પાયથાગોરિયન પ્રમેય- યુક્લિડિયન ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયમાંથી એક, સંબંધ સ્થાપિત કરે છે
જમણા ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચે.
એવું માનવામાં આવે છે કે તે ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, જેમના નામ પરથી તેનું નામ રાખવામાં આવ્યું હતું.
પાયથાગોરિયન પ્રમેયની ભૌમિતિક રચના.
પ્રમેય મૂળરૂપે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યો હતો:
કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણ પર બનેલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલું હોય છે,
પગ પર બાંધવામાં આવે છે.
પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું બીજગણિત રચના.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણોની લંબાઈનો વર્ગ પગની લંબાઈના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
એટલે કે, ત્રિકોણના કર્ણોની લંબાઈ દ્વારા સૂચિત કરે છે c, અને મારફતે પગ ની લંબાઈ aઅને b:
બંને ફોર્મ્યુલેશન પાયથાગોરિયન પ્રમેયસમકક્ષ છે, પરંતુ બીજું ફોર્મ્યુલેશન વધુ પ્રાથમિક છે, એવું નથી
વિસ્તારની વિભાવનાની જરૂર છે. એટલે કે, બીજા નિવેદનને વિસ્તાર વિશે કંઈપણ જાણ્યા વિના ચકાસી શકાય છે અને
કાટકોણ ત્રિકોણની માત્ર બાજુઓની લંબાઈને માપવા દ્વારા.
પાયથાગોરિયન પ્રમેયની વાત કરો.
જો ત્રિકોણની એક બાજુનો વર્ગ બીજી બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય, તો
જમણો ત્રિકોણ.
અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:
ધન સંખ્યાના પ્રત્યેક ત્રિવિધ માટે a, bઅને c, આવા કે
પગ સાથે જમણો ત્રિકોણ છે aઅને bઅને કર્ણ c.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય.
સમભુજ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય.
પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવા.
હાલમાં, આ પ્રમેયના 367 પુરાવાઓ વૈજ્ઞાનિક સાહિત્યમાં નોંધવામાં આવ્યા છે. કદાચ પ્રમેય
પાયથાગોરસ એ એક માત્ર પ્રમેય છે જે આટલી પ્રભાવશાળી સંખ્યામાં સાબિતીઓ ધરાવે છે. આવી વિવિધતા
ભૂમિતિ માટેના પ્રમેયના મૂળભૂત મહત્વ દ્વારા જ સમજાવી શકાય છે.
અલબત્ત, વૈચારિક રીતે તે બધાને નાની સંખ્યામાં વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તેમાંથી સૌથી પ્રખ્યાત:
સાબિતી વિસ્તાર પદ્ધતિ, સ્વયંસિદ્ધઅને વિદેશી પુરાવા(દાખ્લા તરીકે,
ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણો).
1. સમાન ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.
બીજગણિત રચનાનો નીચેનો પુરાવો બાંધવામાં આવેલા પુરાવાઓમાં સૌથી સરળ છે
સીધા સ્વયંસિદ્ધમાંથી. ખાસ કરીને, તે આકૃતિના ક્ષેત્રફળની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરતું નથી.
દો ABCકાટકોણ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે સી. માંથી ઊંચાઈ દોરીએ સીઅને સૂચવો
દ્વારા તેનો પાયો એચ.
ત્રિકોણ ACHત્રિકોણ જેવું જ એબીબે ખૂણા પર સી. તેવી જ રીતે, ત્રિકોણ સીબીએચસમાન ABC.
નોટેશન રજૂ કરીને:
અમને મળે છે:
,
જે અનુલક્ષે છે -
ફોલ્ડ a 2 અને b 2, અમને મળે છે:
અથવા, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
2. વિસ્તાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.
નીચે આપેલા પુરાવાઓ, તેમની દેખીતી સરળતા હોવા છતાં, બિલકુલ સરળ નથી. તે બધા
વિસ્તારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો, જેના પુરાવા પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવા કરતાં વધુ જટિલ છે.
- સમાન પૂરકતા દ્વારા પુરાવો.
ચાલો ચાર સરખા લંબચોરસ ગોઠવીએ
આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રિકોણ
જમણી બાજુએ.
બાજુઓ સાથે ચતુષ્કોણ c- ચોરસ,
કારણ કે બે તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો 90° છે, અને
અનફોલ્ડ કોણ - 180°.
સમગ્ર આકૃતિનો વિસ્તાર એક તરફ, સમાન છે,
બાજુવાળા ચોરસનો વિસ્તાર ( a+b), અને બીજી તરફ, ચાર ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો સરવાળો અને
Q.E.D.
3. અનંત પદ્ધતિ દ્વારા પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.
આકૃતિમાં બતાવેલ ડ્રોઇંગ જોઈ રહ્યા છીએ અને
બાજુના બદલાવને જોવુંa, આપણે કરી શકીએ
અનંત માટે નીચેનો સંબંધ લખો
નાનું બાજુમાં વધારોસાથેઅને a(સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને
ત્રિકોણ):
ચલ અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:
બંને બાજુઓ પર વધારાના કિસ્સામાં કર્ણમાં ફેરફાર માટે વધુ સામાન્ય અભિવ્યક્તિ:
આ સમીકરણને એકીકૃત કરીને અને પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:
આમ અમે ઇચ્છિત જવાબ પર પહોંચીએ છીએ:
જોવામાં સરળ છે તેમ, અંતિમ સૂત્રમાં ચતુર્ભુજ અવલંબન રેખીયને કારણે દેખાય છે
ત્રિકોણની બાજુઓ અને ઇન્ક્રીમેન્ટ્સ વચ્ચે પ્રમાણસરતા, જ્યારે સરવાળો સ્વતંત્ર સાથે સંબંધિત છે
વિવિધ પગના વધારામાંથી યોગદાન.
જો આપણે ધારીએ કે એક પગમાં વધારો થતો નથી તો એક સરળ સાબિતી મેળવી શકાય છે
(આ કિસ્સામાં પગ b). પછી એકીકરણ સ્થિરતા માટે આપણે મેળવીએ છીએ:
પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો એનિમેટેડ પુરાવો - એક મૂળભૂતયુક્લિડિયન ભૂમિતિના પ્રમેય કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે તે ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, જેમના નામ પરથી તેનું નામ રાખવામાં આવ્યું છે (ત્યાં અન્ય સંસ્કરણો છે, ખાસ કરીને વૈકલ્પિક અભિપ્રાય છે કે સામાન્ય સ્વરૂપમાં આ પ્રમેય પાયથાગોરિયન ગણિતશાસ્ત્રી હિપ્પાસસ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યો હતો).
પ્રમેય જણાવે છે:
કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ પગ પર બનેલા ચોરસના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણના કર્ણની લંબાઈ નક્કી કરવી c,અને પગની લંબાઈ જેવી છે aઅને bઅમને નીચેનું સૂત્ર મળે છે:
આમ, પાયથાગોરિયન પ્રમેય એક સંબંધ સ્થાપિત કરે છે જે તમને અન્ય બેની લંબાઈ જાણીને, કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુ નક્કી કરવા દે છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય એ કોસાઇન પ્રમેયનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, જે મનસ્વી ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરે છે.
કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ પણ સાબિત થયું છે (જેને પાયથાગોરિયન પ્રમેયની વાતચીત પણ કહેવાય છે):
કોઈપણ ત્રણ ધન સંખ્યા માટે a, b અને c જેમ કે a? + b ? = c?, પગ a અને b અને કર્ણ c સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
500-200 બીસી પુસ્તક "ચુ પેઇ" માંથી ત્રિકોણ (3, 4, 5) માટે દ્રશ્ય પુરાવા. પ્રમેયના ઇતિહાસને ચાર ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓનું જ્ઞાન, કાટકોણ ત્રિકોણમાં બાજુઓના ગુણોત્તરનું જ્ઞાન, અડીને આવેલા ખૂણાઓના ગુણોત્તરનું જ્ઞાન અને પ્રમેયનો પુરાવો.
2500 બીસીની આસપાસ મેગાલિથિક માળખાં. ઇજિપ્ત અને ઉત્તરી યુરોપમાં, સંપૂર્ણ સંખ્યાની બાજુઓ સાથે કાટખૂણે ત્રિકોણ ધરાવે છે. બાર્ટેલ લીન્ડર્ટ વેન ડેર વેર્ડને અનુમાન લગાવ્યું હતું કે તે સમયે પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓ બીજગણિત રીતે મળી આવી હતી.
2000 અને 1876 બીસી વચ્ચે લખાયેલ. મધ્ય ઇજિપ્તીયન સામ્રાજ્યમાંથી પેપિરસ બર્લિન 6619એક સમસ્યા છે જેનો ઉકેલ પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓ છે.
હમ્મુરાબી ધ ગ્રેટના શાસન દરમિયાન, બેબીલોનીયન ટેબ્લેટ પ્લિમ્પટન 322, 1790 અને 1750 BC ની વચ્ચે લખાયેલ પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓ સાથે નજીકથી સંબંધિત ઘણી એન્ટ્રીઓ છે.
બુધયાન સૂત્રોમાં, જે વિવિધ રીતે આઠમી અથવા બીજી સદી બી.સી. ભારતમાં, પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓ, જે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું નિવેદન અને સમભુજ જમણા ત્રિકોણ માટે ભૌમિતિક સાબિતી ધરાવે છે.
આપાસ્તમ્બ સૂત્ર (લગભગ 600 બીસી) વિસ્તારની ગણતરીનો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો સંખ્યાત્મક પુરાવો ધરાવે છે. વેન ડેર વેર્ડન માને છે કે તે તેના પુરોગામીની પરંપરાઓ પર આધારિત હતું. આલ્બર્ટ બુર્કોના મતે, આ પ્રમેયનો મૂળ પુરાવો છે અને તે સૂચવે છે કે પાયથાગોરસ એરાકોનની મુલાકાત લીધી હતી અને તેની નકલ કરી હતી.
પાયથાગોરસ, જેમના જીવનના વર્ષો સામાન્ય રીતે 569 - 475 બીસી તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓની ગણતરી કરવા માટે બીજગણિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે, યુક્લિડ પર પ્રોકલોવની ટિપ્પણીઓ અનુસાર. પ્રોક્લસ, જોકે, 410 અને 485 એડી વચ્ચે રહેતા હતા. થોમસ ગુઈસના જણાવ્યા મુજબ, પાયથાગોરસ પછીની પાંચ સદીઓ સુધી પ્રમેયના લેખકત્વનો કોઈ સંકેત નથી. જો કે, જ્યારે પ્લુટાર્ક અથવા સિસેરો જેવા લેખકો પાયથાગોરસને પ્રમેયનું શ્રેય આપે છે, ત્યારે તેઓ એવું કરે છે કે જાણે લેખકત્વ વ્યાપકપણે જાણીતું અને નિશ્ચિત હતું.
400 બીસીની આસપાસ પ્રોક્લસ મુજબ, પ્લેટોએ પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓની ગણતરી માટે એક પદ્ધતિ આપી જે બીજગણિત અને ભૂમિતિને જોડે છે. લગભગ 300 બીસી, માં શરૂઆતયુક્લિડ અમારી પાસે સૌથી જૂનો સ્વતઃસંબંધી પુરાવો છે જે આજ સુધી ટકી રહ્યો છે.
500 BC ની વચ્ચે ક્યારેક લખાયેલ. અને 200 બીસી, ચાઇનીઝ ગાણિતિક પુસ્તક "ચુ પેઇ" (?? ??), પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો દ્રશ્ય પુરાવો આપે છે, જેને ચીનમાં ગુગુ પ્રમેય (????) કહેવાય છે, બાજુઓ (3, 4) સાથે ત્રિકોણ માટે , 5). હાન રાજવંશ દરમિયાન, 202 બીસીથી. 220 એડી સુધી પાયથાગોરિયન નંબરો "ગાણિતિક કલાની નવ શાખાઓ" પુસ્તકમાં સમકક્ષ ત્રિકોણના ઉલ્લેખ સાથે દેખાય છે.
પ્રમેયનો પ્રથમ નોંધાયેલ ઉપયોગ ચીનમાં થયો હતો, જ્યાં તેને ગુગુ (????) પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને ભારતમાં, જ્યાં તેને ભાસ્કરના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
પાયથાગોરસનું પ્રમેય એકવાર કે વારંવાર શોધાયું હતું કે કેમ તે અંગે વ્યાપક ચર્ચા થઈ રહી છે. બોયર (1991) માને છે કે શુલ્બા સૂત્રમાં મળેલું જ્ઞાન મેસોપોટેમિયન મૂળનું હોઈ શકે છે.
બીજગણિત પુરાવો 
ચાર જમણા ત્રિકોણમાંથી ચોરસ બને છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેયના સો કરતાં વધુ પુરાવા જાણીતા છે. આકૃતિના ક્ષેત્રફળના અસ્તિત્વના પ્રમેયના આધારે અહીં એક પુરાવો છે:
ચાલો આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ચાર સરખા જમણા ત્રિકોણ મૂકીએ.
બાજુઓ સાથે ચતુષ્કોણ cએક ચોરસ છે, કારણ કે બે તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો છે અને સીધો કોણ છે.
સમગ્ર આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ એક તરફ, બાજુ "a + b" વાળા ચોરસના ક્ષેત્રફળ માટે અને બીજી તરફ, ચાર ત્રિકોણ અને આંતરિક ચોરસના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલું છે. .
જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
ત્રિકોણની સમાનતા દ્વારા 
સમાન ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને. દો ABC- એક કાટકોણ ત્રિકોણ જેમાં કોણ છે સીચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે સીધા. ચાલો બિંદુ પરથી ઊંચાઈ દોરીએ સી,અને ચાલો ફોન કરીએ એચબાજુ સાથે આંતરછેદ બિંદુ એબી.ત્રિકોણ રચાય છે ACHત્રિકોણ જેવું જ ABC,કારણ કે તે બંને લંબચોરસ છે (ઊંચાઈની વ્યાખ્યા પ્રમાણે) અને તેમની પાસે સમાન કોણ છે એ,દેખીતી રીતે આ ત્રિકોણમાં ત્રીજો કોણ પણ સમાન હશે. શાંતિ, ત્રિકોણ જેવું જ સીબીએચત્રિકોણ જેવું પણ ABC.ત્રિકોણની સમાનતા સાથે: જો
આ તરીકે લખી શકાય છે
જો આપણે આ બે સમાનતા ઉમેરીએ, તો આપણને મળે છે
HB + c વખત AH = c વખત (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પાયથાગોરિયન પ્રમેય:
યુક્લિડનો પુરાવો 
યુક્લિડિયન તત્વોમાં યુક્લિડનો પુરાવો, પાયથાગોરિયન પ્રમેય સમાંતરગ્રામની પદ્ધતિ દ્વારા સાબિત થાય છે. દો A, B, Cકાટકોણ સાથે, કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ એ.ચાલો બિંદુ પરથી એક લંબ છોડીએ એકર્ણ પર બનેલા ચોરસમાં કર્ણાની વિરુદ્ધ બાજુ પર. રેખા ચોરસને બે લંબચોરસમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાંથી દરેકનો વિસ્તાર બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસ જેટલો જ છે. પુરાવામાં મુખ્ય વિચાર એ છે કે ઉપલા ચોરસ સમાન વિસ્તારના સમાંતર ચતુષ્કોણમાં ફેરવાય છે, અને પછી પાછા ફરે છે અને નીચલા ચોરસમાં લંબચોરસમાં ફેરવાય છે અને ફરીથી તે જ વિસ્તાર સાથે.
ચાલો સેગમેન્ટ્સ દોરીએ સીએફઅને એ.ડી.આપણને ત્રિકોણ મળે છે બીસીએફઅને B.D.A.
ખૂણો CABઅને બેગ- સીધા; અનુક્રમે પોઈન્ટ સી, એઅને જી- સમરેખા. પણ બી, એઅને એચ.
ખૂણો સીબીડીઅને FBA- બંને સીધી રેખાઓ છે, પછી કોણ એબીડીકોણ સમાન FBC,કારણ કે બંને કાટકોણ અને ખૂણોનો સરવાળો છે ABC.
ત્રિકોણ એબીડીઅને FBCબે બાજુઓ પર સ્તર અને તેમની વચ્ચેનો કોણ.
પોઈન્ટ થી એ, કેઅને એલ- સમરેખા, લંબચોરસ BDLK નો વિસ્તાર ત્રિકોણના બે ક્ષેત્રો જેટલો છે ABD (BDLK = બીએજીએફ = AB 2)
એ જ રીતે, આપણે મેળવીએ છીએ CKLE = ACIH = એસી 2
એક તરફ વિસ્તાર CBDEલંબચોરસના ક્ષેત્રોના સરવાળાની બરાબર BDLKઅને CKLE,અને બીજી બાજુ ચોરસનો વિસ્તાર પૂર્વે 2,અથવા એબી 2 + એસી 2 = પૂર્વે 2.
તફાવતોનો ઉપયોગ કરીને 
વિભેદકનો ઉપયોગ. પાયથાગોરિયન પ્રમેય જમણી બાજુની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે બાજુમાં વધારો કર્ણના કદને કેવી રીતે અસર કરે છે તેનો અભ્યાસ કરીને અને થોડી ગણતરી લાગુ કરીને મેળવી શકાય છે.
બાજુમાં વધારો થવાના પરિણામે aઅનંત વધારા માટે સમાન ત્રિકોણ
એકીકરણ અમે મેળવીએ છીએ
જો a= 0 પછી c = bતેથી "સતત" છે b 2.પછી
જેમ જોઈ શકાય છે, ચોરસ એ ઇન્ક્રીમેન્ટ અને બાજુઓ વચ્ચેના પ્રમાણને કારણે છે, જ્યારે સરવાળો એ બાજુઓના ઇન્ક્રીમેન્ટના સ્વતંત્ર યોગદાનનું પરિણામ છે, જે ભૌમિતિક પુરાવાઓથી સ્પષ્ટ નથી. આ સમીકરણોમાં daઅને ડીસી- બાજુઓની અનુરૂપ રીતે અનંત વધારો aઅને cપરંતુ આપણે તેના બદલે શું વાપરીએ છીએ? aઅને? c,પછી ગુણોત્તરની મર્યાદા જો તેઓ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે da / ડીસી,વ્યુત્પન્ન, અને સમાન પણ છે c / aત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈનો ગુણોત્તર, પરિણામે આપણે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ.
વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમના કિસ્સામાં, સમાનતા ધરાવે છે, જેને પાયથાગોરિયન પ્રમેય પણ કહેવામાં આવે છે:
જો – આ સંકલન અક્ષો પર વેક્ટરના અંદાજો છે, તો આ સૂત્ર યુક્લિડિયન અંતર સાથે એકરુપ છે અને તેનો અર્થ એ છે કે વેક્ટરની લંબાઈ તેના ઘટકોના ચોરસના સરવાળાના વર્ગમૂળ જેટલી છે.
વેક્ટર્સની અનંત સિસ્ટમના કિસ્સામાં આ સમાનતાના એનાલોગને પારસેવલની સમાનતા કહેવામાં આવે છે.
સર્જનાત્મકતાની સંભવિતતા સામાન્ય રીતે માનવતાને આભારી છે, કુદરતી વિજ્ઞાનને વિશ્લેષણ, વ્યવહારુ અભિગમ અને સૂત્રો અને સંખ્યાઓની શુષ્ક ભાષાને છોડીને. ગણિતને માનવતા વિષય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાતું નથી. પરંતુ સર્જનાત્મકતા વિના તમે "તમામ વિજ્ઞાનની રાણી" માં વધુ આગળ વધશો નહીં - લોકો આને લાંબા સમયથી જાણે છે. પાયથાગોરસના સમયથી, ઉદાહરણ તરીકે.
શાળાના પાઠ્યપુસ્તકો, કમનસીબે, સામાન્ય રીતે સમજાવતા નથી કે ગણિતમાં માત્ર પ્રમેય, સ્વયંસિદ્ધ અને સૂત્રોને ક્રેમ કરવાનું જ મહત્વનું નથી. તેના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોને સમજવું અને અનુભવવું મહત્વપૂર્ણ છે. અને તે જ સમયે, તમારા મનને ક્લિચ અને પ્રાથમિક સત્યોથી મુક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરો - ફક્ત આવી પરિસ્થિતિઓમાં જ બધી મહાન શોધો જન્મે છે.
આવી શોધોમાં આજે આપણે જેને પાયથાગોરિયન પ્રમેય તરીકે જાણીએ છીએ તેનો સમાવેશ થાય છે. તેની મદદથી, અમે બતાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું કે ગણિત માત્ર કરી શકતું નથી, પણ રોમાંચક હોવું જોઈએ. અને તે કે આ સાહસ માત્ર જાડા ચશ્માવાળા અભ્યાસુઓ માટે જ નહીં, પરંતુ મનમાં મજબૂત અને ભાવનાથી મજબૂત એવા દરેક માટે યોગ્ય છે.
મુદ્દાના ઇતિહાસમાંથી
સખત રીતે કહીએ તો, પ્રમેયને "પાયથાગોરિયન પ્રમેય" કહેવામાં આવે છે, તેમ છતાં પાયથાગોરસ પોતે તેને શોધી શક્યા નથી. જમણો ત્રિકોણ અને તેના વિશેષ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ તેના ઘણા સમય પહેલા કરવામાં આવ્યો હતો. આ મુદ્દા પર બે ધ્રુવીય દૃષ્ટિકોણ છે. એક સંસ્કરણ મુજબ, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો સંપૂર્ણ પુરાવો મેળવનાર પ્રથમ હતો. અન્ય મુજબ, સાબિતી પાયથાગોરસના લેખકત્વ સાથે સંબંધિત નથી.
આજે તમે ચકાસી શકતા નથી કે કોણ સાચું છે અને કોણ ખોટું. જે જાણીતું છે તે એ છે કે પાયથાગોરસનો પુરાવો, જો તે ક્યારેય અસ્તિત્વમાં હતો, તો તે બચ્યો નથી. જો કે, એવા સૂચનો છે કે યુક્લિડના તત્ત્વોમાંથી પ્રસિદ્ધ પુરાવા પાયથાગોરસના હોઈ શકે છે, અને યુક્લિડે માત્ર તેને રેકોર્ડ કર્યું છે.
આજે એ પણ જાણીતું છે કે રાજા હમ્મુરાબીના શાસનકાળથી બેબીલોનીયન માટીની ગોળીઓ પર, પ્રાચીન ભારતીય ગ્રંથ "સુલ્વા સૂત્ર" અને પ્રાચીન ચાઇનીઝ કૃતિ "ફારુન એમેમહત I ના સમયથી ઇજિપ્તના સ્ત્રોતોમાં કાટકોણ વિશેની સમસ્યાઓ જોવા મળે છે. ઝોઉ-બી સુઆન જિન”.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, પાયથાગોરિયન પ્રમેય પ્રાચીન સમયથી ગણિતશાસ્ત્રીઓના મન પર કબજો કરે છે. આજે અસ્તિત્વમાં છે તે પુરાવાના લગભગ 367 જુદા જુદા ટુકડાઓ દ્વારા આની પુષ્ટિ થાય છે. આમાં, અન્ય કોઈ પ્રમેય તેની સાથે સ્પર્ધા કરી શકે નહીં. પુરાવાઓના પ્રખ્યાત લેખકોમાં આપણે લિયોનાર્ડો દા વિન્સી અને વીસમા યુએસ પ્રમુખ જેમ્સ ગારફિલ્ડને યાદ કરી શકીએ છીએ. આ બધું ગણિત માટે આ પ્રમેયના અત્યંત મહત્વની વાત કરે છે: ભૂમિતિના મોટાભાગના પ્રમેય તેમાંથી ઉતરી આવ્યા છે અથવા કોઈક રીતે તેની સાથે જોડાયેલા છે.
પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવા
શાળાના પાઠ્યપુસ્તકો મોટે ભાગે બીજગણિતીય પુરાવાઓ આપે છે. પરંતુ પ્રમેયનો સાર ભૂમિતિમાં છે, તેથી ચાલો પહેલા પ્રખ્યાત પ્રમેયના તે પુરાવાઓને ધ્યાનમાં લઈએ જે આ વિજ્ઞાન પર આધારિત છે.
પુરાવા 1
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેયના સરળ પુરાવા માટે, તમારે આદર્શ પરિસ્થિતિઓ સેટ કરવાની જરૂર છે: ત્રિકોણને માત્ર કાટકોણ જ નહીં, પણ સમદ્વિબાજુ પણ થવા દો. એવું માનવા માટેનું કારણ છે કે પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓ શરૂઆતમાં આ પ્રકારનો ત્રિકોણ ગણતા હતા.
નિવેદન "કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પર બનેલો ચોરસ તેના પગ પર બનેલા ચોરસના સરવાળા જેટલો છે"નીચેના ડ્રોઇંગ દ્વારા ચિત્રિત કરી શકાય છે:
સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ABC જુઓ: કર્ણો AC પર, તમે મૂળ ABC સમાન ચાર ત્રિકોણ ધરાવતો ચોરસ બનાવી શકો છો. અને AB અને BC બાજુઓ પર એક ચોરસ બાંધવામાં આવ્યો છે, જેમાંના દરેકમાં બે સમાન ત્રિકોણ છે.
માર્ગ દ્વારા, આ ચિત્ર પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સમર્પિત અસંખ્ય ટુચકાઓ અને કાર્ટૂનોનો આધાર બનાવે છે. સૌથી પ્રખ્યાત કદાચ છે "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી દિશામાં સમાન છે":
પુરાવા 2
આ પદ્ધતિ બીજગણિત અને ભૂમિતિને જોડે છે અને તેને ગણિતશાસ્ત્રી ભાસ્કરીના પ્રાચીન ભારતીય પુરાવાનો એક પ્રકાર ગણી શકાય.
બાજુઓ સાથે જમણો ત્રિકોણ બનાવો a, b અને c(ફિગ. 1). પછી બે પગની લંબાઈના સરવાળા જેટલી બાજુઓ સાથે બે ચોરસ બનાવો - (a+b). દરેક ચોરસમાં, આકૃતિ 2 અને 3 ની જેમ બાંધકામ કરો.
પ્રથમ ચોરસમાં, આકૃતિ 1 ના સમાન ચાર ત્રિકોણ બનાવો. પરિણામ બે ચોરસ છે: એક બાજુ a સાથે, બીજો બાજુ સાથે b.
બીજા ચોરસમાં, ચાર સરખા ત્રિકોણ બાંધવામાં આવે છે, જેની બાજુ કર્ણોની બરાબર હોય છે c.
ફિગ. 2 માં બાંધેલા ચોરસના વિસ્તારોનો સરવાળો એ ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે જે આપણે ફિગ. 3 માં બાજુ c સાથે બાંધ્યો છે. ફિગમાં ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીને આ સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. સૂત્ર મુજબ 2. અને આકૃતિ 3 માં અંકિત ચોરસનું ક્ષેત્રફળ. એક બાજુવાળા મોટા ચોરસના ક્ષેત્રમાંથી ચોરસમાં અંકિત ચાર સમાન જમણા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોને બાદ કરીને (a+b).
આ બધું લખીને, અમારી પાસે છે: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. કૌંસ ખોલો, તમામ જરૂરી બીજગણિતીય ગણતરીઓ કરો અને તે મેળવો a 2 +b 2 = a 2 +b 2. આ કિસ્સામાં, ફિગ. 3 માં અંકિત વિસ્તાર. પરંપરાગત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પણ ચોરસની ગણતરી કરી શકાય છે S=c 2. તે. a 2 + b 2 =c 2- તમે પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કર્યો છે.
પુરાવા 3
પ્રાચીન ભારતીય પુરાવાનું વર્ણન 12મી સદીમાં “જ્ઞાનનો તાજ” (“સિદ્ધાંત શિરોમણી”) ગ્રંથમાં કરવામાં આવ્યું હતું અને મુખ્ય દલીલ તરીકે લેખક વિદ્યાર્થીઓ અને અનુયાયીઓની ગાણિતિક પ્રતિભા અને અવલોકન કૌશલ્યોને સંબોધિત અપીલનો ઉપયોગ કરે છે: “ જુઓ!"
પરંતુ અમે આ પુરાવાનું વધુ વિગતમાં વિશ્લેષણ કરીશું:
ચોરસની અંદર, ડ્રોઇંગમાં દર્શાવ્યા મુજબ ચાર જમણા ત્રિકોણ બનાવો. ચાલો આપણે મોટા ચોરસની બાજુ સૂચવીએ, જેને કર્ણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, સાથે. ચાલો ત્રિકોણના પગ કહીએ એઅને b. ડ્રોઇંગ મુજબ, આંતરિક ચોરસની બાજુ છે (a-b).
ચોરસના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો S=c 2બાહ્ય ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે. અને તે જ સમયે આંતરિક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ અને ચારેય જમણા ત્રિકોણના વિસ્તારો ઉમેરીને સમાન મૂલ્યની ગણતરી કરો: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
તમે ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે બંને વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરી શકો છો તેની ખાતરી કરવા માટે કે તેઓ સમાન પરિણામ આપે છે. અને આ તમને તે લખવાનો અધિકાર આપે છે c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ઉકેલના પરિણામે, તમને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું સૂત્ર પ્રાપ્ત થશે c 2 =a 2 +b 2. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પુરાવો 4
આ વિચિત્ર પ્રાચીન ચાઇનીઝ પુરાવાને "બ્રાઇડ્સ ચેર" કહેવામાં આવતું હતું - ખુરશી જેવી આકૃતિને કારણે જે તમામ બાંધકામોમાંથી પરિણમે છે:
તે ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરે છે જે આપણે પહેલાથી જ બીજા પુરાવામાં ફિગ 3 માં જોયેલું છે. અને બાજુ c સાથેનો અંદરનો ચોરસ ઉપર આપેલા પ્રાચીન ભારતીય પુરાવાની જેમ જ બાંધવામાં આવ્યો છે.
જો તમે ફિગ. 1 માં ડ્રોઇંગમાંથી બે લીલા લંબચોરસ ત્રિકોણને માનસિક રીતે કાપી નાખો, તો તેમને બાજુ c સાથે ચોરસની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર ખસેડો અને લીલાક ત્રિકોણના કર્ણ સાથે કર્ણને જોડો, તો તમને "કન્યાની ખુરશી" નામની આકૃતિ મળશે. (ફિગ. 2). સ્પષ્ટતા માટે, તમે કાગળના ચોરસ અને ત્રિકોણ સાથે તે જ કરી શકો છો. તમે ખાતરી કરશો કે "કન્યાની ખુરશી" બે ચોરસથી બનેલી છે: બાજુવાળી નાની bઅને બાજુ સાથે મોટું a.
આ બાંધકામોએ પ્રાચીન ચીની ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને અમને, તેમને અનુસરીને, આ નિષ્કર્ષ પર આવવાની મંજૂરી આપી c 2 =a 2 +b 2.
પુરાવા 5
ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉકેલ શોધવાની આ બીજી રીત છે. તેને ગારફિલ્ડ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો ABC. આપણે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે BC 2 = AC 2 + AB 2.
આ કરવા માટે, પગ ચાલુ રાખો એસીઅને સેગમેન્ટ બનાવો સીડી, જે પગની બરાબર છે એબી. કાટખૂણે નીચું ઈ.સરેખાખંડ ઇડી. સેગમેન્ટ્સ ઇડીઅને એસીસમાન છે. બિંદુઓને જોડો ઇઅને IN, અને ઇઅને સાથેઅને નીચેના ચિત્ર જેવું ચિત્ર મેળવો:
ટાવરને સાબિત કરવા માટે, અમે ફરીથી જે પદ્ધતિનો પ્રયાસ કર્યો છે તેનો આશરો લઈએ છીએ: અમે પરિણામી આકૃતિનો વિસ્તાર બે રીતે શોધીએ છીએ અને એકબીજા સાથે સમીકરણો સમાન કરીએ છીએ.
બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો પથારીતે બનાવેલ ત્રણ ત્રિકોણના વિસ્તારોને ઉમેરીને કરી શકાય છે. અને તેમાંથી એક, ERU, માત્ર લંબચોરસ નથી, પણ સમદ્વિબાજુ પણ છે. ચાલો તે પણ ભૂલશો નહીં AB=CD, AC=EDઅને BC=SE- આ અમને રેકોર્ડિંગને સરળ બનાવવા અને તેને ઓવરલોડ કરવાની મંજૂરી આપશે નહીં. તેથી, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
તે જ સમયે, તે સ્પષ્ટ છે કે પથારી- આ ટ્રેપેઝોઇડ છે. તેથી, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના ક્ષેત્રની ગણતરી કરીએ છીએ: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. અમારી ગણતરીઓ માટે, સેગમેન્ટનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું વધુ અનુકૂળ અને સ્પષ્ટ છે ઈ.સવિભાગોના સરવાળા તરીકે એસીઅને સીડી.
ચાલો આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની બંને રીતો લખીએ, તેમની વચ્ચે સમાન ચિહ્ન મૂકીએ: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). નોટેશનની જમણી બાજુને સરળ બનાવવા માટે અમે અમને પહેલેથી જ જાણીતા અને ઉપર વર્ણવેલ વિભાગોની સમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. હવે ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને સમાનતાને રૂપાંતરિત કરીએ: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. બધા પરિવર્તનો પૂર્ણ કર્યા પછી, અમને જે જોઈએ છે તે બરાબર મળે છે: BC 2 = AC 2 + AB 2. અમે પ્રમેય સાબિત કર્યો છે.
અલબત્ત, પુરાવાઓની આ યાદી પૂર્ણથી ઘણી દૂર છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેયને વેક્ટર, જટિલ સંખ્યાઓ, વિભેદક સમીકરણો, સ્ટીરિયોમેટ્રી વગેરેનો ઉપયોગ કરીને પણ સાબિત કરી શકાય છે. અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ પણ: જો, ઉદાહરણ તરીકે, ડ્રોઇંગમાં બતાવેલ સમાન ચોરસ અને ત્રિકોણાકાર વોલ્યુમમાં પ્રવાહી રેડવામાં આવે છે. પ્રવાહી રેડીને, તમે પરિણામ સ્વરૂપે વિસ્તારો અને પ્રમેયની સમાનતા સાબિત કરી શકો છો.
પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી વિશે થોડાક શબ્દો
શાળાના અભ્યાસક્રમમાં આ મુદ્દો બહુ ઓછો છે કે બિલકુલ ભણ્યો નથી. દરમિયાન, તે ખૂબ જ રસપ્રદ છે અને ભૂમિતિમાં ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે. પાયથાગોરિયન ટ્રિપલનો ઉપયોગ ઘણી ગાણિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે. તેમને સમજવું તમને આગળના શિક્ષણમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે.
તો પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી શું છે? આ ત્રણના જૂથોમાં એકત્રિત કુદરતી સંખ્યાઓનું નામ છે, જેમાંથી બેના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજા નંબરના વર્ગના બરાબર છે.
પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ હોઈ શકે છે:
- આદિમ (તમામ ત્રણ નંબરો પ્રમાણમાં પ્રાઇમ છે);
- આદિમ નથી (જો ટ્રિપલની દરેક સંખ્યાને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો તમને એક નવો ટ્રિપલ મળશે, જે આદિમ નથી).
આપણા યુગ પહેલા પણ, પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓની સંખ્યા માટે ઘેલછા દ્વારા આકર્ષાયા હતા: સમસ્યાઓમાં તેઓ 3, 4 અને 5 એકમોની બાજુઓ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ માનતા હતા. માર્ગ દ્વારા, કોઈપણ ત્રિકોણ જેની બાજુઓ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલની સંખ્યાઓ જેટલી હોય છે તે મૂળભૂત રીતે લંબચોરસ છે.
પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓના ઉદાહરણો: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), વગેરે.
પ્રમેયનો વ્યવહારિક ઉપયોગ
પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ આર્કિટેક્ચર અને બાંધકામ, ખગોળશાસ્ત્ર અને સાહિત્યમાં પણ થાય છે.
પ્રથમ, બાંધકામ વિશે: પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો વ્યાપકપણે જટિલતાના વિવિધ સ્તરોની સમસ્યાઓમાં ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, રોમનસ્ક વિન્ડો જુઓ:
ચાલો વિન્ડોની પહોળાઈને આ રીતે દર્શાવીએ b, પછી મુખ્ય અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા તરીકે સૂચિત કરી શકાય છે આરઅને દ્વારા વ્યક્ત કરો b: R=b/2. નાના અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા દ્વારા પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે b: r=b/4. આ સમસ્યામાં આપણને વિન્ડોના આંતરિક વર્તુળની ત્રિજ્યામાં રસ છે (ચાલો તેને કહીએ પી).
પાયથાગોરિયન પ્રમેય માત્ર ગણતરી માટે ઉપયોગી છે આર. આ કરવા માટે, અમે જમણા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે આકૃતિમાં ડોટેડ લાઇન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ત્રિકોણના કર્ણમાં બે ત્રિજ્યાનો સમાવેશ થાય છે: b/4+p. એક પગ ત્રિજ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે b/4, અન્ય b/2-p. પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે લખીએ છીએ: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. આગળ, અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. ચાલો આ અભિવ્યક્તિને માં પરિવર્તિત કરીએ bp/2=b 2 /4-bp. અને પછી આપણે બધી શરતોને વડે વિભાજીત કરીએ છીએ b, અમે મેળવવા માટે સમાન રજૂ કરીએ છીએ 3/2*p=b/4. અને અંતે આપણે તે શોધીએ છીએ p=b/6- જેની અમને જરૂર હતી.
પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તમે ગેબલ છત માટે રાફ્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરી શકો છો. ચોક્કસ વસ્તીવાળા વિસ્તારમાં સિગ્નલ પહોંચવા માટે મોબાઇલ કમ્યુનિકેશન ટાવરની કેટલી ઉંચી જરૂર છે તે નક્કી કરો. અને ટાઉન સ્ક્વેરમાં ટકાઉ ક્રિસમસ ટ્રી પણ સ્થાપિત કરો. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ પ્રમેય ફક્ત પાઠ્યપુસ્તકોના પૃષ્ઠો પર જ જીવે છે, પરંતુ વાસ્તવિક જીવનમાં ઘણીવાર ઉપયોગી છે.
સાહિત્યમાં, પાયથાગોરિયન પ્રમેય પ્રાચીનકાળથી લેખકોને પ્રેરણા આપે છે અને આપણા સમયમાં પણ તેમ કરવાનું ચાલુ રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઓગણીસમી સદીના જર્મન લેખક એડેલબર્ટ વોન ચામિસોને સોનેટ લખવાની પ્રેરણા મળી હતી:
સત્યનો પ્રકાશ જલ્દી ઓગળશે નહીં,
પરંતુ, ચમક્યા પછી, તે વિખેરાઈ જવાની શક્યતા નથી
અને હજારો વર્ષો પહેલાની જેમ,
તે શંકા કે વિવાદનું કારણ બનશે નહીં.
જ્યારે તે તમારી ત્રાટકશક્તિને સ્પર્શે છે ત્યારે સૌથી બુદ્ધિમાન
સત્યનો પ્રકાશ, દેવતાઓનો આભાર;
અને સો બળદ, કતલ, જૂઠું -
નસીબદાર પાયથાગોરસ તરફથી વળતરની ભેટ.
ત્યારથી આખલાઓ ભયાવહ રીતે ગર્જના કરી રહ્યા છે:
આખલા આદિજાતિને હંમેશા માટે ચેતવી
ઘટનાનો અહીં ઉલ્લેખ કર્યો છે.
તે તેમને લાગે છે: સમય આવવાનો છે,
અને તેઓને ફરીથી બલિદાન આપવામાં આવશે
કેટલાક મહાન પ્રમેય.
(વિક્ટર ટોપોરોવ દ્વારા અનુવાદ)
અને વીસમી સદીમાં, સોવિયેત લેખક એવજેની વેલ્ટિસ્ટોવે, તેમના પુસ્તક “ધી એડવેન્ચર્સ ઑફ ઇલેક્ટ્રોનિક્સ” માં પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવા માટે એક સંપૂર્ણ પ્રકરણ સમર્પિત કર્યું. અને દ્વિ-પરિમાણીય વિશ્વ વિશેની વાર્તાનો બીજો અડધો અધ્યાય જે અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે જો પાયથાગોરિયન પ્રમેય એક મૂળભૂત કાયદો અને એક જ વિશ્વ માટે એક ધર્મ પણ બની જાય. ત્યાં રહેવું ખૂબ સરળ હશે, પણ વધુ કંટાળાજનક પણ હશે: ઉદાહરણ તરીકે, ત્યાં કોઈ પણ "ગોળાકાર" અને "રુંવાટીવાળું" શબ્દોનો અર્થ સમજી શકતો નથી.
અને "ઈલેક્ટ્રોનિક્સના એડવેન્ચર્સ" પુસ્તકમાં, લેખક, ગણિતના શિક્ષક તરતારના મુખ દ્વારા, કહે છે: "ગણિતમાં મુખ્ય વસ્તુ એ વિચારની ગતિ, નવા વિચારો છે." તે ચોક્કસપણે વિચારની આ સર્જનાત્મક ઉડાન છે જે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને જન્મ આપે છે - તે કંઈપણ માટે નથી કે તેની પાસે ઘણા વૈવિધ્યસભર પુરાવા છે. તે તમને પરિચિતની સીમાઓથી આગળ વધવામાં અને પરિચિત વસ્તુઓને નવી રીતે જોવામાં મદદ કરે છે.
નિષ્કર્ષ
આ લેખ એટલા માટે બનાવવામાં આવ્યો હતો કે તમે ગણિતમાં શાળાના અભ્યાસક્રમની બહાર જોઈ શકો અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયના માત્ર તે પુરાવાઓ જ નહીં શીખી શકો જે પાઠ્યપુસ્તકો “ભૂમિતિ 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) અને “ભૂમિતિ 7” માં આપવામાં આવ્યા છે. 11” (એ.વી. પોગોરેલોવ), પણ પ્રખ્યાત પ્રમેય સાબિત કરવાની અન્ય રસપ્રદ રીતો. અને રોજિંદા જીવનમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેય કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય છે તેના ઉદાહરણો પણ જુઓ.
સૌપ્રથમ, આ માહિતી તમને ગણિતના પાઠોમાં ઉચ્ચ સ્કોર માટે લાયક બનવાની મંજૂરી આપશે - વધારાના સ્ત્રોતોમાંથી વિષય પરની માહિતી હંમેશા ખૂબ પ્રશંસા કરવામાં આવે છે.
બીજું, અમે તમને ગણિત કેટલું રસપ્રદ છે તે અનુભવવામાં મદદ કરવા માગીએ છીએ. ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે પુષ્ટિ કરો કે સર્જનાત્મકતા માટે હંમેશા જગ્યા છે. અમે આશા રાખીએ છીએ કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને આ લેખ તમને ગણિત અને અન્ય વિજ્ઞાનમાં સ્વતંત્ર રીતે અન્વેષણ કરવા અને ઉત્તેજક શોધ કરવા માટે પ્રેરિત કરશે.
જો તમને લેખમાં પ્રસ્તુત પુરાવા રસપ્રદ લાગ્યા હોય તો અમને ટિપ્પણીઓમાં જણાવો. શું તમને આ માહિતી તમારા અભ્યાસમાં ઉપયોગી લાગી? પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને આ લેખ વિશે તમે શું વિચારો છો તે અમને લખો - અમને તમારી સાથે આ બધી ચર્ચા કરવામાં આનંદ થશે.
blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
એક બાબતની તમે સો ટકા ખાતરી કરી શકો છો કે જ્યારે પૂછવામાં આવ્યું કે કર્ણોનો વર્ગ શું છે, ત્યારે કોઈપણ પુખ્ત વ્યક્તિ હિંમતભેર જવાબ આપશે: "પગના ચોરસનો સરવાળો." આ પ્રમેય દરેક શિક્ષિત વ્યક્તિના મનમાં નિશ્ચિતપણે બંધાયેલો છે, પરંતુ તમારે ફક્ત તેને સાબિત કરવા માટે કોઈને પૂછવાની જરૂર છે, અને મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે. તેથી, ચાલો યાદ કરીએ અને પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો ધ્યાનમાં લઈએ.
સંક્ષિપ્ત જીવનચરિત્ર
પાયથાગોરિયન પ્રમેય લગભગ દરેકને પરિચિત છે, પરંતુ કેટલાક કારણોસર તે વ્યક્તિનું જીવનચરિત્ર જેણે તેને વિશ્વમાં લાવ્યું તે એટલું લોકપ્રિય નથી. આ સુધારી શકાય છે. તેથી, પાયથાગોરસના પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો શોધતા પહેલા, તમારે તેમના વ્યક્તિત્વને સંક્ષિપ્તમાં જાણવાની જરૂર છે.
પાયથાગોરસ - ફિલસૂફ, ગણિતશાસ્ત્રી, વિચારક મૂળ આજના આ મહાન માણસની યાદમાં વિકસિત થયેલી દંતકથાઓથી તેમના જીવનચરિત્રને અલગ પાડવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. પરંતુ તેના અનુયાયીઓનાં કાર્યો પરથી નીચે મુજબ, સમોસના પાયથાગોરસનો જન્મ સમોસ ટાપુ પર થયો હતો. તેમના પિતા એક સામાન્ય પથ્થર કાપનાર હતા, પરંતુ તેમની માતા એક ઉમદા પરિવારમાંથી આવી હતી.
દંતકથા દ્વારા અભિપ્રાય આપતા, પાયથાગોરસના જન્મની આગાહી પાયથિયા નામની સ્ત્રી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેના માનમાં છોકરાનું નામ રાખવામાં આવ્યું હતું. તેણીની આગાહી મુજબ, જન્મેલા છોકરાએ માનવતા માટે ઘણો લાભ અને સારું લાવવું હતું. જે તેણે બરાબર કર્યું છે.
પ્રમેયનો જન્મ
તેમની યુવાનીમાં, પાયથાગોરસ ત્યાંના પ્રખ્યાત ઇજિપ્તીયન ઋષિઓને મળવા ઇજિપ્ત ગયા. તેમની સાથે મુલાકાત કર્યા પછી, તેમને અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવી, જ્યાં તેમણે ઇજિપ્તની ફિલસૂફી, ગણિત અને દવાની બધી મહાન સિદ્ધિઓ શીખી.
તે કદાચ ઇજિપ્તમાં હતું કે પાયથાગોરસ પિરામિડની ભવ્યતા અને સુંદરતાથી પ્રેરિત થયો હતો અને તેણે તેની મહાન સિદ્ધાંતની રચના કરી હતી. આનાથી વાચકોને આંચકો લાગશે, પરંતુ આધુનિક ઈતિહાસકારો માને છે કે પાયથાગોરસે તેમનો સિદ્ધાંત સાબિત કર્યો નથી. પરંતુ તેણે માત્ર તેનું જ્ઞાન તેના અનુયાયીઓ સુધી પહોંચાડ્યું, જેમણે પાછળથી તમામ જરૂરી ગાણિતિક ગણતરીઓ પૂર્ણ કરી.
ભલે તે બની શકે, આજે આ પ્રમેયને સાબિત કરવાની એક પદ્ધતિ જાણીતી નથી, પરંતુ એક સાથે અનેક. આજે આપણે ફક્ત અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે પ્રાચીન ગ્રીકોએ તેમની ગણતરીઓ કેવી રીતે કરી હતી, તેથી અહીં આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો જોઈશું.
પાયથાગોરિયન પ્રમેય
તમે કોઈપણ ગણતરીઓ શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે એ જાણવાની જરૂર છે કે તમે કયો સિદ્ધાંત સાબિત કરવા માંગો છો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય આના જેવો છે: "એક ત્રિકોણમાં જેમાં એક ખૂણો 90° હોય છે, પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના વર્ગ જેટલો હોય છે."
પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની કુલ 15 અલગ અલગ રીતો છે. આ એકદમ મોટી સંખ્યા છે, તેથી અમે તેમાંના સૌથી લોકપ્રિય પર ધ્યાન આપીશું.
પદ્ધતિ એક
પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે આપણને શું આપવામાં આવ્યું છે. આ ડેટા પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની અન્ય પદ્ધતિઓ પર પણ લાગુ થશે, તેથી ઉપલબ્ધ તમામ સંકેતો તરત જ યાદ રાખવા યોગ્ય છે.
ધારો કે આપણને પગ a, b અને c ની સમકક્ષ કર્ણ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ આપવામાં આવ્યો છે. સાબિતીની પ્રથમ પદ્ધતિ એ હકીકત પર આધારિત છે કે તમારે જમણા ત્રિકોણમાંથી ચોરસ દોરવાની જરૂર છે.
આ કરવા માટે, તમારે લંબાઈ a ના લેગમાં લેગ b ની સમાન સેગમેન્ટ ઉમેરવાની જરૂર છે, અને ઊલટું. આ ચોરસની બે સમાન બાજુઓમાં પરિણમવું જોઈએ. જે બાકી છે તે બે સમાંતર રેખાઓ દોરવાનું છે, અને ચોરસ તૈયાર છે.
પરિણામી આકૃતિની અંદર, તમારે મૂળ ત્રિકોણના કર્ણની સમાન બાજુ સાથે બીજો ચોરસ દોરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, ас અને св શિરોબિંદુઓમાંથી તમારે с ની સમાન બે સમાંતર સેગમેન્ટ્સ દોરવાની જરૂર છે. આમ, આપણને ચોરસની ત્રણ બાજુઓ મળે છે, જેમાંથી એક મૂળ કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણાકાર છે. જે બાકી છે તે ચોથો સેગમેન્ટ દોરવાનું છે.
પરિણામી આકૃતિના આધારે, આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે બાહ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ (a + b) 2 છે. જો તમે આકૃતિની અંદર જુઓ, તો તમે જોઈ શકો છો કે અંદરના ચોરસ ઉપરાંત, ચાર કાટકોણ ત્રિકોણ છે. દરેકનું ક્ષેત્રફળ 0.5av છે.
તેથી, વિસ્તાર બરાબર છે: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2
તેથી (a+c) 2 =2ab+c 2
અને તેથી, c 2 =a 2 +b 2
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પદ્ધતિ બે: સમાન ત્રિકોણ
પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવા માટેનું આ સૂત્ર સમાન ત્રિકોણ વિશે ભૂમિતિના વિભાગના નિવેદનના આધારે લેવામાં આવ્યું હતું. તે જણાવે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ એ તેના કર્ણાનુસાર અને 90° કોણના શિરોબિંદુમાંથી નીકળતો કર્ણોનો ભાગનો સરેરાશ પ્રમાણ છે.
પ્રારંભિક ડેટા એ જ રહે છે, તેથી ચાલો પુરાવા સાથે તરત જ પ્રારંભ કરીએ. ચાલો AB ની બાજુ પર લંબરૂપ એક સેગમેન્ટ CD દોરીએ. ઉપરોક્ત વિધાનના આધારે, ત્રિકોણની બાજુઓ સમાન છે:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
પાયથાગોરિયન પ્રમેયને કેવી રીતે સાબિત કરવું તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, સાબિતી બંને અસમાનતાઓને વર્ગીકૃત કરીને પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે.
AC 2 = AB * AD અને CB 2 = AB * DV
હવે આપણે પરિણામી અસમાનતાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), જ્યાં AD + DV = AB
તે તારણ આપે છે કે:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
અને તેથી:
AC 2 + CB 2 = AB 2
પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવા અને તેને ઉકેલવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓ માટે આ સમસ્યા માટે બહુમુખી અભિગમની જરૂર છે. જો કે, આ વિકલ્પ સૌથી સરળ પૈકી એક છે.
બીજી ગણતરી પદ્ધતિ
પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓના વર્ણનનો કોઈ અર્થ હોઈ શકે નહીં જ્યાં સુધી તમે તમારી જાતે પ્રેક્ટિસ કરવાનું શરૂ ન કરો. ઘણી તકનીકોમાં માત્ર ગાણિતિક ગણતરીઓ જ નહીં, પણ મૂળ ત્રિકોણમાંથી નવા આંકડાઓનું નિર્માણ પણ સામેલ છે.
આ કિસ્સામાં, બાજુ BC થી અન્ય જમણો ત્રિકોણ VSD પૂર્ણ કરવું જરૂરી છે. આમ, હવે એક સામાન્ય પગ BC સાથે બે ત્રિકોણ છે.
એ જાણીને કે સમાન આકૃતિઓના ક્ષેત્રો તેમના સમાન રેખીય પરિમાણોના ચોરસ તરીકે ગુણોત્તર ધરાવે છે, તો પછી:
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(2 - થી 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
2 થી 2 =a 2
c 2 =a 2 +b 2
ગ્રેડ 8 માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓમાંથી, આ વિકલ્પ ભાગ્યે જ યોગ્ય છે, તમે નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.
પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરવાની સૌથી સહેલી રીત. સમીક્ષાઓ
ઇતિહાસકારોના મતે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ પ્રાચીન ગ્રીસમાં પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. તે સૌથી સરળ છે, કારણ કે તેને સંપૂર્ણપણે કોઈ ગણતરીઓની જરૂર નથી. જો તમે ચિત્રને યોગ્ય રીતે દોરો છો, તો નિવેદનનો પુરાવો કે 2 + b 2 = c 2 સ્પષ્ટપણે દેખાશે.
આ પદ્ધતિ માટેની શરતો અગાઉના એક કરતા થોડી અલગ હશે. પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC સમદ્વિબાજુ છે.
આપણે કર્ણો AC ને ચોરસની બાજુ તરીકે લઈએ છીએ અને તેની ત્રણ બાજુઓ દોરીએ છીએ. વધુમાં, પરિણામી ચોરસમાં બે ત્રાંસા રેખાઓ દોરવી જરૂરી છે. જેથી તેની અંદર તમને ચાર સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ મળે.
તમારે પગ AB અને CB માટે પણ એક ચોરસ દોરવાની જરૂર છે અને તે દરેકમાં એક ત્રાંસી સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે. અમે શિરોબિંદુ A માંથી પ્રથમ રેખા દોરીએ છીએ, C માંથી બીજી.
હવે તમારે પરિણામી ચિત્રને કાળજીપૂર્વક જોવાની જરૂર છે. કારણ કે કર્ણ AC પર મૂળ ત્રિકોણ સમાન ચાર ત્રિકોણ છે, અને બાજુઓ પર બે છે, આ આ પ્રમેયની સત્યતા દર્શાવે છે.
માર્ગ દ્વારા, પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની આ પદ્ધતિને આભારી, પ્રખ્યાત શબ્દસમૂહનો જન્મ થયો: "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી દિશામાં સમાન છે."
જે. ગારફિલ્ડ દ્વારા પુરાવો
જેમ્સ ગારફિલ્ડ યુનાઈટેડ સ્ટેટ્સ ઑફ અમેરિકાના વીસમા પ્રમુખ છે. યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સના શાસક તરીકે ઇતિહાસ પર પોતાની છાપ બનાવવા ઉપરાંત, તે એક હોશિયાર ઓટોડિડેક્ટ પણ હતો.
તેમની કારકિર્દીની શરૂઆતમાં, તેઓ એક સાર્વજનિક શાળામાં સામાન્ય શિક્ષક હતા, પરંતુ ટૂંક સમયમાં ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાંના એકના ડિરેક્ટર બન્યા. સ્વ-વિકાસની ઇચ્છાએ તેમને પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે એક નવો સિદ્ધાંત પ્રસ્તાવિત કરવાની મંજૂરી આપી. પ્રમેય અને તેના ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે.
પ્રથમ તમારે કાગળના ટુકડા પર બે જમણા ત્રિકોણ દોરવાની જરૂર છે જેથી તેમાંથી એકનો પગ બીજાનો ચાલુ રહે. આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને આખરે ટ્રેપેઝોઇડ બનાવવા માટે જોડવાની જરૂર છે.
જેમ તમે જાણો છો, ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તેની ઊંચાઈના અડધા સરવાળાના ઉત્પાદન જેટલું છે.
S=a+b/2 * (a+b)
જો આપણે પરિણામી ટ્રેપેઝોઇડને ત્રણ ત્રિકોણ ધરાવતી આકૃતિ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, તો તેનો વિસ્તાર નીચે મુજબ મળી શકે છે:
S=av/2 *2 + s 2/2
હવે આપણે બે મૂળ સમીકરણો સમાન કરવાની જરૂર છે
2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2
c 2 =a 2 +b 2
પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ વિશે પાઠ્યપુસ્તકોના એક કરતાં વધુ ગ્રંથો લખી શકાય છે. પરંતુ જ્યારે આ જ્ઞાન વ્યવહારમાં લાગુ ન કરી શકાય ત્યારે તેમાં કોઈ મુદ્દો છે?
પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો વ્યવહારુ ઉપયોગ
કમનસીબે, આધુનિક શાળા અભ્યાસક્રમ માત્ર ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં જ આ પ્રમેયના ઉપયોગ માટે પ્રદાન કરે છે. સ્નાતકો તેમના જ્ઞાન અને કૌશલ્યોને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરી શકે તે જાણ્યા વિના ટૂંક સમયમાં જ શાળા છોડી દેશે.
વાસ્તવમાં, કોઈપણ તેમના રોજિંદા જીવનમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકે છે. અને માત્ર વ્યાવસાયિક પ્રવૃત્તિઓમાં જ નહીં, પણ સામાન્ય ઘરના કામોમાં પણ. ચાલો ઘણા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ અત્યંત જરૂરી હોઈ શકે.
પ્રમેય અને ખગોળશાસ્ત્ર વચ્ચેનો સંબંધ
એવું લાગે છે કે કાગળ પરના તારાઓ અને ત્રિકોણને કેવી રીતે જોડી શકાય છે. હકીકતમાં, ખગોળશાસ્ત્ર એ એક વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્ર છે જેમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, અવકાશમાં પ્રકાશ બીમની હિલચાલને ધ્યાનમાં લો. તે જાણીતું છે કે પ્રકાશ બંને દિશામાં સમાન ગતિએ આગળ વધે છે. ચાલો તેને AB કહીએ જેની સાથે પ્રકાશ કિરણ ફરે છે l. અને બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી જવા માટે પ્રકાશ જેટલો અડધો સમય લાગે છે તેને કૉલ કરીએ t. અને બીમની ઝડપ - c. તે તારણ આપે છે કે: c*t=l
જો તમે આ જ કિરણને બીજા પ્લેનમાંથી જોશો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પેસ લાઇનરમાંથી જે ઝડપ v સાથે આગળ વધે છે, તો આ રીતે શરીરનું અવલોકન કરતી વખતે, તેમની ગતિ બદલાશે. આ કિસ્સામાં, સ્થિર તત્વો પણ વિરુદ્ધ દિશામાં v ગતિ સાથે આગળ વધવાનું શરૂ કરશે.
ચાલો કહીએ કે કોમિક લાઇનર જમણી તરફ જઈ રહ્યું છે. પછી બિંદુઓ A અને B, જેની વચ્ચે બીમ ધસી આવે છે, તે ડાબી તરફ જવાનું શરૂ કરશે. તદુપરાંત, જ્યારે બીમ બિંદુ A થી બિંદુ B તરફ જાય છે, ત્યારે બિંદુ A ને ખસેડવાનો સમય હોય છે અને તે મુજબ, પ્રકાશ પહેલાથી જ નવા બિંદુ C પર પહોંચશે. બિંદુ A જેમાંથી અડધું અંતરે ખસેડ્યું છે તે શોધવા માટે, તમારે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. બીમ (t ") ના અડધા મુસાફરી સમય દ્વારા લાઇનરની ગતિ.
અને આ સમય દરમિયાન પ્રકાશનું કિરણ કેટલું દૂર જઈ શકે છે તે શોધવા માટે, તમારે અડધા પાથને નવા અક્ષર s વડે ચિહ્નિત કરવાની અને નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવવાની જરૂર છે:
જો આપણે કલ્પના કરીએ કે પ્રકાશના બિંદુઓ C અને B, તેમજ સ્પેસ લાઇનર, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે, તો બિંદુ A થી લાઇનર સુધીનો ખંડ તેને બે કાટખૂણે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરશે. તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેયને આભારી, તમે પ્રકાશનું કિરણ મુસાફરી કરી શકે તે અંતર શોધી શકો છો.
આ ઉદાહરણ, અલબત્ત, સૌથી સફળ નથી, કારણ કે વ્યવહારમાં તેનો પ્રયાસ કરવા માટે ફક્ત થોડા જ નસીબદાર હોઈ શકે છે. તેથી, ચાલો આ પ્રમેયના વધુ ભૌતિક કાર્યક્રમોને ધ્યાનમાં લઈએ.
મોબાઇલ સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન રેન્જ
સ્માર્ટફોનના અસ્તિત્વ વિના આધુનિક જીવનની કલ્પના કરી શકાતી નથી. પરંતુ જો તેઓ મોબાઇલ સંચાર દ્વારા સબ્સ્ક્રાઇબર્સને કનેક્ટ કરી શકતા નથી તો તેઓ કેટલો ઉપયોગ કરશે?!
મોબાઇલ સંચારની ગુણવત્તા સીધી રીતે મોબાઇલ ઓપરેટરનું એન્ટેના કેટલી ઊંચાઇ પર સ્થિત છે તેના પર નિર્ભર કરે છે. મોબાઇલ ટાવરથી ફોન કેટલા દૂર સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરી શકે છે તેની ગણતરી કરવા માટે, તમે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે તમારે સ્થિર ટાવરની અંદાજિત ઊંચાઈ શોધવાની જરૂર છે જેથી તે 200 કિલોમીટરની ત્રિજ્યામાં સિગ્નલનું વિતરણ કરી શકે.
AB (ટાવરની ઊંચાઈ) = x;
BC (સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન ત્રિજ્યા) = 200 કિમી;
OS (વિશ્વની ત્રિજ્યા) = 6380 કિમી;
OB=OA+ABOB=r+x
પાયથાગોરિયન પ્રમેયને લાગુ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે ટાવરની લઘુત્તમ ઊંચાઈ 2.3 કિલોમીટર હોવી જોઈએ.
રોજિંદા જીવનમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેય
વિચિત્ર રીતે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય રોજિંદા બાબતોમાં પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે, જેમ કે કપડાની ઊંચાઈ નક્કી કરવી, ઉદાહરણ તરીકે. પ્રથમ નજરમાં, આવી જટિલ ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે તમે ફક્ત ટેપ માપનો ઉપયોગ કરીને માપ લઈ શકો છો. પરંતુ ઘણા લોકોને આશ્ચર્ય થાય છે કે એસેમ્બલી પ્રક્રિયા દરમિયાન ચોક્કસ સમસ્યાઓ શા માટે ઊભી થાય છે જો તમામ માપન ચોક્કસ કરતાં વધુ લેવામાં આવે.
હકીકત એ છે કે કપડા એક આડી સ્થિતિમાં એસેમ્બલ કરવામાં આવે છે અને તે પછી જ દિવાલ સામે ઉભા અને સ્થાપિત થાય છે. તેથી, માળખાને ઉપાડવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન, કેબિનેટની બાજુએ રૂમની ઊંચાઈ અને ત્રાંસા બંને સાથે મુક્તપણે ખસેડવું આવશ્યક છે.
ચાલો ધારીએ કે 800 મીમીની ઊંડાઈ સાથે કપડા છે. ફ્લોરથી છત સુધીનું અંતર - 2600 મીમી. અનુભવી ફર્નિચર નિર્માતા કહેશે કે કેબિનેટની ઊંચાઈ રૂમની ઊંચાઈ કરતાં 126 મીમી ઓછી હોવી જોઈએ. પરંતુ શા માટે બરાબર 126 મીમી? ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.
આદર્શ કેબિનેટ પરિમાણો સાથે, ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેયની કામગીરી તપાસીએ:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - બધું બંધબેસે છે.
ચાલો કહીએ કે કેબિનેટની ઊંચાઈ 2474 મીમી નથી, પરંતુ 2505 મીમી છે. પછી:
AC=√2505 2 +√800 2 = 2629 mm.
તેથી, આ કેબિનેટ આ રૂમમાં ઇન્સ્ટોલેશન માટે યોગ્ય નથી. કારણ કે તેને ઊભી સ્થિતિમાં ઉઠાવવાથી તેના શરીરને નુકસાન થઈ શકે છે.
કદાચ, વિવિધ વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો ધ્યાનમાં લીધા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે તે સાચું કરતાં વધુ છે. હવે તમે તમારા રોજિંદા જીવનમાં પ્રાપ્ત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને સંપૂર્ણ વિશ્વાસ રાખો કે બધી ગણતરીઓ માત્ર ઉપયોગી જ નહીં, પણ સાચી પણ હશે.
પાયથાગોરિયન પ્રમેય
એ જ રીતે, ત્રિકોણ CBH એબીસી જેવું જ છે. નોટેશનની રજૂઆત કરીને 
1. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ચાર સમાન જમણા ત્રિકોણ મૂકો. 
યુક્લિડની સાબિતીનો વિચાર નીચે મુજબ છે: ચાલો સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ કે કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસનો અડધો વિસ્તાર પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના અડધા વિસ્તારના સરવાળા જેટલો છે, અને પછી તેના વિસ્તારો મોટા અને બે નાના ચોરસ સમાન છે. ચાલો ડાબી બાજુના ચિત્રને જોઈએ. તેના પર આપણે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ પર ચોરસ બનાવ્યા અને કાટખૂણે C ના શિરોબિંદુમાંથી એક કિરણ s દોર્યું, તે કર્ણો પર બનેલા ABIK ચોરસને બે લંબચોરસમાં કાપે છે - BHJI અને HAKJ, અનુક્રમે તે તારણ આપે છે કે આ લંબચોરસના ક્ષેત્રો અનુરૂપ પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના ક્ષેત્રો બરાબર છે. ચાલો એ સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ કે ચોરસ DECA નો વિસ્તાર લંબચોરસ AHJK ના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. આ કરવા માટે, અમે સહાયક અવલોકનનો ઉપયોગ કરીશું: સમાન ઊંચાઈ અને આધાર સાથે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આપેલ લંબચોરસ આપેલ લંબચોરસના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને આધાર અને ઊંચાઈના અડધા ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાનું આ પરિણામ છે. આ અવલોકન પરથી તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણ ACK નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ AHK (આકૃતિમાં બતાવેલ નથી) ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે, જે બદલામાં લંબચોરસ AHJK ના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. ચાલો હવે સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણ ACK નું ક્ષેત્રફળ પણ ચોરસ DECA ના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. આ માટે માત્ર એક જ વસ્તુ કરવાની જરૂર છે ત્રિકોણ ACK અને BDA ની સમાનતા સાબિત કરવી (કારણ કે ત્રિકોણ BDA નો વિસ્તાર ઉપરની મિલકત અનુસાર ચોરસના અડધા વિસ્તાર જેટલો છે). સમાનતા સ્પષ્ટ છે, ત્રિકોણ બંને બાજુઓ પર સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો કોણ છે. જેમ કે - AB=AK,AD=AC - CAK અને BAD ખૂણાઓની સમાનતા ગતિની પદ્ધતિ દ્વારા સાબિત કરવી સરળ છે: આપણે CAK 90° ત્રિકોણને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવીએ છીએ, પછી તે સ્પષ્ટ છે કે બે ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રશ્ન એકરૂપ થશે (ચોરસના શિરોબિંદુ પરનો કોણ 90° છે તે હકીકતને કારણે). ચોરસ BCFG અને લંબચોરસ BHJI ના ક્ષેત્રોની સમાનતા માટેનો તર્ક સંપૂર્ણપણે સમાન છે. આમ, અમે સાબિત કર્યું કે કર્ણ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસનો વિસ્તાર પગ પર બાંધેલા ચોરસના વિસ્તારોથી બનેલો છે. 
ચાલો ચિત્રને ધ્યાનમાં લઈએ, જેમ કે સમપ્રમાણતા પરથી જોઈ શકાય છે, સેગમેન્ટ CI એ ચોરસ ABHJ ને બે સરખા ભાગોમાં કાપે છે (કારણ કે ત્રિકોણ ABC અને JHI બાંધકામમાં સમાન છે). 90-ડિગ્રી કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ રોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, અમે CAJI અને GDAB ની છાયાવાળી આકૃતિઓની સમાનતા જોઈએ છીએ. હવે તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે શેડ કરેલી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ પગ પર બનેલા ચોરસના અડધા વિસ્તાર અને મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું છે. બીજી બાજુ, તે કર્ણ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના અડધા ક્ષેત્ર, વત્તા મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. સાબિતીનું છેલ્લું પગલું વાચક પર બાકી છે.
