આ પ્રકરણ સરેરાશ મૂલ્યોના હેતુનું વર્ણન કરે છે, તેમના મુખ્ય પ્રકારો અને સ્વરૂપો અને ગણતરી પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે. પ્રસ્તુત સામગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સરેરાશ મૂલ્યો બનાવવા માટેની આવશ્યકતાઓને સમજવી જરૂરી છે, કારણ કે તેમની સાથે પાલન તમને સમાન એકમોના સમૂહ માટે વિશેષતા મૂલ્યોની લાક્ષણિક લાક્ષણિકતાઓ તરીકે આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સરેરાશના સ્વરૂપો અને પ્રકારો

સરેરાશ મૂલ્ય એટ્રિબ્યુટ મૂલ્યોના સ્તરની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે, જે વસ્તીના એકમ દીઠ મેળવવામાં આવે છે. સંબંધિત મૂલ્યથી વિપરીત, જે સૂચકોના ગુણોત્તરનું માપ છે, સરેરાશ મૂલ્ય વસ્તીના એકમ દીઠ લાક્ષણિકતાના માપ તરીકે કામ કરે છે.

સરેરાશ મૂલ્યની સૌથી મહત્વપૂર્ણ મિલકત એ છે કે તે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના તમામ એકમો માટે સામાન્ય છે તે પ્રતિબિંબિત કરે છે.

વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોના લક્ષણ મૂલ્યો ઘણા પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ એક દિશામાં અથવા બીજી દિશામાં વધઘટ થાય છે, જેમાંથી કેટલાક નોંધપાત્ર અથવા રેન્ડમ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બેંક લોન પરના વ્યાજ દરો તમામ ધિરાણ સંસ્થાઓ માટે પ્રારંભિક પરિબળો (અનામત આવશ્યકતાઓનું સ્તર અને મધ્યસ્થ બેંક દ્વારા વ્યાપારી બેંકોને આપવામાં આવતી લોન પરનો મૂળ વ્યાજ દર, વગેરે), તેમજ તેની લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. દરેક ચોક્કસ ટ્રાન્ઝેક્શન, આપેલ લોનમાં રહેલા જોખમ, તેના કદ અને ચુકવણીની અવધિ, લોનની પ્રક્રિયાના ખર્ચ અને તેની ચુકવણી પર દેખરેખ વગેરેના આધારે.

સરેરાશ મૂલ્ય લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોનો સારાંશ આપે છે અને સામાન્ય પરિસ્થિતિઓના પ્રભાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે જે સ્થળ અને સમયની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં આપેલ વસ્તીની સૌથી લાક્ષણિકતા છે. સરેરાશનો સાર એ હકીકતમાં રહેલો છે કે તે રેન્ડમ પરિબળોની ક્રિયાને કારણે વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોના લાક્ષણિક મૂલ્યોના વિચલનોને રદ કરે છે અને મુખ્ય પરિબળોની ક્રિયાને કારણે થતા ફેરફારોને ધ્યાનમાં લે છે. . સરેરાશ મૂલ્ય એકમોની આપેલ વસ્તીમાં લક્ષણના લાક્ષણિક સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરશે જ્યારે તેની ગણતરી ગુણાત્મક રીતે સજાતીય વસ્તીમાંથી કરવામાં આવે છે. આ સંદર્ભે, સરેરાશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ જૂથ પદ્ધતિ સાથે સંયોજનમાં થાય છે.

સમગ્ર વસ્તીને દર્શાવતા સરેરાશ મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે સામાન્ય અને સરેરાશ, જૂથ અથવા પેટાજૂથની લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે, - જૂથ

સામાન્ય અને જૂથ સરેરાશનું સંયોજન સમય અને અવકાશમાં તુલના કરવાની મંજૂરી આપે છે અને આંકડાકીય વિશ્લેષણની સીમાઓને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તૃત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે 2002 ની વસ્તી ગણતરીના પરિણામોનો સારાંશ આપવામાં આવે છે, ત્યારે એવું જાણવા મળ્યું હતું કે મોટાભાગના યુરોપીયન દેશોની જેમ રશિયા પણ વૃદ્ધ વસ્તી દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. 1989ની વસ્તી ગણતરીની તુલનામાં, દેશના રહેવાસીઓની સરેરાશ ઉંમર ત્રણ વર્ષ વધી અને 37.7 વર્ષ, પુરુષો - 35.2 વર્ષ, સ્ત્રીઓ - 40.0 વર્ષ (1989ના ડેટા અનુસાર, આ આંકડા અનુક્રમે 34.7, 31 હતા). અને 37.2 વર્ષ). રોસસ્ટેટ મુજબ, 2011 માં જન્મ સમયે પુરુષો માટે આયુષ્ય 63 વર્ષ હતું, સ્ત્રીઓ માટે - 75.6 વર્ષ.

દરેક સરેરાશ એક લાક્ષણિકતા અનુસાર અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીની વિશિષ્ટતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. વ્યવહારુ નિર્ણયો લેવા માટે, એક નિયમ તરીકે, વસ્તીને ઘણી લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર દર્શાવવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, સરેરાશ સિસ્ટમનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બેંકિંગ પ્રવૃત્તિઓમાં જોખમના સ્વીકાર્ય સ્તરે કામગીરીની નફાકારકતાના જરૂરી સ્તરને હાંસલ કરવા માટે, જારી કરાયેલ લોન પર સરેરાશ વ્યાજ દરો થાપણો અને અન્ય નાણાકીય સાધનો પરના સરેરાશ વ્યાજ દરોને ધ્યાનમાં રાખીને સેટ કરવામાં આવે છે.

સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરીનું સ્વરૂપ, પ્રકાર અને પદ્ધતિ અભ્યાસના ઉલ્લેખિત હેતુ, અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાઓના પ્રકાર અને સંબંધ તેમજ પ્રારંભિક ડેટાની પ્રકૃતિ પર આધારિત છે. સરેરાશ બે મુખ્ય શ્રેણીઓમાં આવે છે:

• 1) પાવર સરેરાશ;
• 2) માળખાકીય સરેરાશ.

સરેરાશ ફોર્મ્યુલા એ સરેરાશ લાગુ કરેલ ડિગ્રીના મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધતા ઘાતાંક સાથે k તે મુજબ સરેરાશ મૂલ્ય વધે છે.

સારાંશ અને જૂથીકરણના પરિણામોના આધારે વિશ્લેષણ અને આંકડાકીય તારણો મેળવવાના હેતુ માટે, સામાન્યીકરણ સૂચકાંકોની ગણતરી કરવામાં આવે છે - સરેરાશ અને સંબંધિત મૂલ્યો.

સરેરાશ સમસ્યા - એક લાક્ષણિકતા મૂલ્ય સાથે આંકડાકીય વસ્તીના તમામ એકમોને લાક્ષણિકતા આપો.

સરેરાશ મૂલ્યો ઉદ્યોગસાહસિક પ્રવૃત્તિના ગુણાત્મક સૂચકાંકોને લાક્ષણિકતા આપે છે: વિતરણ ખર્ચ, નફો, નફાકારકતા, વગેરે.

સરેરાશ મૂલ્ય- આ અમુક વિવિધ લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર વસ્તીના એકમોની સામાન્યીકરણ લાક્ષણિકતા છે.

સરેરાશ મૂલ્યો તમને વિવિધ વસ્તીમાં સમાન લક્ષણના સ્તરની તુલના કરવાની અને આ વિસંગતતાઓના કારણો શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાના વિશ્લેષણમાં, સરેરાશ મૂલ્યોની ભૂમિકા પ્રચંડ છે. અંગ્રેજી અર્થશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. પેટ્ટી (1623-1687) એ સરેરાશ મૂલ્યોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ કર્યો હતો. વી. પેટી એક કામદારના સરેરાશ દૈનિક ખોરાક માટે ખર્ચના ખર્ચના માપ તરીકે સરેરાશ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવા માગે છે. સરેરાશ મૂલ્યની સ્થિરતા એ અભ્યાસ કરવામાં આવતી પ્રક્રિયાઓની નિયમિતતાનું પ્રતિબિંબ છે. તેમનું માનવું હતું કે પૂરતી અસલ માહિતી ન હોવા છતાં પણ માહિતીને બદલી શકાય છે.

અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક જી. કિંગ (1648-1712) એ ઈંગ્લેન્ડની વસ્તીના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે સરેરાશ અને સંબંધિત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કર્યો હતો.

બેલ્જિયન આંકડાશાસ્ત્રી A. Quetelet (1796-1874) ના સૈદ્ધાંતિક વિકાસ સામાજિક ઘટનાઓની વિરોધાભાસી પ્રકૃતિ પર આધારિત છે - લોકોમાં અત્યંત સ્થિર, પરંતુ સંપૂર્ણ રીતે વ્યક્તિગત.

A. Quetelet અનુસાર, અભ્યાસ કરવામાં આવતી દરેક ઘટના પર સતત કારણો સમાન રીતે કાર્ય કરે છે અને આ ઘટનાઓને એકબીજા સાથે સમાન બનાવે છે, જે તે બધા માટે સમાન પેટર્ન બનાવે છે.

A. Quetelet ના ઉપદેશોનું પરિણામ આંકડાકીય વિશ્લેષણની મુખ્ય તકનીક તરીકે સરેરાશ મૂલ્યોની ઓળખ હતી. તેમણે કહ્યું કે આંકડાકીય સરેરાશ ઉદ્દેશ્ય વાસ્તવિકતાની શ્રેણીને રજૂ કરતી નથી.

A. Quetelet એ સરેરાશ માણસના તેમના સિદ્ધાંતમાં સરેરાશ પર તેમના વિચારો વ્યક્ત કર્યા. સરેરાશ વ્યક્તિ એ એવી વ્યક્તિ છે કે જેની પાસે સરેરાશ કદ (સરેરાશ મૃત્યુદર અથવા જન્મ દર, સરેરાશ ઊંચાઈ અને વજન, સરેરાશ દોડવાની ઝડપ, લગ્ન અને આત્મહત્યા તરફનો સરેરાશ ઝોક, સારા કાર્યો તરફ, વગેરે) ના તમામ ગુણો હોય છે. A. Quetelet માટે, સરેરાશ વ્યક્તિ આદર્શ વ્યક્તિ છે. A. Quetelet ના સરેરાશ વ્યક્તિના સિદ્ધાંતની અસંગતતા 19મી-20મી સદીના અંતમાં રશિયન આંકડાકીય સાહિત્યમાં સાબિત થઈ હતી.

પ્રખ્યાત રશિયન આંકડાશાસ્ત્રી યુ. ઇ. યાનસન (1835-1893) એ લખ્યું છે કે A. Quetelet એક પ્રકારની સરેરાશ વ્યક્તિના અસ્તિત્વને આપેલ વસ્તુ તરીકે ધારે છે, જેમાંથી જીવન આપેલ સમાજના સરેરાશ લોકો અને આપેલ સમયને વિચલિત કરે છે. , અને આ તેને સંપૂર્ણપણે યાંત્રિક દૃષ્ટિકોણ અને સામાજિક જીવનની હિલચાલના નિયમો તરફ દોરી જાય છે: ચળવળ એ વ્યક્તિના સરેરાશ ગુણધર્મોમાં ધીમે ધીમે વધારો, પ્રકારનું ધીમે ધીમે પુનઃસ્થાપન છે; પરિણામે, સામાજિક શરીરના જીવનના તમામ અભિવ્યક્તિઓનું આ પ્રકારનું સ્તરીકરણ, જેનાથી આગળ કોઈપણ આગળ વધવાનું બંધ થઈ જાય છે.

આ સિદ્ધાંતનો સાર સાચા જથ્થાના સિદ્ધાંત તરીકે સંખ્યાબંધ આંકડાકીય સિદ્ધાંતવાદીઓના કાર્યોમાં તેનો વધુ વિકાસ જોવા મળ્યો. એ. ક્વેટલેટના અનુયાયીઓ હતા - જર્મન અર્થશાસ્ત્રી અને આંકડાશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. લેક્સિસ (1837-1914), જેમણે સાચા મૂલ્યોના સિદ્ધાંતને સામાજિક જીવનની આર્થિક ઘટનામાં સ્થાનાંતરિત કર્યું. તેમનો સિદ્ધાંત સ્થિરતા સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાય છે. સરેરાશના આદર્શવાદી સિદ્ધાંતનું બીજું સંસ્કરણ ફિલસૂફી પર આધારિત છે

તેના સ્થાપક અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી એ. બાઉલી (1869–1957) છે - સરેરાશ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં તાજેતરના સમયના સૌથી પ્રખ્યાત સિદ્ધાંતવાદીઓમાંના એક. સરેરાશનો તેમનો ખ્યાલ તેમના પુસ્તક એલિમેન્ટ્સ ઑફ સ્ટેટિસ્ટિક્સમાં દર્શાવેલ છે.

A. બોલે માત્ર માત્રાત્મક બાજુથી જ સરેરાશ મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લે છે, ત્યાં જથ્થાને ગુણવત્તાથી અલગ કરે છે. સરેરાશ મૂલ્યો (અથવા "તેમના કાર્ય") નો અર્થ નિર્ધારિત કરતા, એ. બોલે વિચારના મેકિયન સિદ્ધાંતને આગળ ધપાવે છે. A. બોલીએ લખ્યું કે સરેરાશ મૂલ્યોનું કાર્ય જટિલ જૂથને વ્યક્ત કરવું જોઈએ

અમુક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને. આંકડાકીય માહિતીને સરળ, જૂથબદ્ધ અને ઘટાડીને સરેરાશ કરવી જોઈએ: આર. ફિશર (1890-1968), જે. યુલ (1871 - 1951), ફ્રેડરિક એસ. મિલ્સ (1892), વગેરે.

30 ના દાયકામાં XX સદી અને પછીના વર્ષોમાં, સરેરાશ મૂલ્યને સામાજિક રીતે નોંધપાત્ર લાક્ષણિકતા તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેની માહિતી સામગ્રી ડેટાની એકરૂપતા પર આધારિત છે.

ઇટાલિયન શાળાના સૌથી અગ્રણી પ્રતિનિધિઓ, આર. બેનીની (1862-1956) અને સી. ગિની (1884-1965), આંકડાશાસ્ત્રને તર્કશાસ્ત્રની શાખા માનતા, આંકડાકીય ઇન્ડક્શનના ઉપયોગના અવકાશને વિસ્તૃત કર્યો, પરંતુ તેઓએ જ્ઞાનાત્મકતાને જોડ્યા. આંકડાઓના સમાજશાસ્ત્રીય અર્થઘટનની પરંપરાઓને અનુસરીને, અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઘટનાની પ્રકૃતિ સાથે તર્કશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતો.

કે. માર્ક્સ અને વી. આઈ. લેનિનના કાર્યોમાં, સરેરાશ મૂલ્યો વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે.

કે. માર્ક્સે દલીલ કરી હતી કે સરેરાશ મૂલ્યમાં સામાન્ય સ્તરથી વ્યક્તિગત વિચલનો સમાપ્ત થાય છે અને સરેરાશ સ્તર સામૂહિક ઘટનાની સામાન્ય લાક્ષણિકતા બની જાય છે જો નોંધપાત્ર સંખ્યામાં એકમો લેવામાં આવે તો જ સરેરાશ મૂલ્ય સામૂહિક ઘટનાની લાક્ષણિકતા બની જાય છે અને આ એકમો ગુણાત્મક રીતે સજાતીય છે. માર્ક્સે લખ્યું છે કે મળેલ સરેરાશ મૂલ્ય એ "...સમાન પ્રકારનાં ઘણાં વિવિધ વ્યક્તિગત મૂલ્યો" ની સરેરાશ હોવી જોઈએ.

બજાર અર્થતંત્રમાં સરેરાશ મૂલ્ય વિશેષ મહત્વ મેળવે છે. તે વ્યક્તિગત અને રેન્ડમ દ્વારા સીધા જ આર્થિક વિકાસની પેટર્નની આવશ્યક અને સામાન્ય, વલણ નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.

સરેરાશ મૂલ્યોસામાન્યીકરણ સૂચકાંકો છે જેમાં સામાન્ય પરિસ્થિતિઓની ક્રિયા અને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની પેટર્ન વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

આંકડાકીય સરેરાશની ગણતરી આંકડાકીય રીતે યોગ્ય રીતે સંગઠિત સામૂહિક અવલોકનમાંથી સામૂહિક ડેટાના આધારે કરવામાં આવે છે. જો આંકડાકીય સરેરાશની ગણતરી ગુણાત્મક રીતે એકરૂપ વસ્તી (સામૂહિક ઘટના) માટે સામૂહિક ડેટામાંથી કરવામાં આવે છે, તો તે ઉદ્દેશ્ય હશે.

સરેરાશ મૂલ્ય અમૂર્ત છે, કારણ કે તે અમૂર્ત એકમનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

એવરેજ એ વ્યક્તિગત વસ્તુઓમાંના લક્ષણની વિવિધતામાંથી અમૂર્ત છે. એબ્સ્ટ્રેક્શન એ વૈજ્ઞાનિક સંશોધનનો તબક્કો છે. સરેરાશ મૂલ્યમાં, વ્યક્તિ અને સામાન્યની દ્વંદ્વાત્મક એકતાનો અહેસાસ થાય છે.

વ્યક્તિગત અને સામાન્ય, વ્યક્તિગત અને સમૂહની શ્રેણીઓની ડાયાલેક્ટિકલ સમજના આધારે સરેરાશ મૂલ્યો લાગુ કરવા જોઈએ.

વચ્ચેનો એક સામાન્ય વસ્તુ દર્શાવે છે જે ચોક્કસ એક ઑબ્જેક્ટમાં સમાયેલ છે.

સામૂહિક સામાજિક પ્રક્રિયાઓમાં પેટર્નને ઓળખવા માટે, સરેરાશ મૂલ્ય ખૂબ મહત્વનું છે.

સામાન્યથી વ્યક્તિનું વિચલન એ વિકાસ પ્રક્રિયાનું અભિવ્યક્તિ છે.

સરેરાશ મૂલ્ય અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાના લાક્ષણિક, લાક્ષણિક, વાસ્તવિક સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સરેરાશ મૂલ્યોનું કાર્ય આ સ્તરો અને સમય અને અવકાશમાં તેમના ફેરફારોને દર્શાવવાનું છે.

સરેરાશ સૂચક એ એક સામાન્ય મૂલ્ય છે, કારણ કે તે સામાન્ય, કુદરતી, ચોક્કસ સામૂહિક ઘટનાના અસ્તિત્વની સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં રચાય છે, જેને સમગ્ર તરીકે ગણવામાં આવે છે.

આંકડાકીય પ્રક્રિયા અથવા ઘટનાની ઉદ્દેશ્ય મિલકત સરેરાશ મૂલ્ય દ્વારા પ્રતિબિંબિત થાય છે.

અભ્યાસ હેઠળના આંકડાકીય વિશેષતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો વસ્તીના દરેક એકમ માટે અલગ છે. એક પ્રકારનાં વ્યક્તિગત મૂલ્યોનું સરેરાશ મૂલ્ય એ આવશ્યકતાનું ઉત્પાદન છે, જે પુનરાવર્તિત અકસ્માતોના સમૂહમાં પ્રગટ થયેલ વસ્તીના તમામ એકમોની સંયુક્ત ક્રિયાનું પરિણામ છે.

કેટલીક વ્યક્તિગત ઘટનાઓમાં એવી લાક્ષણિકતાઓ હોય છે જે તમામ ઘટનાઓમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, પરંતુ વિવિધ માત્રામાં - આ વ્યક્તિની ઊંચાઈ અથવા ઉંમર છે. વ્યક્તિગત ઘટનાના અન્ય ચિહ્નો વિવિધ અસાધારણ ઘટનામાં ગુણાત્મક રીતે અલગ હોય છે, એટલે કે, તે કેટલાકમાં હાજર હોય છે અને અન્યમાં જોવા મળતા નથી (પુરુષ સ્ત્રી બનશે નહીં). સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી એવી લાક્ષણિકતાઓ માટે કરવામાં આવે છે જે ગુણાત્મક રીતે સમાન હોય છે અને માત્ર માત્રાત્મક રીતે અલગ હોય છે, જે આપેલ સમૂહમાં તમામ ઘટનાઓમાં સહજ હોય ​​છે.

સરેરાશ મૂલ્ય એ અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોનું પ્રતિબિંબ છે અને આ લાક્ષણિકતાના સમાન પરિમાણમાં માપવામાં આવે છે.

દ્વંદ્વાત્મક ભૌતિકવાદનો સિદ્ધાંત શીખવે છે કે વિશ્વની દરેક વસ્તુ બદલાય છે અને વિકાસ પામે છે. અને એ પણ લાક્ષણિકતાઓ કે જે સરેરાશ મૂલ્યો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે તે બદલાય છે, અને, તે મુજબ, સરેરાશ પોતે.

જીવનમાં કંઈક નવું બનાવવાની પ્રક્રિયા સતત ચાલતી રહે છે. નવી ગુણવત્તાના વાહક એ એકલ પદાર્થો છે, પછી આ પદાર્થોની સંખ્યા વધે છે, અને નવા સમૂહ, લાક્ષણિક બને છે.

સરેરાશ મૂલ્ય માત્ર એક લાક્ષણિકતા અનુસાર અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીને દર્શાવે છે. સંખ્યાબંધ વિશિષ્ટ લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીના સંપૂર્ણ અને વ્યાપક પ્રતિનિધિત્વ માટે, સરેરાશ મૂલ્યોની સિસ્ટમ હોવી જરૂરી છે જે વિવિધ ખૂણાઓથી ઘટનાનું વર્ણન કરી શકે.

2. સરેરાશના પ્રકાર

સામગ્રીની આંકડાકીય પ્રક્રિયામાં, વિવિધ સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે જેને હલ કરવાની જરૂર છે, અને તેથી આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં વિવિધ સરેરાશ મૂલ્યોનો ઉપયોગ થાય છે. ગાણિતિક આંકડા વિવિધ સરેરાશનો ઉપયોગ કરે છે, જેમ કે: અંકગણિત સરેરાશ; ભૌમિતિક સરેરાશ; હાર્મોનિક સરેરાશ; સરેરાશ ચોરસ.

સરેરાશના ઉપરોક્ત પ્રકારોમાંથી એકને લાગુ કરવા માટે, અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી છે, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની સામગ્રીની સામગ્રી નક્કી કરવી જરૂરી છે, આ બધું પરિણામોની અર્થપૂર્ણતાના સિદ્ધાંતમાંથી દોરવામાં આવેલા નિષ્કર્ષના આધારે કરવામાં આવે છે જ્યારે વજન અથવા સરવાળો.

સરેરાશના અભ્યાસમાં, નીચેના સૂચકાંકો અને સંકેતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

જે ચિહ્ન દ્વારા સરેરાશ જોવા મળે છે તેને કહેવામાં આવે છે સરેરાશ લાક્ષણિકતા અને x દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે; આંકડાકીય વસ્તીના કોઈપણ એકમ માટે સરેરાશ લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય કહેવાય છે તેનો વ્યક્તિગત અર્થ,અથવા વિકલ્પો,અને તરીકે સૂચવવામાં આવે છે x 1 , એક્સ 2 , x 3 , … એક્સ પી ; આવર્તન એ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોની પુનરાવર્તિતતા છે, જે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે f

અંકગણિત સરેરાશ

માધ્યમના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો પૈકી એક છે અંકગણિત સરેરાશ, જેની ગણતરી કરવામાં આવે છે જ્યારે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી આંકડાકીય વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોમાં સરેરાશ લાક્ષણિકતાનું પ્રમાણ તેના મૂલ્યોના સરવાળા તરીકે રચાય છે.

અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, વિશેષતાના તમામ સ્તરોનો સરવાળો તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

જો કેટલાક વિકલ્પો ઘણી વખત આવે છે, તો પછી દરેક સ્તરને વસ્તીમાં એકમોની અનુરૂપ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરીને આ રીતે ગણતરી કરેલ અંકગણિત સરેરાશને વેઇટેડ કહેવામાં આવે છે; અંકગણિત સરેરાશ.

ભારિત અંકગણિત સરેરાશ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

જ્યાં હું વિકલ્પો છું,

f i - ફ્રીક્વન્સી અથવા વજન.

એક ભારિત સરેરાશનો ઉપયોગ એવા તમામ કેસોમાં થવો જોઈએ કે જ્યાં વિકલ્પોની સંખ્યા અલગ-અલગ હોય.

અંકગણિતનો અર્થ, જેમ કે તે હતો, વ્યક્તિગત પદાર્થો વચ્ચે એટ્રિબ્યુટનું કુલ મૂલ્ય સમાનરૂપે વિતરિત કરે છે, જે વાસ્તવમાં તે દરેક માટે બદલાય છે.

સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરી અંતરાલ વિતરણ શ્રેણીના સ્વરૂપમાં જૂથબદ્ધ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યારે લાક્ષણિકતાના પ્રકારો જેમાંથી સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે અંતરાલો (થી - થી) ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

અંકગણિતના ગુણધર્મોનો અર્થ છે:

1) વિવિધ મૂલ્યોના સરવાળાનો અંકગણિત સરેરાશ એ અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્યોના સરવાળા સમાન છે: જો x i = y i +z i, તો પછી

આ ગુણધર્મ બતાવે છે કે કયા કિસ્સાઓમાં સરેરાશ મૂલ્યોનો સારાંશ આપવાનું શક્ય છે.

2) સરેરાશથી અલગ અલગ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોનો બીજગણિત સરવાળો શૂન્ય છે, કારણ કે એક દિશામાં વિચલનોનો સરવાળો બીજી દિશામાં વિચલનોના સરવાળા દ્વારા સરભર કરવામાં આવે છે:

આ નિયમ દર્શાવે છે કે સરેરાશ પરિણામ છે.

3) જો શ્રેણીમાંના તમામ વિકલ્પો સમાન સંખ્યાથી વધશે કે ઘટશે?, તો શું એ જ સંખ્યામાં સરેરાશ વધારો કે ઘટાડો થશે?:

4) જો શ્રેણીના તમામ પ્રકારો A ગણો વધારશે અથવા ઘટશે, તો સરેરાશ એક પણ A ગણો વધશે અથવા ઘટશે:

5) સરેરાશની પાંચમી મિલકત આપણને બતાવે છે કે તે ભીંગડાના કદ પર આધારિત નથી, પરંતુ તેમની વચ્ચેના સંબંધ પર આધારિત છે. માત્ર સાપેક્ષ જ નહીં, પણ સંપૂર્ણ મૂલ્યોને પણ ભીંગડા તરીકે લઈ શકાય છે.

જો શ્રેણીની તમામ ફ્રીક્વન્સીને સમાન સંખ્યા d દ્વારા વિભાજિત અથવા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો સરેરાશ બદલાશે નહીં.

હાર્મોનિક સરેરાશ.અંકગણિત સરેરાશ નક્કી કરવા માટે, સંખ્યાબંધ વિકલ્પો અને ફ્રીક્વન્સીઝ હોવી જરૂરી છે, એટલે કે મૂલ્યો એક્સઅને f

ચાલો ધારીએ કે લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો જાણીતા છે એક્સઅને કામ કરે છે X/,અને ફ્રીક્વન્સીઝ fઅજ્ઞાત છે, પછી સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, અમે ઉત્પાદન = દર્શાવીએ છીએ X/;ક્યાં:

આ ફોર્મમાં સરેરાશને હાર્મોનિક વેઇટેડ એવરેજ કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે x નુકસાન. ઉપર

તદનુસાર, હાર્મોનિક સરેરાશ અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે. જ્યારે વાસ્તવિક વજન અજાણ હોય ત્યારે તે લાગુ પડે છે f, અને કામ જાણીતું છે fx = z

જ્યારે કામ કરે છે fxસમાન અથવા સમાન એકમો (m = 1), હાર્મોનિક સરળ સરેરાશનો ઉપયોગ થાય છે, જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

જ્યાં એક્સ- અલગ વિકલ્પો;

n- નંબર.

ભૌમિતિક સરેરાશ

જો ત્યાં n વૃદ્ધિ ગુણાંક હોય, તો સરેરાશ ગુણાંક માટેનું સૂત્ર છે:

આ ભૌમિતિક સરેરાશ સૂત્ર છે.

ભૌમિતિક સરેરાશ શક્તિના મૂળની બરાબર છે nદરેક અનુગામી સમયગાળાના મૂલ્યના પાછલા સમયગાળાના મૂલ્યના ગુણોત્તરને દર્શાવતા વૃદ્ધિ ગુણાંકના ઉત્પાદનમાંથી.

જો ચતુર્ભુજ કાર્યોના સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવેલ મૂલ્યો સરેરાશને આધીન હોય, તો સરેરાશ ચોરસનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, રુટ સરેરાશ ચોરસનો ઉપયોગ કરીને, તમે પાઈપો, વ્હીલ્સ વગેરેનો વ્યાસ નક્કી કરી શકો છો.

લક્ષણના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વર્ગોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવાના ભાગાકારના વર્ગમૂળને લઈને સરળ સરેરાશ ચોરસ નક્કી કરવામાં આવે છે.

ભારિત સરેરાશ ચોરસ સમાન છે:

3. માળખાકીય સરેરાશ. મોડ અને મધ્ય

આંકડાકીય વસ્તીના બંધારણને દર્શાવવા માટે, સૂચકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેને કહેવામાં આવે છે માળખાકીય સરેરાશ.આમાં મોડ અને મધ્યનો સમાવેશ થાય છે.

ફેશન (એમ ઓ ) - સૌથી સામાન્ય વિકલ્પ. ફેશનએટ્રિબ્યુટનું મૂલ્ય છે જે સૈદ્ધાંતિક વિતરણ વળાંકના મહત્તમ બિંદુને અનુરૂપ છે.

ફેશન સૌથી વારંવાર બનતું અથવા લાક્ષણિક અર્થ રજૂ કરે છે.

વ્યાપારી પ્રેક્ટિસમાં ફેશનનો ઉપયોગ ગ્રાહકની માંગ અને રેકોર્ડ કિંમતોનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે.

એક અલગ શ્રેણીમાં, મોડ એ સૌથી વધુ આવર્તન સાથેનો પ્રકાર છે. અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણીમાં, મોડને અંતરાલનું કેન્દ્રિય પ્રકાર માનવામાં આવે છે, જે ઉચ્ચતમ આવર્તન (વિશિષ્ટતા) ધરાવે છે.

અંતરાલની અંદર, તમારે એટ્રિબ્યુટનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે જે મોડ છે.

જ્યાં એક્સ ઓ- મોડલ અંતરાલની નીચી મર્યાદા;

h- મોડલ અંતરાલનું મૂલ્ય;

f m- મોડલ અંતરાલની આવર્તન;

f t-1 - મોડલ પહેલાના અંતરાલની આવર્તન;

f m+1 - મોડલ એક પછી અંતરાલની આવર્તન.

મોડ જૂથોના કદ અને જૂથની સીમાઓની ચોક્કસ સ્થિતિ પર આધારિત છે.

ફેશન- જે સંખ્યા વાસ્તવમાં મોટાભાગે જોવા મળે છે (એક ચોક્કસ મૂલ્ય છે), વ્યવહારમાં તે સૌથી વધુ વ્યાપક એપ્લિકેશન ધરાવે છે (ખરીદનારનો સૌથી સામાન્ય પ્રકાર).

મધ્યક (એમ ઇએક એવો જથ્થો છે જે ક્રમાંકિત વિવિધતા શ્રેણીની સંખ્યાને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: એક ભાગમાં વિવિધ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યો હોય છે જે સરેરાશ વેરિઅન્ટ કરતા નાના હોય છે, અને બીજામાં મોટા મૂલ્યો હોય છે.

મધ્યક- આ એક એવું તત્વ છે જે વિતરણ શ્રેણીના બાકીના ઘટકોના અડધા કરતાં વધુ અથવા બરાબર છે અને તે જ સમયે તે કરતાં ઓછું છે.

મધ્યકની મિલકત એ છે કે મધ્યકમાંથી વિશેષતા મૂલ્યોના સંપૂર્ણ વિચલનોનો સરવાળો અન્ય કોઈપણ મૂલ્ય કરતાં ઓછો છે.

મધ્યકનો ઉપયોગ કરવાથી તમે સરેરાશના અન્ય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરતાં વધુ સચોટ પરિણામો મેળવી શકો છો.

અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણીમાં મધ્યક શોધવાનો ક્રમ નીચે મુજબ છે: અમે રેન્કિંગ અનુસાર લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોને ગોઠવીએ છીએ; અમે આપેલ ક્રમાંકિત શ્રેણી માટે સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ નક્કી કરીએ છીએ; સંચિત આવર્તન ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મધ્ય અંતરાલ શોધીએ છીએ:

જ્યાં x મને- મધ્ય અંતરાલની નીચી મર્યાદા;

i મને- મધ્ય અંતરાલનું મૂલ્ય;

f/2- શ્રેણીની ફ્રીક્વન્સીઝનો અડધો સરવાળો;

એસ મને-1 - મધ્ય અંતરાલની પહેલાની સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો;

f મને- મધ્ય અંતરાલની આવર્તન.

મધ્યક શ્રેણીની સંખ્યાને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરે છે, તેથી, તે તે છે જ્યાં સંચિત આવર્તન કુલ ફ્રીક્વન્સીઝના અડધા અથવા અડધા કરતાં વધુ હોય છે, અને અગાઉની (સંચિત) આવર્તન વસ્તીની સંખ્યાના અડધા કરતાં ઓછી હોય છે.

સરેરાશ મૂલ્યો

આંકડાકીય માહિતીની પ્રક્રિયા અને સારાંશની પ્રક્રિયામાં, સરેરાશ મૂલ્યો નક્કી કરવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે. આંકડામાં સરેરાશ મૂલ્ય એ એક સામાન્ય સૂચક છે જે સ્થાન અને સમયની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં ઘટનાના લાક્ષણિક સ્તરને દર્શાવે છે, જે ગુણાત્મક રીતે સમાનતા ધરાવતી વસ્તીના એકમ દીઠ વિવિધ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

સરેરાશ મૂલ્યની સૌથી મહત્વની મિલકત એ છે કે તે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના તમામ એકમોમાં શું સામાન્ય છે તે પ્રતિબિંબિત કરે છે. વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોના વિશેષ મૂલ્યો મૂળભૂત અને રેન્ડમ બંને સહિત ઘણા પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ એક દિશામાં અથવા બીજી દિશામાં વધઘટ થઈ શકે છે. સરેરાશની ગણતરી કરતી વખતે, મોટી સંખ્યાના કાયદાની ક્રિયાને લીધે, અવ્યવસ્થિતતા રદ થાય છે અને સંતુલિત થાય છે, તેથી દરેક વિશિષ્ટ કેસમાં લાક્ષણિકતાના માત્રાત્મક મૂલ્યોમાંથી, ઘટનાની બિનમહત્વપૂર્ણ સુવિધાઓથી અમૂર્ત કરવું શક્ય છે. . વ્યક્તિગત મૂલ્યો અને વધઘટની રેન્ડમનેસમાંથી અમૂર્ત કરવાની ક્ષમતા એ એગ્રીગેટ્સની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ તરીકે સરેરાશના વૈજ્ઞાનિક મૂલ્યમાં રહેલી છે. તેથી, જ્યાં સામાન્યીકરણની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે, આવી લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી એ સરેરાશ સૂચક સાથે લાક્ષણિકતાના ઘણા જુદા જુદા વ્યક્તિગત મૂલ્યોને બદલવા તરફ દોરી જાય છે જે ઘટનાના સમગ્ર સમૂહને લાક્ષણિકતા આપે છે, જે સમૂહમાં અંતર્ગત પેટર્નને ઓળખવાનું શક્ય બનાવે છે. સામાજિક ઘટના. સરેરાશની લાક્ષણિકતા આંકડાકીય વસ્તીની એકરૂપતા સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે. સરેરાશ મૂલ્ય ગુણાત્મક રીતે સજાતીય વસ્તીમાંથી ગણવામાં આવે ત્યારે જ લક્ષણના લાક્ષણિક સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરશે.

દરેક સરેરાશ કોઈપણ એક લાક્ષણિકતા અનુસાર અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીને લાક્ષણિકતા આપે છે, પરંતુ કોઈપણ વસ્તીને લાક્ષણિકતા આપવા, તેના લાક્ષણિક લક્ષણો અને ગુણાત્મક લક્ષણોનું વર્ણન કરવા માટે, સરેરાશ સૂચકોની સિસ્ટમની જરૂર છે.

સરેરાશના પ્રકારની પસંદગી ચોક્કસ સૂચક અને સ્રોત ડેટાની આર્થિક સામગ્રી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં, સરેરાશ મૂલ્યોમાંથી એકનો ઉપયોગ થાય છે: અંકગણિત, હાર્મોનિક, ભૌમિતિક, ચતુર્ભુજ, ઘન, વગેરે. સૂચિબદ્ધ સરેરાશ પાવર એવરેજના વર્ગ સાથે સંબંધિત છે અને સામાન્ય સૂત્ર (w ના વિવિધ મૂલ્યો માટે) દ્વારા જોડવામાં આવે છે:

જ્યાં * અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાનું સરેરાશ મૂલ્ય છે; w - સરેરાશ ડિગ્રી ઇન્ડેક્સ; x - લક્ષણનું વર્તમાન મૂલ્ય; n - સુવિધાઓની સંખ્યા.

ઘાતાંક w ના મૂલ્યના આધારે, નીચેના પ્રકારના પાવર એવરેજને અલગ પાડવામાં આવે છે:

• જ્યારે w = - 1 - હાર્મોનિક સરેરાશ એક્સગાર
• w = 0 પર - ભૌમિતિક સરેરાશ x જી ;
• જ્યારે w = 1 - અંકગણિત સરેરાશ એક્સ ;
• જ્યારે w = 2 - મૂળ સરેરાશ ચોરસ x ચોરસ. ;
• w = 3 પર - સરેરાશ ઘન x ક્યુબ .

પાવર એવરેજનો આ ગુણધર્મ વ્યાખ્યાયિત કાર્યના ઘાતાંકમાં વધારો સાથે વધે છે અને આંકડાશાસ્ત્રમાં સરેરાશની બહુમતીનો નિયમ કહેવાય છે.

સૌથી સામાન્ય પ્રકાર અંકગણિત સરેરાશ છે. અંકગણિત સરેરાશ એ વસ્તીના એકમ દીઠ લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય છે, જેની ગણતરી દરમિયાન વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાનું કુલ પ્રમાણ યથાવત રહે છે. તેનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં સમગ્ર વસ્તી માટે વિવિધ લાક્ષણિકતાનું પ્રમાણ તેના વ્યક્તિગત એકમોની લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોનો સરવાળો છે. અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તમામ વિશેષતા મૂલ્યોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ સરળ સરેરાશ અને ભારિત સરેરાશના સ્વરૂપમાં થાય છે. પ્રારંભિક, વ્યાખ્યાયિત સ્વરૂપ એ સરળ સરેરાશ છે.

અંકગણિત સરળ સરેરાશ એ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના સાદા સરવાળા સમાન છે, જે આ મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે (તે એવા કિસ્સાઓમાં વપરાય છે જ્યાં લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો અસંગઠિત હોય) :

જ્યાં - વિવિધ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો;

n એ વસ્તીમાં એકમોની સંખ્યા છે.

વિકલ્પોની સરેરાશ કે જે અલગ-અલગ સંખ્યામાં પુનરાવર્તિત થાય છે અથવા અલગ-અલગ વજન ધરાવે છે તેને ભારિત કહેવામાં આવે છે. વસ્તીના વિવિધ જૂથોમાં એકમોની સંખ્યા વજન તરીકે કાર્ય કરે છે (સમાન વિકલ્પો જૂથમાં જોડાયેલા છે). અંકગણિત સરેરાશ

ભારિત - જૂથબદ્ધ મૂલ્યોની સરેરાશ X 1, X 2, X 3... X P- સૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

જ્યાં - વજન (સમાન ચિહ્નોના પુનરાવર્તનની આવર્તન);

- લક્ષણોની તીવ્રતા અને તેમની ફ્રીક્વન્સીઝના ઉત્પાદનોનો સરવાળો;

- વસ્તી એકમોની કુલ સંખ્યા.

અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવામાં ઘણીવાર ઘણો સમય અને શ્રમનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, સંખ્યાબંધ કેસોમાં, જો તમે તેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો છો તો સરેરાશની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયાને સરળ અને સરળ બનાવી શકાય છે. મુખ્ય ગુણધર્મોમાં શામેલ છે:

• 1. જો કોઈ લાક્ષણિકતાના તમામ વ્યક્તિગત મૂલ્યો i ગણા દ્વારા ઘટાડવામાં અથવા વધારવામાં આવે છે, તો નવી લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ મૂલ્ય અનુરૂપ રીતે i ગણાથી ઘટશે અથવા વધશે.
• 2. જો લાક્ષણિકતાના તમામ પ્રકારો A ની સંખ્યાથી ઘટશે અથવા વધશે, તો અંકગણિત સરેરાશ અનુરૂપ રીતે સમાન સંખ્યા A દ્વારા ઘટશે અથવા વધશે.
• 3. જો બધા વિકલ્પોના વજનમાં K વખત ઘટાડો અથવા વધારો કરવામાં આવે, તો અંકગણિત સરેરાશ બદલાશે નહીં.

સરેરાશ વજન તરીકે, સંપૂર્ણ સૂચકાંકોને બદલે, તમે એકંદર કુલમાં ચોક્કસ વજનનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ સરેરાશની ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે.

આંકડાકીય સૂચકાંકોની ગણતરી કરતી વખતે, અંકગણિત સરેરાશ ઉપરાંત, અન્ય પ્રકારના સરેરાશનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. જો કે, દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં, ઉપલબ્ધ ડેટાની પ્રકૃતિના આધારે, સૂચકનું માત્ર એક સાચું સરેરાશ મૂલ્ય છે, જે તેના મૂળ ગુણોત્તરના અમલીકરણનું પરિણામ છે.

નોંધ કરો કે અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં વિવિધ લાક્ષણિકતા x અને તેમની આવર્તન f ના પ્રકારો જાણીતા છે, જ્યારે આંકડાકીય માહિતીમાં વસ્તીના વ્યક્તિગત ચલ x માટે ફ્રીક્વન્સીઝ f શામેલ નથી, પરંતુ તેમના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. xf ,

હાર્મોનિક સરેરાશ સૂત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે. જ્યારે સરેરાશના મૂળ ગુણોત્તરનો અંશ જાણીતો હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ તેનો છેદ અજાણ્યો હોય છે.

ભૌમિતિક સરેરાશનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે જ્યાં લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો સંબંધિત ગતિશીલતા મૂલ્યો હોય છે, જે સાંકળ મૂલ્યોના સ્વરૂપમાં બાંધવામાં આવે છે, ગતિશાસ્ત્ર શ્રેણીમાં દરેક સ્તરના અગાઉના સ્તરના ગુણોત્તર તરીકે, એટલે કે. સરેરાશ વૃદ્ધિ દર દર્શાવે છે.

ભૌમિતિક સરેરાશની ગણતરી વ્યક્તિગત મૂલ્યોના ઉત્પાદનોમાંથી ડિગ્રી n ના મૂળને કાઢીને કરવામાં આવે છે - લાક્ષણિકતા x ના પ્રકારો:

જ્યાં n એ વિકલ્પોની સંખ્યા છે;

પી - ઉત્પાદન ચિહ્ન.

ભૌમિતિક સરેરાશનો ઉપયોગ ડાયનેમિક્સ શ્રેણીમાં તેમજ વિતરણ શ્રેણીમાં ફેરફારનો સરેરાશ દર નક્કી કરવા માટે થાય છે.

આર્થિક વ્યવહારમાં સંખ્યાબંધ કેસોમાં, માપનના ચોરસ અને ઘન એકમોમાં વ્યક્ત કરાયેલ લાક્ષણિકતાના સરેરાશ કદની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. પછી સરેરાશ ચોરસ અને સરેરાશ ઘન લાગુ પડે છે.

મૂળ સરેરાશ ચોરસની ગણતરી માટેના સૂત્રો:

સરળ સરેરાશ ચોરસ એ વિશેષતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વર્ગોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવાના ભાગનું વર્ગમૂળ છે:

ભારિત સરેરાશ ચોરસ:

ઘન સરેરાશની ગણતરી માટેના સૂત્રો સમાન છે:

સરેરાશ ઘન સરળ:

સરેરાશ ઘન વજન:

આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં સરેરાશ ચોરસ અને ઘનનો મર્યાદિત ઉપયોગ છે. સરેરાશ ચોરસ આંકડાનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

આર્થિક વ્યવહારમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી માળખાકીય સરેરાશ મોડ અને મધ્ય છે. વિતરણ મોડ (°) એ અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાનું એવું મૂલ્ય છે, જેમાં

આ વસ્તીમાં સૌથી વધુ વારંવાર થાય છે, એટલે કે. લાક્ષણિકતાના પ્રકારોમાંથી એક અન્ય તમામ કરતા વધુ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.

ચાલો જૂથ વગરના ડેટામાંથી મોડ નક્કી કરવાનું વિચારીએ. ઉદાહરણ તરીકે: 10 વિદ્યાર્થીઓ પાસે નીચેના પરીક્ષા ગ્રેડ છે: 5, 4, 3, 4, 5, 5, 3, 4, 4, 4. આ જૂથમાં મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓએ 4 મેળવ્યા હોવાથી, આ મૂલ્ય મોડલ હશે.

ઓર્ડર કરેલ અલગ વિતરણ શ્રેણી માટે, મોડ, જે વિવિધતા શ્રેણીની લાક્ષણિકતા છે, તે વિકલ્પોની ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને ઉચ્ચતમ આવર્તન સાથેના વિકલ્પને અનુરૂપ છે.

સમાન અંતરાલ સાથે અંતરાલ વિતરણના કિસ્સામાં મોડલ અંતરાલ સૌથી વધુ આવર્તન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે; અસમાન અંતરાલો પર - ઉચ્ચતમ ઘનતા અનુસાર, અને મોડ નક્કી કરવા માટે નીચેના સૂત્રના આધારે ગણતરીઓની જરૂર છે:

જ્યાં x t0- મોડલ અંતરાલની નીચી મર્યાદા;

હું m0- મોડલ અંતરાલનું મૂલ્ય;

fmo ~ મોડલ અંતરાલ આવર્તન;

fmo-i-મોડલ પહેલાના અંતરાલની આવર્તન;

fmo+i ~મોડલને અનુસરતા અંતરાલની આવર્તન.

મધ્યક એ એક વિકલ્પ છે જે વિવિધતા શ્રેણીની મધ્યમાં છે. મધ્ય શ્રેણીને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે. મધ્યક શોધવા માટે, તમારે એટ્રિબ્યુટનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે જે ક્રમાંકિત શ્રેણીની મધ્યમાં છે. અસંગઠિત ડેટાની શ્રેણીબદ્ધ શ્રેણીમાં, મધ્યકને શોધવું એ મધ્યકનો સીરીયલ નંબર શોધવા માટે નીચે આવે છે.

વિષમ વોલ્યુમ માટેનું સરેરાશ મૂલ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

જ્યાં n એ શ્રેણીના પદોની સંખ્યા છે.

અંતરાલ વિતરણ શ્રેણીમાં, તમે તરત જ માત્ર તે જ અંતરાલનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો જેમાં મધ્યસ્થ સ્થિત હશે. તેનું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, એક વિશેષ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

જ્યાં x એટલે કે- મધ્યવર્તી સમાવિષ્ટ અંતરાલની નીચલી મર્યાદા; હું ઇ- મધ્ય અંતરાલ;

- અવલોકનોની કુલ સંખ્યાનો અડધો ભાગ;

Fm_ 1 - મધ્ય પહેલાના અંતરાલમાં સંચિત આવર્તન;

fme" મધ્ય અંતરાલમાં અવલોકનોની સંખ્યા.

આમ, મોડ અને મધ્ય વસ્તીની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ માટે વધારાના છે અને વિતરણ શ્રેણીના આકારનું વિશ્લેષણ કરવા માટે ગાણિતિક આંકડાઓમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે.

પરીક્ષણ પ્રશ્નો અને સોંપણીઓ

• 1. આંકડાકીય સૂચકોના પ્રકારોને નામ આપો. ઉદાહરણો આપો.
• 2. સંપૂર્ણ આંકડાકીય મૂલ્યોનો અર્થ શું છે અને તેમનું મહત્વ શું છે? સંપૂર્ણ મૂલ્યોના ઉદાહરણો આપો.
• 3. શું સંપૂર્ણ સૂચકાંકો હંમેશા અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે પૂરતા હોય છે?
• 4. સંબંધિત સૂચકાંકોને શું કહેવામાં આવે છે?
• 5. સંબંધિત તીવ્રતાની સાચી ગણતરી માટે મૂળભૂત શરતો શું છે?
• 6. તમે કયા પ્રકારનાં સંબંધિત જથ્થાઓ જાણો છો? ઉદાહરણો આપો.
• 7. સરેરાશ મૂલ્ય વ્યાખ્યાયિત કરો.
• 8. આંકડાઓમાં કયા પ્રકારની સરેરાશનો ઉપયોગ થાય છે? કયા પ્રકારની સરેરાશનો ઉપયોગ મોટાભાગે થાય છે?
• 9. સરળ અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ કયા કિસ્સામાં થાય છે?
• 10. ભારાંકિત અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે અને કયા કિસ્સામાં તેનો ઉપયોગ થાય છે?
• 11. વિવિધતામાંથી અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

• 12. અંકગણિત અર્થના મુખ્ય ગુણધર્મો શું છે?
• 13. હાર્મોનિક અર્થ શેના માટે વપરાય છે? તે અંકગણિતના અર્થથી કેવી રીતે અલગ પડે છે?

સરેરાશ મૂલ્યો એ બીજા પ્રકારનાં વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો છે જેનો વ્યાપકપણે તબીબી આંકડાઓમાં ઉપયોગ થાય છે. સરેરાશ મૂલ્ય એ સારાંશ છે, ચોક્કસ બદલાતી જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા (સરેરાશ ઊંચાઈ, સરેરાશ વજન, મૃતકની સરેરાશ ઉંમર) અનુસાર આંકડાકીય વસ્તીની લાક્ષણિકતાનું સામાન્યીકરણ. સરેરાશ મૂલ્ય સમગ્ર આંકડાકીય વસ્તીના સામાન્ય વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેને આપેલ લાક્ષણિકતાના લાક્ષણિક મૂલ્ય સાથે એક નંબર સાથે બદલીને. સરેરાશ મૂલ્યનું સ્તર બહાર આવે છે, એક અથવા બીજી દિશામાં વ્યક્તિગત અવલોકનોના અવ્યવસ્થિત વિચલનોને નબળું પાડે છે અને અસાધારણ ઘટનાની સતત મિલકતને લાક્ષણિકતા આપે છે.

દવામાં, સરેરાશ મૂલ્યોનો ઉપયોગ શારીરિક વિકાસ, મૂળભૂત માનવશાસ્ત્રીય લાક્ષણિકતાઓ (મોર્ફોલોજિકલ અને વિધેયાત્મક: ઊંચાઈ, વજન, ડાયનેમોમેટ્રી, વગેરે) અને તેમની ગતિશીલતા (લક્ષણમાં વધારો અથવા ઘટાડાના સરેરાશ મૂલ્યો) માટે થઈ શકે છે. આ સૂચકાંકોનો વિકાસ અને ધોરણોના સ્વરૂપમાં તેમના સંયોજનો વસ્તી (ખાસ કરીને બાળકો અને રમતવીરો) ના સ્વાસ્થ્યનું વિશ્લેષણ કરવા માટે ખૂબ જ વ્યવહારુ મહત્વ ધરાવે છે. રોગચાળાના નિષ્ણાતો ફાટી નીકળેલા રોગોની સરેરાશ સંખ્યા, સમય દ્વારા ફાટી નીકળવાનું વિતરણ અને જીવાણુ નાશકક્રિયા માટેના સરેરાશ સમયની ગણતરી કરે છે.

વસ્તી વિષયક અને તબીબી-સામાજિક અભ્યાસોમાં, નીચેની ગણતરી કરવામાં આવે છે: સરેરાશ આયુષ્ય, મૃતકની સરેરાશ ઉંમર, સરેરાશ વસ્તી, વગેરે.

પ્રાયોગિક પ્રયોગશાળા અભ્યાસમાં, સરેરાશ મૂલ્યોનો પણ ઉપયોગ થાય છે: તાપમાન, પ્રતિ મિનિટ પલ્સ ધબકારાઓની સંખ્યા, બ્લડ પ્રેશરનું સ્તર, સરેરાશ ગતિ અથવા ચોક્કસ ઉત્તેજનાની સરેરાશ પ્રતિક્રિયા સમય, લોહીમાં બાયોકેમિકલ તત્વોનું સરેરાશ સ્તર, વગેરે.

આંકડાકીય ગુણાંક અને સરેરાશ બંને સંભવિત મૂલ્યો છે, પરંતુ તેમની વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવત છે:

• 1) આંકડાકીય ગુણાંક એક લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે જે ફક્ત વસ્તીના અમુક ભાગમાં જ થાય છે (કહેવાતા વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતા), જે થઈ શકે અથવા ન પણ થઈ શકે (જન્મ, મૃત્યુ, રોગ). સરેરાશ મૂલ્યો સમગ્ર વસ્તીમાં સહજ લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે, પરંતુ વિવિધ ડિગ્રીઓ (વજન, ઊંચાઈ, સારવારના દિવસો).
• 2) આંકડાકીય ગુણાંકનો ઉપયોગ ગુણાત્મક (લક્ષણાત્મક અથવા વર્ણનાત્મક) લાક્ષણિકતાઓને માપવા માટે થાય છે, અને સરેરાશ ગુણાંકનો ઉપયોગ વિવિધ જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતાઓ માટે થાય છે, જ્યાં આપણે લાક્ષણિકતાના સંખ્યાત્મક પરિમાણોમાં તફાવત વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, અને તેની હાજરી અથવા ગેરહાજરીની હકીકત વિશે નહીં. .

સરેરાશ મૂલ્યોનો મુખ્ય ફાયદો એ તેમની લાક્ષણિકતા છે - સરેરાશ તરત જ ઘટનાની સામાન્ય લાક્ષણિકતા આપે છે. આ સંદર્ભે, સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરી માટે બે મુખ્ય આવશ્યકતાઓને ઓળખી શકાય છે:

• - વસ્તીની એકરૂપતા;
• - અવલોકનોની પૂરતી સંખ્યા.

રેન્ડમ ચલનું કોઈપણ વિતરણ, જે ચોક્કસ સંભાવના વિતરણ કાયદાનું પાલન કરતું નથી, તે વિતરણ પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: સરેરાશ મૂલ્ય (M), પ્રમાણભૂત વિચલન (), વિવિધતાના ગુણાંક (Cv), વગેરે.

ઉદાહરણ તરીકે, સારવારના સમયગાળા અનુસાર 10 દર્દીઓના વિતરણનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમને સંખ્યાત્મક મૂલ્યોની શ્રેણી મળે છે: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - એક અવ્યવસ્થિત શ્રેણી.

આ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને વિતરણ પરિમાણોની ગણતરી કરી શકાય છે. જો કે, આંકડાકીય શ્રેણીમાં કોઈ સ્થિર પેટર્ન છે કે કેમ તેની તપાસ કરવી જરૂરી છે. પરંતુ બિનક્રમાંકિત શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને, સંભવિત પેટર્નને શોધવી મુશ્કેલ છે, તેથી ક્રમાંકિત શ્રેણી બનાવવામાં આવે છે.

શ્રેણી કે જેમાં વિવિધ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યો અનુસાર અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના એકમોનું વિતરણ આપવામાં આવે છે તેને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ભિન્નતા શ્રેણી એ ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા સજાતીય મૂલ્યોની શ્રેણી છે, જ્યાં વિકલ્પો (વિકલ્પોના જૂથો) અંતરાલ (i) તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ રકમ દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે.

આમ, સારવારના સમયગાળા દ્વારા દર્દીઓનું વિતરણ નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે:

	13 14 17 18 20 22 23 25 32 38
	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

જે ઘટનાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેની બદલાતી, અલગ-અલગ નિશાની (ઊંચાઈ, વજન, વગેરે), તેના આંકડાકીય મૂલ્યને વેરિઅન્ટ (V) કહેવામાં આવે છે.

આપેલ લાક્ષણિકતાના અવલોકનના કેસોની સંખ્યા, જે દર્શાવે છે કે આપેલ પ્રકાર કેટલી વાર થાય છે, તેને ફ્રીક્વન્સી (p) કહેવામાં આવે છે.

વિવિધતા શ્રેણી આ હોઈ શકે છે:

• 1) જે ઘટનાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેના આધારે:
  • - અલગ (અસતત) - સતત બદલાતી લાક્ષણિકતાઓના આધારે રચાયેલ છે, જેનાં મૂલ્યો ફક્ત સંપૂર્ણ સંખ્યામાં દર્શાવવામાં આવે છે (પલ્સ રેટ, જૂથમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા, વગેરે);
  • - અંતરાલ (સતત) - સામાન્ય રીતે લાક્ષણિકતાઓના આધારે રચાય છે જે કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે અને કોઈપણ સંખ્યા (ઊંચાઈ, વજન, વગેરે) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.
• 2) અવલોકનોની સંખ્યાના આધારે:
  • - સરળ - વિકલ્પ એક સંખ્યાત્મક મૂલ્ય દ્વારા રજૂ થાય છે;
  • - જૂથબદ્ધ - વિકલ્પો ચોક્કસ માપદંડ અનુસાર જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શારીરિક વિકાસનો અભ્યાસ કરતી વખતે, જૂથીકરણ વજન દ્વારા કરી શકાય છે: 40-44 કિગ્રા; 45-49 કિગ્રા. વગેરે
• 3) વ્યવસ્થાના ક્રમના આધારે, વિકલ્પ:
  • - ચડતા - વિકલ્પો ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાય છે;
  • - ઉતરતા - વિકલ્પો ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે.

એક અલગ ભિન્નતા શ્રેણીમાં એક સાથે અનેક લાક્ષણિકતાઓનો સમાવેશ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સરળ, ઘટતું, અવ્યવસ્થિત; અથવા - જૂથબદ્ધ, વધતી જતી, સતત.

સરેરાશના પ્રકારો કે જે સામાન્ય રીતે તબીબી આંકડાઓમાં વપરાય છે તે મધ્ય, મોડ અને અંકગણિત સરેરાશ છે. અન્ય પ્રકારની સરેરાશ: હાર્મોનિક એવરેજ, ક્વાડ્રેટિક એવરેજ, ક્યુબિક એવરેજ, ભૌમિતિક એવરેજ અને અન્ય - માત્ર ખાસ અભ્યાસમાં જ વપરાય છે.

મધ્યક (Me) એ મધ્ય, કેન્દ્રિય વિકલ્પ છે, જે ભિન્નતા શ્રેણીને અડધા ભાગમાં બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો અવલોકનોની સંખ્યા 33 છે, તો મધ્યક એ વિકલ્પ હશે જે 17મા ક્રમે આવે છે, કારણ કે તેની બંને બાજુએ 16 અવલોકનો છે.

અવલોકનોની સમાન સંખ્યા સાથેની પંક્તિમાં, કેન્દ્રમાં બે મૂલ્યો છે. જો તેઓ મૂલ્યમાં સમાન હોય, તો મધ્યકના અંદાજિત નિર્ધારણમાં કોઈ મુશ્કેલી નથી, પરંતુ જો બે જથ્થાના આંકડાકીય મૂલ્યો અલગ હોય, તો તેમનો અડધો સરવાળો મધ્યક તરીકે લેવામાં આવે છે.

મોડ (Mo) એ લાક્ષણિકતાનું સૌથી વધુ વારંવાર બનતું અથવા વારંવાર પુનરાવર્તિત મૂલ્ય છે. જ્યારે મોડ લગભગ સાદી (જૂથબદ્ધ નથી) શ્રેણીમાં જોવા મળે છે, ત્યારે તેને સૌથી મોટી સંખ્યામાં ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે વેરિઅન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

અંકગણિત સરેરાશમાંથી મધ્યક અને મોડ વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે સરળ, અંદાજિત વ્યાખ્યા સાથે, આ જથ્થાઓ વિવિધતા શ્રેણી (સ્થિતિગત માધ્યમો) માં તેમની સ્થિતિ દ્વારા સરળતાથી અને ઝડપથી શોધી શકાય છે, વધુમાં, તેઓ મૂલ્યો પર આધારિત નથી. આત્યંતિક પ્રકારો અથવા શ્રેણીના વિખેરવાની ડિગ્રી પર.

અંકગણિત સરેરાશ (એમ - લેટિન મીડિયામાંથી) મોટેભાગે તબીબી આંકડાઓમાં વપરાય છે. અંકગણિત સરેરાશ સરળ અથવા ભારિત હોઈ શકે છે.

સરળ અંકગણિત સરેરાશનું ઉદાહરણ એ વજન માપવાનું પરિણામ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 6 લોકો:

	59 60 61 62 63 64 = 369
	1 1 1 1 1 1 p = n = 6

આમ, અંકગણિત સરળ સરેરાશ તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત જથ્થા (વિકલ્પો) ના સરવાળા તરીકે મેળવવામાં આવે છે. સાદા અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી ફક્ત એવા કિસ્સાઓમાં કરી શકાય છે કે જ્યાં દરેક મૂલ્ય (ચલ) એક અવલોકન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, એટલે કે જ્યારે ફ્રીક્વન્સીઝ એકતા સમાન હોય છે.

જો વેરિઅન્ટની ફ્રીક્વન્સીઝ એક કરતા વધારે હોય, તો સરળ સરેરાશ લાગુ પડતી નથી - અહીં અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા વેરિઅન્ટના ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે મેળવવામાં આવે છે, જે કુલ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. અવલોકનોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે: એટ્રોપિન ટેસ્ટ પછી 18 વિદ્યાર્થીઓમાં પલ્સ રેટ (મિનિટ દીઠ ધબકારા) હતો: 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

	80 84 86 88 90 92 96 100 102
	1 1 3 1 2 4 2 2 2 p = n = 18
	80 84 258 88 180 358 192 200 204 Vp = 1644

અંકગણિતની સરળ સરેરાશ એ ભારિત અંકગણિત સરેરાશનો એક વિશેષ કેસ છે, તેથી અંકગણિતની સરળ સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે ભારિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે. પછીના કિસ્સામાં, ફ્રીક્વન્સીઝ એકતા સમાન છે અને ગુણાકાર બિનજરૂરી છે.

ત્રણેય સરેરાશ મૂલ્યો (Mo, Me, M) સપ્રમાણ ભિન્નતા શ્રેણીમાં એકરૂપ થાય છે (અથવા વ્યવહારીક રીતે ખૂબ જ નજીક છે): અંકગણિત સરેરાશ શ્રેણીની મધ્યને અનુરૂપ છે (સપ્રમાણ શ્રેણીમાં, વધારો તરફ વિચલનો અને એક તરફ ઘટાડો અનુક્રમે સંતુલિત છે); મધ્યક (કેન્દ્રીય મૂલ્ય તરીકે) પણ શ્રેણીના મધ્યને અનુલક્ષે છે; મોડ (સૌથી વધુ સંતૃપ્ત મૂલ્ય તરીકે) શ્રેણીના ઉચ્ચતમ બિંદુ પર આવે છે, જે તેના કેન્દ્રમાં પણ સ્થિત છે. તેથી, તમામ સપ્રમાણ શ્રેણીઓ માટે અંકગણિત સરેરાશ સિવાયની સરેરાશની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી.

અંકગણિતના ગુણધર્મોનો અર્થ છે:

• 1. સરેરાશ મૂલ્ય એ ચોક્કસ બદલાતી જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા માટે આંકડાકીય વસ્તીની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે; તે સમગ્ર આંકડાકીય વસ્તીની સામાન્ય વ્યાખ્યાયિત મિલકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેને આપેલ લાક્ષણિકતાના લાક્ષણિક મૂલ્ય સાથે એક નંબર સાથે બદલીને. સરેરાશ મૂલ્યનું સ્તર બહાર આવે છે, એક અથવા બીજી દિશામાં વ્યક્તિગત અવલોકનોના અવ્યવસ્થિત વિચલનોને નબળું પાડે છે અને અસાધારણ ઘટનાની સતત મિલકતને લાક્ષણિકતા આપે છે.
• 2. અંકગણિત સરેરાશમાંથી વિચલનોનો સરવાળો 0 ની બરાબર છે.
• 3. સખત સપ્રમાણ વિવિધતા શ્રેણીમાં, અંકગણિત સરેરાશ મધ્યમ સ્થાન ધરાવે છે અને તે Mo, Me ની બરાબર છે.

અંકગણિત સરેરાશ, વધારાના અનુમાન તકનીકો વિના પોતાના દ્વારા લેવામાં આવે છે, તે ઘણીવાર મર્યાદિત મહત્વ ધરાવે છે, કારણ કે તે શ્રેણીના વિક્ષેપ (વિવિધતા) ની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરતા નથી. સમાન કદના સરેરાશ મૂલ્યો સ્કેટરિંગની વિવિધ ડિગ્રી સાથે શ્રેણીમાંથી મેળવી શકાય છે. સરેરાશ એ મૂલ્યો છે જેની આસપાસ વિવિધ વિકલ્પો વેરવિખેર છે, અને વ્યક્તિગત વિકલ્પો એકબીજાની જેટલા નજીક છે, શ્રેણીનું સ્કેટરિંગ જેટલું નાનું છે, તેટલું વધુ લાક્ષણિક સરેરાશ મૂલ્ય.

શ્રેણીની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન કરવાની અંદાજિત પદ્ધતિ કંપનવિસ્તાર નક્કી કરી શકે છે. કંપનવિસ્તાર - સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્ય વિકલ્પ વચ્ચેનો તફાવત:

A = Vmax - Vmin

પરંતુ કંપનવિસ્તાર શ્રેણીમાં મધ્યવર્તી મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા નથી, વધુમાં, તેના પરિમાણો અવલોકનોની સંખ્યા પર પણ આધાર રાખે છે.

શ્રેણીની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનું મુખ્ય માપ પ્રમાણભૂત વિચલન () છે.

સિગ્માની ગણતરી કરવા માટે તમારે આની જરૂર છે:

સરેરાશ (V - M) થી વિચલનો (ડી) નક્કી કરો;

ચોરસ વિચલનો (d 2);

• 3) ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા વિચલનોના વર્ગોને ગુણાકાર કરો (d 2р);
• 4) ચોરસ વિચલનો અને ફ્રીક્વન્સીઝના ઉત્પાદનોનો સરવાળો કરો;
• 5) અવલોકનોની સંખ્યા દ્વારા આ રકમને વિભાજીત કરો;
• 6) ભાગનું વર્ગમૂળ કાઢો.

સિગ્માનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરેરાશની લાક્ષણિકતાની ડિગ્રી, શ્રેણીના છૂટાછવાયાની મર્યાદાઓ, વ્યક્તિગત ચલોની સરેરાશની આસપાસ વધઘટની મર્યાદા સ્થાપિત કરી શકો છો. સિગ્મા જેટલું નાનું છે, શ્રેણીનું વિખેરવું નાનું છે, આ શ્રેણી માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ મૂલ્ય વધુ સચોટ અને લાક્ષણિક છે.

સિગ્માનો ઉપયોગ ઘણી સજાતીય વિતરણ શ્રેણીની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન અને તુલના કરવાનું શક્ય બનાવે છે, કારણ કે તે નજીવી મૂલ્ય છે અને અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીના એકમોમાં ચોક્કસ સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે (cm, kg, mg/l, વગેરે. ). આ કિસ્સામાં, સિગ્માનું સંપૂર્ણ કદ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વજનના આધારે વિતરણની બે પંક્તિઓની સરખામણી કરતી વખતે, જો કે સરેરાશ સ્તરની નજીક હોય, પરંતુ એક પંક્તિમાં સિગ્મા ± 5.6 કિગ્રા અને બીજી પંક્તિમાં ± 2.1 કિગ્રા હશે. - બીજી પંક્તિ ઓછી વેરવિખેર છે, અને તેની મધ્ય વધુ લાક્ષણિક છે.

વિજાતીય શ્રેણીની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે (ઉદાહરણ તરીકે, વજન અને ઊંચાઈ જેવા લક્ષણો), સિગ્મા કદની સીધી સરખામણી અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, શ્રેણીની સંબંધિત વિવિધતાની ડિગ્રી સ્થાપિત કરવા માટે, તેઓ વ્યુત્પન્ન મૂલ્યનો આશરો લે છે - પરિવર્તનશીલતા (વિવિધતા) ના ગુણાંક, જે સંબંધિત મૂલ્ય છે, જે % માં દર્શાવવામાં આવે છે અને Cv (V) અક્ષર દ્વારા સૂચિત છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 1લા વર્ષના પુરૂષ વિદ્યાર્થીઓના શારીરિક વિકાસનો અભ્યાસ કરતી વખતે, નીચેના સૂચકાંકો પ્રાપ્ત થયા હતા: M (વજન) = 67.5 કિગ્રા; એમ (ઊંચાઈ) = 178.1 સેમી તે મુજબ = ± 2.8 કિગ્રા. અને ± 6.2 સે.મી.

ઊંચાઈ માટે વિવિધતાનો ગુણાંક વજન કરતાં ઓછો છે, એટલે કે, ઊંચાઈ વજન કરતાં વધુ સ્થિર લક્ષણ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

વિવિધતાના ગુણાંકમાં વિવિધતાના ત્રણ ડિગ્રી છે:

10% સુધી - નબળી વિવિધતા;

10 - 20% - સરેરાશ વિવિધતા;

20% થી વધુ - મજબૂત વિવિધતા.

વિવિધતા ગુણાંકની ગણતરી કરવાની સમાન પદ્ધતિ સજાતીય શ્રેણીના વિશ્લેષણ માટે પણ યોગ્ય છે, જેમાં સરેરાશ મૂલ્યો કદમાં મોટા પ્રમાણમાં બદલાય છે, તેમજ એક અલગ, એકલ શ્રેણીના અંદાજ માટે.

અંકગણિત સરેરાશ (M) ની ગણતરીનું ઉદાહરણ; પ્રમાણભૂત વિચલન(); વિવિધતાના ગુણાંક (Cv).

45 દર્દીઓમાં કંઠમાળની સારવારનો સમયગાળો હતો: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12 , 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14 , અને 15 દિવસ.

પ્રથમ તબક્કો: અમે દરેક વિકલ્પની ઘટનાની આવર્તનને ધ્યાનમાં લઈને વિવિધતા શ્રેણી બનાવીએ છીએ; શ્રેણીનું વર્ણન આપો; અમે અનુરૂપ આવર્તન દ્વારા વેરિઅન્ટનું ઉત્પાદન શોધીએ છીએ, પરિણામી ઉત્પાદનોનો સરવાળો કરીએ છીએ અને અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ છીએ:

પ્રથમ તબક્કો	બીજો તબક્કો
સારવારની અવધિ (દિવસોમાં) વી	દર્દીઓની સંખ્યા પી
શ્રેણી સરળ, ઘટતી જતી, અખંડિત

બીજો તબક્કો: ડી (વી-એમ) ની ગણતરી કરો; ડી 2; d 2p.

નિષ્કર્ષ: ક્લિનિકમાં કંઠમાળની સારવારની સરેરાશ અવધિ 11 દિવસ હતી. સરેરાશ આ શ્રેણી માટે પૂરતી લાક્ષણિક નથી, જેમ કે 36.5% (લક્ષણની વિવિધતાની મોટી માત્રા) ની સમાન વિવિધતાના ગુણાંક દ્વારા પુરાવા મળે છે.

આંકડાકીય સૂચકોનું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ એ સરેરાશ મૂલ્ય છે, જે સ્થળ અને સમયની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ આંકડાકીય વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાની સામાન્યીકૃત માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા છે. સરેરાશ મૂલ્યના સ્વરૂપમાં એક સૂચક લાક્ષણિક લક્ષણોને વ્યક્ત કરે છે અને વિવિધ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક અનુસાર સમાન ઘટનાની સામાન્ય લાક્ષણિકતા આપે છે. સરેરાશનો વ્યાપક ઉપયોગ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે તેમની પાસે સંખ્યાબંધ હકારાત્મક ગુણધર્મો છે જે તેમને અર્થતંત્રમાં ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે અનિવાર્ય સાધન બનાવે છે.

સરેરાશ મૂલ્યની સૌથી મહત્વની મિલકત એ છે કે તે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના તમામ એકમોમાં શું સામાન્ય છે તે પ્રતિબિંબિત કરે છે. વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોના વિશેષતા મૂલ્યો ઘણા પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ એક દિશામાં અથવા બીજી દિશામાં વધઘટ થાય છે, જેમાંથી મૂળભૂત અને રેન્ડમ બંને હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોર્પોરેશનના શેરની કિંમત મુખ્યત્વે તેની નાણાકીય કામગીરી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તે જ સમયે, ચોક્કસ દિવસોમાં અને ચોક્કસ એક્સચેન્જો પર, આ શેર, પ્રવર્તમાન સંજોગોને લીધે, ઊંચા અથવા ઓછા દરે વેચી શકાય છે. સરેરાશનો સાર એ હકીકતમાં રહેલો છે કે તે રેન્ડમ પરિબળોની ક્રિયાને કારણે વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોના લાક્ષણિક મૂલ્યોના વિચલનોને રદ કરે છે અને મુખ્ય પરિબળોની ક્રિયાને કારણે થતા ફેરફારોને ધ્યાનમાં લે છે. આ સરેરાશને લાક્ષણિકતાના લાક્ષણિક સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરવાની અને વ્યક્તિગત એકમોની વ્યક્તિગત લાક્ષણિકતાઓમાંથી અમૂર્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સરેરાશની લાક્ષણિકતા સીધી વસ્તીની એકરૂપતા સાથે સંબંધિત છે. સરેરાશ મૂલ્ય ગુણાત્મક રીતે સજાતીય વસ્તીમાંથી ગણવામાં આવે ત્યારે જ લક્ષણના લાક્ષણિક સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરશે. તેથી, જો આપણે આપેલ એક્સચેન્જ પર આપેલ દિવસે ટ્રેડ થયેલા તમામ એન્ટરપ્રાઇઝના શેર માટે સરેરાશ વિનિમય દરની ગણતરી કરીએ, તો અમે કાલ્પનિક સરેરાશ મેળવીશું. આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવશે કે ગણતરી માટે વપરાતી વસ્તી અત્યંત વિજાતીય છે. આ અને સમાન કિસ્સાઓમાં, સરેરાશની પદ્ધતિનો ઉપયોગ જૂથ પદ્ધતિ સાથે સંયોજનમાં થાય છે: જો વસ્તી વિજાતીય હોય, તો સામાન્ય સરેરાશને જૂથ સરેરાશ દ્વારા બદલવું અથવા પૂરક બનાવવું આવશ્યક છે, એટલે કે. ગુણાત્મક એકરૂપ જૂથો માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ.

સરેરાશનો સિદ્ધાંત નીચેના સંમેલનોનો ઉપયોગ કરે છે.

1. લાક્ષણિકતા જેના દ્વારા સરેરાશ નક્કી કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સરેરાશ લાક્ષણિકતાઅને નિયુક્ત થયેલ છે.

2. વસ્તીના દરેક એકમ માટે સરેરાશ લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય તેના કહેવાય છે વ્યક્તિગત અર્થઅને નિયુક્ત થયેલ છે.

3. વ્યક્તિગત મૂલ્યોની પુનરાવર્તિતતાને આવર્તન કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે f .

4. લાક્ષણિકતાનું કુલ મૂલ્ય દર્શાવેલ છે ડબલ્યુ .

આંકડાકીય વસ્તીની દરેક જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતામાં એક સરેરાશ મૂલ્ય હોય છે. લાક્ષણિકતાની સરેરાશ (સંપૂર્ણ, સંબંધિત અને સરેરાશ) અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપ અને ઉપલબ્ધ માહિતીના આધારે તેની ગણતરી વિવિધ રીતે કરી શકાય છે. ડિગ્રી પર આધાર રાખીને k વિવિધ પ્રકારની સરેરાશ પ્રાપ્ત થાય છે.

1.સરળ અંકગણિત સરેરાશ - મધ્યમનો સૌથી સામાન્ય પ્રકાર

k =1

2.અંકગણિત સરેરાશ ભારાંકિત - જો લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો અને તેમની આવર્તન જાણીતી હોય તો વપરાય છે f . દરેક વિકલ્પ તેની આવર્તન અનુસાર "ભારિત" છે, એટલે કે. તેના દ્વારા ગુણાકાર કરો. ફ્રીક્વન્સીઝ f આને આંકડાકીય વજન અથવા સરળ રીતે કહેવામાં આવે છે સરેરાશ ભીંગડા .

ઉદાહરણ.ઉપલબ્ધ ડેટાના આધારે, અમે કર્મચારીઓની સેવાની સરેરાશ લંબાઈની ગણતરી કરીએ છીએ

3.મીન હાર્મોનિક સિમ્પલ ઉપયોગ થાય છે જો તે જરૂરી હોય કે લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના પારસ્પરિક મૂલ્યોનો સરવાળો યથાવત રહે.

લાક્ષણિકતાના વ્યસ્ત મૂલ્યોનો સરવાળો ક્યાં છે.

ઉદાહરણ. એક લોડેડ કાર ફેક્ટરીથી વેરહાઉસ તરફ 40 કિમી/કલાકની ઝડપે દોડી અને 60 કિમી/કલાકની ઝડપે પાછી ખાલી થઈ. બંને સફર માટે કારની સરેરાશ ઝડપ કેટલી છે?

પરિવહન અંતર S કિમી રહેવા દો. સરેરાશ ઝડપની ગણતરી કરવામાં S કોઈ ભૂમિકા ભજવતું નથી. જ્યારે વ્યક્તિગત ગતિ મૂલ્યોને બદલી રહ્યા હોય સરેરાશ મૂલ્ય માટે, તે જરૂરી છે કે બંને ટ્રિપ્સ પર વિતાવેલો સમય સ્થિર રહે, અન્યથા સરેરાશ ગતિ કંઈપણ હોઈ શકે છે - કાચબાની ગતિથી પ્રકાશની ગતિ સુધી. મુસાફરીનો સમય બરાબર છે. તેથી,

S દ્વારા સમાનતાની તમામ શરતોને ઘટાડીને, અમે મેળવીએ છીએ એટલે કે. હાર્મોનિક સરેરાશ સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે. અવેજી અને , આપણને મળે છે

50 કિમી/કલાકની અંકગણિત સરેરાશ ખોટી છે કારણ કે... વાસ્તવમાં થાય છે તેના કરતા અલગ હિલચાલના સમયમાં પરિણમે છે. જો અંતર 96 કિમી છે, તો વાસ્તવિક મુસાફરીનો સમય હશે

આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં, હાર્મોનિક વેઇટેડ એવરેજ વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે.

4.હાર્મોનિક મીન વેઇટેડ જો લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો અને લાક્ષણિકતાના કુલ મૂલ્યો જાણીતા હોય તો તેનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ

5.સરેરાશ એકંદર જો લાક્ષણિકતાના કુલ મૂલ્યો અને તેમની ફ્રીક્વન્સીઝ જાણીતી હોય તો તેનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ. ઉત્પાદનની સરેરાશ કિંમત નક્કી કરો, જો જાણીતી હોય

6.મીન ચોરસ પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે, જે વિવિધતાનું સૂચક છે, તેમજ ટેકનોલોજીમાં

k =2

ભારિત સરેરાશ ચોરસ

7.ભૌમિતિક સરેરાશ સાંકળ રેખાકૃતિ અનુસાર સરેરાશ વૃદ્ધિ દરની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે k= 0

મુ k= 1 આપણને અંકગણિત સરેરાશ મળે છે, સાથે k= 2 - ચતુર્ભુજ, સાથે k= 3 - ઘન, સાથે k= 0 - ભૌમિતિક, સાથે k= -1 - હાર્મોનિક સરેરાશ. ઘાતાંક વધારે છે k , સરેરાશ મૂલ્ય જેટલું વધારે છે. જો લાક્ષણિકતાના તમામ પ્રારંભિક મૂલ્યો સમાન હોય, તો પછી તમામ સરેરાશ મૂલ્યો const સમાન હોય છે. તેથી, આપણી પાસે નીચેનો સંબંધ છે, જેને કહેવામાં આવે છે સરેરાશની બહુમતીનો નિયમ :

આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તેના "નિષ્ણાત"ના મૂડ અને ઇચ્છાના આધારે, સત્રમાં 2 અને 5 ગ્રેડ મેળવનાર વિદ્યાર્થીને "ડૂબવા" અથવા "બચાવ" કરી શકે છે.

અંકગણિત સરેરાશ દ્વારા અભિપ્રાય, સરેરાશ સ્કોર 3.5 છે. પરંતુ જો ડીન કમનસીબ વ્યક્તિને "ડૂબવા" માંગે છે અને હાર્મોનિક સરેરાશની ગણતરી કરે છે, તો વિદ્યાર્થી, સરેરાશ, D વિદ્યાર્થી રહે છે જે C ગ્રેડ સુધી પહોંચ્યો નથી.

જો કે, વિદ્યાર્થી પરિષદ ડીન સામે વાંધો ઉઠાવી શકે છે અને સરેરાશ ઘન મૂલ્ય રજૂ કરી શકે છે . વિદ્યાર્થી પહેલેથી જ "સારું" દેખાય છે અને તે શિષ્યવૃત્તિ માટે અરજી પણ કરી રહ્યો છે.

માળખાકીય સરેરાશ - મોડ અને મધ્ય - પાવર એવરેજથી વિપરીત, જે મોટાભાગે વસ્તીની અમૂર્ત લાક્ષણિકતા છે, ચોક્કસ મૂલ્યો તરીકે કાર્ય કરે છે જે વસ્તીના સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત પ્રકારો સાથે મેળ ખાય છે. વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ તેમને અનિવાર્ય બનાવે છે.

ફેશન- આપેલ વસ્તીના એકમોમાં લાક્ષણિકતાનું આ સૌથી સામાન્ય મૂલ્ય છે. એક અલગ વિતરણ શ્રેણી માટે, આવર્તન કૉલમને જોઈને, ગણતરી કર્યા વિના મોડ નક્કી કરવામાં આવે છે, અને ઉચ્ચતમ આવર્તન સાથેની સુવિધાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ નંબર 1 થી, સૌથી વધુ આવર્તન f=20, જે 4થી ટેરિફ શ્રેણીને અનુરૂપ છે, તેથી મો =4.

અંતરાલ વિતરણ શ્રેણી માટે, મોડ ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

મોડલ અંતરાલની નીચી મર્યાદા ક્યાં છે;

– મોડલ અંતરાલનું મૂલ્ય;

- અનુક્રમે મોડલ, મોડલ અને મોડલની આગળની અંતરાલની આવર્તન.

મોડલ સૌથી વધુ આવર્તન સાથે અંતરાલને અનુરૂપ છે.

ચાલો મોડલની ગણતરી કરીએ ઉદાહરણ નંબર 2. અંતરાલ 130-140 મોડલને અનુરૂપ છે. તેના માટે , = 140-130=10, =20,

મોટેભાગે, કર્મચારી ઉત્પાદન દર 134% છે, મોટેભાગે યોજના 34% થી વધી જાય છે.

મધ્યક– એટ્રિબ્યુટનું મૂલ્ય જે ક્રમાંકિત શ્રેણીની મધ્યમાં આવેલું છે અને તેને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. ક્રમાંકિત શ્રેણી - એક લાક્ષણિકતાના ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલી શ્રેણી. અલગ ભિન્નતા શ્રેણી માટે, મધ્યકની ગણતરી કરવામાં આવતી નથી, પરંતુ શ્રેણી જોઈને નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પાંચ કામદારો માટે ભાગોનો દૈનિક ઉત્પાદન દર અનુક્રમે 10, 12, 15, 16 અને 18 ટુકડાઓ છે. એમ ઇ ત્રીજા કાર્યકરનું આઉટપુટ છે અને તે 15 ભાગો જેટલું છે. જો લાક્ષણિક મૂલ્યોની સમાન સંખ્યા હોય, તો મધ્યકને સરેરાશ મૂલ્ય પર કબજો કરતા લાક્ષણિક મૂલ્યોના અડધા સરવાળા તરીકે ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10 મૂલ્યો સાથે, લક્ષણના 5મા અને 6ઠ્ઠા મૂલ્યોનો અડધો સરવાળો.

અંતરાલ શ્રેણી માટે, મધ્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં – મધ્ય અંતરાલની નીચી મર્યાદા;

– મધ્ય અંતરાલનું મૂલ્ય;

– વિવિધતા શ્રેણીના વોલ્યુમનો અડધો સરવાળો;

– મધ્યકની પહેલાના અંતરાલની સંચિત આવર્તન;

– મધ્ય અંતરાલની આવર્તન.

મધ્ય એ શ્રેણીના અડધા વોલ્યુમને અનુરૂપ અંતરાલ છે. મધ્ય અંતરાલ શોધવા માટે, શ્રેણીના અડધા વોલ્યુમ સમાવિષ્ટ અંતરાલ ન મળે ત્યાં સુધી ફ્રીક્વન્સીઝ એકઠા કરવી જરૂરી છે.

ચાલો મધ્યકની ગણતરી કરીએ ઉદાહરણ તરીકે નંબર 2. મધ્ય અંતરાલ 120-130 છે, કારણ કે અનુરૂપ સંચિત આવર્તન શ્રેણીના અડધા વોલ્યુમ ધરાવે છે. તેના માટે

– અડધા કામદારો 129% કરતા ઓછું ઉત્પાદન કરે છે, અને બાકીના અડધા કામદારો 129% કરતા વધુ પ્રદર્શન કરે છે.