ขอแสดงความยินดี: วันนี้เราจะวิเคราะห์ราก - หนึ่งในหัวข้อที่เหลือเชื่อที่สุดของเกรด 8 :)
หลายคนสับสนเกี่ยวกับรากศัพท์ ไม่ใช่เพราะมันซับซ้อน (ซึ่งซับซ้อน - คำจำกัดความสองสามคำและคุณสมบัติอีกสองสามอย่าง) แต่เนื่องจากในหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่ รากศัพท์ถูกกำหนดผ่านความดุร้ายที่มีเพียงผู้เขียนตำราเองเท่านั้น สามารถเข้าใจการขีดเขียนนี้ และแม้กระทั่งกับวิสกี้ชั้นดีหนึ่งขวดเท่านั้น :)
ดังนั้นตอนนี้ฉันจะให้คำจำกัดความที่ถูกต้องและมีความสามารถมากที่สุดของรูทซึ่งเป็นคำเดียวที่คุณต้องจำจริงๆ จากนั้นฉันจะอธิบายว่าทำไมทั้งหมดนี้จึงจำเป็นและจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร
แต่ก่อนอื่น ให้จำประเด็นสำคัญข้อหนึ่งซึ่งผู้รวบรวมตำราเรียนหลายคน "ลืม" ด้วยเหตุผลบางประการเกี่ยวกับ:
รากสามารถเป็นระดับคู่ ($\sqrt(a)$ ที่เราโปรดปราน เช่นเดียวกับ $\sqrt(a)$ และแม้แต่ $\sqrt(a)$) และระดับคี่ (ใดๆ $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ เป็นต้น). และคำจำกัดความของรูทของดีกรีระดับคี่ค่อนข้างแตกต่างจากระดับคู่
ในที่นี้ "ค่อนข้างแตกต่าง" ที่ซ่อนอยู่อาจ 95% ของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับราก เรามาทำความเข้าใจคำศัพท์กันก่อนดีกว่า:
คำนิยาม. แม้แต่รูท นจากจำนวน $a$ เป็นใดๆ ไม่เป็นลบตัวเลข $b$ นั้น $((b)^(n))=a$ และรากของดีกรีคี่จากจำนวนเดียวกัน $a$ จะเป็นตัวเลขใดๆ ที่ $b$ ซึ่งมีความเท่าเทียมกันเท่ากัน: $((b)^(n))=a$
ไม่ว่าในกรณีใดรูทจะแสดงดังนี้:
\(ก)\]
จำนวน $n$ ในเครื่องหมายดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังราก และจำนวน $a$ เรียกว่านิพจน์รากศัพท์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ $n=2$ เราจะได้รากที่สองที่ "ชอบ" ของเรา (อย่างไรก็ตาม นี่คือรากของระดับคู่) และสำหรับ $n=3$ เราจะได้ลูกบาศก์รูท (ระดับคี่) ซึ่งมักพบในปัญหาและสมการ
ตัวอย่าง. ตัวอย่างคลาสสิกของรากที่สอง:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
อย่างไรก็ตาม $\sqrt(0)=0$ และ $\sqrt(1)=1$ สิ่งนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผลเนื่องจาก $((0)^(2))=0$ และ $((1)^(2))=1$
รากของลูกบาศก์ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน - อย่ากลัวพวกเขา:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
สองสาม "ตัวอย่างที่แปลกใหม่":
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
หากคุณไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างระดับคู่และระดับคี่ ให้อ่านคำจำกัดความอีกครั้ง มันสำคัญมาก!
ในระหว่างนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะที่ไม่พึงประสงค์อย่างหนึ่งของราก เนื่องจากเราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความแยกต่างหากสำหรับเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่
ทำไมเราถึงต้องการรากเลย?
หลังจากอ่านคำจำกัดความแล้ว นักเรียนหลายคนจะถามว่า “นักคณิตศาสตร์สูบบุหรี่อะไรเมื่อพวกเขาคิดเรื่องนี้ขึ้นมา” และจริงๆ แล้ว: ทำไมเราถึงต้องการรากเหล่านี้ทั้งหมด?
เพื่อตอบคำถามนี้ กลับไปที่โรงเรียนประถมศึกษาสักครู่ ข้อควรจำ: ในช่วงเวลาอันห่างไกล เมื่อต้นไม้เขียวขจีและเกี๊ยวอร่อยกว่า ความกังวลหลักของเราคือต้องคูณตัวเลขให้ถูกต้อง บางอย่างในจิตวิญญาณของ "ห้าคูณห้า - ยี่สิบห้า" เท่านั้น แต่ท้ายที่สุด คุณสามารถคูณตัวเลขที่ไม่ใช่คู่ แต่เป็นสามเท่า สี่ และโดยทั่วไปแล้วทั้งเซต:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(จัดตำแหน่ง)\]
อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ประเด็น เคล็ดลับแตกต่างออกไป นักคณิตศาสตร์เป็นคนเกียจคร้าน ดังนั้นพวกเขาจึงต้องจดการคูณสิบห้าดังนี้:
ดังนั้นพวกเขาจึงได้รับปริญญา ทำไมไม่เขียนจำนวนปัจจัยเป็นตัวยกแทนสตริงที่ยาว? ชอบอันนี้:
สะดวกมาก! การคำนวณทั้งหมดลดลงหลายครั้งและคุณไม่สามารถใช้สมุดบันทึกกระดาษแผ่นหนึ่งเขียน 5 183 ได้ รายการดังกล่าวเรียกว่าระดับของตัวเลขพบคุณสมบัติมากมาย แต่ความสุขกลับกลายเป็นว่าอายุสั้น
หลังการดื่มสุราครั้งใหญ่ซึ่งจัดขึ้นเพียงเกี่ยวกับ "การค้นพบ" องศา นักคณิตศาสตร์ที่ขว้างหินโดยเฉพาะบางคนก็ถามขึ้นมาทันทีว่า "จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรารู้ระดับของตัวเลข แต่เราไม่รู้ตัวเลขนั้นเอง" ที่จริงแล้ว ถ้าเรารู้ว่าจำนวนหนึ่งที่ $b$ ตัวอย่างเช่น ให้ 243 ยกกำลัง 5 แล้วเราจะเดาได้อย่างไรว่าตัว $b$ นั้นมีค่าเท่ากับอะไร?
ปัญหานี้กลายเป็นปัญหาระดับโลกมากกว่าที่จะเห็นได้ในแวบแรก เพราะปรากฎว่าสำหรับองศา "สำเร็จรูป" ส่วนใหญ่ไม่มีตัวเลข "เริ่มต้น" ดังกล่าว ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
จะเกิดอะไรขึ้นถ้า $((b)^(3))=50$? ปรากฎว่าคุณต้องหาจำนวนหนึ่งซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเองสามครั้งจะได้ 50 แต่ตัวเลขนี้คืออะไร? ชัดเจนมากกว่า 3 เพราะ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. คือ จำนวนนี้อยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่างสามถึงสี่ แต่สิ่งที่มีค่าเท่ากับ - FIG คุณจะเข้าใจ
นี่คือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์คิดรากที่ $n$-th นั่นคือเหตุผลที่แนะนำ $\sqrt(*)$ ไอคอนหัวรุนแรง เพื่อแสดงตัวเลขเดียวกัน $b$ ซึ่งสำหรับยกกำลังที่ระบุจะให้ค่าที่เราทราบก่อนหน้านี้
\[\sqrt[n](a)=b\ลูกศรขวา ((b)^(n))=a\]
ฉันไม่เถียง: มักจะพิจารณารากเหล่านี้ได้ง่าย - เราเห็นตัวอย่างดังกล่าวหลายตัวอย่างข้างต้น แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ถ้าคุณนึกถึงจำนวนที่คิดขึ้นเองได้ แล้วพยายามดึงรากของระดับโดยพลการออกจากตัวเลขนั้น แสดงว่าคุณอยู่ในสถานะคนเกียจคร้านที่โหดร้าย
มีอะไร! แม้แต่ $\sqrt(2)$ ที่ง่ายและคุ้นเคยที่สุดก็ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปกติของเราได้ - เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน และถ้าคุณใส่ตัวเลขนี้ลงในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นสิ่งนี้:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
อย่างที่คุณเห็น หลังจากจุดทศนิยม จะมีลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะใดๆ แน่นอน คุณสามารถปัดเศษตัวเลขนี้เพื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น:
\[\sqrt(2)=1.4142...\ประมาณ 1.4 \lt 1.5\]
หรือนี่คือตัวอย่างอื่น:
\[\sqrt(3)=1.73205...\ประมาณ 1.7 \gt 1.5\]
แต่การปัดเศษทั้งหมดนี้ อย่างแรก ค่อนข้างหยาบ และประการที่สอง คุณต้องสามารถทำงานกับค่าโดยประมาณได้ ไม่เช่นนั้น คุณอาจพบข้อผิดพลาดที่ไม่ชัดเจนจำนวนมาก (อย่างไรก็ตาม ทักษะการเปรียบเทียบและการปัดเศษนั้นจำเป็นต้องตรวจสอบในการสอบโปรไฟล์)
ดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์ที่จริงจัง เราทำไม่ได้หากไม่มีราก - พวกมันเป็นตัวแทนเท่ากันของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด $\mathbb(R)$ เช่นเดียวกับเศษส่วนและจำนวนเต็มที่เราคุ้นเคยมาเป็นเวลานาน
ความเป็นไปไม่ได้ในการแสดงรากเป็นเศษส่วนของรูปแบบ $\frac(p)(q)$ หมายความว่ารากนี้ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ และไม่สามารถแสดงได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นโดยใช้รากศัพท์หรือโครงสร้างอื่นๆ ที่ออกแบบมาเป็นพิเศษสำหรับสิ่งนี้ (ลอการิทึม องศา ลิมิต ฯลฯ) แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่อื่น
ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนที่หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้ว จำนวนอตรรกยะจะยังคงอยู่ในคำตอบ
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ประมาณ 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ประมาณ -1,2599... \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
โดยธรรมชาติจากการปรากฏของรูท แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดาว่าตัวเลขใดจะมาหลังจุดทศนิยม อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปได้ที่จะคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข แต่แม้แต่เครื่องคำนวณวันที่ที่ทันสมัยที่สุดก็ยังให้ตัวเลขสองสามหลักแรกของจำนวนอตรรกยะแก่เรา ดังนั้นจึงถูกต้องกว่ามากที่จะเขียนคำตอบเป็น $\sqrt(5)$ และ $\sqrt(-2)$
นั่นคือสิ่งที่พวกเขาคิดค้นขึ้น เพื่อให้ง่ายต่อการเขียนคำตอบ
เหตุใดจึงต้องมีคำจำกัดความสองคำ
ผู้อ่านที่ใส่ใจอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารากที่สองทั้งหมดที่ให้ไว้ในตัวอย่างนั้นนำมาจากจำนวนบวก อย่างน้อยก็จากศูนย์ แต่รากของลูกบาศก์ถูกสกัดอย่างใจเย็นจากจำนวนใด ๆ ก็ตาม - แม้แต่บวกหรือลบ
ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(2))$:
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองให้รากที่สอง: บวกและลบ ลองคำนวณ $\sqrt(4)$ โดยใช้กราฟนี้ ในการทำเช่นนี้ เส้นแนวนอน $y=4$ (เครื่องหมายสีแดง) จะถูกวาดบนกราฟ ซึ่งตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด: $((x)_(1))=2$ และ $((x) _(2)) =-2$. มันค่อนข้างสมเหตุสมผลตั้งแต่
ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลขแรก - เป็นค่าบวกดังนั้นจึงเป็นรูท:
แต่จะทำอย่างไรกับจุดที่สอง? 4 รากมี 2 รากพร้อมกันหรือไม่? ท้ายที่สุด ถ้าเรายกกำลังสองจำนวน −2 เราก็ได้ 4 เช่นกัน ทำไมไม่เขียน $\sqrt(4)=-2$ แล้ว? และทำไมครูถึงดูบันทึกราวกับว่าพวกเขาต้องการกินคุณ :)
ปัญหาคือถ้าไม่มีการกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม สี่จะมีรากที่สองสองค่า - บวกและลบ และจำนวนบวกใดๆ จะมีสองตัวด้วย แต่ตัวเลขติดลบจะไม่มีรากเลย - เห็นได้จากกราฟเดียวกัน เนื่องจากพาราโบลาไม่เคยอยู่ต่ำกว่าแกน y, เช่น. ไม่รับค่าลบ
ปัญหาที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับรูททั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังคู่:
- พูดจริง ๆ แล้ว แต่ละจำนวนบวกจะมีรากสองรากที่มีเลขชี้กำลังคู่ $n$;
- จากจำนวนลบ รากที่มีแม้แต่ $n$ จะไม่ถูกแยกออกมาเลย
นั่นคือเหตุผลที่คำจำกัดความของรูทคู่ $n$ กำหนดไว้โดยเฉพาะว่าคำตอบต้องเป็นตัวเลขที่ไม่เป็นลบ นี่คือวิธีที่เรากำจัดความคลุมเครือ
แต่สำหรับคี่ $n$ ไม่มีปัญหาดังกล่าว ให้ดูที่กราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(3))$:
พาราโบลาลูกบาศก์รับค่าใดๆ ดังนั้น รากที่สามจึงสามารถนำมาจากจำนวนใดก็ได้ จากกราฟนี้สรุปได้สองประการ:
- กิ่งก้านของคิวบิกพาราโบลาซึ่งแตกต่างจากกิ่งปกติไปที่อนันต์ทั้งสองทิศทาง - ทั้งขึ้นและลง ดังนั้น ไม่ว่าเราจะวาดเส้นแนวนอนที่ความสูงเท่าใด เส้นนี้จะตัดกับกราฟของเราอย่างแน่นอน ดังนั้นรากที่สามสามารถนำมาจากจำนวนใด ๆ ก็ได้
- นอกจากนี้ ทางแยกดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันเสมอ ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคิดว่าหมายเลขใดที่จะพิจารณารากที่ "ถูกต้อง" และหมายเลขใดที่จะทำคะแนน นั่นคือเหตุผลที่คำจำกัดความของรูตสำหรับดีกรีคี่นั้นง่ายกว่าสำหรับระดับคี่ (ไม่มีข้อกำหนดที่ไม่เป็นลบ)
น่าเสียดายที่เรื่องง่ายๆ เหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่ แต่สมองของเราเริ่มทะยานขึ้นด้วยรากเลขคณิตทุกประเภทและคุณสมบัติของมัน
ใช่ฉันไม่เถียง: รูทเลขคณิตคืออะไร - คุณต้องรู้ด้วย และฉันจะพูดถึงรายละเอียดในบทเรียนแยกต่างหาก วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องนี้กันด้วย เพราะถ้าไม่มีมัน การไตร่ตรองทั้งหมดเกี่ยวกับรากของการทวีคูณที่ $n$-th จะไม่สมบูรณ์
แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจคำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ข้างต้นอย่างชัดเจน มิฉะนั้น เนื่องจากเงื่อนไขมากมาย ความยุ่งเหยิงดังกล่าวจะเริ่มต้นขึ้นในหัวของคุณ ซึ่งในที่สุดคุณจะไม่เข้าใจอะไรเลย
และสิ่งที่คุณต้องเข้าใจคือความแตกต่างระหว่างเลขคู่และเลขคี่ ดังนั้นเราจะรวบรวมทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับรากอีกครั้ง:
- รูทคู่นั้นมาจากจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเท่านั้นและตัวมันเองจะเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเสมอ สำหรับจำนวนลบ รูทดังกล่าวไม่ได้กำหนดไว้
- แต่รากของระดับคี่นั้นมาจากตัวเลขใดๆ และตัวมันเองสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้: สำหรับจำนวนบวก มันคือค่าบวก และสำหรับตัวเลขเชิงลบ ตามที่ cap บอกใบ้ มันจะเป็นค่าลบ
มันยากไหม? ไม่ มันไม่ยาก ชัดเจน? ใช่ มันชัดเจน! ดังนั้นตอนนี้เราจะฝึกการคำนวณกันเล็กน้อย
คุณสมบัติพื้นฐานและข้อจำกัด
รูทมีคุณสมบัติและข้อจำกัดแปลกๆ มากมาย - นี่จะเป็นบทเรียนแยกต่างหาก ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ "ชิป" ที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้กับรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันเท่านั้น เราเขียนคุณสมบัตินี้ในรูปแบบของสูตร:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังคู่ แล้วดึงรากที่มีดีกรีเดียวกันออกจากค่านี้ เราจะไม่ได้จำนวนเดิม แต่เป็นโมดูลัส นี่เป็นทฤษฎีบทง่ายๆ ที่พิสูจน์ได้ง่าย (เพียงพอที่จะพิจารณา $x$ ที่ไม่ใช่ค่าลบแยกกัน แล้วพิจารณาแยกเป็นค่าลบ) ครูพูดถึงมันอย่างต่อเนื่องมีให้ในตำราเรียนทุกเล่ม แต่ทันทีที่ต้องแก้สมการอตรรกยะ (เช่น สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์) ผู้เรียนจะลืมสูตรนี้ไปพร้อมกัน
เพื่อให้เข้าใจปัญหาโดยละเอียด ลืมสูตรทั้งหมดสักครู่แล้วลองนับตัวเลขสองตัวข้างหน้า:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก ตัวอย่างแรกจะได้รับการแก้ไขโดยคนส่วนใหญ่ แต่ในข้อที่สอง หลายคนติดอยู่ เพื่อแก้ปัญหาอึโดยไม่มีปัญหา ให้พิจารณาขั้นตอนเสมอ:
- ขั้นแรก ตัวเลขจะเพิ่มเป็นยกกำลังสี่ มันค่อนข้างง่าย จะได้รับหมายเลขใหม่ ซึ่งสามารถพบได้ในตารางสูตรคูณ
- และตอนนี้จากหมายเลขใหม่นี้จำเป็นต้องแยกรากของดีกรีที่สี่ เหล่านั้น. ไม่มี "การลด" ของรากและองศา - สิ่งเหล่านี้เป็นการกระทำที่ต่อเนื่องกัน
มาจัดการกับนิพจน์แรกกัน: $\sqrt(((3)^(4)))$ เห็นได้ชัดว่าคุณต้องคำนวณนิพจน์ภายใต้รูทก่อน:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
จากนั้นเราแยกรากที่สี่ของหมายเลข 81:
ทีนี้ลองทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ที่สอง อันดับแรก เราเพิ่มจำนวน -3 ยกกำลังสี่ ซึ่งเราต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ซ้าย(-3 \ขวา)=81\]
เราได้จำนวนบวก เนื่องจากจำนวน minuses ทั้งหมดในผลิตภัณฑ์คือ 4 ชิ้น และทั้งหมดจะหักล้างซึ่งกันและกัน ถัดไป แยกรูทอีกครั้ง:
โดยหลักการแล้ว บรรทัดนี้ไม่สามารถเขียนได้ เนื่องจากคำตอบจะเหมือนกัน เหล่านั้น. รากที่เท่ากันของพลังเดียวกัน "เผาผลาญ" minuses และในแง่นี้ผลลัพธ์จะแยกไม่ออกจากโมดูลปกติ:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
การคำนวณเหล่านี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของรากของดีกรีคู่: ผลลัพธ์ไม่เป็นลบเสมอ และเครื่องหมายกรณฑ์จะเป็นจำนวนที่ไม่ติดลบเสมอ มิฉะนั้นจะไม่ได้กำหนดรูท
หมายเหตุเกี่ยวกับลำดับการดำเนินงาน
- สัญกรณ์ $\sqrt(((a)^(2)))$ หมายความว่าอันดับแรกเราจะยกกำลังสองจำนวน $a$ แล้วจึงหารากที่สองของค่าผลลัพธ์ ดังนั้น เราจึงมั่นใจได้ว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบจะอยู่ใต้เครื่องหมายรูทเสมอ เนื่องจาก $((a)^(2))\ge 0$ อยู่แล้ว
- แต่สัญกรณ์ $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ ตรงกันข้าม หมายความว่าเราแยกรูทออกจากตัวเลข $a$ ก่อน จากนั้นจึงยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้นจำนวน $a$ ไม่ว่าในกรณีใด ๆ สามารถเป็นค่าลบได้ - นี่เป็นข้อกำหนดบังคับที่ฝังอยู่ในคำจำกัดความ
ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด เราไม่ควรลดรากเหง้าและองศาโดยไม่ใช้ความคิด ดังนั้นจึงควร "ลดความซับซ้อน" ของนิพจน์ดั้งเดิม เพราะหากมีจำนวนลบอยู่ใต้รูท และเลขชี้กำลังเป็นคู่ เราจะพบปัญหามากมาย
อย่างไรก็ตาม ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องเฉพาะกับอินดิเคเตอร์ที่เท่ากันเท่านั้น
การลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายราก
โดยธรรมชาติแล้ว รากที่มีเลขชี้กำลังคี่ก็มีคุณสมบัติของตัวเองเช่นกัน ซึ่งโดยหลักการแล้ว ไม่มีอยู่จริงสำหรับเลขคู่ กล่าวคือ:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
กล่าวโดยย่อ คุณสามารถลบเครื่องหมายลบจากใต้เครื่องหมายของดีกรีระดับคี่ได้ นี่เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากที่ช่วยให้คุณ "โยน" minuses ทั้งหมดออกไป:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(จัดตำแหน่ง)\]
คุณสมบัติที่เรียบง่ายนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณจำนวนมาก ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องกังวล: จะเกิดอะไรขึ้นถ้านิพจน์เชิงลบอยู่ใต้รูทและระดับที่รูทกลับกลายเป็นคู่กัน แค่ "โยน" minuses ทั้งหมดออกไปนอกรากก็เพียงพอแล้วจากนั้นก็สามารถคูณกันแบ่งออกและทำสิ่งน่าสงสัยมากมายซึ่งในกรณีของราก "คลาสสิค" นั้นรับประกันได้ว่าจะนำเราไปสู่ ข้อผิดพลาด.
และนี่คือคำจำกัดความอื่นที่เข้ามาในฉาก ซึ่งเป็นคำที่โรงเรียนส่วนใหญ่เริ่มศึกษาสำนวนที่ไม่ลงตัว และหากปราศจากเหตุผลของเราก็จะไม่สมบูรณ์ พบปะ!
รากเลขคณิต
สมมติสักครู่ว่ามีเพียงจำนวนบวกหรือศูนย์เท่านั้นที่สามารถอยู่ภายใต้เครื่องหมายรูท มาให้คะแนนอินดิเคเตอร์คู่ / คี่ ให้คะแนนตามคำจำกัดความทั้งหมดข้างต้น - เราจะทำงานกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แล้วไง?
แล้วเราก็ได้รูทเลขคณิต - มันตัดกันบางส่วนกับคำจำกัดความ "มาตรฐาน" ของเรา แต่ก็ยังแตกต่างไปจากนั้น
คำนิยาม. รากเลขคณิตของระดับ $n$th ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ $a$ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ $b$ ซึ่ง $((b)^(n))=a$
อย่างที่คุณเห็น เราไม่สนใจความเท่าเทียมกันอีกต่อไป มีข้อ จำกัด ใหม่ปรากฏขึ้นแทน: นิพจน์รุนแรงตอนนี้ไม่เป็นลบเสมอ และตัวรูทเองก็ไม่ใช่ค่าลบเช่นกัน
เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นว่ารากเลขคณิตแตกต่างจากรากปกติอย่างไร ให้ดูที่กราฟของพาราโบลากำลังสองและลูกบาศก์พาราโบลาที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:
พื้นที่ค้นหารูท - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ อย่างที่คุณเห็น จากนี้ไป เราสนใจเฉพาะชิ้นส่วนของกราฟที่อยู่ในพิกัดไตรมาสแรก - โดยที่พิกัด $x$ และ $y$ เป็นค่าบวก (หรืออย่างน้อยศูนย์) คุณไม่จำเป็นต้องดูตัวบ่งชี้อีกต่อไปเพื่อทำความเข้าใจว่าเรามีสิทธิ์รูทจำนวนลบหรือไม่ เพราะตัวเลขติดลบจะไม่ถูกพิจารณาในหลักการอีกต่อไป
คุณอาจถามว่า: “ทำไมเราถึงต้องการคำจำกัดความตอนดังกล่าว?” หรือ: "ทำไมเราไม่สามารถใช้คำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ข้างต้นได้"
ฉันจะให้พร็อพเพอร์ตี้เพียงรายการเดียว เนื่องจากคำจำกัดความใหม่จึงเหมาะสม ตัวอย่างเช่น กฎการยกกำลัง:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
โปรดทราบ: เราสามารถเพิ่มนิพจน์รูทเป็นกำลังใด ๆ และในขณะเดียวกันก็คูณเลขชี้กำลังรากด้วยกำลังเดียวกัน - และผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกัน! นี่คือตัวอย่างบางส่วน:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
แล้วมันมีอะไรผิดปกติล่ะ? ทำไมเราทำไม่ได้ก่อนหน้านี้? นี่คือเหตุผล พิจารณานิพจน์ง่ายๆ: $\sqrt(-2)$ เป็นตัวเลขที่ค่อนข้างปกติในความหมายดั้งเดิมของเรา แต่ไม่สามารถยอมรับได้อย่างแน่นอนจากมุมมองของรูทเลขคณิต ลองแปลงดู:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรก เราเอาลบออกจากใต้ราก (เรามีสิทธิทุกอย่าง เพราะตัวบ่งชี้เป็นเลขคี่) และในวินาที เราใช้สูตรข้างต้น เหล่านั้น. จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ทุกสิ่งทุกอย่างทำตามกฎเกณฑ์
ว้าว! จำนวนเดียวกันจะเป็นทั้งบวกและลบได้อย่างไร? ไม่มีทาง. เพียงแต่ว่าสูตรการยกกำลัง ซึ่งใช้ได้ผลดีกับจำนวนบวกและศูนย์ เริ่มแสดงความนอกรีตที่สมบูรณ์ในกรณีของจำนวนลบ
เพื่อกำจัดความคลุมเครือเช่นนี้ พวกเขาจึงคิดเลขคณิตขึ้นมา บทเรียนขนาดใหญ่แยกต่างหากมีไว้สำหรับพวกเขาซึ่งเราพิจารณารายละเอียดคุณสมบัติทั้งหมดของพวกเขาอย่างละเอียด ดังนั้นตอนนี้เราจะไม่พูดถึงพวกเขา - บทเรียนก็ยาวเกินไปอยู่ดี
รากพีชคณิต: สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม
คิดอยู่นานว่าจะทำหัวข้อนี้ในย่อหน้าแยกกันหรือไม่ ในที่สุด ฉันตัดสินใจออกจากที่นี่ เนื้อหานี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเข้าใจรากเหง้าให้ดียิ่งขึ้น - ไม่ใช่ในระดับ "โรงเรียน" โดยเฉลี่ยอีกต่อไป แต่อยู่ในระดับที่ใกล้เคียงกับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก
ดังนั้น: นอกเหนือจากคำจำกัดความ "คลาสสิก" ของรูทของระดับ $n$-th จากตัวเลขและการหารที่เกี่ยวข้องลงในตัวบ่งชี้คู่และคี่แล้ว ยังมีคำจำกัดความ "สำหรับผู้ใหญ่" มากกว่า ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและ รายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ เลย นี้เรียกว่ารากเกี่ยวกับพีชคณิต
คำนิยาม. รากพีชคณิต $n$-th ของ $a$ คือเซตของตัวเลขทั้งหมด $b$ ที่ $((b)^(n))=a$ ไม่มีการกำหนดที่ชัดเจนสำหรับรากดังกล่าว ดังนั้นเพียงแค่ใส่เครื่องหมายขีดบน:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
ความแตกต่างพื้นฐานจากคำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ตอนต้นของบทเรียนคือ รากเกี่ยวกับพีชคณิตไม่ใช่ตัวเลขเฉพาะ แต่เป็นเซต และเนื่องจากเรากำลังทำงานกับจำนวนจริง ชุดนี้มีสามประเภทเท่านั้น:
- ชุดเปล่า. เกิดขึ้นเมื่อจำเป็นต้องค้นหารากเกี่ยวกับพีชคณิตของดีกรีคู่จากจำนวนลบ
- ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว รากของพลังคี่ทั้งหมด เช่นเดียวกับรากของพลังเลขคู่จากศูนย์ ตกอยู่ในหมวดหมู่นี้
- สุดท้าย ชุดสามารถมีตัวเลขสองตัว - เหมือนกัน $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ที่เราเห็นบน ฟังก์ชันกำลังสองของแผนภูมิ ดังนั้นการจัดตำแหน่งดังกล่าวจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อแยกรากของระดับคู่ออกจากจำนวนบวกเท่านั้น
กรณีสุดท้ายสมควรได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดมากขึ้น ลองนับสองสามตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง
ตัวอย่าง. คำนวณนิพจน์:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
วิธีการแก้. นิพจน์แรกนั้นง่าย:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
เป็นตัวเลขสองตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของชุด เพราะแต่ละอันยกกำลังสองให้สี่
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
ที่นี่เราเห็นชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเดียวเท่านั้น นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจากเลขชี้กำลังของรูทเป็นเลขคี่
สุดท้าย นิพจน์สุดท้าย:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
เราได้ชุดเปล่า เพราะไม่มีจำนวนจริงเพียงตัวเดียวที่เมื่อยกกำลังเป็นสี่ (นั่นคือ คู่!) จะให้จำนวนลบ -16 แก่เรา
บันทึกสุดท้าย โปรดทราบ: ไม่ใช่โดยบังเอิญที่ฉันสังเกตเห็นทุกที่ที่เรากำลังทำงานกับตัวเลขจริง เนื่องจากมีตัวเลขที่ซับซ้อนด้วย - มันค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะคำนวณ $\sqrt(-16)$ และสิ่งแปลก ๆ อื่นๆ อีกมากมายที่นั่น
อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนสมัยใหม่ แทบจะไม่เคยพบตัวเลขที่ซับซ้อนเลย ถูกละเว้นจากตำราส่วนใหญ่เนื่องจากเจ้าหน้าที่ของเราพิจารณาว่าหัวข้อ "ยากเกินไปที่จะเข้าใจ"
นั่นคือทั้งหมดที่ ในบทต่อไป เราจะดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของรูท และสุดท้ายได้เรียนรู้วิธีการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว :)
หากต้องการใช้งานการแตกรูทในทางปฏิบัติให้สำเร็จ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้
คุณสมบัติทั้งหมดได้รับการกำหนดสูตรและพิสูจน์เฉพาะสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรูท
ทฤษฎีบทที่ 1 รากที่ n (n=2, 3, 4,...) ของผลิตภัณฑ์ของชิปเซ็ตที่ไม่เป็นลบสองตัวจะเท่ากับผลคูณของรากที่ n ของตัวเลขเหล่านี้:
ความคิดเห็น:
1.
ทฤษฎีบท 1 ยังคงใช้ได้สำหรับกรณีที่นิพจน์รากคือผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบมากกว่าสองตัว
ทฤษฎีบท 2ถ้า,
และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 จากนั้นความเท่าเทียมกัน
รวบรัด(แม้ว่าจะไม่ถูกต้อง) สูตรที่สะดวกกว่าในทางปฏิบัติ: รากของเศษส่วนเท่ากับเศษส่วนของราก
ทฤษฎีบท 1 ทำให้เราสามารถคูณ m เฉพาะรากที่มีดีกรีเท่ากัน
, เช่น. เฉพาะรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน
ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า ,k เป็นจำนวนธรรมชาติและ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วจึงเท่ากับ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มรากเป็นพลังธรรมชาติ ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มการแสดงออกของรากเป็นพลังนี้
นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบท 1 อันที่จริง ตัวอย่างเช่น สำหรับ k = 3 เราจะได้
ทฤษฎีบทที่ 4 ถ้า ,k, n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วจึงเท่ากับ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อแยกรากออกจากราก ก็เพียงพอที่จะคูณเลขชี้กำลังของราก
ตัวอย่างเช่น,
ระวัง!เราเรียนรู้ว่าการดำเนินการสี่อย่างสามารถทำได้บนรูท: การคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกรูท (จากรูท) แล้วการบวกและการลบของรากล่ะ? ไม่มีทาง.
เช่น คุณไม่สามารถเขียนแทน Indeed ได้ แต่เห็นได้ชัดว่า
ทฤษฎีบท 5. ถ้า ตัวบ่งชี้ของรูทและนิพจน์รูทจะถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน จากนั้นค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ตัวอย่าง 1คำนวณ
วิธีการแก้.ใช้คุณสมบัติแรกของราก (ทฤษฎีบท 1) เราได้รับ:
ตัวอย่าง 2คำนวณ
วิธีการแก้.แปลงจำนวนคละให้เป็นเศษเกิน.
เราใช้คุณสมบัติที่สองของราก ( ทฤษฎีบท 2
), เราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 3คำนวณ: 
วิธีการแก้.สูตรใดๆ ในพีชคณิต อย่างที่คุณรู้ ไม่เพียงแต่ใช้ "จากซ้ายไปขวา" แต่ยังใช้ "จากขวาไปซ้าย" ด้วย ดังนั้นคุณสมบัติแรกของรากหมายความว่าสามารถแสดงในรูปแบบและในทางกลับกันสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ได้ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สองของรูท เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เรามาคำนวณกัน
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "คุณสมบัติของรากของระดับที่ n ทฤษฎีบท"
วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 11
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"
คุณสมบัติของรากของดีกรีที่ n ทฤษฎีบท
พวกเรายังคงศึกษารากเหง้าของดีกรีที่ n ของจำนวนจริงต่อไป เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด รากของดีกรีที่ n มีคุณสมบัติบางอย่าง วันนี้เราจะมาศึกษากันคุณสมบัติทั้งหมดที่เราพิจารณาได้รับการกำหนดและพิสูจน์เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรูท
ในกรณีของเลขชี้กำลังเลขคี่ พวกมันจะเก็บตัวแปรลบไว้ด้วย
ทฤษฎีบทที่ 1 รากที่ n ของผลิตภัณฑ์ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบสองตัวเท่ากับผลคูณของรากที่ n ของตัวเลขเหล่านี้: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $
มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน
การพิสูจน์. พวกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทขอแนะนำตัวแปรใหม่แสดงว่า:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
เราต้องพิสูจน์ว่า $x=y*z$
โปรดทราบว่าข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้ยังมีอยู่:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$
จากนั้นข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้ก็ถือ: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$
ดีกรีของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบสองตัวและเลขชี้กำลังเท่ากัน จากนั้นฐานของดีกรีจะเท่ากัน ดังนั้น $x=y*z$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ทฤษฎีบท 2 ถ้า $a≥0$, $b>0$ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
นั่นคือ รากที่ n ของผลหารเท่ากับผลหารของรากที่ n
การพิสูจน์.
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้แผนภาพอย่างง่ายในรูปแบบของตาราง:
ตัวอย่างการคำนวณรูทที่ n
ตัวอย่าง.คำนวณ: $\sqrt(16*81*256)$
วิธีการแก้. ลองใช้ทฤษฎีบท 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$
ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(7\frac(19)(32))$
วิธีการแก้. มาแทนนิพจน์รากศัพท์เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมกัน: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$
ลองใช้ทฤษฎีบท 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
ตัวอย่าง.
คำนวณ:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$
ข) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
วิธีการแก้:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า $a≥0$, k และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$
ในการทำให้รากเกิดเป็นพลังธรรมชาติ ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มการแสดงออกที่รุนแรงของพลังนี้
การพิสูจน์.
ลองพิจารณากรณีพิเศษสำหรับ $k=3$ ลองใช้ทฤษฎีบทที่ 1
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a) *a)=\sqrt[n](a^3)$
เช่นเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ในกรณีอื่น ๆ ทุกคน พิสูจน์ด้วยตัวเองสำหรับกรณีที่ $k=4$ และ $k=6$
ทฤษฎีบทที่ 4 ถ้า $a≥0$ b n,k เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$
ในการแยกรากออกจากราก ก็เพียงพอที่จะคูณเลขชี้กำลังของราก
การพิสูจน์.
ให้เราพิสูจน์อีกครั้งโดยสังเขปโดยใช้ตาราง เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้แผนภาพอย่างง่ายในรูปแบบของตาราง: 
ตัวอย่าง.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
ทฤษฎีบท 5. หากดัชนีของรูทและนิพจน์รูทคูณด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน ค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
การพิสูจน์.
หลักการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเราเหมือนกับในตัวอย่างอื่นๆ มาแนะนำตัวแปรใหม่:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ตามคำจำกัดความ)
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ตามคำจำกัดความ)
เราเพิ่มความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายให้กับพลัง p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
ได้:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
นั่นคือ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์
ตัวอย่าง:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (หารด้วย 5)
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (หารด้วย 2)
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (คูณด้วย 3)
ตัวอย่าง.
เรียกใช้การดำเนินการ: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$
วิธีการแก้.
เลขชี้กำลังของรากเป็นตัวเลขต่างกัน เราจึงใช้ทฤษฎีบท 1 ไม่ได้ แต่ด้วยการใช้ทฤษฎีบท 5 เราจะได้เลขชี้กำลังเท่ากัน
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (คูณด้วย 3)
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (คูณด้วย 4)
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
งานสำหรับโซลูชันอิสระ
1. คำนวณ: $\sqrt(32*243*1024)$2. คำนวณ: $\sqrt(7\frac(58)(81))$
3. คำนวณ:
ก) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. ลดความซับซ้อน:
ก) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ค) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. ดำเนินการ: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$
