પ્રથમ સ્તર

ભૌમિતિક પ્રગતિ. ઉદાહરણો સાથે વ્યાપક માર્ગદર્શિકા (2019)

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. દાખ્લા તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો nમો સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

પ્રગતિના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો અંકગણિત અને ભૌમિતિક છે. આ વિષયમાં આપણે બીજા પ્રકાર વિશે વાત કરીશું - ભૌમિતિક પ્રગતિ.

ભૌમિતિક પ્રગતિ અને તેનો ઇતિહાસ શા માટે જરૂરી છે?

પ્રાચીન સમયમાં પણ, પીસાના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી સાધુ લિયોનાર્ડો (ફિબોનાકી તરીકે વધુ સારી રીતે ઓળખાય છે) વેપારની વ્યવહારિક જરૂરિયાતો સાથે વ્યવહાર કરતા હતા. સાધુને તે નિર્ધારિત કરવાના કાર્યનો સામનો કરવો પડ્યો હતો કે ઉત્પાદનનું વજન કરવા માટે સૌથી નાની સંખ્યામાં વજન શું છે? તેમના કાર્યોમાં, ફિબોનાકી સાબિત કરે છે કે વજનની આવી સિસ્ટમ શ્રેષ્ઠ છે: આ તે પ્રથમ પરિસ્થિતિઓમાંની એક છે જેમાં લોકોએ ભૌમિતિક પ્રગતિનો સામનો કરવો પડ્યો હતો, જેના વિશે તમે કદાચ પહેલાથી જ સાંભળ્યું હશે અને ઓછામાં ઓછી સામાન્ય સમજ છે. એકવાર તમે વિષયને સંપૂર્ણ રીતે સમજી લો, પછી વિચારો કે આવી સિસ્ટમ શા માટે શ્રેષ્ઠ છે?

હાલમાં, જીવન વ્યવહારમાં, બેંકમાં નાણાંનું રોકાણ કરતી વખતે ભૌમિતિક પ્રગતિ પોતાને પ્રગટ કરે છે, જ્યારે અગાઉના સમયગાળા માટે ખાતામાં સંચિત રકમ પર વ્યાજની રકમ ઉપાર્જિત થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તમે બચત બેંકમાં ટાઈમ ડિપોઝીટ પર પૈસા મુકો છો, તો એક વર્ષ પછી ડિપોઝિટ મૂળ રકમથી વધી જશે, એટલે કે. નવી રકમ યોગદાનના ગુણાકારની બરાબર હશે. બીજા વર્ષમાં, આ રકમ વધશે, એટલે કે. તે સમયે મેળવેલ રકમનો ફરીથી ગુણાકાર કરવામાં આવશે અને તેથી વધુ. કહેવાતી ગણતરીની સમસ્યાઓમાં સમાન પરિસ્થિતિનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે સંયોજન વ્યાજ- અગાઉના વ્યાજને ધ્યાનમાં લઈને ખાતામાં રહેલી રકમમાંથી દર વખતે ટકાવારી લેવામાં આવે છે. અમે આ કાર્યો વિશે થોડી વાર પછી વાત કરીશું.

ત્યાં ઘણા વધુ સરળ કિસ્સાઓ છે જ્યાં ભૌમિતિક પ્રગતિ લાગુ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઈન્ફલ્યુએન્ઝાનો ફેલાવો: એક વ્યક્તિએ બીજી વ્યક્તિને ચેપ લગાડ્યો, તેણે બદલામાં, બીજી વ્યક્તિને ચેપ લગાડ્યો, અને આમ ચેપની બીજી તરંગ એક વ્યક્તિ છે, અને તેઓ, બદલામાં, બીજાને ચેપ લગાવે છે... અને તેથી વધુ. .

માર્ગ દ્વારા, નાણાકીય પિરામિડ, સમાન MMM, ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મો પર આધારિત એક સરળ અને શુષ્ક ગણતરી છે. રસપ્રદ? ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

ભૌમિતિક પ્રગતિ.

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સંખ્યા ક્રમ છે:

તમે તરત જ જવાબ આપશો કે આ સરળ છે અને આવા ક્રમનું નામ તેની શરતોના તફાવત સાથે એક અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ વિશે કેવી રીતે:

જો તમે આગલી સંખ્યામાંથી પાછલી સંખ્યા બાદ કરો છો, તો તમે જોશો કે દર વખતે તમને નવો તફાવત (અને તેથી વધુ) મળશે, પરંતુ ક્રમ ચોક્કસપણે અસ્તિત્વમાં છે અને તે નોંધવું સરળ છે - દરેક અનુગામી સંખ્યા પાછલી સંખ્યા કરતા ઘણી મોટી છે!

આ પ્રકારની સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે ભૌમિતિક પ્રગતિઅને નિયુક્ત થયેલ છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ () એ એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્યથી અલગ છે, અને દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને, અગાઉના એક સમાન છે. આ સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે.

પ્રતિબંધો કે જે પ્રથમ શબ્દ ( ) સમાન નથી અને રેન્ડમ નથી. ચાલો ધારીએ કે ત્યાં કોઈ નથી, અને પ્રથમ પદ હજી પણ સમાન છે, અને q બરાબર છે, હમ્મ.. તેને રહેવા દો, પછી તે તારણ આપે છે:

સંમત થાઓ કે આ હવે પ્રગતિ નથી.

જેમ તમે સમજો છો તેમ, જો શૂન્ય સિવાય બીજી કોઈ સંખ્યા હશે તો અમને સમાન પરિણામો મળશે, a. આ કિસ્સાઓમાં, ત્યાં કોઈ પ્રગતિ થશે નહીં, કારણ કે સમગ્ર સંખ્યા શ્રેણી કાં તો બધી શૂન્ય હશે, અથવા એક સંખ્યા હશે, અને બાકીની બધી શૂન્ય હશે.

હવે ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના છેદ વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરીએ, એટલે કે, ઓ.

ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ: - આ સંખ્યા છે દરેક અનુગામી શબ્દ કેટલી વખત બદલાય છે?ભૌમિતિક પ્રગતિ.

તમને શું લાગે છે કે તે શું હોઈ શકે? તે સાચું છે, સકારાત્મક અને નકારાત્મક, પરંતુ શૂન્ય નથી (અમે આ વિશે થોડું વધારે વાત કરી છે).

ચાલો માની લઈએ કે આપણું સકારાત્મક છે. ચાલો આપણા કિસ્સામાં, એ. બીજા પદની કિંમત શું છે અને? તમે સરળતાથી જવાબ આપી શકો છો:

તે સાચું છે. તદનુસાર, જો, પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે - તેઓ હકારાત્મક છે.

જો તે નકારાત્મક હોય તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, એ. બીજા પદની કિંમત શું છે અને?

આ એક સંપૂર્ણપણે અલગ વાર્તા છે

આ પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો. તમને કેટલું મળ્યું? મારી પાસે. આમ, જો, પછી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના ચિહ્નો વૈકલ્પિક. એટલે કે, જો તમે તેના સભ્યો માટે વૈકલ્પિક ચિહ્નો સાથે પ્રગતિ જોશો, તો તેનો છેદ નકારાત્મક છે. આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ જ્ઞાન તમને તમારી જાતને ચકાસવામાં મદદ કરી શકે છે.

હવે ચાલો થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ: કઈ સંખ્યા ક્રમ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે અને કઈ અંકગણિત પ્રગતિ છે તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

જાણ્યું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:

• ભૌમિતિક પ્રગતિ - 3, 6.
• અંકગણિત પ્રગતિ - 2, 4.
• તે ન તો અંકગણિત છે કે ન તો ભૌમિતિક પ્રગતિ છે - 1, 5, 7.

ચાલો આપણી છેલ્લી પ્રગતિ પર પાછા જઈએ અને અંકગણિતની જેમ તેના સભ્યને શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું હશે, તેને શોધવાની બે રીત છે.

અમે ક્રમશઃ દરેક પદને વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

તેથી, વર્ણવેલ ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

તમે પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે તેમ, હવે તમે જાતે જ એક સૂત્ર મેળવશો જે તમને ભૌમિતિક પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યને શોધવામાં મદદ કરશે. અથવા શું તમે પહેલાથી જ તમારા માટે તે વિકસાવી લીધું છે, જેમાં પગલું બાય મેમ્બર કેવી રીતે શોધવું તેનું વર્ણન કર્યું છે? જો એમ હોય, તો પછી તમારા તર્કની સાચીતા તપાસો.

ચાલો આ પ્રગતિની મી મુદત શોધવાના ઉદાહરણ સાથે આને સમજાવીએ:

બીજા શબ્દો માં:

આપેલ ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દનું મૂલ્ય જાતે શોધો.

થયું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે ભૌમિતિક પ્રગતિના દરેક પાછલા પદને ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીએ છીએ ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની બરાબર સમાન સંખ્યા મળી છે.
ચાલો આ સૂત્રને "વ્યક્તિગત" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ - ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકીએ અને મેળવીએ:

વ્યુત્પન્ન સૂત્ર તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે - બંને હકારાત્મક અને નકારાત્મક. નીચેની શરતો સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરીને આ જાતે તપાસો: , a.

શું તમે ગણતરી કરી? ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

સંમત થાઓ કે એક પદની જેમ જ પ્રગતિની મુદત શોધવાનું શક્ય બનશે, જો કે, ખોટી રીતે ગણતરી કરવાની સંભાવના છે. અને જો આપણે પહેલાથી જ ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધી લીધો હોય, તો પછી સૂત્રના "કાપેલા" ભાગનો ઉપયોગ કરતાં વધુ સરળ શું હોઈ શકે.

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો.

તાજેતરમાં, અમે એ હકીકત વિશે વાત કરી છે કે તે શૂન્ય કરતા વધારે અથવા ઓછું હોઈ શકે છે, જો કે, ત્યાં વિશેષ મૂલ્યો છે જેના માટે ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે. અનંત રીતે ઘટી રહ્યું છે.

તમને લાગે છે કે આ નામ શા માટે આપવામાં આવ્યું છે?
પ્રથમ, ચાલો અમુક ભૌમિતિક પ્રગતિ લખીએ જેમાં શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે.
ચાલો કહીએ, તો પછી:

આપણે જોઈએ છીએ કે દરેક અનુગામી પદ એક પરિબળ દ્વારા અગાઉના એક કરતા ઓછું છે, પરંતુ શું ત્યાં કોઈ સંખ્યા હશે? તમે તરત જ જવાબ આપશો - "ના". તેથી જ તે અનંતપણે ઘટી રહ્યું છે - તે ઘટે છે અને ઘટે છે, પરંતુ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી.

આ દૃષ્ટિની રીતે કેવી દેખાય છે તે સ્પષ્ટ રીતે સમજવા માટે, ચાલો આપણી પ્રગતિનો ગ્રાફ દોરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તેથી, અમારા કેસ માટે, સૂત્ર નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

આલેખ પર આપણે નિર્ભરતાનું કાવતરું ઘડવા ટેવાયેલા છીએ, તેથી:

અભિવ્યક્તિનો સાર બદલાયો નથી: પ્રથમ એન્ટ્રીમાં અમે ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યના મૂલ્યની તેની ક્રમાંકિત સંખ્યા પર નિર્ભરતા દર્શાવી છે, અને બીજી એન્ટ્રીમાં અમે ફક્ત ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય લીધું છે. , અને ઓર્ડિનલ નંબર તરીકે નહીં, પરંતુ તરીકે નિયુક્ત. જે કરવાનું બાકી છે તે ગ્રાફ બનાવવાનું છે.
ચાલો જોઈએ કે તમને શું મળ્યું. હું જે ગ્રાફ લઈને આવ્યો છું તે અહીં છે:

તમે જોયું? કાર્ય ઘટે છે, શૂન્ય તરફ વળે છે, પરંતુ તેને ક્યારેય પાર કરતું નથી, તેથી તે અનંતપણે ઘટતું જાય છે. ચાલો ગ્રાફ પર અમારા બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ, અને તે જ સમયે સંકલન અને અર્થ શું છે:

ભૌમિતિક પ્રગતિના ગ્રાફને યોજનાકીય રીતે દર્શાવવાનો પ્રયાસ કરો જો તેની પ્રથમ અવધિ પણ સમાન હોય. અમારા પાછલા ગ્રાફ સાથે શું તફાવત છે તેનું વિશ્લેષણ કરો?

શું તમે મેનેજ કર્યું? હું જે ગ્રાફ લઈને આવ્યો છું તે અહીં છે:

હવે જ્યારે તમે ભૌમિતિક પ્રગતિના વિષયની મૂળભૂત બાબતોને સંપૂર્ણપણે સમજી ગયા છો: તમે જાણો છો કે તે શું છે, તમે જાણો છો કે તેનો શબ્દ કેવી રીતે શોધવો, અને તમે એ પણ જાણો છો કે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ શું છે, ચાલો તેના મુખ્ય ગુણધર્મ તરફ આગળ વધીએ.

ભૌમિતિક પ્રગતિની મિલકત.

શું તમને અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોની મિલકત યાદ છે? હા, હા, જ્યારે આ પ્રગતિની શરતોના અગાઉના અને અનુગામી મૂલ્યો હોય ત્યારે પ્રગતિની ચોક્કસ સંખ્યાનું મૂલ્ય કેવી રીતે શોધવું. તમને યાદ છે? આ:

હવે આપણને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતો માટે બરાબર એ જ પ્રશ્નનો સામનો કરવો પડી રહ્યો છે. આવા સૂત્ર મેળવવા માટે, ચાલો ચિત્રકામ અને તર્ક શરૂ કરીએ. તમે જોશો, તે ખૂબ જ સરળ છે, અને જો તમે ભૂલી જાઓ છો, તો તમે તેને જાતે જ બહાર કાઢી શકો છો.

ચાલો બીજી સરળ ભૌમિતિક પ્રગતિ લઈએ, જેમાં આપણે જાણીએ છીએ અને. કેવી રીતે શોધવું? અંકગણિત પ્રગતિ સાથે તે સરળ અને સરળ છે, પરંતુ અહીં શું છે? વાસ્તવમાં, ભૌમિતિકમાં કંઈ જટિલ નથી - તમારે ફક્ત સૂત્ર અનુસાર અમને આપવામાં આવેલ દરેક મૂલ્ય લખવાની જરૂર છે.

તમે પૂછી શકો છો કે હવે આપણે શું કરવું જોઈએ? હા, ખૂબ જ સરળ. પ્રથમ, ચાલો આ સૂત્રોને ચિત્રમાં દર્શાવીએ અને મૂલ્ય સુધી પહોંચવા માટે તેમની સાથે વિવિધ મેનિપ્યુલેશન્સ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ચાલો આપણને આપેલી સંખ્યાઓમાંથી અમૂર્ત કરીએ, ચાલો સૂત્ર દ્વારા ફક્ત તેમની અભિવ્યક્તિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ. આપણે નારંગીમાં હાઇલાઇટ કરેલ મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે, તેની બાજુમાં આવેલા શબ્દોને જાણીને. ચાલો તેમની સાથે વિવિધ ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, જેના પરિણામે આપણે મેળવી શકીએ.

ઉમેરણ.
ચાલો બે અભિવ્યક્તિઓ ઉમેરવાનો પ્રયાસ કરીએ અને આપણને મળે છે:

આ અભિવ્યક્તિમાંથી, તમે જોઈ શકો છો, અમે તેને કોઈપણ રીતે વ્યક્ત કરી શકતા નથી, તેથી, અમે બીજો વિકલ્પ અજમાવીશું - બાદબાકી.

બાદબાકી.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમે આ પણ વ્યક્ત કરી શકતા નથી, તેથી, ચાલો આ અભિવ્યક્તિઓને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ગુણાકાર.

હવે જે શોધવાની જરૂર છે તેની તુલનામાં અમને આપવામાં આવેલી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો ગુણાકાર કરીને અમારી પાસે શું છે તે કાળજીપૂર્વક જુઓ:

ધારો કે હું શું વાત કરી રહ્યો છું? યોગ્ય રીતે, શોધવા માટે આપણે ભૌમિતિક પ્રગતિ સંખ્યાઓના વર્ગમૂળને એકબીજાથી ગુણાકાર કરીને ઇચ્છિત સંખ્યાને અડીને લેવાની જરૂર છે:

અહીં તમે જાઓ. તમે જાતે જ ભૌમિતિક પ્રગતિની મિલકત મેળવી છે. આ સૂત્રને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખવાનો પ્રયાસ કરો. થયું?

માટે શરત ભૂલી ગયા છો? તે શા માટે મહત્વપૂર્ણ છે તે વિશે વિચારો, ઉદાહરણ તરીકે, તેની જાતે ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો. આ કિસ્સામાં શું થશે? તે સાચું છે, સંપૂર્ણ નોનસેન્સ કારણ કે સૂત્ર આના જેવું લાગે છે:

તદનુસાર, આ મર્યાદાને ભૂલશો નહીં.

હવે ચાલો ગણતરી કરીએ કે તે શું બરાબર છે

સાચો જવાબ - ! જો તમે ગણતરી દરમિયાન બીજા સંભવિત મૂલ્યને ભૂલી ન ગયા હો, તો પછી તમે મહાન છો અને તરત જ તાલીમ તરફ આગળ વધી શકો છો, અને જો તમે ભૂલી ગયા હો, તો નીચે શું ચર્ચા કરવામાં આવી છે તે વાંચો અને શા માટે બંને મૂળ લખવા જરૂરી છે તેના પર ધ્યાન આપો. જવાબમાં.

ચાલો આપણી બંને ભૌમિતિક પ્રગતિઓ દોરીએ - એક મૂલ્ય સાથે અને બીજું મૂલ્ય સાથે અને તપાસો કે શું તે બંનેને અસ્તિત્વમાં રહેવાનો અધિકાર છે:

આવી ભૌમિતિક પ્રગતિ અસ્તિત્વમાં છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, તે જોવાની જરૂર છે કે તેની આપેલ બધી શરતો સમાન છે કે કેમ? પ્રથમ અને બીજા કેસ માટે q ની ગણતરી કરો.

જુઓ બે જવાબ કેમ લખવા પડે છે? કારણ કે તમે જે શબ્દની નિશાની શોધી રહ્યા છો તેના પર આધાર રાખે છે કે તે હકારાત્મક છે કે નકારાત્મક! અને કારણ કે આપણે જાણતા નથી કે તે શું છે, આપણે બંને જવાબો વત્તા અને ઓછા સાથે લખવાની જરૂર છે.

હવે જ્યારે તમે મુખ્ય મુદ્દાઓમાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે અને ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મ માટેનું સૂત્ર મેળવ્યું છે, શોધો, જાણવું અને

તમારા જવાબોને સાચા જવાબો સાથે સરખાવો:

તમને શું લાગે છે, જો અમને ઇચ્છિત સંખ્યાને અડીને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના મૂલ્યો ન આપવામાં આવે, પરંતુ તેનાથી સમાન અંતર આપવામાં આવે તો શું થશે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે શોધવાની જરૂર છે, અને આપવામાં આવે છે અને. શું આપણે આ કિસ્સામાં મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ? દરેક મૂલ્યમાં શું સમાયેલું છે તેનું વર્ણન કરીને, તે જ રીતે આ શક્યતાની પુષ્ટિ કરવાનો અથવા રદિયો આપવાનો પ્રયાસ કરો, જેમ તમે મૂળ રૂપે સૂત્ર મેળવ્યું ત્યારે કર્યું હતું.
તમને શું મળ્યું?

હવે ફરી ધ્યાનથી જુઓ.
અને અનુરૂપ:

આના પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે સૂત્ર કામ કરે છે માત્ર પડોશીઓ સાથે જ નહીંભૌમિતિક પ્રગતિની ઇચ્છિત શરતો સાથે, પણ સાથે સમાન અંતરસભ્યો શું શોધી રહ્યા છે તેમાંથી.

આમ, આપણું પ્રારંભિક સૂત્ર ફોર્મ લે છે:

એટલે કે, જો પ્રથમ કિસ્સામાં આપણે કહ્યું કે, હવે આપણે કહીએ છીએ કે તે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા જે નાની હોય તેની બરાબર હોઈ શકે છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તે આપેલ બંને નંબરો માટે સમાન છે.

ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે પ્રેક્ટિસ કરો, ફક્ત અત્યંત સાવચેત રહો!

1. , . શોધો.
2. , . શોધો.
3. , . શોધો.

નક્કી કરેલું? હું આશા રાખું છું કે તમે અત્યંત સચેત હતા અને એક નાનો કેચ નોંધ્યો હતો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ.

પ્રથમ બે કિસ્સાઓમાં, અમે શાંતિથી ઉપરોક્ત સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ અને નીચેના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

ત્રીજા કિસ્સામાં, અમને આપવામાં આવેલા નંબરોના સીરીયલ નંબરોની કાળજીપૂર્વક તપાસ કર્યા પછી, અમે સમજીએ છીએ કે તે અમે જે નંબર શોધી રહ્યા છીએ તેનાથી સમાન અંતર નથી: તે પહેલાની સંખ્યા છે, પરંતુ સ્થાન પર દૂર કરવામાં આવી છે, તેથી તે છે સૂત્ર લાગુ કરવું શક્ય નથી.

તેને કેવી રીતે ઉકેલવું? તે વાસ્તવમાં લાગે તેટલું મુશ્કેલ નથી! ચાલો આપણે લખીએ કે આપણને આપવામાં આવેલ દરેક નંબર અને આપણે જે નંબર શોધી રહ્યા છીએ તેમાં શું છે.

તેથી અમારી પાસે છે અને. ચાલો જોઈએ કે આપણે તેમની સાથે શું કરી શકીએ? હું દ્વારા વિભાજીત કરવાનું સૂચન કરું છું. અમને મળે છે:

અમે અમારા ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ:

આગળનું પગલું આપણે શોધી શકીએ છીએ - આ માટે આપણે પરિણામી સંખ્યાનું ઘનમૂળ લેવાની જરૂર છે.

હવે આપણી પાસે શું છે તે ફરી જોઈએ. અમારી પાસે તે છે, પરંતુ આપણે તેને શોધવાની જરૂર છે, અને તે, બદલામાં, સમાન છે:

અમને ગણતરી માટે જરૂરી તમામ ડેટા મળ્યો. સૂત્રમાં અવેજી કરો:

અમારો જવાબ: .

બીજી સમાન સમસ્યા જાતે ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરો:
આપેલ: ,
શોધો:

તમને કેટલું મળ્યું? મારી પાસે - .

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવશ્યકપણે તમને જરૂર છે માત્ર એક સૂત્ર યાદ રાખો- તમે કોઈપણ સમયે કોઈપણ મુશ્કેલી વિના બાકીનું બધું જાતે પાછી ખેંચી શકો છો. આ કરવા માટે, કાગળના ટુકડા પર ફક્ત સરળ ભૌમિતિક પ્રગતિ લખો અને ઉપર વર્ણવેલ સૂત્ર અનુસાર, તેની દરેક સંખ્યા કેટલી સમાન છે તે લખો.

ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો.

હવે ચાલો એવા સૂત્રો જોઈએ જે આપણને આપેલ અંતરાલમાં ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળાની ઝડપથી ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે:

મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર મેળવવા માટે, ઉપરના સમીકરણના તમામ ભાગોને વડે ગુણાકાર કરો. અમને મળે છે:

ધ્યાનથી જુઓ: છેલ્લા બે સૂત્રોમાં શું સામ્ય છે? તે સાચું છે, સામાન્ય સભ્યો, ઉદાહરણ તરીકે, અને તેથી વધુ, પ્રથમ અને છેલ્લા સભ્ય સિવાય. ચાલો 2જી સમીકરણમાંથી 1લી બાદબાકી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તમને શું મળ્યું?

હવે સૂત્ર દ્વારા ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દને વ્યક્ત કરો અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને અમારા છેલ્લા સૂત્રમાં બદલો:

અભિવ્યક્તિનું જૂથ બનાવો. તમારે મેળવવું જોઈએ:

જે કરવાનું બાકી છે તે વ્યક્ત કરવાનું છે:

તદનુસાર, આ કિસ્સામાં.

શું જો? પછી કયું સૂત્ર કામ કરે છે? ખાતે ભૌમિતિક પ્રગતિની કલ્પના કરો. તેણીની ને શું ગમે છે? સમાન સંખ્યાઓની શ્રેણી સાચી છે, તેથી સૂત્ર આના જેવો દેખાશે:

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ બંને વિશે ઘણી દંતકથાઓ છે. તેમાંથી એક ચેસના સર્જક સેટની દંતકથા છે.

ઘણા લોકો જાણે છે કે ચેસની રમતની શોધ ભારતમાં થઈ હતી. જ્યારે હિંદુ રાજા તેણીને મળ્યો, ત્યારે તે તેણીની બુદ્ધિ અને તેનામાં શક્ય વિવિધ હોદ્દાઓથી ખુશ હતો. તેની શોધ તેના એક વિષય દ્વારા કરવામાં આવી હોવાનું જાણ્યા પછી, રાજાએ તેને વ્યક્તિગત રીતે પુરસ્કાર આપવાનું નક્કી કર્યું. તેણે શોધકને પોતાની પાસે બોલાવ્યો અને તેને સૌથી કુશળ ઇચ્છા પૂરી કરવાનું વચન આપીને તેને જે જોઈએ તે બધું પૂછવાનો આદેશ આપ્યો.

સેતાએ વિચારવા માટે સમય માંગ્યો, અને બીજા દિવસે જ્યારે સેતા રાજા સમક્ષ હાજર થયો, ત્યારે તેણે તેની વિનંતીની અભૂતપૂર્વ નમ્રતાથી રાજાને આશ્ચર્યચકિત કર્યું. તેણે ચેસબોર્ડના પહેલા ચોરસ માટે ઘઉંનો દાણો, બીજા માટે ઘઉંનો દાણો, ત્રીજા માટે ઘઉંનો દાણો, ચોથા ભાગ માટે, વગેરે આપવાનું કહ્યું.

રાજા ગુસ્સે થયો અને શેઠને ભગાડી ગયો, એમ કહીને કે નોકરની વિનંતી રાજાની ઉદારતા માટે અયોગ્ય છે, પરંતુ વચન આપ્યું કે નોકર બોર્ડના તમામ ચોરસ માટે તેનું અનાજ મેળવશે.

અને હવે પ્રશ્ન: ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, ગણતરી કરો કે શેઠને કેટલા અનાજ મળવા જોઈએ?

ચાલો તર્ક શરૂ કરીએ. કારણ કે, શરત મુજબ, શેઠે ચેસબોર્ડના પહેલા ચોરસ માટે ઘઉંનો દાણો માંગ્યો, બીજા માટે, ત્રીજા માટે, ચોથા માટે, વગેરે, તો પછી આપણે જોઈએ છીએ કે સમસ્યામાં અમે વાત કરી રહ્યા છીએભૌમિતિક પ્રગતિ વિશે. આ કિસ્સામાં તે શું સમાન છે?
અધિકાર.

ચેસબોર્ડના કુલ ચોરસ. અનુક્રમે, . અમારી પાસે બધો ડેટા છે, જે બાકી છે તે તેને ફોર્મ્યુલામાં પ્લગ કરવાનું અને ગણતરી કરવાનું છે.

આપેલ સંખ્યાના ઓછામાં ઓછા "સ્કેલ" ની કલ્પના કરવા માટે, અમે ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતર કરીએ છીએ:

અલબત્ત, જો તમે ઇચ્છો તો, તમે એક કેલ્ક્યુલેટર લઈ શકો છો અને ગણતરી કરી શકો છો કે તમે કયા નંબર સાથે સમાપ્ત કરો છો, અને જો નહીં, તો તમારે તેના માટે મારો શબ્દ લેવો પડશે: અભિવ્યક્તિનું અંતિમ મૂલ્ય હશે.
તે જ:

ક્વિન્ટિલિયન ક્વાડ્રિલિયન ટ્રિલિયન બિલિયન મિલિયન હજાર.

ફ્યુ) જો તમે આ સંખ્યાની વિશાળતાની કલ્પના કરવા માંગતા હો, તો અંદાજ કાઢો કે અનાજનો સંપૂર્ણ જથ્થો સમાવવા માટે કેટલા મોટા કોઠારની જરૂર પડશે.
જો કોઠાર મીટર ઊંચો અને મીટર પહોળો હોય, તો તેની લંબાઈ કિમી સુધી લંબાવવી પડશે, એટલે કે. પૃથ્વીથી સૂર્ય સુધી બમણું દૂર.

જો રાજા ગણિતમાં મજબૂત હોત, તો તે પોતે વૈજ્ઞાનિકને અનાજની ગણતરી કરવા માટે આમંત્રિત કરી શક્યો હોત, કારણ કે એક મિલિયન અનાજની ગણતરી કરવા માટે, તેને ઓછામાં ઓછા એક દિવસની અથાક ગણતરીની જરૂર પડશે, અને તે જોતાં, ક્વિન્ટલિયન, અનાજની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. જીવનભર ગણવા પડશે.

હવે ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળાને સમાવતા એક સરળ સમસ્યાને હલ કરીએ.
વર્ગ 5A વાસ્યનો એક વિદ્યાર્થી ફ્લૂથી બીમાર પડ્યો, પરંતુ તે શાળાએ જવાનું ચાલુ રાખે છે. દરરોજ વાસ્યા બે લોકોને ચેપ લગાડે છે, જે બદલામાં, વધુ બે લોકોને ચેપ લગાડે છે, વગેરે. વર્ગમાં ફક્ત લોકો જ છે. આખો વર્ગ કેટલા દિવસોમાં ફલૂથી બીમાર થઈ જશે?

તેથી, ભૌમિતિક પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ વાસ્ય છે, એટલે કે, વ્યક્તિ. ભૌમિતિક પ્રગતિની મી મુદત એ બે લોકો છે જેમને તેણે તેના આગમનના પ્રથમ દિવસે ચેપ લગાવ્યો હતો. પ્રગતિની શરતોનો કુલ સરવાળો 5A વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા જેટલો છે. તદનુસાર, અમે એક પ્રગતિ વિશે વાત કરીએ છીએ જેમાં:

ચાલો આપણા ડેટાને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે સૂત્રમાં બદલીએ:

દિવસોમાં આખો વર્ગ બીમાર થઈ જશે. સૂત્રો અને સંખ્યાઓ માનતા નથી? વિદ્યાર્થીઓના "ચેપ" ને જાતે ચિત્રિત કરવાનો પ્રયાસ કરો. થયું? જુઓ કે તે મારા માટે કેવી દેખાય છે:

જો દરેક વ્યક્તિએ એક વ્યક્તિને ચેપ લગાડ્યો હોય અને વર્ગમાં માત્ર એક જ વ્યક્તિ હોય તો વિદ્યાર્થીઓને ફલૂથી બીમાર થવામાં કેટલા દિવસો લાગશે તેની જાતે ગણતરી કરો.

તમને શું મૂલ્ય મળ્યું? તે બહાર આવ્યું કે દરેક જણ એક દિવસ પછી બીમાર થવાનું શરૂ કર્યું.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવા કાર્ય અને તેના માટેનું ચિત્ર પિરામિડ જેવું લાગે છે, જેમાં દરેક અનુગામી નવા લોકોને "લાવે છે". જો કે, વહેલા કે પછી એક ક્ષણ આવે છે જ્યારે બાદમાં કોઈને આકર્ષિત કરી શકતા નથી. અમારા કિસ્સામાં, જો આપણે કલ્પના કરીએ કે વર્ગ અલગ છે, તો વ્યક્તિ સાંકળ () બંધ કરે છે. આમ, જો કોઈ વ્યક્તિ નાણાકીય પિરામિડમાં સામેલ હોય જેમાં પૈસા આપવામાં આવ્યા હોય જો તમે અન્ય બે સહભાગીઓને લાવશો, તો તે વ્યક્તિ (અથવા સામાન્ય રીતે) કોઈને લાવશે નહીં, તે મુજબ, તેણે આ નાણાકીય કૌભાંડમાં જે રોકાણ કર્યું છે તે બધું ગુમાવશે.

ઉપર જે કંઈપણ કહેવામાં આવ્યું હતું તે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ઘટાડો અથવા વધતો ઉલ્લેખ કરે છે, પરંતુ, જેમ તમને યાદ છે, અમારી પાસે એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે - એક અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ. તેના સભ્યોના સરવાળાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? અને આ પ્રકારની પ્રગતિમાં ચોક્કસ લક્ષણો શા માટે છે? ચાલો તેને એકસાથે આકૃતિ કરીએ.

તેથી, પ્રથમ, ચાલો અમારા ઉદાહરણમાંથી અસંખ્ય રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના આ ચિત્રને ફરીથી જોઈએ:

હવે ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રને જોઈએ, જે થોડા સમય પહેલા મેળવેલા છે:
અથવા

આપણે શેના માટે પ્રયત્નશીલ છીએ? તે સાચું છે, ગ્રાફ બતાવે છે કે તે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. એટલે કે, at, અનુક્રમે લગભગ સમાન હશે, જ્યારે અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ ત્યારે આપણને લગભગ મળશે. આ સંદર્ભમાં, અમે માનીએ છીએ કે અસંખ્ય રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળાની ગણતરી કરતી વખતે, આ કૌંસની અવગણના કરી શકાય છે, કારણ કે તે સમાન હશે.

- સૂત્ર એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો છે.

મહત્વપૂર્ણ!અમે અમર્યાદિત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ ત્યારે જ કરીએ છીએ જો સ્થિતિ સ્પષ્ટપણે જણાવે કે આપણે સરવાળો શોધવાની જરૂર છે અનંતસભ્યોની સંખ્યા.

જો કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા n ઉલ્લેખિત હોય, તો પછી આપણે n શબ્દોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, ભલે અથવા.

હવે પ્રેક્ટિસ કરીએ.

1. અને સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ પદોનો સરવાળો શોધો.
2. અને સાથે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો શોધો.

હું આશા રાખું છું કે તમે અત્યંત સાવચેત હતા. ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:

હવે તમે ભૌમિતિક પ્રગતિ વિશે બધું જ જાણો છો, અને હવે સિદ્ધાંતથી પ્રેક્ટિસ તરફ જવાનો સમય છે. પરીક્ષામાં સૌથી સામાન્ય ભૌમિતિક પ્રગતિ સમસ્યાઓ એ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરવામાં આવતી સમસ્યાઓ છે. આ તે છે જેના વિશે આપણે વાત કરીશું.

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરવામાં સમસ્યાઓ.

તમે કદાચ કહેવાતા સંયોજન વ્યાજ સૂત્ર વિશે સાંભળ્યું હશે. શું તમે તેનો અર્થ સમજો છો? જો નહીં, તો ચાલો તેને શોધી કાઢીએ, કારણ કે એકવાર તમે પ્રક્રિયા પોતે જ સમજી લો, તમે તરત જ સમજી શકશો કે તેની સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિનો શું સંબંધ છે.

આપણે બધા બેંકમાં જઈએ છીએ અને જાણીએ છીએ કે થાપણો માટે જુદી જુદી શરતો છે: આમાં મુદત, વધારાની સેવાઓ અને વ્યાજનો સમાવેશ થાય છે અને તેની ગણતરી કરવાની બે અલગ અલગ રીતો છે - સરળ અને જટિલ.

સાથે સરળ વ્યાજબધું વધુ કે ઓછું સ્પષ્ટ છે: ડિપોઝિટની મુદતના અંતે વ્યાજ એકવાર ઉપાર્જિત થાય છે. એટલે કે, જો આપણે કહીએ કે અમે એક વર્ષ માટે 100 રુબેલ્સ જમા કરીએ છીએ, તો તે વર્ષના અંતે જ જમા થશે. તદનુસાર, ડિપોઝિટના અંત સુધીમાં અમને રુબેલ્સ પ્રાપ્ત થશે.

સંયોજન વ્યાજ- આ એક વિકલ્પ છે જેમાં તે થાય છે વ્યાજ મૂડીકરણ, એટલે કે ડિપોઝિટની રકમમાં તેમનો ઉમેરો અને આવકની અનુગામી ગણતરી પ્રારંભિકથી નહીં, પરંતુ સંચિત થાપણની રકમમાંથી. મૂડીકરણ સતત થતું નથી, પરંતુ કેટલીક આવર્તન સાથે. નિયમ પ્રમાણે, આવા સમયગાળા સમાન હોય છે અને મોટાભાગે બેંકો એક મહિના, ક્વાર્ટર અથવા વર્ષનો ઉપયોગ કરે છે.

ચાલો ધારીએ કે આપણે વાર્ષિક સમાન રૂબલ જમા કરીએ છીએ, પરંતુ ડિપોઝિટના માસિક મૂડીકરણ સાથે. આપણે શું કરી રહ્યા છીએ?

શું તમે અહીં બધું સમજો છો? જો નહીં, તો ચાલો તેને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ આકૃતિ કરીએ.

અમે બેંકમાં રુબેલ્સ લાવ્યા. મહિનાના અંત સુધીમાં, અમારા ખાતામાં અમારા રુબેલ્સ વત્તા તેના પરના વ્યાજ સહિતની રકમ હોવી જોઈએ, એટલે કે:

સંમત છો?

આપણે તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢી શકીએ છીએ અને પછી આપણને મળે છે:

સંમત થાઓ, આ સૂત્ર પહેલાથી જ આપણે શરૂઆતમાં લખ્યું હતું તેના જેવું જ છે. ટકાવારી શોધવાનું બાકી છે

સમસ્યા નિવેદનમાં અમને વાર્ષિક દરો વિશે જણાવવામાં આવ્યું છે. જેમ તમે જાણો છો, અમે વડે ગુણાકાર કરતા નથી - અમે ટકાવારીને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, એટલે કે:

ખરું ને? હવે તમે પૂછશો કે નંબર ક્યાંથી આવ્યો? ખૂબ જ સરળ!
હું પુનરાવર્તન કરું છું: સમસ્યા નિવેદન વિશે કહે છે વાર્ષિકજે વ્યાજ મેળવે છે માસિક. જેમ તમે જાણો છો, મહિનાના એક વર્ષમાં, તે મુજબ, બેંક અમારી પાસેથી દર મહિને વાર્ષિક વ્યાજનો એક ભાગ લેશે:

સમજાયું? હવે સૂત્રનો આ ભાગ કેવો લાગશે તે લખવાનો પ્રયાસ કરો જો મેં કહ્યું કે વ્યાજની ગણતરી દરરોજ થાય છે.
શું તમે મેનેજ કર્યું? ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

શાબ્બાશ! ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: બીજા મહિનામાં અમારા ખાતામાં કેટલી રકમ જમા થશે તે લખો, સંચિત થાપણની રકમ પર વ્યાજ ઉપાડવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા.
મને જે મળ્યું તે અહીં છે:

અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

મને લાગે છે કે તમે પહેલાથી જ એક પેટર્ન જોઈ છે અને આ બધામાં ભૌમિતિક પ્રગતિ જોઈ છે. લખો કે તેના સભ્યની બરાબર શું હશે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મહિનાના અંતે અમને કેટલી રકમ મળશે.
કર્યું? ચાલો તપાસીએ!

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જો તમે સાદા વ્યાજ દરે એક વર્ષ માટે બેંકમાં નાણાં મૂકશો, તો તમને રૂબલ મળશે, અને જો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ દરે, તો તમને રૂબલ મળશે. લાભ નાનો છે, પરંતુ આ ફક્ત માં વર્ષ દરમિયાન થાય છે, પરંતુ લાંબા ગાળા માટે કેપિટલાઇઝેશન વધુ નફાકારક છે:

ચાલો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સાથે સંકળાયેલી અન્ય પ્રકારની સમસ્યા જોઈએ. તમે જે શોધી કાઢ્યું છે તે પછી, તે તમારા માટે પ્રાથમિક હશે. તેથી, કાર્ય:

ઝવેઝદા કંપનીએ 2000 માં ડોલરમાં મૂડી સાથે ઉદ્યોગમાં રોકાણ કરવાનું શરૂ કર્યું. 2001 થી દર વર્ષે, તેને પાછલા વર્ષની મૂડી જેટલો નફો મળ્યો છે. જો સર્ક્યુલેશનમાંથી નફો પાછો ખેંચવામાં ન આવે તો 2003ના અંતે ઝવેઝદા કંપનીને કેટલો નફો થશે?

2000 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.
- 2001 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.
- 2002 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.
- 2003 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.

અથવા આપણે સંક્ષિપ્તમાં લખી શકીએ:

અમારા કેસ માટે:

2000, 2001, 2002 અને 2003.

અનુક્રમે:
રૂબલ
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ સમસ્યામાં અમારી પાસે કોઈ દ્વારા અથવા દ્વારા વિભાજન નથી, કારણ કે ટકાવારી વાર્ષિક આપવામાં આવે છે અને તેની વાર્ષિક ગણતરી કરવામાં આવે છે. એટલે કે, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની સમસ્યા વાંચતી વખતે, કેટલી ટકાવારી આપવામાં આવે છે અને કયા સમયગાળામાં તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે તેના પર ધ્યાન આપો, અને પછી જ ગણતરીઓ પર આગળ વધો.
હવે તમે ભૌમિતિક પ્રગતિ વિશે બધું જાણો છો.

તાલીમ.

1. જો તે જાણીતું હોય તો ભૌમિતિક પ્રગતિનો શબ્દ શોધો, અને
2. ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ પદોનો સરવાળો શોધો જો તે જાણીતું હોય તો, અને
3. MDM કેપિટલ કંપનીએ 2003 માં ડોલરમાં મૂડી સાથે ઉદ્યોગમાં રોકાણ કરવાનું શરૂ કર્યું. 2004 થી દર વર્ષે, તેને પાછલા વર્ષની મૂડી જેટલો નફો મળ્યો છે. MSK કેશ ફ્લો કંપનીએ 2005 માં ઉદ્યોગમાં $10,000 ની રકમમાં રોકાણ કરવાનું શરૂ કર્યું, 2006 માં આ રકમમાં નફો કરવાનું શરૂ કર્યું. 2007ના અંતે એક કંપનીની મૂડી બીજી કંપની કરતા કેટલા ડોલર જેટલી છે, જો નફો ચલણમાંથી પાછો ખેંચવામાં ન આવ્યો હોય તો?

જવાબો:

1. કારણ કે સમસ્યાનું નિવેદન એવું કહેતું નથી કે પ્રગતિ અનંત છે અને તેની શરતોની ચોક્કસ સંખ્યાનો સરવાળો શોધવા માટે જરૂરી છે, ગણતરી સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:
2. 
   MDM કેપિટલ કંપની:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% વધે છે, એટલે કે, 2 ગણો.
   અનુક્રમે:
   રૂબલ
   MSK કેશ ફ્લો કંપની:

   2005, 2006, 2007.
   - દ્વારા વધે છે, એટલે કે, વખત દ્વારા.
   અનુક્રમે:
   રૂબલ
   રૂબલ

ચાલો સારાંશ આપીએ.

1) ભૌમિતિક પ્રગતિ ( ) એ એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્યથી અલગ છે, અને દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને, અગાઉના એક સમાન છે. આ સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે.

2) ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનું સમીકરણ છે.

3) અને સિવાય કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે.

• જો, તો પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે - તેઓ હકારાત્મક છે;
• જો, પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો વૈકલ્પિક ચિહ્નો;
• જ્યારે - પ્રગતિને અનંત રીતે ઘટતી કહેવામાં આવે છે.

4) , સાથે - ભૌમિતિક પ્રગતિની મિલકત (સંલગ્ન શરતો)

અથવા
, પર (સમાન અંતરની શરતો)

જ્યારે તમને તે મળે, ત્યારે તે ભૂલશો નહીં બે જવાબો હોવા જોઈએ.

દાખ્લા તરીકે,

5) ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
અથવા

જો પ્રગતિ અનંત રીતે ઘટી રહી છે, તો પછી:
અથવા

મહત્વપૂર્ણ!અમે અમર્યાદિત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ ત્યારે જ કરીએ છીએ જ્યારે સ્થિતિ સ્પષ્ટપણે જણાવે છે કે આપણે અમર્યાદિત સંખ્યાના શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે.

6) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પરની સમસ્યાઓની ગણતરી પણ ભૌમિતિક પ્રગતિની મી મુદતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, જો કે ચલણમાંથી ભંડોળ પાછું ખેંચવામાં આવ્યું ન હોય:

ભૌમિતિક પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

ભૌમિતિક પ્રગતિ( ) એ એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્યથી અલગ છે, અને દરેક શબ્દ, બીજાથી શરૂ થાય છે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને, અગાઉના એક સમાન છે. આ નંબર કહેવાય છે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ.

ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદઅને સિવાય કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે.

• જો, પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે - તે હકારાત્મક છે;
• જો, પછી પ્રગતિના તમામ અનુગામી સભ્યો વૈકલ્પિક ચિહ્નો;
• જ્યારે - પ્રગતિને અનંત રીતે ઘટતી કહેવામાં આવે છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનું સમીકરણ - .

ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોસૂત્ર દ્વારા ગણતરી:
અથવા

ભૌમિતિક પ્રગતિ, અંકગણિત પ્રગતિ સાથે, એક મહત્વપૂર્ણ સંખ્યા શ્રેણી છે જે 9મા ધોરણમાં શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ લેખમાં આપણે ભૌમિતિક પ્રગતિના છેદ અને તેનું મૂલ્ય તેના ગુણધર્મોને કેવી રીતે અસર કરે છે તે જોઈશું.

ભૌમિતિક પ્રગતિની વ્યાખ્યા

પ્રથમ, ચાલો આ સંખ્યા શ્રેણીની વ્યાખ્યા આપીએ. ભૌમિતિક પ્રગતિ એ તર્કસંગત સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જે તેના પ્રથમ તત્વને છેદ તરીકે ઓળખાતી સ્થિર સંખ્યા દ્વારા ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીને રચાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 3, 6, 12, 24, ... શ્રેણીમાંની સંખ્યાઓ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે, કારણ કે જો તમે 3 (પ્રથમ તત્વ) ને 2 વડે ગુણાકાર કરો છો, તો તમને 6 મળશે. જો તમે 6 ને 2 વડે ગુણાકાર કરો છો, તો તમને મળશે 12, અને તેથી વધુ.

વિચારણા હેઠળના ક્રમના સભ્યો સામાન્ય રીતે ai ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં i એ શ્રેણીમાંના તત્વની સંખ્યા દર્શાવતો પૂર્ણાંક છે.

પ્રગતિની ઉપરની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે ગાણિતિક ભાષામાં લખી શકાય છે: an = bn-1 * a1, જ્યાં b એ છેદ છે. આ સૂત્ર તપાસવું સરળ છે: જો n = 1, તો b1-1 = 1, અને આપણને a1 = a1 મળે છે. જો n = 2, તો પછી an = b * a1, અને આપણે ફરીથી પ્રશ્નમાં સંખ્યાઓની શ્રેણીની વ્યાખ્યા પર આવીએ છીએ. n ના મોટા મૂલ્યો માટે સમાન તર્ક ચાલુ રાખી શકાય છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ

સંખ્યા b સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે કે સમગ્ર સંખ્યા શ્રેણીમાં કયો અક્ષર હશે. છેદ b સકારાત્મક, નકારાત્મક અથવા એક કરતા મોટો અથવા ઓછો હોઈ શકે છે. ઉપરોક્ત તમામ વિકલ્પો વિવિધ ક્રમ તરફ દોરી જાય છે:

• b > 1. તર્કસંગત સંખ્યાઓની શ્રેણી વધી રહી છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1, 2, 4, 8, ... જો તત્વ a1 નકારાત્મક હોય, તો સંપૂર્ણ ક્રમ માત્ર સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં જ વધશે, પરંતુ સંખ્યાઓના સંકેતને આધારે ઘટશે.
• b = 1. ઘણી વખત આ કેસને પ્રગતિ કહેવામાં આવતી નથી, કારણ કે સમાન તર્કસંગત સંખ્યાઓની સામાન્ય શ્રેણી છે. ઉદાહરણ તરીકે, -4, -4, -4.

રકમ માટે ફોર્મ્યુલા

વિચારણા હેઠળના પ્રગતિના પ્રકારના છેદનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સમસ્યાઓના વિચારણા તરફ આગળ વધતા પહેલા, તેના પ્રથમ n તત્વોના સરવાળા માટે એક મહત્વપૂર્ણ સૂત્ર આપવું જોઈએ. સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

જો તમે પ્રગતિની શરતોના પુનરાવર્તિત ક્રમને ધ્યાનમાં લો તો તમે આ અભિવ્યક્તિ જાતે મેળવી શકો છો. એ પણ નોંધ કરો કે ઉપરોક્ત સૂત્રમાં શબ્દોની મનસ્વી સંખ્યાનો સરવાળો શોધવા માટે ફક્ત પ્રથમ તત્વ અને છેદ જાણવા માટે પૂરતું છે.

અનંત રીતે ઘટતો ક્રમ

તે શું છે તેની ઉપર સમજૂતી આપવામાં આવી હતી. હવે, Sn માટેનું સૂત્ર જાણીને, ચાલો તેને આ સંખ્યા શ્રેણીમાં લાગુ કરીએ. કારણ કે કોઈપણ સંખ્યા કે જેનું મોડ્યુલસ 1 થી વધુ ન હોય તે જ્યારે મોટી શક્તિઓ સુધી વધારવામાં આવે ત્યારે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે, b∞ => 0 જો -1

તફાવત (1 - b) હંમેશા સકારાત્મક રહેશે, છેદના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ S∞ ના સરવાળાની નિશાની તેના પ્રથમ તત્વ a1 ની નિશાની દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

હવે ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ જોઈએ જ્યાં આપણે ચોક્કસ સંખ્યાઓ પર પ્રાપ્ત જ્ઞાનને કેવી રીતે લાગુ કરવું તે બતાવીશું.

કાર્ય નંબર 1. પ્રગતિ અને સરવાળાના અજાણ્યા તત્વોની ગણતરી

ભૌમિતિક પ્રગતિ જોતાં, પ્રગતિનો છેદ 2 છે, અને તેનું પ્રથમ તત્વ 3 છે. તેના 7મા અને 10મા પદો શું સમાન હશે અને તેના સાત પ્રારંભિક તત્વોનો સરવાળો કેટલો છે?

સમસ્યાની સ્થિતિ એકદમ સરળ છે અને તેમાં ઉપરોક્ત સૂત્રોનો સીધો ઉપયોગ સામેલ છે. તેથી, તત્વ નંબર n ની ગણતરી કરવા માટે, આપણે a = bn-1 * a1 અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. 7મા તત્વ માટે આપણી પાસે છે: a7 = b6 * a1, જાણીતા ડેટાને બદલીને, આપણને મળે છે: a7 = 26 * 3 = 192. આપણે 10મી મુદત માટે તે જ કરીએ છીએ: a10 = 29 * 3 = 1536.

ચાલો સરવાળો માટે જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને શ્રેણીના પ્રથમ 7 ઘટકો માટે આ મૂલ્ય નક્કી કરીએ. અમારી પાસે છે: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

સમસ્યા નંબર 2. પ્રગતિના મનસ્વી તત્વોનો સરવાળો નક્કી કરવો

ચાલો -2 એ ભૌમિતિક પ્રગતિ bn-1 * 4 ના છેદની બરાબર છે, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે. આ શ્રેણીના 5માથી 10મા તત્વ સુધીનો સરવાળો નક્કી કરવો જરૂરી છે.

જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઊભી થયેલી સમસ્યાને સીધી રીતે ઉકેલી શકાતી નથી. તે 2 અલગ અલગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વિષયની રજૂઆતની સંપૂર્ણતા માટે, અમે બંને પ્રસ્તુત કરીએ છીએ.

પદ્ધતિ 1. વિચાર સરળ છે: તમારે પ્રથમ પદોના બે અનુરૂપ સરવાળોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, અને પછી એકમાંથી બીજાને બાદ કરો. અમે નાની રકમની ગણતરી કરીએ છીએ: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. હવે આપણે મોટી રકમની ગણતરી કરીએ છીએ: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. નોંધ કરો કે છેલ્લી અભિવ્યક્તિમાં ફક્ત 4 શબ્દોનો સારાંશ આપવામાં આવ્યો હતો, કારણ કે 5મી પહેલાથી જ તે રકમમાં શામેલ છે જેની ગણતરી સમસ્યાની શરતો અનુસાર કરવાની જરૂર છે. અંતે, અમે તફાવત લઈએ છીએ: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

પદ્ધતિ 2. સંખ્યાઓ અને ગણતરી કરતા પહેલા, તમે પ્રશ્નમાં શ્રેણીના m અને n શબ્દો વચ્ચેના સરવાળા માટે એક સૂત્ર મેળવી શકો છો. અમે પદ્ધતિ 1 ની જેમ બરાબર એ જ કરીએ છીએ, ફક્ત અમે પ્રથમ રકમની સાંકેતિક રજૂઆત સાથે કામ કરીએ છીએ. અમારી પાસે છે: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . તમે પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં જાણીતી સંખ્યાઓને બદલી શકો છો અને અંતિમ પરિણામની ગણતરી કરી શકો છો: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

સમસ્યા નંબર 3. છેદ શું છે?

ચાલો a1 = 2, ભૌમિતિક પ્રગતિના છેદને શોધીએ, જો કે તેનો અનંત સરવાળો 3 હોય, અને તે જાણીતું છે કે આ સંખ્યાઓની ઘટતી શ્રેણી છે.

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે, તેને ઉકેલવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ તે અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી. અલબત્ત, પ્રગતિના સરવાળા માટે અનંતપણે ઘટે છે. અમારી પાસે છે: S∞ = a1 / (1 - b). જ્યાંથી આપણે છેદ વ્યક્ત કરીએ છીએ: b = 1 - a1 / S∞. તે જાણીતા મૂલ્યોને બદલવા અને જરૂરી સંખ્યા મેળવવાનું બાકી છે: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 અથવા -0.333(3). જો આપણે યાદ રાખીએ કે આ પ્રકારના ક્રમ માટે મોડ્યુલસ b 1 થી આગળ ન જવું જોઈએ તો આપણે આ પરિણામને ગુણાત્મક રીતે ચકાસી શકીએ છીએ. જેમ જોઈ શકાય છે, |-1 / 3|

કાર્ય નંબર 4. સંખ્યાઓની શ્રેણી પુનઃસ્થાપિત કરવી

સંખ્યાની શ્રેણીના 2 ઘટકો આપવા દો, ઉદાહરણ તરીકે, 5મી 30 ની બરાબર છે અને 10મી 60 ની બરાબર છે. આ માહિતીમાંથી સમગ્ર શ્રેણીનું પુનર્નિર્માણ કરવું જરૂરી છે, તે જાણીને કે તે ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મોને સંતોષે છે.

સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે પહેલા દરેક જાણીતા શબ્દ માટે અનુરૂપ અભિવ્યક્તિ લખવી આવશ્યક છે. અમારી પાસે છે: a5 = b4 * a1 અને a10 = b9 * a1. હવે બીજા સમીકરણને પ્રથમ વડે વિભાજીત કરો, આપણને મળે છે: a10/a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. અહીંથી આપણે પ્રોબ્લેમ સ્ટેટમેન્ટ, b = 1.148698 માંથી ઓળખાતા શબ્દોના ગુણોત્તરનું પાંચમું મૂળ લઈને છેદ નક્કી કરીએ છીએ. અમે પરિણામી સંખ્યાને જાણીતા તત્વ માટેના એક સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, અમને મળે છે: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

આમ, અમને પ્રગતિ bn નો છેદ મળ્યો, અને ભૌમિતિક પ્રગતિ bn-1 * 17.2304966 = an, જ્યાં b = 1.148698.

ભૌમિતિક પ્રગતિ ક્યાં વપરાય છે?

જો આ સંખ્યા શ્રેણીનો કોઈ વ્યવહારિક ઉપયોગ ન હોત, તો તેનો અભ્યાસ સંપૂર્ણપણે સૈદ્ધાંતિક રસમાં ઘટાડી દેવામાં આવશે. પરંતુ આવી એપ્લિકેશન અસ્તિત્વમાં છે.

નીચે 3 સૌથી પ્રખ્યાત ઉદાહરણો છે:

• ઝેનોનો વિરોધાભાસ, જેમાં ફોરું અને હરવાફરવામાં ચપળ કે ચાલાક એચિલીસ ધીમા કાચબાને પકડી શકતો નથી, તે સંખ્યાના અનંત ઘટતા ક્રમની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.
• જો તમે ચેસબોર્ડના દરેક ચોરસ પર ઘઉંના દાણા મૂકો જેથી કરીને 1લી ચોરસ પર તમે 1 દાણા, 2જી - 2 પર, 3જી - 3 પર અને તેથી વધુ મૂકો, તો પછી બોર્ડના તમામ ચોરસ ભરવા માટે તમારે જરૂર પડશે. 18446744073709551615 અનાજ!
• "હનોઈના ટાવર" રમતમાં, ડિસ્કને એક સળિયાથી બીજામાં ખસેડવા માટે, 2n - 1 ઑપરેશન કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, તેમની સંખ્યા વપરાયેલી ડિસ્કની સંખ્યા n સાથે ઝડપથી વધે છે.

આ સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે દરેક પદ પહેલાના એક કરતા q વખતથી અલગ પડે છે. (અમે ધારીશું કે q ≠ 1, અન્યથા બધું ખૂબ તુચ્છ છે). તે જોવાનું સરળ છે કે ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર b n = b 1 q n – 1 છે; સંખ્યાઓ b n અને b m સાથેના શબ્દો q n – m વખતથી અલગ પડે છે.

પહેલેથી જ પ્રાચીન ઇજિપ્તમાં તેઓ માત્ર અંકગણિત જ નહીં, પણ ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ જાણતા હતા. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, રિન્ડ પેપિરસની સમસ્યા છે: “સાત ચહેરામાં સાત બિલાડીઓ છે; દરેક બિલાડી સાત ઉંદર ખાય છે, દરેક ઉંદર મકાઈના સાત કાન ખાય છે, અને જવના દરેક કાન સાત માપ જવ ઉગાડી શકે છે. આ શ્રેણીમાં સંખ્યાઓ અને તેમનો સરવાળો કેટલો મોટો છે?

ચોખા. 1. પ્રાચીન ઇજિપ્તીયન ભૌમિતિક પ્રગતિ સમસ્યા

આ કાર્ય અન્ય સમયે અન્ય લોકોમાં વિવિધ ફેરફારો સાથે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થયું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, 13મી સદીમાં લખાયેલ. પીસા (ફિબોનાકી) ના લિયોનાર્ડો દ્વારા "ધ બુક ઓફ ધ એબેકસ" માં એક સમસ્યા છે જેમાં 7 વૃદ્ધ મહિલાઓ રોમ (દેખીતી રીતે યાત્રાળુઓ) જતા માર્ગ પર દેખાય છે, જેમાંથી દરેકની પાસે 7 ખચ્ચર છે, જેમાંની દરેક પાસે 7 બેગ છે, જેમાંથી દરેક 7 રોટલી ધરાવે છે, જેમાંના દરેકમાં 7 છરીઓ છે, જેમાંના દરેકમાં 7 આવરણ છે. સમસ્યા પૂછે છે કે ત્યાં કેટલી વસ્તુઓ છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . આ સૂત્ર સાબિત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

સંખ્યા b 1 q n ને S n માં ઉમેરો અને મેળવો:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

અહીંથી S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), અને આપણને જરૂરી સૂત્ર મળે છે.

પહેલાથી જ પ્રાચીન બેબીલોનની માટીની ગોળીઓમાંની એક પર, 6 ઠ્ઠી સદીની છે. પૂર્વે e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 નો સરવાળો ધરાવે છે. સાચું છે, અન્ય સંખ્યાબંધ કેસોની જેમ, અમે જાણતા નથી કે આ હકીકત બેબીલોનીઓ માટે કેવી રીતે જાણીતી હતી .

સંખ્યાબંધ સંસ્કૃતિઓમાં ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ઝડપી વધારો, ખાસ કરીને ભારતીયમાં, બ્રહ્માંડની વિશાળતાના દ્રશ્ય પ્રતીક તરીકે વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. ચેસના દેખાવ વિશેની પ્રખ્યાત દંતકથામાં, શાસક તેના શોધકને ઈનામ પોતે પસંદ કરવાની તક આપે છે, અને તે ઘઉંના દાણાની સંખ્યા માટે પૂછે છે જે એકને ચેસબોર્ડના પ્રથમ ચોરસ પર મૂકવામાં આવે તો પ્રાપ્ત થશે, બે પર. બીજા, ત્રીજા પર ચાર, ચોથા પર આઠ, અને વગેરે, દરેક વખતે સંખ્યા બમણી થાય છે. વ્લાદિકાએ વિચાર્યું કે મોટાભાગે આપણે થોડી બેગ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, પરંતુ તેણે ખોટી ગણતરી કરી. તે જોવાનું સરળ છે કે ચેસબોર્ડના તમામ 64 ચોરસ માટે શોધકને (2 64 - 1) અનાજ પ્રાપ્ત કરવા પડશે, જે 20-અંકની સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે; જો પૃથ્વીની સમગ્ર સપાટી પર વાવણી કરવામાં આવે તો પણ જરૂરી માત્રામાં અનાજ એકત્રિત કરવામાં ઓછામાં ઓછા 8 વર્ષ લાગશે. આ દંતકથાને કેટલીકવાર ચેસની રમતમાં છુપાયેલી વર્ચ્યુઅલ અમર્યાદિત શક્યતાઓ દર્શાવતી અર્થઘટન કરવામાં આવે છે.

તે જોવાનું સરળ છે કે આ સંખ્યા ખરેખર 20-અંકની છે:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (વધુ સચોટ ગણતરી 1.84∙10 19 આપે છે). પરંતુ મને આશ્ચર્ય થાય છે કે શું તમે શોધી શકો છો કે આ સંખ્યા કયા અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે?

જો છેદ 1 કરતા વધારે હોય તો ભૌમિતિક પ્રગતિ વધી શકે છે, અથવા જો તે એક કરતા ઓછી હોય તો ઘટાડો થઈ શકે છે. પછીના કિસ્સામાં, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે q n સંખ્યા મનસ્વી રીતે નાની બની શકે છે. જ્યારે વધતી ભૌમિતિક પ્રગતિ અણધારી રીતે ઝડપથી વધે છે, ત્યારે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ એટલી જ ઝડપથી ઘટે છે.

n જેટલી મોટી, નબળી સંખ્યા q n શૂન્યથી અલગ પડે છે અને ભૌમિતિક પ્રગતિ S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) ની સંખ્યા S = b 1 / ( 1 – q). (ઉદાહરણ તરીકે, એફ. વિયેટે આ રીતે તર્ક આપ્યો). સંખ્યા S ને અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો કહેવામાં આવે છે. જો કે, ઘણી સદીઓથી, આખી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સારાંશ આપવાનો અર્થ શું છે તે પ્રશ્ન, તેના અસંખ્ય શબ્દો સાથે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે પૂરતો સ્પષ્ટ નહોતો.

ઘટતી જતી ભૌમિતિક પ્રગતિ જોઈ શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઝેનોના એપોરિયાસ “હાફ ડિવિઝન” અને “એચિલીસ એન્ડ ધ ટોર્ટોઈઝ”માં. પ્રથમ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટપણે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે સમગ્ર માર્ગ (લંબાઈ 1 ધારી રહ્યા છીએ) એ 1/2, 1/4, 1/8, વગેરેની અનંત સંખ્યાનો સરવાળો છે. આ, અલબત્ત, આમાંથી કેસ છે. મર્યાદિત રકમની અનંત ભૌમિતિક પ્રગતિ વિશેના વિચારોનો દૃષ્ટિકોણ. અને હજુ સુધી - આ કેવી રીતે હોઈ શકે?

ચોખા. 2. 1/2 ના ગુણાંક સાથે પ્રગતિ

એચિલીસ વિશેના અપોરિયામાં, પરિસ્થિતિ થોડી વધુ જટિલ છે, કારણ કે અહીં પ્રગતિનો છેદ 1/2 નથી, પરંતુ કેટલીક અન્ય સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, એચિલીસને v ઝડપે દોડવા દો, કાચબો u ઝડપે ચાલે છે અને તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર l છે. એચિલીસ સમય l/v માં આ અંતર કાપશે, અને આ સમય દરમિયાન કાચબો l/v અંતરે જશે. જ્યારે એચિલીસ આ સેગમેન્ટમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તેની અને કાચબા વચ્ચેનું અંતર l (u /v) 2, વગેરે જેટલું થઈ જશે. તે તારણ આપે છે કે કાચબાને પકડવાનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ સાથે અસંખ્ય રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો શોધવો. શબ્દ l અને છેદ u/v. આ સરવાળો - જે સેગમેન્ટમાં એચિલીસ આખરે કાચબા સાથે મીટિંગ સ્થળ પર દોડશે - તે l / (1 – u /v) = lv / (v – u) ની બરાબર છે. પરંતુ, ફરીથી, આ પરિણામનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું જોઈએ અને તે શા માટે કોઈ અર્થમાં છે તે લાંબા સમયથી ખૂબ સ્પષ્ટ ન હતું.

ચોખા. 3. 2/3 ના ગુણાંક સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ

આર્કિમિડીસે પેરાબોલા સેગમેન્ટનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. પેરાબોલાના આ સેગમેન્ટને તાર AB દ્વારા સીમાંકિત કરવા દો અને પેરાબોલાના બિંદુ D પરના સ્પર્શકને AB ની સમાંતર રહેવા દો. C એ AB નો મધ્યબિંદુ છે, E એ AC નો મધ્યબિંદુ છે, F એ CB નો મધ્યબિંદુ છે. ચાલો બિંદુઓ A, E, F, B દ્વારા ડીસીની સમાંતર રેખાઓ દોરીએ; બિંદુ D પર દોરેલા સ્પર્શકને K, L, M, N બિંદુઓ પર આ રેખાઓને છેદવા દો. ચાલો AD અને DB સેગમેન્ટ્સ પણ દોરીએ. રેખા EL ને બિંદુ G પર રેખા AD અને બિંદુ H પર પેરાબોલાને છેદવા દો; રેખા FM બિંદુ Q પર રેખા DB ને અને બિંદુ R પર પેરાબોલાને છેદે છે. કોનિક વિભાગોના સામાન્ય સિદ્ધાંત મુજબ, DC એ પેરાબોલાના વ્યાસ છે (એટલે ​​​​કે, તેની ધરીની સમાંતર એક સેગમેન્ટ); તે અને બિંદુ D પરનો સ્પર્શક સંકલન અક્ષ x અને y તરીકે સેવા આપી શકે છે, જેમાં પેરાબોલાના સમીકરણને y 2 = 2px તરીકે લખવામાં આવે છે (x એ D થી આપેલ વ્યાસના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર છે, y એ લંબાઈ છે વ્યાસના આ બિંદુથી પેરાબોલાના જ અમુક બિંદુ સુધી આપેલ સ્પર્શકને સમાંતર એક સેગમેન્ટ).

પેરાબોલા સમીકરણના આધારે, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, અને ત્યારથી DK = 2DL, તો KA = 4LH. કારણ કે KA = 2LG, LH = HG. પેરાબોલાના સેગમેન્ટ ADBનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔADB ના ક્ષેત્રફળ અને AHD અને DRB ના સંયુક્ત ક્ષેત્રોના ક્ષેત્ર જેટલું છે. બદલામાં, એએચડી સેગમેન્ટનો વિસ્તાર એ જ રીતે ત્રિકોણ એએચડી અને બાકીના સેગમેન્ટ્સ એએચ અને એચડીના વિસ્તાર જેટલો છે, જેમાંના દરેક સાથે તમે સમાન કામગીરી કરી શકો છો - ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરો (Δ) અને બે બાકી સેગમેન્ટ્સ (), વગેરે:

ત્રિકોણ ΔAHD નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔALD ના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે (તેમની પાસે એક સામાન્ય આધાર AD છે, અને ઊંચાઈ 2 ગણાથી અલગ છે), જે બદલામાં, ΔALD ના અડધા ક્ષેત્રફળની બરાબર છે. ત્રિકોણ ΔAKD, અને તેથી ત્રિકોણ ΔACD નો અડધો વિસ્તાર. આમ, ત્રિકોણ ΔAHD નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔACD ના ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગ જેટલું છે. તેવી જ રીતે, ત્રિકોણ ΔDRB નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔDFB ના ક્ષેત્રફળના એક ચતુર્થાંશ જેટલું છે. તેથી, ત્રિકોણ ΔAHD અને ΔDRB ના ક્ષેત્રો, એકસાથે લેવામાં આવે છે, ત્રિકોણ ΔADB ના ક્ષેત્રફળના એક ક્વાર્ટર જેટલા છે. જ્યારે AH, HD, DR અને RB સેગમેન્ટ્સ પર લાગુ થાય છે ત્યારે આ ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવાથી તેમાંથી ત્રિકોણ પસંદ કરવામાં આવશે, જેનું ક્ષેત્રફળ, એકસાથે લેવામાં આવશે, તે ત્રિકોણ ΔAHD અને ΔDRB ના ક્ષેત્રફળ કરતાં 4 ગણું ઓછું હશે, અને તેથી ત્રિકોણ ΔADB ના ક્ષેત્રફળ કરતા 16 ગણું ઓછું. અને તેથી વધુ:

આમ, આર્કિમિડીસે સાબિત કર્યું કે "સીધી રેખા અને પેરાબોલાની વચ્ચે સમાયેલ દરેક સેગમેન્ટ સમાન આધાર અને સમાન ઊંચાઈ ધરાવતા ત્રિકોણના ચાર તૃતીયાંશ ભાગ ધરાવે છે."

ચાલો ચોક્કસ શ્રેણી ધ્યાનમાં લઈએ.

7 28 112 448 1792...

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે તેના કોઈપણ તત્વોનું મૂલ્ય અગાઉના એક કરતા બરાબર ચાર ગણું વધારે છે. મતલબ કે આ શ્રેણી એક પ્રગતિ છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંખ્યાઓનો અનંત ક્રમ છે, જેનું મુખ્ય લક્ષણ એ છે કે આગલી સંખ્યા ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને પાછલી સંખ્યામાંથી મેળવવામાં આવે છે. આ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.

a z +1 =a z·q, જ્યાં z એ પસંદ કરેલ તત્વની સંખ્યા છે.

તદનુસાર, z ∈ N.

જે સમયગાળો શાળામાં ભૌમિતિક પ્રગતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે 9મો ધોરણ છે. ઉદાહરણો તમને ખ્યાલને સમજવામાં મદદ કરશે:

0.25 0.125 0.0625...

આ સૂત્રના આધારે, પ્રગતિનો છેદ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે:

ન તો q કે b z શૂન્ય હોઈ શકે. ઉપરાંત, પ્રગતિના દરેક ઘટકો શૂન્ય સમાન ન હોવા જોઈએ.

તદનુસાર, શ્રેણીમાં આગળની સંખ્યા શોધવા માટે, તમારે છેલ્લી સંખ્યાને q વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

આ પ્રગતિને સેટ કરવા માટે, તમારે તેના પ્રથમ ઘટક અને છેદનો ઉલ્લેખ કરવો આવશ્યક છે. આ પછી, અનુગામી શરતો અને તેમના સરવાળામાંથી કોઈપણ શોધવાનું શક્ય છે.

જાતો

q અને a 1 પર આધાર રાખીને, આ પ્રગતિને ઘણા પ્રકારોમાં વહેંચવામાં આવી છે:

• જો 1 અને q બંને એક કરતા વધારે હોય, તો આવો ક્રમ એ દરેક અનુગામી તત્વ સાથે વધતી ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. આનું ઉદાહરણ નીચે પ્રસ્તુત છે.

ઉદાહરણ: a 1 =3, q=2 - બંને પરિમાણો એક કરતા વધારે છે.

પછી સંખ્યા ક્રમ આ રીતે લખી શકાય છે:

3 6 12 24 48 ...

• જો |q| એક કરતાં ઓછી છે, એટલે કે, તેના દ્વારા ગુણાકાર એ ભાગાકારની સમકક્ષ છે, તો સમાન પરિસ્થિતિઓ સાથેની પ્રગતિ એ ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. આનું ઉદાહરણ નીચે પ્રસ્તુત છે.

ઉદાહરણ: a 1 =6, q=1/3 - a 1 એક કરતા મોટો છે, q ઓછો છે.

પછી સંખ્યાનો ક્રમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.

6 2 2/3 ... - કોઈપણ તત્વ તેને અનુસરતા તત્વ કરતાં 3 ગણું મોટું હોય છે.

• વૈકલ્પિક ચિહ્ન. જો q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ઉદાહરણ: a 1 = -3, q = -2 - બંને પરિમાણો શૂન્ય કરતા ઓછા છે.

પછી સંખ્યા ક્રમ આ રીતે લખી શકાય છે:

3, 6, -12, 24,...

સૂત્રો

ભૌમિતિક પ્રગતિના અનુકૂળ ઉપયોગ માટે ઘણા સૂત્રો છે:

• Z- ટર્મ ફોર્મ્યુલા. તમને પહેલાની સંખ્યાઓની ગણતરી કર્યા વિના ચોક્કસ સંખ્યા હેઠળ તત્વની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ:q = 3, a 1 = 4. પ્રગતિના ચોથા તત્વની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• પ્રથમ ઘટકોનો સરવાળો જેની માત્રા બરાબર છે z. સુધીના ક્રમના તમામ ઘટકોના સરવાળાની ગણતરી કરવાની તમને પરવાનગી આપે છેa zવ્યાપક.

ત્યારથી (1-q) છેદમાં છે, પછી (1 - q)≠ 0, તેથી q 1 ની બરાબર નથી.

નોંધ: જો q=1 હોય, તો પ્રગતિ અનંત પુનરાવર્તિત સંખ્યાઓની શ્રેણી હશે.

ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો, ઉદાહરણો:a 1 = 2, q= -2. S5 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:એસ 5 = 22 - સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી.

• રકમ જો |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ઉદાહરણ:a 1 = 2 , q= 0.5. રકમ શોધો.

ઉકેલ:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

કેટલાક ગુણધર્મો:

• લાક્ષણિક મિલકત. જો નીચેની સ્થિતિ કોઈપણ માટે કામ કરે છેz, તો આપેલ સંખ્યા શ્રેણી ભૌમિતિક પ્રગતિ છે:

a z 2 = a z -1 · az+1

• ઉપરાંત, ભૌમિતિક પ્રગતિમાં કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ આપેલ શ્રેણીમાં કોઈપણ અન્ય બે સંખ્યાઓના વર્ગો ઉમેરીને જોવા મળે છે, જો તેઓ આ તત્વથી સમાન અંતરે હોય.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , ક્યાંt- આ સંખ્યાઓ વચ્ચેનું અંતર.

• તત્વોq માં અલગએકવાર
• પ્રગતિના તત્વોના લઘુગણક પણ પ્રગતિ બનાવે છે, પરંતુ અંકગણિત, એટલે કે, તેમાંથી દરેક ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા અગાઉના એક કરતા વધારે છે.

કેટલીક ક્લાસિક સમસ્યાઓના ઉદાહરણો

ભૌમિતિક પ્રગતિ શું છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, વર્ગ 9 માટેના ઉકેલો સાથેના ઉદાહરણો મદદ કરી શકે છે.

• શરતો:a 1 = 3, a 3 = 48. શોધોq.

ઉકેલ: દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એક કરતાં વધારે છેq એકવારછેદનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક ઘટકોને અન્યના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવું જરૂરી છે.

આથી,a 3 = q 2 · a 1

જ્યારે અવેજીq= 4

• શરતો:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:આ કરવા માટે, ફક્ત q, પ્રથમ તત્વ શોધો અને તેને સૂત્રમાં બદલો.

a 3 = q· a 2 , તેથી,q= 2

a 2 = q · એ 1,એ કારણે a 1 = 3

એસ 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. પ્રગતિનું ચોથું તત્વ શોધો.

ઉકેલ: આ કરવા માટે, ચોથા તત્વને પ્રથમ અને છેદ દ્વારા વ્યક્ત કરવા માટે તે પૂરતું છે.

a 4 = q 3· a 1 = -80

એપ્લિકેશન ઉદાહરણ:

• બેંક ક્લાયન્ટે 10,000 રુબેલ્સની રકમમાં ડિપોઝિટ કરી હતી, જેની શરતો હેઠળ દર વર્ષે ક્લાયન્ટ પાસે તેમાંથી 6% મુખ્ય રકમમાં ઉમેરવામાં આવશે. 4 વર્ષ પછી ખાતામાં કેટલા પૈસા આવશે?

ઉકેલ: પ્રારંભિક રકમ 10 હજાર રુબેલ્સ છે. આનો અર્થ એ છે કે રોકાણના એક વર્ષ પછી ખાતામાં 10,000 + 10,000 જેટલી રકમ હશે. · 0.06 = 10000 1.06

તદનુસાર, બીજા વર્ષ પછી ખાતામાંની રકમ નીચે મુજબ વ્યક્ત કરવામાં આવશે:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

એટલે કે દર વર્ષે રકમમાં 1.06 ગણો વધારો થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે 4 વર્ષ પછી ખાતામાં ભંડોળની રકમ શોધવા માટે, તે પ્રગતિના ચોથા ઘટકને શોધવા માટે પૂરતું છે, જે 10 હજારના સમાન પ્રથમ ઘટક અને 1.06 સમાન છેદ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

સરવાળાની ગણતરીની સમસ્યાઓના ઉદાહરણો:

ભૌમિતિક પ્રગતિનો ઉપયોગ વિવિધ સમસ્યાઓમાં થાય છે. સરવાળો શોધવા માટેનું ઉદાહરણ નીચે મુજબ આપી શકાય.

a 1 = 4, q= 2, ગણતરી કરોએસ 5.

ઉકેલ: ગણતરી માટે જરૂરી તમામ ડેટા જાણીતો છે, તમારે ફક્ત તેમને ફોર્મ્યુલામાં બદલવાની જરૂર છે.

એસ 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. પ્રથમ છ ઘટકોના સરવાળાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:

જીઓમમાં. પ્રગતિ, દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતાં q ગણું વધારે છે, એટલે કે, સરવાળાની ગણતરી કરવા માટે તમારે તત્વ જાણવાની જરૂર છેa 1 અને છેદq.

a 2 · q = a 3

q = 3

એ જ રીતે, તમારે શોધવાની જરૂર છેa 1 , જાણીનેa 2 અનેq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

એસ 6 = 728.

પાઠનો હેતુ: વિદ્યાર્થીઓને નવા પ્રકારના ક્રમ સાથે પરિચય કરાવવો - અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ.
કાર્યો:
સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદાનો પ્રારંભિક વિચાર ઘડવો;
અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરવાની બીજી રીતથી પરિચિતતા;
શાળાના બાળકોના વ્યક્તિત્વના બૌદ્ધિક ગુણોનો વિકાસ જેમ કે તાર્કિક વિચારસરણી, મૂલ્યાંકનાત્મક ક્રિયાઓ કરવાની ક્ષમતા અને સામાન્યીકરણ;
ઉત્તેજન પ્રવૃત્તિ, પરસ્પર સહાયતા, સામૂહિકવાદ અને વિષયમાં રસ.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

વિષય પર પાઠ "અનંતપણે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ઘટાડો" (બીજગણિત, 10મો ગ્રેડ)

પાઠનો હેતુ: વિદ્યાર્થીઓને નવા પ્રકારના ક્રમ સાથે પરિચય કરાવવો - અનંતપણે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ.

કાર્યો:

સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદાનો પ્રારંભિક વિચાર ઘડવો; અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરવાની બીજી રીતથી પરિચિતતા;

શાળાના બાળકોના વ્યક્તિત્વના બૌદ્ધિક ગુણોનો વિકાસ જેમ કે તાર્કિક વિચારસરણી, મૂલ્યાંકનાત્મક ક્રિયાઓ કરવાની ક્ષમતા અને સામાન્યીકરણ;

ઉત્તેજન પ્રવૃત્તિ, પરસ્પર સહાયતા, સામૂહિકવાદ અને વિષયમાં રસ.

સાધન: કમ્પ્યુટર વર્ગ, પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન.

પાઠનો પ્રકાર: પાઠ - નવો વિષય શીખવો.

વર્ગો દરમિયાન

I. Org. ક્ષણ પાઠનો વિષય અને હેતુ જણાવો.

II. વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું.

9મા ધોરણમાં તમે અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિનો અભ્યાસ કર્યો.

પ્રશ્નો

1. અંકગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યા.

(એક અંકગણિત પ્રગતિ એ એક ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય

બીજાથી શરૂ કરીને, તે સમાન સંખ્યામાં ઉમેરવામાં આવેલા પાછલા શબ્દની બરાબર છે).

2. ફોર્મ્યુલા એન અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ

3. પ્રથમના સરવાળા માટેનું સૂત્ર n અંકગણિત પ્રગતિની શરતો.

(અથવા)

4. ભૌમિતિક પ્રગતિની વ્યાખ્યા.

(ભૌમિતિક પ્રગતિ એ બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ છે

જેમાંથી દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે અગાઉના પદ સાથે ગુણાકારની બરાબર છે

સમાન સંખ્યા).

5. ફોર્મ્યુલા એન ભૌમિતિક પ્રગતિની મી મુદત

6. પ્રથમના સરવાળા માટેનું સૂત્ર n ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યો.

7. તમે અન્ય કયા સૂત્રો જાણો છો?

(, ક્યાં; ;

; , )

કાર્યો

1. અંકગણિત પ્રગતિ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે a n = 7 – 4n . 10 શોધો. (-33)

2. અંકગણિત પ્રગતિમાં a 3 = 7 અને a 5 = 1 . 4 શોધો. (4)

3. અંકગણિત પ્રગતિમાં a 3 = 7 અને a 5 = 1 . 17 શોધો. (-35)

4. અંકગણિત પ્રગતિમાં a 3 = 7 અને a 5 = 1 . S 17 શોધો. (-187)

5. ભૌમિતિક પ્રગતિ માટેપાંચમી મુદત શોધો.

6. ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે nth શબ્દ શોધો.

7. ઘાતક રીતે b 3 = 8 અને b 5 = 2. b 4 શોધો. (4)

8. ઘાતક રીતે b 3 = 8 અને b 5 = 2. b 1 અને q શોધો.

9. ઘાતક રીતે b 3 = 8 અને b 5 = 2. S5 શોધો. (62)

III. નવો વિષય શીખવો(પ્રસ્તુતિનું પ્રદર્શન).

1 ની બરાબર બાજુવાળા ચોરસને ધ્યાનમાં લો. ચાલો બીજો ચોરસ દોરીએ જેની બાજુ પહેલા ચોરસની અડધી સાઈઝ હોય, પછી બીજો એક જેની બાજુ અડધી સેકન્ડ હોય, પછી આગળનો, વગેરે. દરેક વખતે નવા ચોરસની બાજુ અગાઉના ચોરસના અડધા જેટલી હોય છે.

પરિણામે, અમને ચોરસની બાજુઓનો ક્રમ મળ્યોછેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે.

અને, જે ખૂબ મહત્વનું છે, આપણે આવા ચોરસ જેટલા વધુ બનાવીશું, ચોરસની બાજુ જેટલી નાની હશે.દાખ્લા તરીકે ,

તે. જેમ જેમ નંબર n વધે છે તેમ, પ્રગતિની શરતો શૂન્ય સુધી પહોંચે છે.

આ આંકડોનો ઉપયોગ કરીને, તમે બીજા ક્રમને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો.

ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ વિસ્તારોનો ક્રમ:

અને, ફરીથી, જો એન અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે, પછી વિસ્તાર શૂન્યની નજીક તમને ગમે તેટલો નજીક આવે છે.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. 1 સે.મી.ની બરાબર બાજુઓ સાથેનો સમભુજ ત્રિકોણ. ચાલો ત્રિકોણની મધ્યરેખા વિશેના પ્રમેય મુજબ, પ્રથમ ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાં શિરોબિંદુઓ સાથે નીચેનો ત્રિકોણ બનાવીએ - 2જીની બાજુ પ્રથમની અડધી બાજુની બરાબર છે, 3જીની બાજુ 2જીની અડધી બાજુની બરાબર છે, વગેરે. ફરીથી આપણે ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈનો ક્રમ મેળવીએ છીએ.

ખાતે

જો આપણે નકારાત્મક છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિને ધ્યાનમાં લઈએ.

પછી, ફરીથી, વધતી સંખ્યા સાથે n પ્રગતિના અભિગમની શરતો શૂન્ય.

ચાલો આ સિક્વન્સના છેદ પર ધ્યાન આપીએ. દરેક જગ્યાએ છેદ ચોક્કસ મૂલ્યમાં 1 કરતા ઓછા હતા.

અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ: જો તેના છેદનું મોડ્યુલસ 1 કરતા ઓછું હોય તો ભૌમિતિક પ્રગતિ અનંતપણે ઘટશે.

આગળનું કામ.

વ્યાખ્યા:

જો તેના છેદનું મોડ્યુલસ એક કરતા ઓછું હોય તો ભૌમિતિક પ્રગતિને અનંતપણે ઘટતી હોવાનું કહેવાય છે..

વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, તમે નક્કી કરી શકો છો કે ભૌમિતિક પ્રગતિ અનંતપણે ઘટી રહી છે કે નહીં.

કાર્ય

જો તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે તો શું ક્રમ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ છે:

ઉકેલ:

ચાલો q શોધીએ.

; ; ; .

આ ભૌમિતિક પ્રગતિ અનંતપણે ઘટી રહી છે.

b) આ ક્રમ એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ નથી.

1 ની બરાબર બાજુવાળા ચોરસને ધ્યાનમાં લો. તેને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો, અર્ધભાગોમાંથી એકને અડધા ભાગમાં વહેંચો, વગેરે. તમામ પરિણામી લંબચોરસના ક્ષેત્રો અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે:

આ રીતે મેળવેલા તમામ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો 1લા ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો અને 1 ની બરાબર હશે.

પરંતુ આ સમાનતાની ડાબી બાજુએ અસંખ્ય પદોનો સરવાળો છે.

ચાલો પ્રથમ n પદોના સરવાળાને ધ્યાનમાં લઈએ.

ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ n શરતોના સરવાળા માટેના સૂત્ર મુજબ, તે બરાબર છે.

જો એન પછી મર્યાદા વિના વધે છે

અથવા તેથી, એટલે કે. .

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળોક્રમ મર્યાદા છે S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિ માટે,

અમારી પાસે

કારણ કે

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળોસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

III. સમજણ અને એકત્રીકરણ(કાર્યો પૂર્ણ કરવા).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. સારાંશ.

આજે તમે કયા ક્રમથી પરિચિત થયા?

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરો.

કેવી રીતે સાબિત કરવું કે ભૌમિતિક પ્રગતિ અનંતપણે ઘટી રહી છે?

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્ર આપો.

V. હોમવર્ક.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

દરેક વ્યક્તિ સતત વિચારવા, પુરાવા સાથે ન્યાય કરવા અને ખોટા તારણોનું ખંડન કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ: ભૌતિકશાસ્ત્રી અને કવિ, ટ્રેક્ટર ડ્રાઈવર અને રસાયણશાસ્ત્રી. E. Kolman ગણિતમાં, વ્યક્તિએ સૂત્રોને નહીં, પરંતુ વિચારવાની પ્રક્રિયાઓ યાદ રાખવી જોઈએ. વી.પી. એર્માકોવ ગણિતશાસ્ત્રીને પાછળ છોડી દેવા કરતાં વર્તુળનું વર્ગીકરણ શોધવું સહેલું છે. ઓગસ્ટસ ડી મોર્ગન કયું વિજ્ઞાન ગણિત કરતાં માનવતા માટે વધુ ઉમદા, વધુ પ્રશંસનીય, વધુ ઉપયોગી હોઈ શકે? ફ્રેન્કલીન

ભૌમિતિક પ્રગતિ ગ્રેડ 10 માં અનંતપણે ઘટાડો

આઈ. અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ. પ્રશ્નો 1. અંકગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યા. અંકગણિત પ્રગતિ એ એક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યામાં ઉમેરવામાં આવેલા પાછલા પદની બરાબર હોય છે. 2. અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર. 3. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n શરતોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર. 4. ભૌમિતિક પ્રગતિની વ્યાખ્યા. ભૌમિતિક પ્રગતિ એ બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ છે, જેમાંથી દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, સમાન સંખ્યા 5 વડે ગુણાકાર કરતા પહેલાના પદની બરાબર છે. ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર. 6. ભૌમિતિક પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર.

II. અંકગણિત પ્રગતિ. કાર્યો a n = 7 – 4 n એ 10 શોધો સૂત્ર દ્વારા અંકગણિતની પ્રગતિ આપવામાં આવે છે. (-33) 2. અંકગણિત પ્રગતિમાં, a 3 = 7 અને a 5 = 1. 4 શોધો. (4) 3. અંકગણિત પ્રગતિમાં a 3 = 7 અને a 5 = 1. 17 શોધો. (-35) 4. અંકગણિત પ્રગતિમાં, a 3 = 7 અને a 5 = 1. S 17 શોધો. (-187)

II. ભૌમિતિક પ્રગતિ. કાર્યો 5. ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે, પાંચમો પદ શોધો 6. ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે, nમો શબ્દ શોધો. 7. ભૌમિતિક પ્રગતિમાં b 3 = 8 અને b 5 = 2. b 4 શોધો. (4) 8. ભૌમિતિક પ્રગતિમાં b 3 = 8 અને b 5 = 2. b 1 અને q શોધો. 9. ભૌમિતિક પ્રગતિમાં b 3 = 8 અને b 5 = 2. S5 શોધો. (62)

વ્યાખ્યા: જો તેના છેદનું મોડ્યુલસ એક કરતા ઓછું હોય તો ભૌમિતિક પ્રગતિને અનંતપણે ઘટતું કહેવામાં આવે છે.

સમસ્યા નંબર 1 શું ક્રમ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જો તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ઉકેલ: a) આ ભૌમિતિક પ્રગતિ અનંત રીતે ઘટી રહી છે. b) આ ક્રમ એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ નથી.

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો એ S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... ક્રમની મર્યાદા છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે પ્રગતિ માટે છે કારણ કે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે

કાર્યો પૂર્ણ કરી રહ્યા છીએ પ્રથમ પદ 3, બીજા 0.3 સાથે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો શોધો. 2. નંબર 13; નંબર 14; પાઠ્યપુસ્તક, પૃષ્ઠ 138 3. નંબર 15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. નંબર 19; નંબર 20.

આજે તમે કયા ક્રમથી પરિચિત થયા? અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરો. કેવી રીતે સાબિત કરવું કે ભૌમિતિક પ્રગતિ અનંતપણે ઘટી રહી છે? અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્ર આપો. પ્રશ્નો

પ્રખ્યાત પોલિશ ગણિતશાસ્ત્રી હ્યુગો સ્ટેઈનહોસ મજાકમાં દાવો કરે છે કે એક કાયદો છે જે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યો છે: એક ગણિતશાસ્ત્રી તે વધુ સારું કરશે. જેમ કે, જો તમે બે લોકોને સોંપો છો, જેમાંથી એક ગણિતશાસ્ત્રી છે, તેમના માટે અજાણ્યા કોઈપણ કાર્ય કરવા માટે, તો પરિણામ હંમેશા નીચે મુજબ હશે: ગણિતશાસ્ત્રી તે વધુ સારી રીતે કરશે. હ્યુગો સ્ટેઈનહોસ 01/14/1887-02/25/1972