상세 온라인 심플렉스 테이블 솔루션. 문제 해결 예

11.4. 이중 심플렉스 방식

이전 섹션의 결과에서 원래 문제에 대한 솔루션을 얻기 위해 이중 문제로 전달하고 최적 설계의 추정치를 사용하여 원래 문제에 대한 최적 솔루션을 결정할 수 있습니다.

쌍대 문제로의 전환은 필요하지 않습니다. 첫 번째 단순 표를 단위 추가 기반으로 고려하면 열에 원래 문제가 포함되어 있고 쌍대 문제가 행에 기록되어 있음을 쉽게 알 수 있기 때문입니다.

표시된 대로 모든 반복에서 직접 문제를 해결할 때 차이는, 즉. 크기 -변수와의 계수, 는 쌍대 문제의 해당 제약 조건의 우변과 좌변의 차이와 같습니다. 최대화 가능한 목적 함수를 사용하여 직접 문제를 해결할 때 반복이 최적의 솔루션으로 이어지지 않으면 적어도 하나의 변수에 대해 그리고 모두에 대해 최적인 경우에만차이점 .

이중성을 고려하여 이 조건을 고려하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

.

따라서 만약, 그 다음에 . 즉, 원문제의 해가 최적이 아니면 쌍대 문제의 해가 유효하지 않습니다. 반면에 에 . 이는 원시 문제의 최적해가 쌍대 문제의 허용 가능한 해에 해당함을 의미합니다.

이를 통해 선형 계획법 문제를 해결하기 위한 새로운 방법을 개발할 수 있었습니다. 이 방법을 사용할 때 처음에는 수용할 수 없지만 "최적보다 나은" 솔루션이 얻어집니다(일반적인 단순 방법에서는 먼저 허용, 하지만 차선책해결책). 라는 새로운 방법 이중 심플렉스 방법, 솔루션 최적 조건의 충족과 실행 가능한 솔루션 영역에 대한 체계적인 "근사"를 보장합니다. 얻은 솔루션이 허용 가능한 것으로 판명되면 반복 계산 프로세스가 종료됩니다. 이 솔루션도 최적이기 때문입니다.

이중 심플렉스 방법을 사용하면 제약 조건 시스템이 양수 기반으로 모든 부호의 자유 항을 포함하는 선형 계획법 문제를 해결할 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 제약 시스템 변환의 수와 심플렉스 테이블의 크기를 줄일 수 있습니다. 예제를 사용하여 이중 심플렉스 방법의 적용을 고려하십시오.

예시. 함수의 최소값 찾기

제한하에

.

표준 형식으로 이동해 보겠습니다.

제한하에

초기 심플렉스 표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

기초적인 변수	엑스 1	엑스 2	엑스 3	엑스 4	엑스 5	해결책
엑스 3 엑스 4 엑스 5	–3 –4	–1 –3				–3 –6
	–2	–1

초기 기본 솔루션최적이지만 허용되지 않습니다.

일반적인 심플렉스 방법과 마찬가지로 고려 중인 솔루션 방법은 허용 가능성 및 최적 조건의 사용을 기반으로 합니다.

허용 조건. 절대값에서 가장 큰 음의 기본변수를 제외변수로 선택한다(대안이 있을 경우 임의로 선택). 모든 기본 변수가 음이 아닌 경우 결과 솔루션이 실현 가능하고 최적이므로 계산 프로세스가 종료됩니다.

상태 최적성. 베이시스에 포함된 변수는 기본이 아닌 변수 중에서 다음과 같이 선택된다. 왼쪽 계수의 비율이 계산됩니다.-제외된 변수와 관련된 방정식의 해당 계수에 대한 방정식. 분모가 양수 또는 0인 관계는 고려되지 않습니다. 입력변수의 최소화 문제에서는 표시된 비율 중 가장 작은 비율이 일치해야 하고, 최대화 문제에서는 절대값이 가장 작은 비율(대안이 있는 경우 임의로 선택)에 해당해야 합니다. 모든 비율의 분모가 0 또는 양수이면 문제에 실행 가능한 솔루션이 없습니다.

기본에 포함하고 제외할 변수를 선택한 후 다음 솔루션을 얻기 위해 단순 테이블의 행을 변환하는 일반적인 작업이 수행됩니다.

이 예에서 제외된 변수는. 새 기본 변수를 결정하기 위해 계산된 비율은 다음 표에 나와 있습니다.

변수	엑스 1	엑스 2	엑스 3	엑스 4	엑스 5
방정식 엑스 4 - 방정식	–2 –4	–1 –3
태도

포함될 변수는 엑스 2. 후속 문자열 변환은 새로운 단순 테이블을 생성합니다.

기초적인 변수	엑스 1	엑스 2	엑스 3	엑스 4	엑스 5	해결책
엑스 3 엑스 2 엑스 5						–1 –1

새로운 솔루션 또한 최적이지만 여전히 유효하지 않습니다. 새로운 제외변수로 (임의로) 엑스삼 . 포함된 변수를 정의합시다.

변수	엑스 1	엑스 2	엑스 3	엑스 4	엑스 5
방정식 엑스 4 - 방정식
태도

심플렉스 방법 - 이것은 선형 계획법 문제의 제약 시스템의 기본 솔루션(해 다면체의 꼭짓점)에서 목표 함수가 최적 값(최대 또는 최소)을 취할 때까지 다른 기본 솔루션으로 연속적으로 전환하는 방법입니다.

심플렉스 방법은 모든 문제를 해결할 수 있는 보편적인 방법입니다. 선형 계획법 문제, 그래픽 방법은 2변수 제약 시스템에만 적합합니다.

심플렉스 방법은 1947년 미국 수학자 R. Dantzig에 의해 제안되었으며, 그 이후로 업계의 요구에 따라 이 방법은 종종 수천 개의 변수와 제약 조건이 있는 선형 계획법 문제를 해결합니다.

심플렉스 방법 알고리즘으로 이동하기 전에 몇 가지 정의.

제약 시스템에 대한 음이 아닌 솔루션을 호출합니다. 수용 가능한 솔루션 .

체계가 있게 하라 중부터의 제한 N변수 ( 중 N).

허용되는 기본 솔루션 를 포함하는 솔루션입니다. 중음이 아닌 주요한 (기초적인 ) 변수 및 N - 중 비핵심 . (기본적이지 않거나 무료 ) 변수. 기본 솔루션의 기본이 아닌 변수는 0과 같지만 기본 변수는 원칙적으로 0이 아닙니다. 즉, 양수입니다.

어느 중시스템 변수 중선형 방정식 N변수가 호출됩니다 기본 , 계수의 행렬식이 0과 다른 경우. 그럼 나머지 N - 중변수가 호출됩니다 비핵심 (또는 무료 ).

심플렉스 방법 알고리즘

• 1 단계. 선형 계획법 문제를 표준 형식으로 가져옵니다. 이렇게 하려면 자유 항을 오른쪽으로 이동하고(이 자유 항 중 음수인 경우 해당 방정식 또는 부등식을 -1로 곱함) 각 제약 조건에 추가 변수를 도입합니다( 원래 부등식 기호는 "보다 작거나 같음"이고 "크거나 같음"인 경우 빼기 기호가 있음).
• 2 단계. 결과 시스템에서 중방정식, 다음 중변수를 주요 변수로 하여 기본 변수가 아닌 변수로 주요 변수를 표현하고 해당 기본 솔루션을 찾습니다. 발견된 기본 솔루션이 허용 가능한 것으로 판명되면 허용 가능한 기본 솔루션으로 이동합니다.
• 3단계. 실현 가능한 기본 솔루션의 소수 변수로 목표 함수를 표현합니다. 선형 형식의 최대값(최소값)이 발견되고 표현에 음수(양수) 계수가 있는 비기본 변수가 없으면 최적성 기준이 충족되고 결과 기본 솔루션이 최적이 됩니다. 솔루션이 종료됩니다. 선형 형식의 최대값(최소값)을 찾을 때 해당 표현식에 음수(양수) 계수가 있는 기본이 아닌 변수가 하나 이상 포함되어 있으면 새 기본 솔루션으로 이동합니다.
• 4단계. 음(양) 계수가 있는 선형 형태에 포함된 비기저 변수 중에서 가장 큰(모듈로) 계수에 해당하는 것을 선택하여 주요 변수로 전달합니다. 2단계로 이동합니다.

중요한 조건

몇 가지 특별한 경우는 별도의 문서에서 설명합니다. 최대 목적 함수 - 무한대, 언제 시스템에 솔루션이 없습니다, 그리고 언제 최적의 솔루션은 유일한 솔루션이 아닙니다. .

다음으로, 제약 시스템이 일관되고 유한 최적이 하나만 있는 일반적인 예를 분석합니다. 심플렉스 방법의 변형은 운송 문제를 해결하기 위한 배포 방법 .

심플렉스 테이블이 있는 심플렉스 방법

심플렉스 테이블을 구성하면 다음 단락에 나와 있는 대수 변환보다 선형 계획법 문제를 해결하는 것이 훨씬 쉽습니다. 심플렉스 테이블은 매우 시각적입니다. 심플렉스 테이블 작업에는 여러 유형의 규칙이 있습니다. 가장 흔히 선행 열 및 선행 행 규칙이라고 하는 규칙을 분석합니다.

새 창에서 분수가 있는 수동 작업을 여는 것이 유용할 것입니다. 간단히 말해서 단순 방법에 문제가 있는 분수가 충분합니다.

예시.

음이 아닌 추가 변수를 도입하고 이 부등식 시스템을 등가 방정식 시스템으로 축소합니다.

.

이것은 다음 규칙에 따라 수행되었습니다. 원래 제약 조건의 부호가 "작거나 같음"이면 추가 변수를 추가해야 하고 "크거나 같음"이면 추가 변수를 추가해야 합니다. 뺀.

도입된 추가 변수는 기본(기본)으로 간주됩니다. 그런 다음 및 는 비기본(자유) 변수입니다.

기본(기본) 변수를 비기본(무료)으로 표현하면 다음을 얻습니다.

또한 비기본(자유) 변수의 관점에서 목표 함수를 표현합니다.

변수의 계수(알 수 없음)에서 첫 번째 심플렉스 표를 구성합니다.

1 번 테이블
기본적인 미지수	무료 회원	느슨한 미지수		보조 계수
		X1	X2
X3	-2	1	-2
X4	-4	-1	-1
X5	2	1	-1
X6	6	0	1
에프	0	-1	-2

목적 함수와 자유 변수의 계수를 포함하는 테이블의 마지막 행을 인덱스 행이라고 합니다.

인덱스 행의 자유 변수 계수가 음수이므로 결과 솔루션은 최적이 아닙니다. 즉, 최적의 솔루션은 인덱스 행의 자유 변수 계수가 0보다 크거나 같을 것입니다.

다음 표로 이동하려면 숫자 중 가장 큰(모듈로) 및 . 이 숫자는 2입니다. 따라서 선행 열은 기록되는 열입니다.

선행 행을 결정하기 위해 선행 열의 요소에 대한 자유 구성원의 비율의 최소값을 찾고 분자가 양수이고 분모가 음수이면 비율은 무한대로 간주됩니다.

.

따라서 선두 행은 그것이 쓰여진 행입니다.

따라서 선행 요소는 -2입니다.

우리는 두 번째 심플렉스 테이블을 구성합니다.

첫 번째 줄에 새로운 기본 요소를 입력하고 그것이 서 있던 열을 입력하고 새로운 자유 변수를 입력합니다

첫 번째 줄을 채우십시오. 이를 위해 표 1의 선행 행에 있는 모든 숫자를 선행 요소로 나누고 선행 열의 숫자를 제외하고 표 2의 첫 번째 행의 해당 열에 씁니다. 요소가 기록됩니다(즉, 하나를 선행 요소로 나눈 값).

보조 계수 열을 채우십시오. 표 1의 선행 열 수에 대해 선행 요소 외에도 표 2의 보조 계수 열에 반대 기호로 씁니다.

표 2
기본적인 미지수	무료 회원	느슨한 미지수		보조 계수
		X1	X3
X2	1	-1/2	-1/2
X4	-3	-3/2	-1/2	1
X5	3	1/2	-1/2	1
X6	5	1/2	1/2	-1
에프	2	-2	-1	2

분수가 있는 수동 작업을 새 창에서 아직 열지 않은 사람은 시간이 되었기 때문에 지금 할 수 있습니다.

표 2의 나머지 행을 얻으려면 이미 이 표의 첫 번째 행에 있는 숫자에 채워지는 행의 보조 계수를 곱하고 결과에 다음과 같은 행에 있는 표 1의 숫자를 더합니다. 해당 변수.

예를 들어, 두 번째 행의 자유 멤버를 얻으려면 숫자 1에 1을 곱하고 테이블 1의 숫자 -4를 추가합니다. 우리는 -3을 얻습니다. 같은 방식으로 두 번째 줄에서 에 대한 계수를 찾습니다. . 이전 테이블에는 새 자유 변수가 있는 열이 없으므로 새 자유 변수 열에서 두 번째 행의 계수는 다음과 같습니다. (즉, 테이블 1에 열 c가 없기 때문에 테이블 1에서 0을 추가합니다).

인덱스 라인은 같은 방식으로 채워집니다.

인덱스 행의 자유 변수 계수가 다시 음수이기 때문에 이렇게 얻은 솔루션은 다시 최적이 아닙니다.

다음 심플렉스 테이블로 이동하기 위해 숫자와 , 즉 인덱스 라인에서 계수의 모듈 중 가장 큰(모듈로)를 찾습니다. 이 숫자는 2입니다. 따라서 선행 열은 를 포함하는 열입니다.

선행 행을 검색하기 위해 선행 행의 요소에 대한 자유 구성원의 최소 비율을 찾아보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

.

따라서 선행 행은 쓰여진 행이고 선행 요소는 -3/2입니다.

세 번째 심플렉스 테이블 컴파일

첫 번째 줄에 새로운 기본 변수를 씁니다. 그것이 있던 열에 새로운 자유 변수를 입력합니다.

첫째 줄:

보조 계수:

표 3
기본적인 미지수	무료 회원	느슨한 미지수		보조 계수
		X4	X3
X1	2	-2/3	1/3
X2	2	-1/3	-1/3	1/2
X5	2	1/3	-2/3	-1/2
X6	4	1/3	1/3	-1/2
에프	6	-4/3	-1/3	2

인덱스 행에서 자유 미지수의 계수가 다시 음수이기 때문에 결과 솔루션은 다시 최적이 아닙니다.

네 번째 심플렉스 테이블로 이동하려면 숫자와 . 이것은 숫자입니다.

따라서 선행 열은 가 있는 열입니다.

선행 열의 요소에 대한 자유 구성원의 최소 관계 계수:

.

따라서 선행 행은 쓰여진 행이고 선행 요소는 1/3입니다.

네 번째 심플렉스 테이블에서 첫 번째 줄에 새 기본 변수를 씁니다. 그것이 있던 열에 새로운 자유 변수를 씁니다.

첫째 줄:

보조 계수:

표 4
기본적인 미지수	무료 회원	느슨한 미지수		보조 계수
		X5	X3
X4	6	3	-2
X1	6	2	-1	2/3
X2	4	1	-1	1/3
X6	2	-1	1	-1/3
에프	14	4	-3	4/3

두 번째 행의 예를 사용하여 나머지 행 계산:

결과 솔루션도 최적은 아니지만 인덱스 행의 자유 변수에 대한 계수 중 하나가 음수가 아니기 때문에 이미 이전 솔루션보다 낫습니다.

계획을 개선하기 위해 다음 심플렉스 테이블로 이동하겠습니다.

4와 . 중에서 가장 큰 수를 찾으십시오. 이 숫자는 4입니다. 따라서 선행 열은 입니다.

선행 행을 찾으려면

.

따라서 선행 행은 를 포함하는 행입니다. 그러나 그들은 이미 자유 변수 사이에 함께 있었습니다. 따라서 다음 변수를 무료에서 기본으로 전송하기 위해 다른 선행 열, 즉 쓰여진 열을 선택합니다.

선행 행을 찾으려면

.

따라서 핵심 행은 쓰여진 행이고 선행 요소는 1입니다.

다섯 번째 단순 테이블에서 새 기본 변수는 첫 번째 줄에 작성됩니다. 그것이 있던 열에 새로운 자유 변수를 씁니다.

첫째 줄:

보조 계수:

표 5
기본적인 미지수	무료 회원	느슨한 미지수		보조 계수
		X5	X6
X3	2	-1	1
X4	10			2
X1	8			1
X2	6			1
에프	20	1	3	3

솔루션이 최적이 아닌지 즉시 알아 보겠습니다. 따라서 나머지 행에 대해서는 자유 항(자유 변수가 0일 때 기본 변수의 값을 찾기 위해)과 색인 행의 자유 변수에 대한 계수만 계산합니다.

무료 회원:

두 번째 줄에서 ;

세 번째 줄에서 ;

네 번째 줄에서.

인덱스 라인:

우리는 심플렉스 표 5를 봅니다. 인덱스 행의 자유 미지수에 대한 계수가 음이 아니기 때문에 최적의 솔루션이 얻어졌음을 알 수 있습니다.

대수 변환을 사용한 심플렉스 방법

이전 단락과 동일한 예를 대수 변환으로 해결합시다. 이러한 유형의 심플렉스 방법을 해결할 때 목표 함수를 다음 형식으로 작성하지 않는 것이 좋습니다. , 표지판에서 혼동하기 쉽기 때문입니다. 그러나 이 경우 최적성 기준을 결정하는 알고리즘의 포인트는 다음과 같이 수정된다.

선형 형식의 최대(최소)가 발견되고 표현에 양수(음수) 계수가 있는 비기본 변수가 없는 경우 최적성 기준이 충족되고 결과 기본 솔루션이 최적입니다. 솔루션이 종료됩니다. 선형 형식의 최대값(최소값)을 찾을 때 해당 표현식에 양수(음수) 계수가 있는 기본이 아닌 변수가 하나 이상 포함되어 있으면 새 기본 솔루션으로 이동합니다.

예시.제약 조건에서 함수의 최대값 찾기

1단계. 음이 아닌 변수를 추가로 도입하고 이 부등식 시스템을 등가 방정식 시스템으로 줄입니다.

.

이 경우 시스템의 기본 솔루션을 쉽게 찾을 수 있으므로 도입된 추가 변수를 주요 변수로 사용합니다. 그런 다음 및 는 사소한 변수입니다.

비 기본 변수의 관점에서 주요 변수를 표현하면 다음을 얻습니다.

결과적으로 이러한 변수의 기본 및 비기본 분할은 기본 솔루션에 해당합니다. , 유효하지 않으므로(두 변수는 음수임) 최적이 아닙니다. 이 기본 솔루션에서 개선된 솔루션으로 이동해 보겠습니다.

비주체에서 원수로 변환해야 하는 변수를 결정하려면 두 번째와 같이 음의 자유 항이 있는 마지막 시스템의 사용 가능한 두 방정식 중 하나를 고려하십시오. 이 방정식에서 양의 계수를 갖기 때문에 및 주 변수로 변환될 수 있음을 보여줍니다(따라서 증가할 때 주 변수로 변환하면 변수가 증가할 것입니다).

주요 변수로 번역해 보겠습니다. 기본 변수에서 기본 변수가 아닌 변수로 이동해야 하는 변수를 설정하기 위해 에서 계수에 대한 시스템의 자유 구성원의 가장 작은 비율의 절대값을 찾습니다. 우리는 . 그것은 세 번째 방정식에서 얻어지며, 변수는 원래 기본 솔루션에서 양수인 비기본 변수로 변환되어야 함을 보여줍니다. 결과적으로 결과 기본 솔루션은 원래 솔루션과 마찬가지로 두 가지 부정적인 구성 요소를 포함합니다. 즉, 이러한 기본 솔루션으로의 전환이 개선되지 않습니다.

심플렉스 방법- 이것은 참조 계획을 순서대로 열거하는 방법입니다(순서는 다음 계획으로 전환하는 동안 목적 함수 값의 단조로운 변화에 의해 보장됨). 이 경우 원칙을 준수해야 합니다. 각 다음 단계는 개선되어야 하며, 극단적인 경우에는 목적 함수의 값이 악화되지 않아야 합니다.

LLP를 해결하려면 심플렉스 방법표준 형식으로 축소됩니다. 제한 - 불평등에서 제한 - 평등을 만드는 것이 필요합니다. 이를 위해 각 제약 조건은 음이 아닌 추가로 보완됩니다. 대차 대조표 변수부등호가 "£"이면 "+" 기호로, 부등호가 "³"이면 "-" 기호로 표시합니다.

목적 함수에서 이러한 추가 변수는 계수가 0인 상태로 입력됩니다. 대상 함수 항목은 변경되지 않습니다. 음이 아닌 조건의 적용을 받지 않는 각 변수는 음이 아닌 두 변수의 차이로 나타낼 수 있습니다.

작업 제약 조건이 리소스의 존재 및 소비를 반영하는 경우 표준 형식으로 작성된 작업 계획의 추가 변수 수치는 사용되지 않은 리소스의 양과 같습니다.

심플렉스 방법으로 문제를 해결하려면 다음을 사용합니다. 선형 방정식 시스템의 단축된 심플렉스 테이블 및 수정된 요르단 소거법.

1. 1차 기본계획을 수립한다.

작업은 동일하게 유지됩니다. 추가 균형 변수를 도입하여 부등식 시스템의 표준 형식(1)을 방정식 시스템의 표준 형식으로 가져오겠습니다. 엑스 3 , 엑스 4 , 엑스 5 ,엑스 6 .

경제적 의미에서 추가 변수의 값 엑스 3 , 엑스 4 , 엑스 5 제품 판매 후 원자재의 균형을 결정합니다.

결과 방정식 시스템의 행렬은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

매트릭스에서 알 수 있다. ㅏ 4차의 기초 마이너는 추가 변수에 대한 단위 계수로 구성된 행렬식입니다. 엑스 3 , 엑스 4 , 엑스 5 ,엑스 6, 0이 아니고 1과 같기 때문입니다. 이는 이러한 변수에 대한 열 벡터가 선형 독립임을 의미합니다. 즉, 형태 기초, 및 해당 변수 엑스 3 , 엑스 4 , 엑스 5 ,엑스 6은 기초적인(기초적인). 변수 엑스 1 , 엑스 2 호출됩니다 무료(미성년자).

자유 변수인 경우 엑스 1 및 엑스 2 다른 값을 설정한 다음 기본 변수에 대해 시스템을 풀면 특정 솔루션의 무한 집합을 얻습니다. 자유 변수에 대해 0 값만 설정되면 무한한 특정 솔루션 세트에서 기본 솔루션- 기본 계획.

변수가 기본이 될 수 있는지 알아보려면 이러한 변수의 계수로 구성된 행렬식을 계산해야 합니다. 이 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 변수는 기본이 될 수 있습니다.

기본 솔루션의 수와 해당 기본 변수 그룹의 수는 이보다 클 수 없습니다. 여기서 N는 변수의 총 수이고, 아르 자형는 기본 변수의 수이고, 아르 자형≤ 중≤ N.

우리의 임무를 위해 아르 자형 = 4; N= 6. 그러면 , 즉 4개의 기본 변수로 구성된 15개의 그룹(또는 15개의 기본 솔루션)이 가능합니다.

기본 변수에 대해 연립방정식을 풀자 엑스 3 , 엑스 4 , 엑스 5 ,엑스 6:

자유 변수라고 가정하면 엑스 1 = 0, 엑스 2 = 0이면 기본 변수의 값을 얻습니다. 엑스 3 = 312; 엑스 4 = 15; 엑스 5 = 24;엑스 6 = -10, 즉 기본 솔루션은 = (0, 0, 312, 15, 24, -10)입니다.

이 기본 솔루션은 용납할 수 없는, 왜냐하면 엑스 6 = –10 ≤ 0, 그리고 제약 조건에 의해 엑스 6 ≥ 0. 따라서 변수 대신 엑스 6을 기준으로 무료 중에서 다른 변수를 가져와야 합니다. 엑스 1 또는 엑스 2 .

다음과 같이 시스템 계수로 첫 번째 테이블의 행을 채우는 단축된 심플렉스 테이블을 사용하여 추가 솔루션을 수행합니다(표 1).

1 번 테이블

에프- 문자열이 호출됩니다. 인덱스. 함수의 방정식은 에프 = 0 – (– 4엑스 1 – 3엑스 2).

무료 회원 칼럼에서 나부정적인 요소가 있습니다 비 4 = -10, 즉 시스템의 솔루션이 유효하지 않습니다. 유효한 솔루션(기본 계획)을 얻으려면 요소 비 4는 음수가 아니어야 합니다.

선택하다 엑스 6 - 부정적인 무료 회원이 있는 라인. 이 줄에는 음수 요소가 포함되어 있습니다. 예를 들어 다음에서 "-1"을 선택하십시오. 엑스 1 - 열, 엑스 1 - 열 허용 권한 열(변수가 엑스 1은 무료에서 기본으로 이동합니다.

우리는 무료 회원을 공유합니다 나관련 요소에 이다해결 열, 우리는 평가 관계Θ 나==(24, 15, 12, 10). 이 중에서 가장 작은 양수(minΘ 나=10)에 해당합니다. 허가 라인. 권한 문자열은 변수를 정의합니다. xj, 다음 단계에서 기초에서 돌출되어 자유로워집니다. 그렇기 때문에 엑스 6 - 라인은 허용 라인이고 요소 "-1"은 활성화 요소. 우리는 그것을 동그라미로 표시합니다. 변수 엑스 1 및 엑스 6개가 교환됩니다.

예상 비율 Θ 나각 줄에서 다음 규칙에 따라 결정됩니다.

1) ㄱ 나= 만약 나그리고 이다다른 징후가 있습니다.

2) ㅇㅇ 나= ∞ 인 경우 나= 0 및 이다 < 0;

3) ㅇㅇ 나= ∞ 인 경우 이다 = 0;

4) ㅇㅇ 나= 0인 경우 나= 0 및 이다 > 0;

5) ㅇㅇ 나= 만약 나그리고 이다같은 징후가 있습니다.

우리는 허용 요소를 사용하여 수정된 요르단 제거(MJJI) 단계를 수행하고 다음 규칙에 따라 새 테이블(표 2)을 컴파일합니다.

1) 확인 요소(RE) 대신 값이 설정됩니다. ;

2) 허용 라인의 요소는 RE로 나뉩니다.

3) 해결 열의 요소는 RE로 분할되고 부호가 변경됩니다.

4) 나머지 요소는 직사각형 규칙에 따라 찾습니다.

테이블에서. 2의 무료 회원은 나-열은 음수가 아니므로 초기 허용 솔루션을 얻습니다. 첫 번째 기본 계획= (10, 0, 182, 5, 4, 0) 이 경우 함수의 값은 에프() = 40. 기하학적으로 이것은 상단에 해당합니다. 에프(10; 0) 솔루션 폴리곤(그림 1).

표 2

2. 최적의 계획을 확인합니다.기본 계획은 최적이 아닙니다. 에프-line에는 음수 계수 "-4"가 있습니다. 우리는 계획을 개선합니다.

3. 새로운 기준선 찾기

규칙에 따라 허용 요소를 선택합니다.

우리는 가장 작은 음의 계수를 선택합니다. 에프-활성화 열을 결정하는 "-4"줄 - 엑스 6; 변하기 쉬운 엑스 6 기본으로 번역;

우리는 비율 Θ를 찾습니다. 나, 그 중에서 허용 문자열에 해당하는 가장 작은 양수를 선택합니다.

분 Θ 나 = 분(14, 5, 2, ∞) = 2, 따라서 엑스 5 - 라인 - 허용, 가변 엑스 5 우리는 무료로 번역합니다(변수 엑스 5 및 엑스 6개 교환).

허용 행과 열의 교차점에는 허용 요소 "2"가 있습니다.

SHMZhI 단계를 수행하고 테이블을 만듭니다. 3 위의 규칙에 따라 새 참조 계획을 얻습니다 = (12; 0; 156; 3; 0; 2).

표 3

4. 신규 기본계획의 최적성 확인

기본 계획도 최적이 아닙니다. 에프-line에는 음수 계수 "-1"이 있습니다. 기능 값 에프() = 48, 기하학적으로 상단에 해당 이자형(12; 0) 솔루션 폴리곤(그림 1). 우리는 계획을 개선합니다.

5. 새로운 기준선 찾기

엑스 2열은 허용됩니다. 에프- 가장 작은 음수 계수 "-1"이 있는 줄 엑스 2열(Δ 2 = -1). 가장 작은 Θ 찾기 나: 분 Θ 나 = 분(≈ 9, 6, ∞, 24) = 6, 따라서 엑스네 번째 줄 - 허용. 허용 요소 "1/2". 변수 교환 엑스 2 및 엑스네 . SHMZhI 단계를 수행하고 테이블을 만듭니다. 4, 우리는 새로운 참조 계획을 얻습니다 = (9; 6; 51; 0; 0; 5).

6. 기본계획의 최적성 확인

에 에프-선, 모든 계수는 음이 아니므로 참조 계획이 최적입니다. 기하학적으로 점에 해당 디(9;6) (그림 1 참조). 최적 계획은 목적 함수 c.u의 최대값을 제공합니다.

기본 LLP를 풀기 위한 심플렉스 방법의 아이디어 LLP 지원 솔루션의 지속적인 개선으로 구성됩니다.

심플렉스 방법을 작성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

1. 심플렉스 방법의 기본 형태;
2. 심플렉스 테이블 형태의 심플렉스 방법.
3. 수정된 심플렉스 방법;
4. 기둥 형태의 심플렉스 방법;
5. 행 형식의 심플렉스 방법.

다음과 같은 제약 조건에서 목적 함수 F(X) = 3x 1 +5x 2 +4x 3의 최대값을 정의해 봅시다.
0.1x 1 +0.2x 2 +0.4x 3 ≤1100
0.05x 1 +0.02x 2 +0.02x 3 ≤120
3x1 +x2 +2x3 ≤8000

첫 번째 참조 계획을 구성하기 위해 추가 변수를 도입하여 부등식 시스템을 방정식 시스템으로 축소합니다(정규 형식으로 전환).
0.1x1 + 0.2x2 + 0.4x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 1100
0.05x1 + 0.02x2 + 0.02x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 120
3x1 + 1x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 8000

심플렉스 방법의 기본 표기법

솔루션은 기본이 아닌 변수를 통해 기본 변수를 표현하여 수행됩니다. x0 = 3x1 +5x2 +4x3 x 4 = 1100-0.1x 1 -0.2x 2 -0.4x 3 x 5 = 120-0.05x 1 -0.02x 2 -0.02x 3 x 6 = 8000-3x 1 -x 2 -2x 3

심플렉스 테이블 형태의 심플렉스 방법

솔루션은 심플렉스 테이블 형태로 수행됩니다. 이 양식은 컴퓨터에서 계산하도록 설계되었습니다. 인공 기준을 사용할 때 특수 숫자 M이 사용됩니다(보통 10000).

계획	기초	에	x 1	x2	x 3	x4	x5	x6	분
1	x4	1100	0.1	0.2	0.4	1	0	0	5500
	x5	120	0.05	0.02	0.02	0	1	0	6000
	x6	8000	3	1	2	0	0	1	8000
인덱스 라인	F(X1)	0	-3	-5	-4	0	0	0	0
2	x2	5500	0.5	1	2	5	0	0	11000
	x5	10	0.04	0	-0.02	-0.1	1	0	250
	x6	2500	2.5	0	0	-5	0	1	1000
인덱스 라인	F(X2)	27500	-0.5	0	6	25	0	0	0
3	x2	5375	0	1	2.25	6.25	-12.5	0	11000
	x1	250	1	0	-0.5	-2.5	25	0	250
	x6	1875	0	0	1.25	1.25	-62.5	1	1000
인덱스 라인	F(X3)	27625	0	0	5.75	23.75	12.5	0	0

수정된 심플렉스 방법

계수 행렬 A = a ij 매트릭스 나. 반복 #1. = (4, 5, 6) 매트릭스 c. c = (-3, -5, -4, 0, 0, 0) c B = (0, 0, 0) c N = (-3, -5, -4) 우리는 다음을 계산합니다. 행렬 B -1은 대수적 덧셈을 통해 계산됩니다. 유 = c B B -1 = (0, 0, 0)

기둥 형태의 심플렉스 방법

우리는 심플렉스 방법의 기둥 형태로 전달합니다. 우리는 각 변수를 기본이 아닌 변수로 표현합니다. x 0 = 0-3(-x 1)-5(-x 2)-4(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 1 = 0-1(-x 1)+0(-x 2)+0(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 2 = 0+0(-x 1)-1(-x 2)+0(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 3 = 0+0(-x 1)+0(-x 2)-1(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 4 = 1100+0.1(-x 1)+0.2(-x 2)+0.4(-x 3)+1(-x 4)+0(-x 5)+0(-x 6) x 5 = 120+0.05(-x 1)+0.02(-x 2)+0.02(-x 3)+0(-x 4)+1(-x 5)+0(-x 6) x 6 = 8000+3(-x 1)+1(-x 2)+2(-x 3)+0(-x 4)+0(-x 5)+1(-x 6) 이 시스템은 테이블 T 0 에 해당합니다. 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 1100 0.1 0.2 0.4 120 0.05 0.02 0.02 8000 3 1 2 0 -3 -5 -4

문자열 형식의 단순 메서드

초기 허용 기준으로 B 0 =<4, 5, 6>. 다음 표에 해당합니다. 1100 0.1 0.2 0.4 1 0 0 120 0.05 0.02 0.02 0 1 0 8000 3 1 2 0 0 1 0 -3 -5 -4 0 0 0

시스템의 계수로 구성된 행렬 Q는 심플렉스 테이블기본 B에 해당합니다. 심플렉스 표는 허용, 또는 직접 허용, if q i0 ≥ 0. 심플렉스 테이블 Q의 마지막 행에 있는 요소 q i0이 호출됩니다. 상대 추정치.

인공 기반의 방법에 의한 솔루션의 형태

목적 함수에 도입된 인공 변수의 사용에 대해 M의 페널티가 부과되며 일반적으로 지정되지 않는 매우 큰 양수입니다.
결과 기저를 인공 기저라고 하고 해법을 인공 기저 방법이라고 합니다.
또한 인공 변수는 작업의 내용과 관련이 없지만 시작점을 만들 수 있으며 최적화 프로세스는 이러한 변수가 0 값을 취하고 최적 솔루션의 허용 가능성을 보장합니다.

인공 기초 방법에 의한 솔루션 형태 :

1. M-방법(단순 테이블);
2. 2단계 또는 2상 심플렉스 방법(기본 표기법, 수정된 심플렉스 방법, 열 형식의 심플렉스 방법, 라인 형식의 심플렉스 방법).

문제 조건에서 기호 ≥에 제한이 있는 경우 부등식의 두 부분에 -1을 곱하여 ∑a ji b j 형식으로 축소할 수 있습니다. m개의 추가 변수 x n+j ≥0(j =1,m )을 도입하고 제약 조건을 등식의 형태로 변환합니다.

(2)

문제 x 1 , x 2 ,..., x n 의 모든 초기 변수가 기본이 아니라고 가정하겠습니다. 그러면 추가 변수가 기본이 되고 제약 조건 시스템에 대한 특정 솔루션은 다음 형식을 갖습니다.

x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (삼)

이 경우 목표 함수 F 0 = 0 의 값이므로 F(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

F(x)=∑c i x i + F 0 =0 (4)

초기 심플렉스 테이블(심플렉스 테이블 1)은 방정식 (2) 및 (4)를 기반으로 컴파일됩니다. (2)와 같이 추가 변수 x n+j 앞에 "+" 기호가 있으면 변수 x i 및 자유 항 b j 앞의 모든 계수가 변경 없이 심플렉스 테이블에 입력됩니다. 최대화 중 목표 함수의 계수는 반대 부호로 심플렉스 테이블의 맨 아래 줄에 입력됩니다. 심플렉스 테이블의 자유 멤버가 문제의 솔루션을 결정합니다.

문제를 해결하기 위한 알고리즘은 다음과 같습니다.

1단계. 무료 회원 열의 요소가 조회됩니다. 모두 양수이면 허용 가능한 기본 솔루션이 발견되었으며 최적의 솔루션을 찾는 데 해당하는 알고리즘의 5단계로 진행해야 합니다. 초기 심플렉스 표에 음의 자유 항이 있으면 솔루션이 유효하지 않으므로 2단계로 이동해야 합니다.

2단계. 실행 가능한 솔루션을 찾기 위해 수행되는 동안 기본이 아닌 변수 중 베이시스에 포함할 변수와 베이시스에서 제외할 변수를 결정해야 합니다.

1 번 테이블.

x n

기저 변수	제한이 있는 무료 회원	비기본 변수
		x 1	x2	...	x l	...
xn+1	나 1	11	12	...	1리터	...	1n
xn+2	나 2	21	22	...	2리터	...	2n
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
xn+r	b2	r1	r2	...	알	...	르네
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
xn+m	비엠	m1	m2	...	암	...	암
F(x) 최대	F0	-c 1	-c 2	...	-c 1	...	-c n

이렇게 하려면 자유 구성원 열의 음수 요소 중 하나를 선택합니다(b 2 선행 또는 허용으로 설정합니다. 음수 자유 구성원이 있는 행에 음수 요소가 없으면 제한 시스템이 일관되지 않고 문제는 해결책이 없습니다.

동시에 선택된 NP x l의 증가에 따라 부호가 가장 먼저 변하는 변수는 BP에서 제외된다. 이것은 x n+r 이며, 인덱스 r은 조건에서 결정됩니다.

저것들. 선택한 선행 열의 요소에 대한 자유 항의 가장 작은 비율에 해당하는 변수입니다. 이 관계를 심플렉스 관계. 양의 단순 관계만 고려되어야 합니다.

변수 x n+r에 해당하는 문자열이 호출됩니다. 주도하거나 허용합니다. 선행 행과 선행 열의 교차점에 있는 단순 테이블 a rl 의 요소를 선행 또는 해결 요소라고 합니다.선행 요소를 찾는 것은 각각의 다음 심플렉스 테이블로 작업을 끝냅니다.

3단계. 새로운 단순 테이블이 계산되며, 그 요소는 이전 단계의 단순 테이블 요소에서 다시 계산되고 소수로 표시됩니다. b"j, a"ji, c"i, F"0 . 요소는 다음 공식에 따라 다시 계산됩니다.

먼저 이전 단순 테이블에서 선행하는 행과 열이 새 단순 테이블에서 채워집니다. 식 (5)는 선행 요소 대신에 요소 a "rl이 이전 단순 테이블 요소의 역수와 동일함을 의미합니다. a ri 행의 요소는 선행 요소로 나누어지고 열 a jl도 선행 요소로 나누어 지지만 반대 부호를 사용합니다. 요소 b" r 및 c" l은 동일한 원리에 따라 계산됩니다.

나머지 공식은 를 사용하여 쉽게 작성할 수 있습니다.

직사각형은 대각선 중 하나가 다시 계산된(a ji) 및 선행(arl) 요소에 의해 형성되는 방식으로 이전 단순 테이블에 따라 작성됩니다(그림 1). 두 번째 대각선은 고유하게 결정됩니다. 새로운 요소 a "ji를 찾으려면 반대 대각선 요소의 곱을 선행 요소로 나눈 값을 요소 a ji에서 뺍니다(이는 기호로 표시됨" - "셀에서). 마찬가지로 요소 b" j, (j≠r) 및 c" i는 (i≠l)로 다시 계산됩니다.

4단계. 새로운 심플렉스 테이블의 분석은 알고리즘의 첫 번째 단계부터 시작됩니다. 실행 가능한 기본 솔루션이 발견될 때까지 작업이 계속됩니다. free Members 열의 모든 요소는 양수여야 합니다.

5단계. 우리는 수용 가능한 기본 솔루션이 발견되었다고 믿습니다. 목표 함수 F(x) 라인의 계수를 살펴봅니다. 심플렉스 테이블의 최적성의 표시는 F-행의 기본이 아닌 변수에 대한 계수의 음수가 아닌 것입니다.

쌀. 1. 사각형 규칙

F-행의 계수 중 음수가 있는 경우(자유 항 제외) 다른 기본 솔루션으로 이동해야 합니다. 목표 함수를 최대화할 때 기저에는 비기저 변수(예: x l)의 열이 포함되며, 이 열은 심플렉스 테이블의 맨 아래 행에 있는 음수 계수 c l 의 최대 절대값에 해당합니다. 이를 통해 증가가 목표 함수의 개선으로 이어지는 변수를 선택할 수 있습니다. 변수 x l에 해당하는 열을 선행 열이라고 합니다. 동시에 해당 변수 x n+r은 기준에서 제외되며, 지수 r은 최소 심플렉스 비율에 의해 결정됩니다.

x n+r에 해당하는 행을 선행 행이라고 하고 선행 행과 선행 열의 교차점에 있는 단순 테이블 a rl 의 요소를 선행 행이라고 합니다. 선도적인 요소.

6단계. 3단계에서 정한 규칙에 따라 절차는 최적의 솔루션을 찾거나 그것이 존재하지 않는다는 결론을 내릴 때까지 계속됩니다.

선행 열의 솔루션을 최적화하는 과정에서 모든 요소가 양수가 아닌 경우 선행 행을 선택할 수 없습니다. 이 경우 문제의 허용 가능한 솔루션 영역에서 함수는 위와 F max ->&∞에서 제한되지 않습니다.

극한값 검색의 다음 단계에서 기본 변수 중 하나가 0이 되면 해당 기본 솔루션을 축퇴라고 합니다. 이 경우, BP의 동일한 조합이 특정 주파수(이 경우 함수 F의 값이 유지됨)로 반복되기 시작하고 새로운 수용 가능한 기본 솔루션. 루핑은 심플렉스 방법의 주요 단점 중 하나이지만 상대적으로 드뭅니다. 실제로 이러한 경우에는 열이 목표 함수의 음수 계수의 최대 절대값에 해당하는 변수를 기저에 입력하는 것을 거부하고 새로운 기본 솔루션이 무작위로 선택됩니다.

예 1. 문제 해결

최대(F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7, x 1 + 4x 2 ≥8, x 2 ≤4, x 1.2 ≥0)

Simplex 방법과 솔루션 프로세스의 기하학적 해석을 제공합니다.

문제 솔루션의 그래픽 해석이 그림 1에 나와 있습니다. 2. 목표 함수의 최대값은 좌표가 있는 ODZP의 상단에 도달합니다. 심플렉스 테이블을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다. 두 번째 제약 조건에 (-1)을 곱하고 추가 변수를 도입하여 불평등을 평등의 형태로 가져온 다음

초기 변수 x 1 및 x 2는 기본이 아닌 것으로 간주하고 추가 x 3 , x 4 및 x 5는 기본으로 간주하여 심플렉스 테이블(심플렉스 테이블 2)을 컴파일합니다. 심플렉스 테이블에 해당하는 솔루션입니다. 2, 유효하지 않습니다. 선행 요소는 위의 알고리즘의 2단계에 따라 윤곽이 지정되고 선택됩니다. 다음 심플렉스 탭. 3은 허용 가능한 기본 솔루션을 정의합니다. 2 문제 해결을 위한 알고리즘의 5단계에 따라 선행 요소를 설명하고 선택합니다. 탭. 4는 문제의 최적 솔루션에 해당하므로 x 1 = x 5 = 0; x 2 \u003d 4; x 3 \u003d 3; x 4 = 8; F 최대 = 20.

쌀. 2. 문제의 그래픽 솔루션