેદ દેખાય તેવી સંભાવના શોધો.

24. ત્યાં બે ભઠ્ઠીઓ છે: પ્રથમ A માં સફેદ અને બી કાળા દડા; બીજા સી માં સફેદ અને ડી કાળો દરેક કલશમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બંને બોલ સફેદ છે.

25. સમસ્યા 24 ની પરિસ્થિતિઓમાં, દોરેલા દડા વિવિધ રંગોના હશે તેવી સંભાવના શોધો.

26. રિવોલ્વર ડ્રમમાં સાત સ્લોટ છે, તેમાંથી પાંચમાં કારતુસ છે, અને બે ખાલી છે. ડ્રમને ફેરવવામાં આવે છે, જેના પરિણામે એક માળો અવ્યવસ્થિત રીતે ટ્રંકની સામે દેખાય છે. આ પછી, ટ્રિગર દબાવવામાં આવે છે; જો કોષ ખાલી હતો, તો શોટ થતો નથી. સંભાવના શોધો આરહકીકત એ છે કે, આ પ્રયોગને સતત બે વાર પુનરાવર્તિત કર્યા પછી, અમે બંને વખત શૂટ કરીશું નહીં.

27. સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ (સમસ્યા 26 જુઓ), શોટ બંને વખત થશે તેવી સંભાવના શોધો.

28. કલગીમાં A હોય છે; નંબર 1, 2, ..., સાથે ચિહ્નિત બોલ પ્રતિકલશમાંથી આઈએક સમયે એક બોલ બહાર કાઢવામાં આવે છે (આઇ<к), બોલ નંબર રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે અને બોલને કલશમાં પાછો મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો આરકે તમામ રેકોર્ડ કરેલ નંબરો અલગ હશે.

29. શબ્દ "પુસ્તક" વિભાજીત મૂળાક્ષરોના પાંચ અક્ષરોથી બનેલો છે. એક બાળક જે વાંચી શકતો નથી તેણે આ પત્રોને વેરવિખેર કર્યા અને પછી તેને રેન્ડમ ક્રમમાં એકત્રિત કર્યા. સંભાવના શોધો આરકે તે ફરીથી "પુસ્તક" શબ્દ સાથે આવ્યો.

30. "પાઈનેપલ" શબ્દ વિભાજિત મૂળાક્ષરોના અક્ષરોમાંથી બનાવવામાં આવ્યો છે. એક બાળક જે વાંચી શકતો નથી તેણે આ પત્રોને વેરવિખેર કર્યા અને પછી તેને રેન્ડમ ક્રમમાં એકત્રિત કર્યા. સંભાવના શોધો આરકે તેની પાસે ફરીથી "પાઈનેપલ" શબ્દ છે

31. કાર્ડ્સના સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ, 4 સૂટ)માંથી કેટલાક કાર્ડ્સ દોરવામાં આવે છે. 0.50 થી વધુ સંભાવના સાથે તે કહેવા માટે કેટલા કાર્ડ્સ લેવા જોઈએ કે તેમાંથી સમાન પોશાકના કાર્ડ હશે?

32. એનલોકો અવ્યવસ્થિત રીતે રાઉન્ડ ટેબલ પર બેઠા છે (એન> 2). સંભાવના શોધો આરકે બે નિશ્ચિત વ્યક્તિઓ એઅને INનજીકમાં હશે.

33. સમાન સમસ્યા (જુઓ 32), પરંતુ ટેબલ લંબચોરસ છે, અને એન લોકો તેની એક બાજુ સાથે અવ્યવસ્થિત રીતે બેઠા છે.

34. લોટો બેરલમાં 1 થી લઈને સંખ્યાઓ હોય છે એન.આનું એનબે બેરલ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બંને બેરલ k કરતા ઓછી સંખ્યા ધરાવે છે (2

35. લોટ્ટો બેરલમાં 1 થી ની સંખ્યા હોય છે એન.આનું એનબે બેરલ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બેરલમાંથી એકમાં k કરતાં મોટી સંખ્યા છે , અને બીજી બાજુ - k કરતાં ઓછું . (2

36. થી બેટરી એમબનેલા જૂથ પર બંદૂકો ગોળીબાર કરે છે એનગોલ (એમ< N). બંદૂકો તેમના લક્ષ્યોને અનુક્રમે, અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરે છે, જો કે કોઈ બે બંદૂકો એક જ લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરી શકે નહીં. સંભાવના શોધો આરજે 1, 2,... નંબરના લક્ષ્યો પર ગોળીબાર કરવામાં આવશે એમ.

37.. સમાવિષ્ટ બેટરી પ્રતિબંદૂકો, સમાવિષ્ટ જૂથ પર ગોળીબાર આઈવિમાન (પ્રતિ< 2). દરેક શસ્ત્ર તેના લક્ષ્યને અવ્યવસ્થિત રીતે અને અન્ય લોકોથી સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરે છે. સંભાવના શોધો કે બધું પ્રતિબંદૂકો એ જ લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરશે.

38. અગાઉની સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં, તમામ બંદૂકો વિવિધ લક્ષ્યો પર ગોળીબાર કરશે તેવી સંભાવના શોધો.

39. ચાર દડા ચાર છિદ્રોમાં અવ્યવસ્થિત રીતે પથરાયેલા છે; દરેક બોલ સમાન સંભાવના સાથે અને અન્યથી સ્વતંત્ર રીતે એક અથવા બીજા છિદ્રમાં પડે છે (એક જ છિદ્રમાં પડતા ઘણા બોલમાં કોઈ અવરોધો નથી). એક છિદ્રમાં ત્રણ બોલ, બીજામાં એક અને બીજા બે છિદ્રોમાં કોઈ બોલ નહીં હોવાની સંભાવના શોધો.

40. માશાએ પેટ્યા સાથે ઝઘડો કર્યો અને તેની સાથે તે જ બસમાં સવારી કરવા માંગતી નથી. 7 થી 8 દરમિયાન હોસ્ટેલથી સંસ્થા માટે 5 બસ છે. જે આ બસો ન પકડે તે લેક્ચરમાં મોડું થાય છે. માશા અને પેટ્યા કેટલી રીતે જુદી જુદી બસોમાં સંસ્થામાં જઈ શકે છે અને પ્રવચનમાં મોડું ન થાય?

41. બેંકના ઇન્ફોર્મેશન ટેક્નોલોજી વિભાગમાં 3 વિશ્લેષકો, 10 પ્રોગ્રામર અને 20 એન્જિનિયરો કામે છે. રજા પર ઓવરટાઇમ માટે, વિભાગના વડાએ એક કર્મચારી ફાળવવો આવશ્યક છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

42. બેંકની સુરક્ષા સેવાના વડાએ દરરોજ 10 પોસ્ટ પર 10 ગાર્ડ રાખવા જોઈએ. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

43. બેંકના નવા પ્રમુખે 10 ડિરેક્ટરોમાંથી 2 નવા ઉપપ્રમુખની નિમણૂક કરવી જોઈએ. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

44. લડતા પક્ષોમાંથી એકે 12 અને અન્ય 15 કેદીઓને પકડ્યા. 7 યુદ્ધ કેદીઓની કેટલી રીતે બદલી કરી શકાય છે?

45. પેટ્યા અને માશા વિડિઓ ડિસ્ક એકત્રિત કરે છે. પેટ્યા પાસે 30 કોમેડી, 80 એક્શન ફિલ્મો અને 7 મેલોડ્રામા છે, માશા પાસે 20 કોમેડી, 5 એક્શન ફિલ્મો અને 90 મેલોડ્રામા છે. પેટ્યા અને માશા 3 કોમેડી, 2 એક્શન ફિલ્મો અને 1 મેલોડ્રામા કેટલી રીતે બદલી શકે છે?

46. ​​સમસ્યા 45 ની પરિસ્થિતિઓમાં, પેટ્યા અને માશા કેટલી રીતે 3 મેલોડ્રામા અને 5 હાસ્યની આપલે કરી શકે છે?

47. સમસ્યાની સ્થિતિમાં 45, પેટ્યા અને માશા 2 એક્શન ફિલ્મો અને 7 કોમેડીની કેટલી રીતે આપલે કરી શકે છે?

48. લડતા પક્ષોમાંથી એકે 15 અને અન્ય 16 કેદીઓને પકડ્યા. 5 યુદ્ધ કેદીઓની કેટલી રીતે બદલી કરી શકાય છે?

49. જો નંબરમાં 3 નંબરો અને 3 અક્ષરો હોય તો 1 શહેરમાં કેટલી કાર રજીસ્ટર થઈ શકે છે (ફક્ત જેની જોડણી લેટિન સાથે મેળ ખાતી હોય - A, B, E, K, M, N, O, R, S, T, યુ, એક્સ)?

50. લડતા પક્ષોમાંથી એકે 14, અને અન્ય - 17 કેદીઓને પકડ્યા. 6 યુદ્ધ કેદીઓની કેટલી રીતે બદલી કરી શકાય છે?

51. "મા" શબ્દના અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવીને તમે કેટલા જુદા જુદા શબ્દો બનાવી શકો છો?

52. એક ટોપલીમાં 3 લાલ અને 7 લીલા સફરજન છે. તેમાંથી એક સફરજન લેવામાં આવે છે. તે લાલ હશે તેવી સંભાવના શોધો.

53. એક ટોપલીમાં 3 લાલ અને 7 લીલા સફરજન છે. એક લીલું સફરજન બહાર કાઢીને બાજુ પર મૂક્યું. પછી ટોપલીમાંથી 1 વધુ સફરજન લેવામાં આવે છે. આ સફરજન લીલું હશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

54. 1000 ઉત્પાદનોની બેચમાં, 4 ખામીયુક્ત છે. નિયંત્રણ માટે, 100 ઉત્પાદનોની બેચ પસંદ કરવામાં આવી છે. LLP ની સંભાવના કેટલી છે કે કંટ્રોલ લોટમાં કોઈ ખામી ન હોય?

56. 80 ના દાયકામાં, યુએસએસઆરમાં "સ્પોર્ટ્સ લોટો 36માંથી 5" રમત લોકપ્રિય હતી. ખેલાડીએ 1 થી 36 સુધીના કાર્ડ પર 5 નંબરો ચિહ્નિત કર્યા હતા અને જો તેણે ડ્રોઇંગ કમિશન દ્વારા જાહેર કરાયેલા અલગ નંબરનો અનુમાન લગાવ્યો હોય તો તેને વિવિધ સંપ્રદાયોના ઇનામો મળ્યા હતા. એવી સંભાવના શોધો કે ખેલાડીએ એક પણ નંબરનો અંદાજ લગાવ્યો નથી.

57. 80 ના દાયકામાં, "સ્પોર્ટ્સ લોટો 36 માંથી 5" રમત યુએસએસઆરમાં લોકપ્રિય હતી. ખેલાડીએ 1 થી 36 સુધીના કાર્ડ પર 5 નંબરો ચિહ્નિત કર્યા હતા અને જો તેણે ડ્રોઇંગ કમિશન દ્વારા જાહેર કરાયેલા અલગ નંબરનો અનુમાન લગાવ્યો હોય તો તેને વિવિધ સંપ્રદાયોના ઇનામો મળ્યા હતા. ખેલાડીએ એક નંબરનો અંદાજ લગાવ્યો હોય તેવી સંભાવના શોધો.

58. 80 ના દાયકામાં, યુએસએસઆરમાં "સ્પોર્ટ્સ લોટો 36માંથી 5" રમત લોકપ્રિય હતી. ખેલાડીએ 1 થી 36 સુધીના કાર્ડ પર 5 નંબરો ચિહ્નિત કર્યા હતા અને જો તેણે ડ્રોઇંગ કમિશન દ્વારા જાહેર કરાયેલા અલગ નંબરનો અનુમાન લગાવ્યો હોય તો તેને વિવિધ સંપ્રદાયોના ઇનામો મળ્યા હતા. સંભાવના શોધો કે ખેલાડીએ 3 નંબરો અનુમાન કર્યા છે.

59. 80 ના દાયકામાં, યુએસએસઆરમાં "સ્પોર્ટ્સ લોટો 36માંથી 5" રમત લોકપ્રિય હતી. ખેલાડીએ 1 થી 36 સુધીના કાર્ડ પર 5 નંબરો ચિહ્નિત કર્યા હતા અને જો તેણે ડ્રોઇંગ કમિશન દ્વારા જાહેર કરાયેલા અલગ નંબરનો અનુમાન લગાવ્યો હોય તો તેને વિવિધ સંપ્રદાયોના ઇનામો મળ્યા હતા. સંભાવના શોધો કે ખેલાડી તમામ 5 નંબરો સાથે યોગ્ય રીતે મેળ ખાતો નથી.

60. 80 ના દાયકામાં, યુએસએસઆરમાં "સ્પોર્ટ્સ લોટો 49માંથી 6" રમત લોકપ્રિય હતી. ખેલાડીએ કાર્ડ પર 1 થી 49 સુધીના 6 નંબરો ચિહ્નિત કર્યા હતા અને જો તેણે ડ્રોઇંગ કમિશન દ્વારા જાહેર કરાયેલ સંખ્યાઓની અલગ સંખ્યાનો અનુમાન લગાવ્યો હોય તો તેને વિવિધ સંપ્રદાયોના ઇનામ મળ્યા હતા. ખેલાડીએ 2 નંબરો અનુમાન લગાવ્યા હોય તેવી સંભાવના શોધો.

61. 80 ના દાયકામાં, યુએસએસઆરમાં "સ્પોર્ટ્સ લોટો 49માંથી 6" રમત લોકપ્રિય હતી. ખેલાડીએ કાર્ડ પર 1 થી 49 સુધીના 6 નંબરો ચિહ્નિત કર્યા હતા અને જો તેણે ડ્રોઇંગ કમિશન દ્વારા જાહેર કરાયેલ સંખ્યાઓની અલગ સંખ્યાનો અનુમાન લગાવ્યો હોય તો તેને વિવિધ સંપ્રદાયોના ઇનામ મળ્યા હતા. એવી સંભાવના શોધો કે ખેલાડીએ એક પણ નંબરનો અંદાજ લગાવ્યો નથી.

62.80ના દાયકામાં, યુએસએસઆરમાં “સ્પોર્ટ્સ લોટો 49માંથી 6” રમત લોકપ્રિય હતી. ખેલાડીએ કાર્ડ પર 1 થી 49 સુધીના 6 નંબરો ચિહ્નિત કર્યા હતા અને જો તેણે ડ્રોઇંગ કમિશન દ્વારા જાહેર કરાયેલ સંખ્યાઓની અલગ સંખ્યાનો અનુમાન લગાવ્યો હોય તો તેને વિવિધ સંપ્રદાયોના ઇનામ મળ્યા હતા. સંભાવના શોધો કે ખેલાડીએ તમામ 6 નંબરો અનુમાન લગાવ્યા છે.

63. 1000 ઉત્પાદનોની બેચમાં, 4 ખામીયુક્ત છે. નિયંત્રણ માટે, 100 ઉત્પાદનોની બેચ પસંદ કરવામાં આવી છે. LLP ની સંભાવના કેટલી છે કે કંટ્રોલ લોટમાં માત્ર 1 ખામીયુક્ત હશે?

64. "પુસ્તક" શબ્દના અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવીને તમે કેટલા જુદા જુદા શબ્દો બનાવી શકો છો?

65. "પાઈનેપલ" શબ્દના અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવીને તમે કેટલા જુદા જુદા શબ્દો બનાવી શકો છો?

66. 6 લોકો લિફ્ટમાં પ્રવેશ્યા, અને હોસ્ટેલમાં 7 માળ છે. બધા 6 લોકો એક જ ફ્લોર પરથી બહાર નીકળે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

67. 6 લોકો લિફ્ટમાં પ્રવેશ્યા; બિલ્ડિંગમાં 7 માળ છે. બધા 6 લોકો અલગ-અલગ માળ પર બહાર નીકળે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

68. વાવાઝોડા દરમિયાન, પાવર લાઇનના 40 અને 79 કિમી વચ્ચેના વિભાગમાં વાયર તૂટી ગયો. એમ ધારી રહ્યા છીએ કે કોઈપણ બિંદુએ વિરામ સમાન રીતે શક્ય છે, સંભાવના શોધો કે વિરામ 40મા અને 45મા કિલોમીટર વચ્ચે થયો હતો.

69. ગેસ પાઇપલાઇનના 200-કિલોમીટરના વિભાગ પર, કોમ્પ્રેસર સ્ટેશન A અને B વચ્ચે ગેસ લીક ​​થાય છે, જે પાઇપલાઇનના કોઈપણ બિંદુએ સમાન રીતે શક્ય છે. A થી 20 કિમીથી વધુ દૂર લીક થવાની સંભાવના કેટલી છે

70. ગેસ પાઇપલાઇનના 200-કિલોમીટરના વિભાગ પર, કોમ્પ્રેસર સ્ટેશન A અને B વચ્ચે ગેસ લીક ​​થાય છે, જે પાઇપલાઇનના કોઈપણ બિંદુએ સમાન રીતે શક્ય છે. લીક એ B કરતા A ની નજીક થવાની સંભાવના કેટલી છે?

71. ટ્રાફિક પોલીસ ઇન્સ્પેક્ટરનું રડાર 10 કિમી/કલાકની સચોટતા ધરાવે છે અને નજીકની દિશામાં રાઉન્ડ કરે છે. વધુ વખત શું થાય છે - ડ્રાઇવર અથવા ઇન્સ્પેક્ટરની તરફેણમાં રાઉન્ડિંગ?

72. માશા સંસ્થાના માર્ગમાં 40 થી 50 મિનિટ વિતાવે છે, અને આ અંતરાલમાં કોઈપણ સમયે સમાન સંભાવના છે. તે રસ્તા પર 45 થી 50 મિનિટ પસાર કરશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

73. પેટ્યા અને માશા પુષ્કિન સ્મારક પર 12 થી 13 વાગ્યા સુધી મળવા માટે સંમત થયા, પરંતુ કોઈ પણ આગમનનો ચોક્કસ સમય સૂચવી શક્યું નહીં. તેઓ એકબીજા માટે 15 મિનિટ રાહ જોવા સંમત થયા. તેમની બેઠકની સંભાવના કેટલી છે?

74. માછીમારોએ તળાવમાં 120 માછલીઓ પકડી હતી, તેમાંથી 10ને રિંગ કરવામાં આવી હતી. રીંગ્ડ માછલી પકડવાની સંભાવના કેટલી છે?

75. 3 લાલ અને 7 લીલા સફરજન ધરાવતી ટોપલીમાંથી, બધા સફરજન એક પછી એક બહાર કાઢવામાં આવે છે. 2જી સફરજન લાલ હશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

76. 3 લાલ અને 7 લીલા સફરજન ધરાવતી ટોપલીમાંથી, બધા સફરજન એક પછી એક બહાર કાઢવામાં આવે છે. છેલ્લું સફરજન લીલું હશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

77. વિદ્યાર્થીઓ માને છે કે 50 ટિકિટોમાંથી 10 "સારી" છે. પેટ્યા અને માશા એક-એક ટિકિટ દોરે છે. માશાને "સારી" ટિકિટ મળી હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

78. વિદ્યાર્થીઓ માને છે કે 50 ટિકિટોમાંથી 10 "સારી" છે. પેટ્યા અને માશા એક-એક ટિકિટ દોરે છે. બંનેને “સારી” ટિકિટ મળી હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

79. કાર્યક્રમમાં 25માંથી 20 પ્રશ્નોના જવાબ જાણીને માશા પરીક્ષામાં આવી. પ્રોફેસર 3 પ્રશ્નો પૂછે છે. માશા 3 પ્રશ્નોના જવાબ આપશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

80. કાર્યક્રમમાં 25માંથી 20 પ્રશ્નોના જવાબ જાણીને માશા પરીક્ષામાં આવી. પ્રોફેસર 3 પ્રશ્નો પૂછે છે. માશા કોઈ પ્રશ્નોના જવાબ નહીં આપે તેવી સંભાવના શું છે?

81. કાર્યક્રમમાં 25માંથી 20 પ્રશ્નોના જવાબ જાણીને માશા પરીક્ષામાં આવી. પ્રોફેસર 3 પ્રશ્નો પૂછે છે. માશા 1 પ્રશ્નનો જવાબ આપશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

82. બેંક તરફથી લોનની વિનંતીઓના આંકડા નીચે મુજબ છે: 10% - રાજ્ય. સત્તાવાળાઓ, 20% - અન્ય બેંકો, બાકીના - વ્યક્તિઓ. લોનની ચુકવણી ન થવાની સંભાવના અનુક્રમે 0.01, 0.05 અને 0.2 છે. કેટલા ટકા લોન ચૂકવવામાં આવતી નથી?

83. આઇસક્રીમના વેપારીનું સાપ્તાહિક ટર્નઓવર 2000 રુબેલ્સથી વધી જાય તેવી સંભાવના. સ્વચ્છ હવામાનમાં 80%, અંશતઃ વાદળછાયું વાતાવરણમાં 50% અને વરસાદી વાતાવરણમાં 10% છે. ટર્નઓવર 2000 રુબેલ્સથી વધી જશે તેવી સંભાવના શું છે. જો સ્પષ્ટ હવામાનની સંભાવના 20% છે, અને અંશતઃ વાદળછાયું અને વરસાદી - 40% દરેક.

84. A માં સફેદ (b) અને B હોય છે કાળા (h) દડા. ભઠ્ઠીમાંથી બે દડા દોરવામાં આવે છે (એક સાથે અથવા ક્રમિક રીતે). સંભાવના શોધો કે બંને બોલ સફેદ છે.

85. ભઠ્ઠીમાં એ સફેદ અને બી

86. મતપેટીમાં એ સફેદ અને બી

87. મતપેટીમાં એ સફેદ અને બી કાળા દડા. કલગીમાંથી એક બોલ લેવામાં આવે છે, તેનો રંગ નોંધવામાં આવે છે અને બોલને કલરમાં પરત કરવામાં આવે છે. આ પછી, કલશમાંથી બીજો બોલ લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ બોલમાં વિવિધ રંગો હશે.

88. નવ નવા ટેનિસ બોલનું બોક્સ છે. રમવા માટે, ત્રણ બોલ લો; રમત પછી તેઓ પાછા મૂકવામાં આવે છે. બોલની પસંદગી કરતી વખતે, રમાયેલા દડાઓ ન રમાયેલા દડાઓથી અલગ પડતા નથી. ત્રણ રમત પછી બૉક્સમાં રમ્યા વિનાના કોઈ બોલ બાકી રહેશે નહીં તેની સંભાવના કેટલી છે?

89. એપાર્ટમેન્ટ છોડીને, એન દરેક મહેમાન તેના પોતાના ગેલોશ પહેરશે;

90. એપાર્ટમેન્ટ છોડીને, એનજે મહેમાનો સમાન જૂતાના કદ ધરાવે છે તેઓ અંધારામાં ગેલોશ પહેરે છે. તેમાંથી દરેક ડાબેથી જમણા ગેલોશને અલગ કરી શકે છે, પરંતુ બીજાના પોતાનાથી અલગ કરી શકતા નથી. તેની સંભાવના શોધો દરેક મહેમાન સમાન જોડી (કદાચ તેમના પોતાના નહીં) સાથે જોડાયેલા ગેલોશ પહેરશે.

91. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં 90, સંભાવના શોધો કે દરેક વ્યક્તિ તેમના ગલોશમાં છોડી દેશે જો મહેમાનો ડાબેથી જમણા ગેલોશેસને અલગ કરી શકતા નથી અને ફક્ત પ્રથમ બે ગેલોશ લે છે જે તેઓ આવે છે.

92. એક એરક્રાફ્ટ પર શૂટિંગ ચાલી રહ્યું છે, જેના સંવેદનશીલ ભાગો બે એન્જિન અને કોકપિટ છે. એરક્રાફ્ટને હિટ (અક્ષમ) કરવા માટે, તે બંને એન્જિનને એકસાથે અથવા કોકપિટને હિટ કરવા માટે પૂરતું છે. આ ફાયરિંગ શરતો હેઠળ, પ્રથમ એન્જિનને હિટ કરવાની સંભાવના સમાન છે p1બીજું એન્જિન p2,કોકપિટ p3.એરક્રાફ્ટના ભાગો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે પ્રભાવિત થાય છે. પ્લેન હિટ થશે તેવી સંભાવના શોધો.

93. બે શૂટર્સ, એક બીજાથી સ્વતંત્ર, બે શોટ ફાયર કરે છે (દરેક તેના પોતાના લક્ષ્ય પર). પ્રથમ શૂટર માટે એક શોટ વડે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના p1બીજા માટે p2.સ્પર્ધાનો વિજેતા શૂટર છે જેના લક્ષ્યમાં સૌથી વધુ છિદ્રો છે. સંભાવના શોધો આરએક્સકે પ્રથમ શૂટર જીતે છે.

94. સ્પેસ ઑબ્જેક્ટની પાછળ, ઑબ્જેક્ટ સંભાવના સાથે શોધાય છે આર.દરેક ચક્રમાં ઑબ્જેક્ટ શોધ અન્ય લોકોથી સ્વતંત્ર રીતે થાય છે. સંભાવના શોધો કે જ્યારે પીચક્રમાં ઑબ્જેક્ટ શોધી કાઢવામાં આવશે.

95. કટ-આઉટ આલ્ફાબેટ કાર્ડ પર રશિયન મૂળાક્ષરના 32 અક્ષરો લખેલા છે. પાંચ કાર્ડ એક પછી એક રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે. "અંત" શબ્દ દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

96. બે દડા એક પછી એક સીધી રેખામાં સ્થિત ચાર કોષોમાં અવ્યવસ્થિત રીતે અને સ્વતંત્ર રીતે એકબીજાથી વિખરાયેલા છે. દરેક બોલ દરેક કોષમાં 1/4 ઉતરાણની સમાન સંભાવના ધરાવે છે. દડા પડોશી કોષોમાં પડી જશે તેવી સંભાવના શોધો.

97. ઉશ્કેરણીજનક શેલ વડે એરક્રાફ્ટ પર ફાયર કરવામાં આવે છે. એરક્રાફ્ટનું ઇંધણ એક પછી એક ફ્યુઝલેજમાં સ્થિત ચાર ટાંકીમાં કેન્દ્રિત છે. ટાંકીઓના વિસ્તારો સમાન છે. પ્લેનને આગ લગાડવા માટે, એક જ ટાંકીમાં અથવા નજીકની ટાંકીમાં બે શેલ મારવા માટે તે પૂરતું છે. તે જાણીતું છે કે બે શેલ ટાંકી વિસ્તારમાં અથડાયા હતા. પ્લેનમાં આગ લાગવાની સંભાવના શોધો.

98. કાર્ડ્સના સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ) માંથી, ચાર કાર્ડ એકસાથે લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ ચારેય કાર્ડ અલગ-અલગ પોશાકોના હશે.

99. કાર્ડ્સના સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ)માંથી, ચાર કાર્ડ એકસાથે લેવામાં આવે છે, પરંતુ દરેક કાર્ડ દૂર કર્યા પછી ડેક પર પરત કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ ચારેય કાર્ડ અલગ-અલગ પોશાકોના હશે.

100. જ્યારે ઇગ્નીશન ચાલુ થાય છે, ત્યારે એન્જિન સંભાવના સાથે ચાલવાનું શરૂ કરે છે આર.

101. ઉપકરણ બે મોડમાં કામ કરી શકે છે: 1) સામાન્ય અને 2) અસામાન્ય. ઉપકરણની કામગીરીના તમામ કિસ્સાઓમાં 80% માં સામાન્ય મોડ જોવા મળે છે; અસામાન્ય - 20% માં. સમય જતાં ઉપકરણની નિષ્ફળતાની સંભાવના tસામાન્ય સ્થિતિમાં તે 0.1 છે; અસામાન્ય માં - 0.7. કુલ સંભાવના શોધો આરઉપકરણની નિષ્ફળતા.

102. સ્ટોર 3 સપ્લાયર્સ પાસેથી માલ મેળવે છે: 1લીથી 55%, 2જીથી 20 અને 3જીથી 25%. ખામીઓની ટકાવારી અનુક્રમે 5, 6 અને 8 ટકા છે. ખરીદેલ ખામીયુક્ત ઉત્પાદન બીજા સપ્લાયર પાસેથી આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે.

103.ગેસ સ્ટેશનથી આગળની કારના પ્રવાહમાં 60% ટ્રક અને 40% કારનો સમાવેશ થાય છે. ગેસ સ્ટેશન પર ટ્રક હોવાની સંભાવના શું છે જો તેને રિફ્યુઅલ કરવાની સંભાવના 0.1 છે, અને પેસેન્જર કારની સંભાવના 0.3 છે

104. ગેસ સ્ટેશનથી આગળની કારના પ્રવાહમાં 60% ટ્રક અને 40% કારનો સમાવેશ થાય છે. ગેસ સ્ટેશન પર ટ્રક હોવાની સંભાવના શું છે જો તેને રિફ્યુઅલ કરવાની સંભાવના 0.1 છે, અને પેસેન્જર કારની સંભાવના 0.3 છે

105. સ્ટોર 3 સપ્લાયર્સ પાસેથી માલ મેળવે છે: 1લીથી 55%, 2જીથી 20 અને 3જીથી 25%. ખામીઓની ટકાવારી અનુક્રમે 5, 6 અને 8 ટકા છે. ખરીદેલ ખામીયુક્ત ઉત્પાદન 1લા સપ્લાયર પાસેથી આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે.

106. કટ-આઉટ આલ્ફાબેટ કાર્ડ પર રશિયન મૂળાક્ષરના 32 અક્ષરો લખેલા છે. પાંચ કાર્ડ એક પછી એક રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે. "પુસ્તક" શબ્દ દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

107. સ્ટોર 3 સપ્લાયર પાસેથી માલ મેળવે છે: 1લીથી 55%, 2જીથી 20 અને 3જીથી 25%. ખામીઓની ટકાવારી અનુક્રમે 5, 6 અને 8 ટકા છે. ખરીદેલ ખામીયુક્ત ઉત્પાદન 1લા સપ્લાયર પાસેથી આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે.

108. બે દડા એક પછી એક સીધી રેખામાં સ્થિત ચાર કોષોમાં અવ્યવસ્થિત રીતે અને સ્વતંત્ર રીતે એકબીજાથી વિખેરાયેલા છે. દરેક બોલ દરેક કોષમાં 1/4 ઉતરાણની સમાન સંભાવના ધરાવે છે. 2 બોલ એક કોષમાં પડે તેવી સંભાવના શોધો

109. જ્યારે ઇગ્નીશન ચાલુ થાય છે, ત્યારે એન્જિન સંભાવના સાથે ચાલવાનું શરૂ કરે છે આર.બીજી વખત ઇગ્નીશન ચાલુ થાય ત્યારે એન્જિન ચાલવાનું શરૂ કરશે તેવી સંભાવના શોધો;

110. ઉશ્કેરણીજનક શેલ વડે એરક્રાફ્ટ પર ફાયર કરવામાં આવે છે. એરક્રાફ્ટનું ઇંધણ એક પછી એક ફ્યુઝલેજમાં સ્થિત ચાર ટાંકીમાં કેન્દ્રિત છે. ટાંકીઓના વિસ્તારો સમાન છે. પ્લેનને આગ લગાડવા માટે, એક જ ટાંકીમાં બે શેલ મારવા માટે તે પૂરતું છે. તે જાણીતું છે કે બે શેલ ટાંકી વિસ્તારમાં અથડાયા હતા. પ્લેનમાં આગ લાગવાની સંભાવના શોધો

111. ઉશ્કેરણીજનક શેલ વડે એરક્રાફ્ટ પર ફાયર કરવામાં આવે છે. એરક્રાફ્ટનું ઇંધણ એક પછી એક ફ્યુઝલેજમાં સ્થિત ચાર ટાંકીમાં કેન્દ્રિત છે. ટાંકીઓના વિસ્તારો સમાન છે. પ્લેનને આગ લગાડવા માટે, તે નજીકની ટાંકીને બે શેલ વડે મારવા માટે પૂરતું છે. તે જાણીતું છે કે બે શેલ ટાંકી વિસ્તારમાં અથડાયા હતા. પ્લેનમાં આગ લાગવાની સંભાવના શોધો

112. કલરમાં એ સફેદ અને બી કાળા દડા. કલગીમાંથી એક બોલ લેવામાં આવે છે, તેનો રંગ નોંધવામાં આવે છે અને બોલને કલરમાં પરત કરવામાં આવે છે. આ પછી, કલશમાંથી બીજો બોલ લેવામાં આવે છે. બંને દોરેલા બોલ સફેદ હશે તેવી સંભાવના શોધો.

113. મતપેટીમાં એ સફેદ અને બી કાળા દડા. એક જ સમયે કલશમાંથી બે બોલ દોરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ બોલમાં વિવિધ રંગો હશે.

114. બે દડા એક પછી એક સીધી રેખામાં સ્થિત ચાર કોષોમાં અવ્યવસ્થિત રીતે અને સ્વતંત્ર રીતે એકબીજાથી વિખેરાયેલા છે. દરેક બોલ દરેક કોષમાં 1/4 ઉતરાણની સમાન સંભાવના ધરાવે છે. દડા પડોશી કોષોમાં પડી જશે તેવી સંભાવના શોધો.

115. પ્રોગ્રામમાં 25માંથી 20 પ્રશ્નોના જવાબ જાણીને માશા પરીક્ષામાં આવી. પ્રોફેસર 3 પ્રશ્નો પૂછે છે. માશા 2 પ્રશ્નોના જવાબ આપશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

116. વિદ્યાર્થીઓ માને છે કે 50 ટિકિટોમાંથી 10 "સારી" છે. પેટ્યા અને માશા એક-એક ટિકિટ દોરે છે. બંનેને “સારી” ટિકિટ મળી હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

117. બેંક તરફથી લોનની વિનંતીઓના આંકડા નીચે મુજબ છે: 10% - રાજ્ય. સત્તાવાળાઓ, 20% - અન્ય બેંકો, બાકીના - વ્યક્તિઓ. લોનની ચુકવણી ન થવાની સંભાવના અનુક્રમે 0.01, 0.05 અને 0.2 છે. કેટલા ટકા લોન ચૂકવવામાં આવતી નથી?

118. કટ-આઉટ આલ્ફાબેટ કાર્ડ પર રશિયન મૂળાક્ષરના 32 અક્ષરો લખેલા છે. પાંચ કાર્ડ એક પછી એક રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે. "અંત" શબ્દ દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

119 બેંક તરફથી લોનની વિનંતીઓના આંકડા નીચે મુજબ છે: 10% - રાજ્ય. સત્તાવાળાઓ, 20% - અન્ય બેંકો, બાકીના - વ્યક્તિઓ. લોનની ચુકવણી ન થવાની સંભાવના અનુક્રમે 0.01, 0.05 અને 0.2 છે. કેટલા ટકા લોન ચૂકવવામાં આવતી નથી?

120. આઇસક્રીમના વેપારીનું સાપ્તાહિક ટર્નઓવર 2000 રુબેલ્સથી વધી જાય તેવી સંભાવના. સ્વચ્છ હવામાનમાં 80%, અંશતઃ વાદળછાયું વાતાવરણમાં 50% અને વરસાદી વાતાવરણમાં 10% છે. ટર્નઓવર 2000 રુબેલ્સથી વધી જશે તેવી સંભાવના શું છે. જો સ્પષ્ટ હવામાનની સંભાવના 20% છે, અને અંશતઃ વાદળછાયું અને વરસાદી - 40% દરેક.

કુલ સંભાવના સૂત્ર તમને ઇવેન્ટની સંભાવના શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે એ, જે ફક્ત દરેક સાથે થઈ શકે છે nપરસ્પર વિશિષ્ટ ઘટનાઓ કે જે સંપૂર્ણ સિસ્ટમ બનાવે છે, જો તેમની સંભાવનાઓ જાણીતી હોય, અને શરતી સંભાવનાઓ ઘટનાઓ એદરેક સિસ્ટમ ઘટનાઓ સંબંધિત સમાન છે.

ઘટનાઓને પૂર્વધારણા પણ કહેવામાં આવે છે; તે પરસ્પર વિશિષ્ટ છે. તેથી, સાહિત્યમાં તમે તેમનો હોદ્દો પત્ર દ્વારા નહીં પણ શોધી શકો છો બી, અને પત્ર એચ(પૂર્વધારણા).

આવી પરિસ્થિતિઓ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, 3, 4, 5 અથવા સામાન્ય કિસ્સામાં ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે nઘટના બનવાની શક્યતા એ- દરેક ઘટના સાથે.

સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે સિસ્ટમની દરેક ઘટનાઓની સંભાવનાના ઉત્પાદનોનો સરવાળો મેળવીએ છીએ શરતી સંભાવના ઘટનાઓ એસિસ્ટમની દરેક ઘટનાઓ વિશે. એટલે કે, ઘટનાની સંભાવના એસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે

અથવા સામાન્ય રીતે

,

જેને કહેવામાં આવે છે કુલ સંભાવના સૂત્ર .

કુલ સંભાવના સૂત્ર: સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1.ત્રણ સરખા દેખાતા ભઠ્ઠીઓ છે: પ્રથમમાં 2 સફેદ દડા અને 3 કાળા, બીજામાં 4 સફેદ અને એક કાળો, ત્રીજામાં ત્રણ સફેદ દડા છે. કોઈ વ્યક્તિ રેન્ડમમાં એક ભઠ્ઠીની નજીક આવે છે અને તેમાંથી એક બોલ લે છે. લાભ લેવો કુલ સંભાવના સૂત્ર, સંભાવના શોધો કે આ બોલ સફેદ હશે.

ઉકેલ. ઘટના એ- સફેદ બોલનો દેખાવ. અમે ત્રણ પૂર્વધારણાઓ આગળ મૂકી છે:

પ્રથમ કલશ પસંદ થયેલ છે;

બીજો કલશ પસંદ થયેલ છે;

ત્રીજો કલશ પસંદ થયેલ છે.

ઘટનાની શરતી સંભાવનાઓ એદરેક પૂર્વધારણા વિશે:

, , .

અમે કુલ સંભાવના સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ, જેના પરિણામે આવશ્યક સંભાવના છે:

.

ઉદાહરણ 2.પ્રથમ પ્લાન્ટમાં, દરેક 100 લાઇટ બલ્બમાંથી, સરેરાશ 90 સ્ટાન્ડર્ડ લાઇટ બલ્બનું ઉત્પાદન થાય છે, બીજામાં - 95, ત્રીજામાં - 85, અને આ ફેક્ટરીઓના ઉત્પાદનો અનુક્રમે, 50%, 30% અને બને છે. તમામ લાઇટ બલ્બમાંથી 20% ચોક્કસ વિસ્તારમાં સ્ટોર્સને પૂરા પાડવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત લાઇટ બલ્બ ખરીદવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. ચાલો દ્વારા પ્રમાણભૂત લાઇટ બલ્બ ખરીદવાની સંભાવના દર્શાવીએ એ, અને ઘટનાઓ કે ખરીદેલ લાઇટ બલ્બ અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા ફેક્ટરીઓમાં, દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી. શરત દ્વારા, આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી છે: , , અને ઘટનાની શરતી સંભાવનાઓ એતેમાંના દરેક વિશે: , , . આ પ્રમાણભૂત લાઇટ બલ્બ ખરીદવાની સંભાવનાઓ છે, જો તે અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા ફેક્ટરીઓમાં ઉત્પાદિત કરવામાં આવી હોય.

ઘટના એઘટના બનશે તો થશે કે- લાઇટ બલ્બ પ્રથમ પ્લાન્ટમાં ઉત્પાદિત થાય છે અને તે પ્રમાણભૂત છે, અથવા ઇવેન્ટ છે એલ- લાઇટ બલ્બ બીજા પ્લાન્ટમાં ઉત્પાદિત થાય છે અને તે પ્રમાણભૂત છે, અથવા ઇવેન્ટ છે એમ- લાઇટ બલ્બ ત્રીજા પ્લાન્ટમાં બનાવવામાં આવ્યો હતો અને તે પ્રમાણભૂત છે. ઘટના થવાની અન્ય શક્યતાઓ એના. તેથી, ઘટના એઘટનાઓનો સરવાળો છે કે, એલઅને એમ, જે અસંગત છે. સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઘટનાની સંભાવનાની કલ્પના કરીએ છીએ એતરીકે

અને સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા આપણને મળે છે

તે જ, કુલ સંભાવના સૂત્રનો વિશેષ કેસ.

સૂત્રની ડાબી બાજુએ સંભાવના મૂલ્યોને બદલીને, આપણે ઘટનાની સંભાવના મેળવીએ છીએ એ :

ઉદાહરણ 3.વિમાન એરફિલ્ડ પર ઉતરી રહ્યું છે. જો હવામાન પરવાનગી આપે છે, તો પાઇલટ પ્લેનને લેન્ડ કરે છે, સાધનો ઉપરાંત, વિઝ્યુઅલ અવલોકનનો ઉપયોગ કરીને. આ કિસ્સામાં, સલામત ઉતરાણની સંભાવના બરાબર છે. જો એરફિલ્ડ નીચા વાદળોથી ઢંકાયેલું હોય, તો પાયલોટ પ્લેનને લેન્ડ કરે છે, ફક્ત સાધનો દ્વારા માર્ગદર્શન આપે છે. આ કિસ્સામાં, સલામત ઉતરાણની સંભાવના સમાન છે; . અંધ લેન્ડિંગ પ્રદાન કરતા ઉપકરણો વિશ્વસનીય છે (નિષ્ફળતા મુક્ત કામગીરીની સંભાવના) પી. નીચા વાદળો અને નિષ્ફળ અંધ ઉતરાણ સાધનોની હાજરીમાં, સફળ ઉતરાણની સંભાવના સમાન છે; . આંકડા દર્શાવે છે કે માં kલેન્ડિંગનો % એરફિલ્ડ નીચા વાદળોથી ઢંકાયેલો છે. શોધો ઘટનાની કુલ સંભાવના એ- પ્લેનનું સુરક્ષિત ઉતરાણ.

ઉકેલ. પૂર્વધારણાઓ:

કોઈ નીચા વાદળો નથી;

નીચા વાદળો છે.

આ પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ (ઘટનાઓ):

;

શરતી સંભાવના.

અમે ફરીથી પૂર્વધારણાઓ સાથે કુલ સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શરતી સંભાવના શોધીશું

અંધ ઉતરાણ ઉપકરણો કાર્યરત છે;

અંધ લેન્ડિંગ સાધનો નિષ્ફળ ગયા.

આ પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ:

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર

ઉદાહરણ 4.ઉપકરણ બે મોડમાં કાર્ય કરી શકે છે: સામાન્ય અને અસામાન્ય. ઉપકરણના સંચાલનના તમામ કેસોમાં 80% સામાન્ય સ્થિતિ જોવા મળે છે, અને અસામાન્ય મોડ - 20% કિસ્સાઓમાં. ચોક્કસ સમયની અંદર ઉપકરણની નિષ્ફળતાની સંભાવના t 0.1 ની બરાબર; અસામાન્ય 0.7 માં. શોધો સંપૂર્ણ સંભાવનાસમય જતાં ઉપકરણની નિષ્ફળતા t.

ઉકેલ. અમે ફરીથી ઉપકરણની નિષ્ફળતાની સંભાવનાને સૂચિત કરીએ છીએ એ. તેથી, દરેક મોડ (ઇવેન્ટ) માં ઉપકરણના સંચાલન અંગે, સંભાવનાઓ સ્થિતિ અનુસાર જાણીતી છે: સામાન્ય મોડ માટે આ 80% છે (), અસામાન્ય મોડ માટે - 20% (). ઘટનાની સંભાવના એ(એટલે ​​​​કે, ઉપકરણ નિષ્ફળતા) પ્રથમ ઘટના પર આધાર રાખીને (સામાન્ય મોડ) 0.1 () ની બરાબર છે; બીજી ઘટના (અસામાન્ય મોડ) પર આધાર રાખીને - 0.7 ( ). અમે આ મૂલ્યોને કુલ સંભાવના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ (એટલે ​​​​કે, ઘટનાની શરતી સંભાવના દ્વારા સિસ્ટમની દરેક ઘટનાની સંભાવનાના ઉત્પાદનોનો સરવાળો. એસિસ્ટમની દરેક ઘટનાઓ વિશે) અને અમારા પહેલાં જરૂરી પરિણામ છે.

ઉદાહરણ નંબર 1. કમ્પ્યુટર મેન્યુફેક્ચરિંગ કંપની ત્રણ સપ્લાયર્સ પાસેથી સમાન ઘટકો મેળવે છે. પ્રથમ તમામ ઘટકોના 50%, બીજો - 20%, ત્રીજો - 30% ભાગો પૂરો પાડે છે.
તે જાણીતું છે કે પૂરા પાડવામાં આવેલ ભાગોની ગુણવત્તા બદલાય છે, અને પ્રથમ સપ્લાયરના ઉત્પાદનોમાં ખામીની ટકાવારી 4%, બીજી - 5%, અને ત્રીજી - 2% છે. પ્રાપ્ત થયેલા તમામમાંથી રેન્ડમ પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના નક્કી કરો.

ઉકેલ. ચાલો ઘટનાઓને દર્શાવીએ: A - "પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત છે", H i - "પસંદ કરેલ ભાગ i-th સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયો છે", i = 1, 2, 3 પૂર્વધારણા H 1, H 2, H 3 ફોર્મ અસંગત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ. શરતે
P(H 1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H 3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H 2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02

કુલ સંભાવના સૂત્ર (1.11) અનુસાર, ઘટના A ની સંભાવના બરાબર છે
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0.3 · 0.02=0.036
રેન્ડમ પર પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના 0.036 છે.

ધારો કે અગાઉના ઉદાહરણની શરતો હેઠળ, ઇવેન્ટ A પહેલેથી જ આવી છે: પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તે પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ બેયસના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.
અમે સંભાવનાઓનું વિશ્લેષણ માત્ર પ્રારંભિક, ઘટનાઓની સંભાવનાઓના પ્રાથમિક મૂલ્યો સાથે શરૂ કર્યું. પછી એક પ્રયોગ કરવામાં આવ્યો (એક ભાગ પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો), અને અમને રુચિની ઘટના વિશે વધારાની માહિતી પ્રાપ્ત થઈ. આ નવી માહિતી સાથે, અમે અમારી અગાઉની સંભાવનાઓને સુધારી શકીએ છીએ. સમાન ઘટનાઓની સંભાવનાઓના નવા મૂલ્યો પહેલેથી જ પૂર્વધારણાઓ (ફિગ. 1.5) ની પોસ્ટરીઓરી (પ્રયોગ પછીની) સંભાવનાઓ હશે.

પૂર્વધારણા પુનઃમૂલ્યાંકન યોજના
ઘટના A ને માત્ર H 1 , H 2 , …, H n ( અસંગત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ) એક સાથે મળીને સાકાર થવા દો. અમે પૂર્વધારણાઓની પૂર્વ સંભાવનાઓને P(H i) અને ઘટના A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n ની શરતી સંભાવનાઓ તરીકે દર્શાવી છે. જો પ્રયોગ પહેલાથી જ હાથ ધરવામાં આવ્યો હોય અને તેના પરિણામે ઘટના A બની હોય, તો પૂર્વધારણાઓની પાછળની સંભાવનાઓ શરતી સંભાવનાઓ P(H i |A), i = 1, 2,…, n હશે. અગાઉના ઉદાહરણના સંકેતમાં, P(H 1 |A) એ સંભાવના છે કે પસંદ કરેલ ભાગ જે ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે તે પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયું હતું.
અમને H k |A ઘટનાની સંભાવનામાં રસ છે ચાલો H k અને A ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે ઘટના AH k. ગુણાકારના સૂત્રો (1.5) અને (1.6) નો ઉપયોગ કરીને તેની સંભાવના બે રીતે શોધી શકાય છે:
P(AH k) = P(H k) P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

ચાલો આ સૂત્રોની જમણી બાજુઓ સમાન કરીએ
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

તેથી પૂર્વધારણા H k ની પાછળની સંભાવના બરાબર છે

છેદ ઘટના A ની કુલ સંભાવના ધરાવે છે. કુલ સંભવિતતા સૂત્ર (1.11) અનુસાર P(A) ને બદલે તેનું મૂલ્ય બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:
(1.12)
ફોર્મ્યુલા (1.12) કહેવાય છે બેઝ સૂત્ર અને તેનો ઉપયોગ પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓનું પુનઃ અંદાજ કરવા માટે થાય છે.
અગાઉના ઉદાહરણની શરતોમાં, અમે સંભવિતતા શોધીશું કે ખામીયુક્ત ભાગ પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયો હતો. ચાલો એક કોષ્ટકમાં આપણને જાણીતી પૂર્વધારણાઓ P(H i) ની પ્રાથમિક સંભાવનાઓ, શરતી સંભાવનાઓ P(A|H i) અને ઉકેલ પ્રક્રિયા દરમિયાન ગણતરી કરાયેલ સંયુક્ત સંભાવનાઓ P(AH i) = P(H) નો સારાંશ આપીએ. i) P(A|H i) અને પાછળની સંભાવનાઓ P(H k |A), i,k = 1, 2,…, n સૂત્ર (1.12) (કોષ્ટક 1.3) દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

કોષ્ટક 1.3 - પૂર્વધારણાઓનું પુનઃમૂલ્યાંકન

પૂર્વધારણાઓ H i	સંભાવનાઓ
	અગ્રિમ P(H i)	શરતી P(A|H i)	સંયુક્ત P(AH i)	પશ્ચાદવર્તી P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયેલ ભાગ	0.5	0.04	0.02
H 2 - બીજા સપ્લાયર પાસેથી મળેલ ભાગ	0.2	0.05	0.01
H 3 - ત્રીજા સપ્લાયર પાસેથી મળેલ ભાગ	0.3	0.02	0.006
સરવાળો	1.0	-	0.036	1

ચાલો આ કોષ્ટકની છેલ્લી પંક્તિ જોઈએ. બીજા સ્તંભમાં અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે H1, H2, H3, સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
ચોથા સ્તંભમાં, દરેક પંક્તિમાં મૂલ્ય (સંયુક્ત સંભાવનાઓ) બીજા અને ત્રીજા કૉલમમાં અનુરૂપ મૂલ્યોનો ગુણાકાર કરીને સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાના નિયમ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, અને છેલ્લી પંક્તિમાં 0.036 એ ઘટના Aની કુલ સંભાવના છે ( કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને).
કૉલમ 5 બેયસ સૂત્ર (1.12) નો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાઓની પાછળની સંભાવનાઓની ગણતરી કરે છે:

પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાઓ P(H 2 |A) અને P(H 3 |A) સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે, અપૂર્ણાંકનો અંશ એ કોલમ 4 ની અનુરૂપ રેખાઓમાં લખેલી સંયુક્ત સંભાવનાઓ છે, અને છેદ ઘટનાની કુલ સંભાવના છે. કૉલમ 4 ની છેલ્લી લાઇનમાં લખાયેલ.
પ્રયોગ પછી પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે અને તે પાંચમી સ્તંભની છેલ્લી લાઇનમાં લખાયેલ છે.
તેથી, પ્રથમ સપ્લાયર પાસેથી ખામીયુક્ત ભાગ પ્રાપ્ત થયો હોવાની સંભાવના 0.555 છે. પ્રાયોગિક પછીની સંભાવના પ્રાયોરી કરતા વધારે છે (સપ્લાયના મોટા જથ્થાને કારણે). બીજા સપ્લાયર પાસેથી ખામીયુક્ત ભાગ પ્રાપ્ત થયો હોવાની પ્રયોગ પછીની સંભાવના 0.278 છે અને તે પ્રી-પ્રયોગની સંભાવના કરતાં પણ વધારે છે (મોટી સંખ્યામાં ખામીઓને કારણે). પરીક્ષણ પછીની સંભાવના કે ખામીયુક્ત ભાગ ત્રીજા સપ્લાયર પાસેથી પ્રાપ્ત થયો હતો તે 0.167 છે.

ઉદાહરણ નંબર 3. ત્યાં ત્રણ સરખા urns છે; પ્રથમ કલશમાં બે સફેદ અને એક કાળા દડા છે; બીજામાં - ત્રણ સફેદ અને એક કાળો; ત્રીજા ભાગમાં બે સફેદ અને બે કાળા બોલ છે. પ્રયોગ માટે, એક કલશ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ બોલ સફેદ છે.
ઉકેલ.ચાલો ત્રણ પૂર્વધારણાઓ ધ્યાનમાં લઈએ: H 1 - પ્રથમ કલશ પસંદ થયેલ છે, H 2 - બીજો કલશ પસંદ થયેલ છે, H 3 - ત્રીજો કલશ પસંદ થયેલ છે અને ઘટના A - સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો છે.
કારણ કે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર પૂર્વધારણાઓ સમાન રીતે શક્ય છે

આ પૂર્વધારણાઓ હેઠળ ઘટના A ની શરતી સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે:
કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર

ઉદાહરણ નંબર 4. પિરામિડમાં 19 રાઇફલ્સ છે, જેમાંથી 3 ઓપ્ટિકલ સાઇટ્સ સાથે છે. શૂટર, ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલથી શૂટિંગ કરી શકે છે, તે 0.81 ની સંભાવના સાથે લક્ષ્યને હિટ કરી શકે છે, અને 0.46 ની સંભાવના સાથે ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલથી શૂટિંગ કરી શકે છે. શૂટર રેન્ડમ રાઇફલનો ઉપયોગ કરીને લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ.અહીં પ્રથમ ટેસ્ટ અવ્યવસ્થિત રીતે રાઇફલ પસંદ કરી રહી છે, બીજો લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરવાનો છે. નીચેની ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લો: A - શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરે છે; એચ 1 - શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ સાથે રાઇફલ લેશે; એચ 2 - શૂટર ઓપ્ટિકલ દૃષ્ટિ વિના રાઇફલ લેશે. અમે કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમારી પાસે

રાઇફલ્સ એક સમયે એક પસંદ કરવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અને શાસ્ત્રીય સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
શરતી સંભાવનાઓ સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત છે: P(A|H 1) = 0.81 અને P(A|H 2) = 0.46. આથી,

ઉદાહરણ નંબર 5. 2 સફેદ અને 3 કાળા દડા ધરાવતા કલશમાંથી, બે દડા રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને 1 સફેદ બોલ કલશમાં ઉમેરવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ બોલ સફેદ હશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ.અમે A. ઇવેન્ટ H 1 દ્વારા "એક સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો છે" ઘટનાને સૂચિત કરીએ છીએ - બે સફેદ દડા રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે; એચ 2 - બે કાળા બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવ્યા હતા; H 3 - એક સફેદ બોલ અને એક કાળો બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો. પછી પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓ આગળ મૂકવામાં આવે છે

આ પૂર્વધારણાઓ હેઠળની શરતી સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે: P(A|H 1) = 1/4 - જો હાલમાં ભઠ્ઠીમાં એક સફેદ અને ત્રણ કાળા દડા હોય તો સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના, P(A|H 2) = 3/ 4 - જો હાલમાં કલરમાં ત્રણ સફેદ અને એક કાળો દડો હોય તો સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - જો ત્યાં હોય તો સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના હાલમાં બે કાળા બોલમાં બે સફેદ અને એક કાળો બોલ છે. કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર

ઉદાહરણ નંબર 6. લક્ષ્ય પર બે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. પ્રથમ શોટ પર હિટની સંભાવના 0.2 છે, બીજા પર - 0.6. એક હિટ સાથે લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના 0.3 છે, બે સાથે - 0.9. લક્ષ્યનો નાશ થશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ. ઘટના A - લક્ષ્યનો નાશ થવા દો. આ કરવા માટે, તે બેમાંથી એક શોટથી મારવા અથવા ગુમ થયા વિના સળંગ બે શોટ વડે લક્ષ્યને હિટ કરવા માટે પૂરતું છે. ચાલો પૂર્વધારણાઓ આગળ મૂકીએ: H 1 - બંને શોટ લક્ષ્યને ફટકારે છે. પછી P(H 1) = 0.2 · 0.6 = 0;12. H 2 - કાં તો પ્રથમ વખત અથવા બીજી વખત ચૂકી ગઈ હતી. પછી P(H 2) = 0.2 · 0.4 + 0.8 · 0.6 = 0.56. પૂર્વધારણા H 3 - બંને શોટ ચૂકી ગયા હતા - ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી, કારણ કે લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના શૂન્ય છે. પછી શરતી સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે: લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના, જો બંને સફળ શોટ કરવામાં આવે તો, P(A|H 1) = 0.9 છે, અને લક્ષ્ય વિનાશની સંભાવના, જો માત્ર એક સફળ શોટ P(A|H) હોય 2) = 0.3. પછી કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર લક્ષ્યના વિનાશની સંભાવના સમાન છે.

ઘટનાઓ રચે છે સંપૂર્ણ જૂથ, જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક ચોક્કસપણે પ્રયોગના પરિણામે આવશે અને જોડીમાં અસંગત છે.

માની લઈએ કે ઘટના એસંપૂર્ણ જૂથની રચના કરતી કેટલીક જોડી મુજબની અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક સાથે જ થઈ શકે છે. અમે ઇવેન્ટ્સને કૉલ કરીશું ( i= 1, 2,…, n) પૂર્વધારણાઓવધારાનો અનુભવ (પ્રાયોરી). ઘટના A ની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે સંપૂર્ણ સંભાવના :

ઉદાહરણ 16.ત્યાં ત્રણ ભઠ્ઠીઓ છે. પ્રથમ કલશમાં 5 સફેદ અને 3 કાળા દડા છે, બીજામાં 4 સફેદ અને 4 કાળા દડા છે અને ત્રીજામાં 8 સફેદ દડા છે. એક ભઠ્ઠી રેન્ડમ પર પસંદ કરવામાં આવે છે (આનો અર્થ એ થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પસંદગી 1, 2 અને 3 નંબરના ત્રણ બોલ ધરાવતા સહાયક ભઠ્ઠીમાંથી કરવામાં આવે છે). આ કલશમાંથી એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. તે કાળો હશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.ઘટના એ- કાળો બોલ દૂર કરવામાં આવે છે. જો તે જાણી શકાય કે બોલ કયા કલશમાંથી દોરવામાં આવ્યો હતો, તો સંભવિતતાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત સંભાવનાની ગણતરી કરી શકાય છે. ચાલો દડાને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે કયા કલરની પસંદગી કરવામાં આવી છે તે અંગેની ધારણાઓ (પૂર્તિકલ્પનાઓ) રજૂ કરીએ.

બોલને કાં તો પ્રથમ કલશ (અનુમાન), અથવા બીજા (અનુમાન) અથવા ત્રીજા (અનુમાન)માંથી દોરવામાં આવી શકે છે. ત્યારથી કોઈપણ urns પસંદ કરવા માટે સમાન તકો છે, તો પછી .

તે તેને અનુસરે છે

ઉદાહરણ 17.ત્રણ ફેક્ટરીઓમાં ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પનું ઉત્પાદન થાય છે. પ્રથમ પ્લાન્ટ ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પની કુલ સંખ્યાના 30% ઉત્પાદન કરે છે, બીજો - 25%,
અને ત્રીજો - બાકીનો. પ્રથમ પ્લાન્ટના ઉત્પાદનોમાં 1% ખામીયુક્ત ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ્સ હોય છે, બીજામાં - 1.5%, ત્રીજામાં - 2%. સ્ટોર ત્રણેય ફેક્ટરીઓમાંથી ઉત્પાદનો મેળવે છે. સ્ટોરમાં ખરીદેલ દીવો ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.લાઇટ બલ્બ કયા પ્લાન્ટમાં બનાવવામાં આવ્યો હતો તે અંગે ધારણાઓ કરવી આવશ્યક છે. આ જાણીને, અમે સંભવિતતા શોધી શકીએ છીએ કે તે ખામીયુક્ત છે. ચાલો ઇવેન્ટ્સ માટે નોટેશન રજૂ કરીએ: એ- ખરીદેલ ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું, - દીવો પ્રથમ પ્લાન્ટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો, - દીવો બીજા પ્લાન્ટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો,
- લેમ્પ ત્રીજા પ્લાન્ટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો.

અમે કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત સંભાવના શોધીએ છીએ:

બેયસનું સૂત્ર. જોડી પ્રમાણે અસંગત ઘટનાઓ (પૂર્તિકલ્પનાઓ) નું સંપૂર્ણ જૂથ બનવા દો. એ- એક રેન્ડમ ઘટના. પછી,

છેલ્લું સૂત્ર કે જે પરીક્ષણના પરિણામ પછી અનુમાનની સંભાવનાઓને ફરીથી આંકવાની મંજૂરી આપે છે કે જે ઘટના Aમાં પરિણમ્યું છે તેને કહેવામાં આવે છે. બેઝ સૂત્ર .

ઉદાહરણ 18.સરેરાશ, રોગના 50% દર્દીઓને વિશિષ્ટ હોસ્પિટલમાં દાખલ કરવામાં આવે છે પ્રતિ, 30% - રોગ સાથે એલ, 20 % –
માંદગી સાથે એમ. રોગના સંપૂર્ણ ઉપચારની સંભાવના કેરોગો માટે 0.7 ની બરાબર એલઅને એમઆ સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.8 અને 0.9 છે. હોસ્પિટલમાં દાખલ દર્દીને સ્વસ્થ્યથી રજા આપવામાં આવી હતી. સંભાવના શોધો કે આ દર્દી રોગથી પીડાય છે કે.

ઉકેલ.ચાલો પૂર્વધારણાઓ રજૂ કરીએ: - દર્દી કોઈ રોગથી પીડાય છે પ્રતિ એલ, - દર્દી રોગથી પીડાય છે એમ.

પછી, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, અમારી પાસે છે. ચાલો એક પ્રસંગ રજૂ કરીએ એ- હોસ્પિટલમાં દાખલ દર્દીને સ્વસ્થ્યથી રજા આપવામાં આવી હતી. શરતે

કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અમને મળે છે:

બેયસના સૂત્ર મુજબ.

ઉદાહરણ 19.કલરમાં પાંચ બોલ રહેવા દો અને સફેદ દડાઓની સંખ્યા વિશેના તમામ અનુમાન સમાન રીતે શક્ય છે. કલગીમાંથી એક બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવે છે અને તે સફેદ થાય છે. કળશની પ્રારંભિક રચના વિશે કઇ ધારણા મોટા ભાગે છે?

ઉકેલ.કલશમાં સફેદ દડા છે એવી પૂર્વધારણા રહેવા દો , એટલે કે, છ ધારણાઓ કરી શકાય છે. પછી, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, અમારી પાસે છે.

ચાલો એક પ્રસંગ રજૂ કરીએ એ- એક સફેદ બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવે છે. ચાલો ગણતરી કરીએ. ત્યારથી, પછી બેયસના સૂત્ર મુજબ અમારી પાસે છે:

આમ, સૌથી સંભવિત પૂર્વધારણા છે કારણ કે .

ઉદાહરણ 20.કમ્પ્યુટિંગ ઉપકરણના ત્રણ સ્વતંત્ર રીતે ઓપરેટિંગ ઘટકોમાંથી બે નિષ્ફળ ગયા છે. જો પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા ઘટકોની નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.2 હોય તો પ્રથમ અને બીજા તત્વો નિષ્ફળ થયાની સંભાવના શોધો; 0.4 અને 0.3.

ઉકેલ.ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એઘટના - બે તત્વો નિષ્ફળ ગયા છે. નીચેની પૂર્વધારણાઓ કરી શકાય છે:

- પ્રથમ અને બીજા તત્વો નિષ્ફળ ગયા છે, પરંતુ ત્રીજું તત્વ કાર્યરત છે. તત્વો સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય કરે છે, તેથી ગુણાકાર પ્રમેય લાગુ પડે છે: