વ્યાખ્યા.સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જેના દ્વારા સંખ્યાઓ a અને b ને શેષ વગર વિભાજિત કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સૌથી સામાન્ય વિભાજક (GCD)આ નંબરો.

ચાલો 24 અને 35 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક શોધીએ.
24 ના વિભાજકો સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 છે અને 35 ના વિભાજક સંખ્યાઓ 1, 5, 7, 35 છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે 24 અને 35 નંબરોમાં માત્ર એક જ સામાન્ય વિભાજક છે - નંબર 1. આવી સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. પરસ્પર મુખ્ય.

વ્યાખ્યા.કુદરતી નંબરો કહેવામાં આવે છે પરસ્પર મુખ્ય, જો તેમનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક (GCD) 1 છે.

ગ્રેટેસ્ટ કોમન ડિવાઈઝર (GCD)આપેલ સંખ્યાઓના તમામ વિભાજકો લખ્યા વિના શોધી શકાય છે.

48 અને 36 નંબરોને ફેક્ટર કરીને, અમને મળે છે:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
આમાંના પ્રથમ નંબરના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અમે બીજા નંબર (એટલે ​​​​કે, બે બે) ના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરીએ છીએ.
બાકીના અવયવો 2 * 2 * 3 છે. તેમનો ગુણાંક 12 ની બરાબર છે. આ સંખ્યા 48 અને 36 સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક છે. ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક પણ જોવા મળે છે.

શોધવા માટે સૌથી સામાન્ય વિભાજક

2) આમાંની એક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરો;
3) બાકીના પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

જો બધી આપેલ સંખ્યાઓ તેમાંથી એક વડે ભાગી શકાય છે, તો આ સંખ્યા છે સૌથી સામાન્ય વિભાજકઆપેલ નંબરો.
ઉદાહરણ તરીકે, 15, 45, 75 અને 180 નંબરોનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક એ 15 નંબર છે, કારણ કે અન્ય તમામ સંખ્યાઓ તેના દ્વારા વિભાજ્ય છે: 45, 75 અને 180.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM)

વ્યાખ્યા. લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM)કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે a અને b બંનેનો ગુણાંક છે. 75 અને 60 નંબરોના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક (LCM) આ સંખ્યાઓના ગુણાંકને એક પંક્તિમાં લખ્યા વિના શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચાલો 75 અને 60 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ: 75 = 3 * 5 * 5, અને 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
ચાલો આમાંની પ્રથમ સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોને લખીએ, અને તેમાં બીજી સંખ્યાના વિસ્તરણથી ગુમ થયેલ પરિબળ 2 અને 2 ઉમેરીએ (એટલે ​​​​કે, આપણે પરિબળોને જોડીએ છીએ).
આપણને પાંચ અવયવ 2 * 2 * 3 * 5 * 5 મળે છે, જેનું ઉત્પાદન 300 છે. આ સંખ્યા 75 અને 60 સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

તેઓ ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક પણ શોધે છે.

પ્રતિ ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ શોધોઘણી કુદરતી સંખ્યાઓ, તમારે જરૂર છે:
1) તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરો;
2) સંખ્યાઓમાંથી એકના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો;
3) બાકીની સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને તેમાં ઉમેરો;
4) પરિણામી પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

નોંધ કરો કે જો આમાંની એક સંખ્યા અન્ય તમામ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યા આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 12, 15, 20 અને 60 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 60 છે કારણ કે તે બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે.

પાયથાગોરસ (છઠ્ઠી સદી બીસી) અને તેના વિદ્યાર્થીઓએ સંખ્યાઓની વિભાજ્યતાના પ્રશ્નનો અભ્યાસ કર્યો. તેઓએ તેના તમામ વિભાજકોના સરવાળા સમાન સંખ્યાને (સંખ્યા વિના) એક સંપૂર્ણ સંખ્યા ગણાવી. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) સંપૂર્ણ છે. પછીની સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ 496, 8128, 33,550,336 છે. પાયથાગોરિયનો ફક્ત પ્રથમ ત્રણ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ જાણતા હતા. ચોથું - 8128 - 1 લી સદીમાં જાણીતું બન્યું. n ઇ. પાંચમી - 33,550,336 - 15મી સદીમાં મળી આવી હતી. 1983 સુધીમાં, 27 સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પહેલેથી જ જાણીતી હતી. પરંતુ વૈજ્ઞાનિકો હજુ પણ જાણતા નથી કે વિચિત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે કે શું સૌથી મોટી સંપૂર્ણ સંખ્યા છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓની રુચિ એ હકીકતને કારણે છે કે કોઈપણ સંખ્યા કાં તો અવિભાજ્ય છે અથવા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ઇંટો જેવી છે જેમાંથી બાકીની કુદરતી સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવી છે.
તમે કદાચ નોંધ્યું છે કે કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અસમાન રીતે થાય છે - શ્રેણીના કેટલાક ભાગોમાં તેમાંથી વધુ છે, અન્યમાં - ઓછા. પરંતુ આપણે સંખ્યાની શ્રેણીમાં જેટલા આગળ વધીશું, તેટલી ઓછી સામાન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું છેલ્લી (સૌથી મોટી) અવિભાજ્ય સંખ્યા છે? પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડ (3જી સદી પૂર્વે), તેમના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં, જે બે હજાર વર્ષ સુધી ગણિતનું મુખ્ય પાઠ્યપુસ્તક હતું, તેણે સાબિત કર્યું કે અનંતપણે ઘણા બધા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, એટલે કે દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યાની પાછળ એક તેનાથી પણ મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. સંખ્યા
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, તે જ સમયના અન્ય ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી, એરાટોસ્થેનિસ, આ પદ્ધતિ સાથે આવ્યા. તેણે 1 થી અમુક સંખ્યા સુધીની બધી સંખ્યાઓ લખી, અને પછી એકને વટાવી, જે ન તો અવિભાજ્ય છે કે ન તો સંયુક્ત સંખ્યા, પછી 2 પછી આવતી બધી સંખ્યાઓ (સંખ્યાઓ કે જે 2 ના ગુણાંક છે, એટલે કે 4, 6, 8, વગેરે). 2 પછી પ્રથમ બાકી રહેલી સંખ્યા 3 હતી. પછી, બે પછી, 3 પછી આવતી બધી સંખ્યાઓ (સંખ્યાઓ કે જે 3 ના ગુણાંક હતા, એટલે કે 6, 9, 12, વગેરે) વટાવી દેવામાં આવી. અંતે માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ જ અનક્રોસ્ડ રહી.

મહાન સામાન્ય વિભાજક

વ્યાખ્યા 2

જો કુદરતી સંખ્યા a કુદરતી સંખ્યા $b$ વડે વિભાજ્ય હોય, તો $b$ ને $a$ નો વિભાજક કહેવાય છે, અને $a$ ને $b$ નો ગુણાંક કહેવાય છે.

$a$ અને $b$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ થવા દો. $c$ નંબરને $a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

$a$ અને $b$ નંબરોના સામાન્ય વિભાજકોનો સમૂહ મર્યાદિત છે, કારણ કે આમાંથી કોઈ પણ વિભાજક $a$ કરતા વધારે હોઈ શકતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે આ વિભાજકોમાં સૌથી મોટો છે, જેને $a$ અને $b$નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે અને તે નીચેના સંકેતો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

$GCD\(a;b)\ અથવા \D\(a;b)$

બે સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે તમને જરૂર છે:

1. પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

ઉદાહરણ 1

$121$ અને $132.$ નંબરોની gcd શોધો

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ નંબરો પસંદ કરો

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

$GCD=2\cdot 11=22$

ઉદાહરણ 2

$63$ અને $81$ ના મોનોમિયલ્સની gcd શોધો.

અમે પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમ મુજબ શોધીશું. આ માટે:

ચાલો સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

અમે તે સંખ્યાઓ પસંદ કરીએ છીએ જે આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ છે

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ચાલો સ્ટેપ 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધીએ. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

$GCD=3\cdot 3=9$

સંખ્યાઓના વિભાજકોના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને તમે બીજી રીતે બે સંખ્યાઓની gcd શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 3

$48$ અને $60$ નંબરોની gcd શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો નંબરના વિભાજકોનો સમૂહ શોધીએ $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

હવે ચાલો નંબરના વિભાજકોનો સમૂહ શોધીએ $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ચાલો આ સમૂહોનું આંતરછેદ શોધીએ: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - આ સમૂહ $48$ અને $60 નંબરોના સામાન્ય વિભાજકોનો સમૂહ નક્કી કરશે $. આ સમૂહમાં સૌથી મોટું તત્વ $12$ નંબર હશે. આનો અર્થ એ થાય છે કે $48$ અને $60$ નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક $12$ છે.

NPL ની વ્યાખ્યા

વ્યાખ્યા 3

કુદરતી સંખ્યાઓના સામાન્ય ગુણાંક$a$ અને $b$ એ કુદરતી સંખ્યા છે જે $a$ અને $b$ બંનેનો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓના સામાન્ય ગુણાંક એ એવી સંખ્યાઓ છે જે મૂળ સંખ્યાઓ દ્વારા કોઈ બાકી વિના વિભાજ્ય હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, $25$ અને $50$ માટે, સામાન્ય ગુણાંકો $50,100,150,200$, વગેરે સંખ્યાઓ હશે.

સૌથી નાના સામાન્ય ગુણાંકને લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ કહેવામાં આવશે અને તેને LCM$(a;b)$ અથવા K$(a;b) તરીકે સૂચવવામાં આવશે.$

બે સંખ્યાઓનો LCM શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1. અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ સંખ્યા
2. પ્રથમ નંબરનો ભાગ હોય તેવા પરિબળોને લખો અને તેમાં એવા પરિબળો ઉમેરો કે જે બીજાનો ભાગ છે અને પ્રથમનો ભાગ નથી.

ઉદાહરણ 4

$99$ અને $77$ નંબરોના LCM શોધો.

અમે પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમ મુજબ શોધીશું. આ માટે

અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ સંખ્યા

$99=3\cdot 3\cdot 11$

પ્રથમમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો

તેમાં મલ્ટિપ્લાયર્સ ઉમેરો જે બીજાનો ભાગ છે અને પ્રથમનો ભાગ નથી

પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક હશે

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

સંખ્યાઓના વિભાજકોની યાદીઓનું સંકલન કરવું એ ઘણીવાર ખૂબ જ શ્રમ-સઘન કાર્ય છે. GCD શોધવાની એક રીત છે જેને યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ કહેવાય છે.

નિવેદનો કે જેના પર યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ આધારિત છે:

જો $a$ અને $b$ કુદરતી સંખ્યાઓ છે, અને $a\vdots b$, તો $D(a;b)=b$

જો $a$ અને $b$ કુદરતી સંખ્યાઓ છે જેમ કે $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ નો ઉપયોગ કરીને, અમે વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓને ક્રમિક રીતે ઘટાડી શકીએ છીએ જ્યાં સુધી આપણે સંખ્યાઓની જોડી સુધી ન પહોંચીએ કે તેમાંથી એક બીજા દ્વારા વિભાજ્ય હોય. પછી આ સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

GCD અને LCM ના ગુણધર્મો

1. $a$ અને $b$ નો કોઈપણ સામાન્ય ગુણાંક K$(a;b)$ વડે વિભાજ્ય છે
2. જો $a\vdots b$ , તો К$(a;b)=a$

જો K$(a;b)=k$ અને $m$ એ કુદરતી સંખ્યા છે, તો K$(am;bm)=km$

જો $d$ એ $a$ અને $b$ માટે સામાન્ય વિભાજક છે, તો K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

જો $a\vdots c$ અને $b\vdots c$, તો $\frac(ab)(c)$ એ $a$ અને $b$ નો સામાન્ય ગુણાંક છે

કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે $a$ અને $b$ સમાનતા ધરાવે છે

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ અને $b$ નંબરોનો કોઈપણ સામાન્ય વિભાજક એ $D(a;b)$ નંબરનો વિભાજક છે.

ચાલો નીચેની સમસ્યાને હલ કરવાનો વિચાર કરીએ. છોકરાનું પગલું 75 સેમી છે, અને છોકરીનું પગલું 60 સેમી છે. તે સૌથી નાનું અંતર શોધવું જરૂરી છે કે જેના પર તેઓ બંને પગલાંની પૂર્ણાંક સંખ્યા કરે છે.

ઉકેલ.છોકરાઓ જે માર્ગ પરથી પસાર થશે તે આખો માર્ગ 60 અને 70 વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ, કારણ કે તેઓએ દરેકે પૂર્ણાંક સંખ્યાના પગલાં ભરવા જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જવાબ 75 અને 60 બંનેનો ગુણાંક હોવો જોઈએ.

પ્રથમ, આપણે સંખ્યા 75 ના તમામ ગુણાંક લખીશું. આપણને મળે છે:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

હવે ચાલો એવી સંખ્યાઓ લખીએ જે 60 નો ગુણાંક હશે. આપણને મળે છે:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

હવે આપણે બંને હરોળમાં રહેલી સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ.

• સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક 300, 600, વગેરે હશે.

તેમાંથી સૌથી નાનો નંબર 300 છે. આ કિસ્સામાં, તેને 75 અને 60 નંબરોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક કહેવામાં આવશે.

સમસ્યાની સ્થિતિ પર પાછા ફરવું, સૌથી નાનું અંતર કે જેના પર છોકરાઓ પૂર્ણાંક સંખ્યાના પગલાં લેશે તે 300 સે.મી. હશે. છોકરો આ માર્ગને 4 પગલામાં આવરી લેશે, અને છોકરીને 5 પગલાં લેવાની જરૂર પડશે.

ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ નિર્ધારણ

• બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ a અને b નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે a અને b બંનેનો ગુણાંક છે.

બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, આ સંખ્યાઓના તમામ ગુણાંકને એક પંક્તિમાં લખવાની જરૂર નથી.

તમે નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક કેવી રીતે શોધવો

પ્રથમ તમારે આ સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરવાની જરૂર છે.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

હવે પ્રથમ નંબર (2,2,3,5) ના વિસ્તરણમાં હોય તેવા તમામ પરિબળોને લખીએ અને તેમાં બીજા નંબર (5) ના વિસ્તરણથી ખૂટતા તમામ પરિબળો ઉમેરીએ.

પરિણામે, આપણને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી મળે છે: 2,2,3,5,5. આ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન આ સંખ્યાઓ માટે સૌથી ઓછું સામાન્ય પરિબળ હશે. 2*2*3*5*5 = 300.

લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટેની સામાન્ય યોજના

• 1. સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિભાજીત કરો.
• 2. મુખ્ય પરિબળો લખો જે તેમાંથી એકનો ભાગ છે.
• 3. આ પરિબળોમાં તે બધા ઉમેરો જે અન્યના વિસ્તરણમાં છે, પરંતુ પસંદ કરેલામાં નથી.
• 4. તમામ લેખિત પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

આ પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે. તેનો ઉપયોગ કુદરતી સંખ્યાઓની કોઈપણ સંખ્યાના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકને શોધવા માટે થઈ શકે છે.

પરંતુ ઘણી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજ્ય હોય છે.

દાખ્લા તરીકે:

સંખ્યા 12 એ 1, 2, 3, 4, 6, 12 વડે વિભાજ્ય છે;

સંખ્યા 36 એ 1 વડે, 2 વડે, 3 વડે, 4 વડે 6, 12 વડે 18, 36 વડે વિભાજ્ય છે.

સંખ્યાઓ કે જેના દ્વારા સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે (12 માટે આ 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓના વિભાજકો. કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક a- એક કુદરતી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે aટ્રેસ વિના. બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે 12 અને 36 નંબરોમાં સામાન્ય પરિબળો છે. આ સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, 4, 6, 12. આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો વિભાજક 12 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક aઅને b- આ તે સંખ્યા છે જેના દ્વારા આપેલ બંને સંખ્યાઓને શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે aઅને b.

સામાન્ય ગુણાંકઅનેક સંખ્યાઓ એ એક સંખ્યા છે જે આ દરેક સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. દાખ્લા તરીકે, 9, 18 અને 45 નંબરો 180 નો સામાન્ય ગુણાંક ધરાવે છે. પરંતુ 90 અને 360 તેમના સામાન્ય ગુણાંક પણ છે. બધા સામાન્ય ગુણાંકમાં હંમેશા સૌથી નાનો હોય છે, આ કિસ્સામાં તે 90 છે. આ સંખ્યા કહેવાય છે સૌથી નાનુંસામાન્ય બહુવિધ (સીએમએમ).

LCM એ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે જે સૌથી મોટી સંખ્યા કરતાં મોટી હોવી જોઈએ જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM). ગુણધર્મો.

પરિવર્તનશીલતા:

સહયોગ:

ખાસ કરીને, જો અને કોપ્રાઈમ નંબરો છે, તો પછી:

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક mઅને nઅન્ય તમામ સામાન્ય ગુણાંકનો વિભાજક છે mઅને n. તદુપરાંત, સામાન્ય ગુણાંકનો સમૂહ m, n LCM ના ગુણાંકના સમૂહ સાથે એકરુપ થાય છે( m, n).

માટે એસિમ્પ્ટોટીક્સ કેટલાક સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

તેથી, ચેબીશેવ કાર્ય. અને:

આ લેન્ડૌ કાર્યની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે g(n).

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના નિયમમાંથી શું અનુસરે છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવી.

NOC( a, b) ની ગણતરી ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

1. જો સૌથી સામાન્ય વિભાજક જાણીતું હોય, તો તમે LCM સાથે તેના જોડાણનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

2. અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બંને સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત વિઘટનને જાણવા દો:

જ્યાં પૃષ્ઠ 1, ...,p કે- વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અને d 1,...,d kઅને e 1,...,e k— બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો (જો અનુરૂપ પ્રાઇમ વિસ્તરણમાં ન હોય તો તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે).

પછી NOC ( a,b) ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, LCM વિઘટનમાં સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા એક વિઘટનમાં સમાવિષ્ટ તમામ મુખ્ય પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે. a, b, અને આ ગુણકના બે ઘાતાંકમાંથી સૌથી મોટો લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ:

ઘણી સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીને બે સંખ્યાઓના LCMની સંખ્યાબંધ અનુક્રમિક ગણતરીઓમાં ઘટાડી શકાય છે:

નિયમ.સંખ્યાઓની શ્રેણીનું LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

- મુખ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓનું વિઘટન;

- ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોમાં સૌથી મોટા વિઘટન (આપેલ સંખ્યાની સૌથી મોટી સંખ્યાના પરિબળોનું ઉત્પાદન) સ્થાનાંતરિત કરો, અને પછી અન્ય સંખ્યાઓના વિઘટનમાંથી પરિબળો ઉમેરો જે પ્રથમ નંબરમાં દેખાતા નથી અથવા તેમાં દેખાતા નથી. ઓછી વખત;

— અવિભાજ્ય પરિબળોનું પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓનો LCM હશે.

કોઈપણ બે અથવા વધુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પોતાનું LCM હોય છે. જો સંખ્યાઓ એકબીજાના ગુણાકાર ન હોય અથવા વિસ્તરણમાં સમાન અવયવ ધરાવતા ન હોય, તો તેમનો LCM આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

સંખ્યા 28 (2, 2, 7) ના અવિભાજ્ય અવયવો 3 (સંખ્યા 21) ના અવયવ સાથે પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન (84) એ સૌથી નાની સંખ્યા હશે જે 21 અને 28 વડે વિભાજ્ય છે.

સૌથી મોટી સંખ્યા 30 ના અવિભાજ્ય અવયવો સંખ્યા 25 ના પરિબળ 5 દ્વારા પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન 150 સૌથી મોટી સંખ્યા 30 કરતા વધારે છે અને બાકીની બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. આ સૌથી નાનું શક્ય ઉત્પાદન છે (150, 250, 300...) જે આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે.

2,3,11,37 નંબરો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો LCM આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

નિયમ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ બધી સંખ્યાઓને એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

બીજો વિકલ્પ:

તમને જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા માટે:

1) દરેક સંખ્યાને તેના મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો, ઉદાહરણ તરીકે:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) તમામ મુખ્ય પરિબળોની શક્તિઓ લખો:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) આ દરેક સંખ્યાના તમામ મુખ્ય વિભાજકો (ગુણાકાર) લખો;

4) તેમાંથી દરેકની સૌથી મોટી ડિગ્રી પસંદ કરો, જે આ સંખ્યાઓના તમામ વિસ્તરણમાં જોવા મળે છે;

5) આ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. સંખ્યાઓનું LCM શોધો: 168, 180 અને 3024.

ઉકેલ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

અમે તમામ મુખ્ય વિભાજકોની સૌથી મોટી શક્તિઓ લખીએ છીએ અને તેમને ગુણાકાર કરીએ છીએ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

LCM (ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ) કેવી રીતે શોધવું

બે પૂર્ણાંકોનો સામાન્ય ગુણાંક એ પૂર્ણાંક છે જે આપેલ બંને સંખ્યાઓ દ્વારા બાકીના છોડ્યા વિના સમાનરૂપે વિભાજ્ય છે.

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ તમામ પૂર્ણાંકોમાં સૌથી નાનો છે જે આપેલ બંને સંખ્યાઓ દ્વારા શેષ છોડ્યા વિના વિભાજ્ય છે.

પદ્ધતિ 1. તમે બદલામાં, આપેલ દરેક સંખ્યા માટે, 1, 2, 3, 4, વગેરે વડે ગુણાકાર કરીને મેળવેલી તમામ સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં લખીને, LCM શોધી શકો છો.

ઉદાહરણનંબર 6 અને 9 માટે.
આપણે ક્રમશઃ 1, 2, 3, 4, 5 વડે 6 નંબરનો ગુણાકાર કરીએ છીએ.
અમને મળે છે: 6, 12, 18 , 24, 30
આપણે 9 નંબરને ક્રમિક રીતે 1, 2, 3, 4, 5 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
અમને મળે છે: 9, 18 , 27, 36, 45
જેમ તમે જોઈ શકો છો, નંબર 6 અને 9 માટે LCM 18 ની બરાબર હશે.

જ્યારે બંને સંખ્યાઓ નાની હોય ત્યારે આ પદ્ધતિ અનુકૂળ છે અને પૂર્ણાંકોના ક્રમ દ્વારા તેમને ગુણાકાર કરવાનું સરળ છે. જો કે, એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે તમારે બે-અંક અથવા ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ માટે LCM શોધવાની જરૂર હોય, અને જ્યારે ત્રણ કે તેથી વધુ પ્રારંભિક સંખ્યાઓ હોય.

પદ્ધતિ 2. તમે મૂળ સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં ફેક્ટર કરીને LCM શોધી શકો છો.
વિઘટન પછી, મુખ્ય પરિબળોની પરિણામી શ્રેણીમાંથી સમાન સંખ્યાઓને પાર કરવી જરૂરી છે. પ્રથમ નંબરની બાકીની સંખ્યાઓ બીજા માટે ગુણક હશે, અને બીજાની બાકીની સંખ્યાઓ પ્રથમ માટે ગુણક હશે.

ઉદાહરણનંબર 75 અને 60 માટે.
75 અને 60 નંબરોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક આ સંખ્યાઓના ગુણાંકને એક પંક્તિમાં લખ્યા વિના શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચાલો 75 અને 60 ને સરળ પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ:
75 = 3 * 5 * 5, એ
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિબળ 3 અને 5 બંને પંક્તિઓમાં દેખાય છે. અમે માનસિક રીતે તેમને "પાણી" કરીએ છીએ.
ચાલો આ દરેક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ બાકીના પરિબળોને લખીએ. 75 નંબરનું વિઘટન કરતી વખતે, આપણી પાસે 5 નંબર બાકી છે, અને જ્યારે 60 નંબરનું વિઘટન થાય છે, ત્યારે આપણી પાસે 2 * 2 બાકી છે
આનો અર્થ એ છે કે 75 અને 60 નંબરો માટે LCM નક્કી કરવા માટે, આપણે 75 (આ 5 છે) ના વિસ્તરણમાંથી બાકીની સંખ્યાઓને 60 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને 60 (આ 2 છે) ના વિસ્તરણથી બાકી રહેલી સંખ્યાઓને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. * 2) 75 દ્વારા. એટલે કે, સમજવાની સરળતા માટે, આપણે કહીએ છીએ કે આપણે "ક્રોસવાઇઝ" ગુણાકાર કરી રહ્યા છીએ.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
આ રીતે અમને 60 અને 75 નંબરો માટે LCM મળ્યું. આ નંબર 300 છે.

ઉદાહરણ. 12, 16, 24 નંબરો માટે LCM નક્કી કરો
આ કિસ્સામાં, અમારી ક્રિયાઓ કંઈક વધુ જટિલ હશે. પરંતુ પ્રથમ, હંમેશની જેમ, ચાલો બધી સંખ્યાઓને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
એલસીએમને યોગ્ય રીતે નક્કી કરવા માટે, અમે તમામ સંખ્યાઓમાંથી સૌથી નાની સંખ્યા પસંદ કરીએ છીએ (આ નંબર 12 છે) અને ક્રમિક રીતે તેના અવયવોમાંથી પસાર થઈએ છીએ, જો સંખ્યાઓની અન્ય પંક્તિઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પંક્તિમાં આપણને તે જ પરિબળ મળે છે જે હજી સુધી નથી. પાર કરવામાં આવ્યું છે.

પગલું 1 . આપણે જોઈએ છીએ કે 2*2 સંખ્યાઓની તમામ શ્રેણીમાં થાય છે. ચાલો તેમને પાર કરીએ.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

પગલું 2. નંબર 12 ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં, ફક્ત 3 નંબર જ રહે છે. પરંતુ તે સંખ્યા 24 ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં હાજર છે. અમે બંને પંક્તિઓમાંથી નંબર 3 ને વટાવીએ છીએ, જ્યારે 16 નંબર માટે કોઈ ક્રિયાઓ અપેક્ષિત નથી. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જ્યારે 12 નંબરને વિઘટિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે અમે બધી સંખ્યાઓને "ઓળંગી" લીધી હતી. મતલબ કે એલઓસીની શોધ પૂર્ણ થઈ ગઈ છે. જે બાકી છે તે તેની કિંમતની ગણતરી કરવાનું છે.
નંબર 12 માટે, 16 નંબરના બાકીના પરિબળો લો (ચડતા ક્રમમાં આગળ)
12 * 2 * 2 = 48
આ NOC છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ કિસ્સામાં, એલસીએમ શોધવાનું કંઈક વધુ મુશ્કેલ હતું, પરંતુ જ્યારે તમારે તેને ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓ માટે શોધવાની જરૂર હોય, ત્યારે આ પદ્ધતિ તમને તે ઝડપથી કરવા દે છે. જો કે, LCM શોધવાની બંને પદ્ધતિઓ સાચી છે.