Уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это - алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Если r(х) - рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.
Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) - рациональные выражения.
До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению
. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.
Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде
При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем
Вспомним условия равенства дроби
нулю: тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:
1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля ).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим
Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения (1), что . Значения х 1 = 2 и х 2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.
1) Преобразуем уравнение к виду
2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:
(одновременно изменили знаки в числителе и
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид
3) Решим уравнение х 2 - 6x + 8 = 0. Находим
4) Для найденных значений проверим выполнение условия 
. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 - нет. Значит, 4 - корень заданного уравнения, а 2 - посторонний корень.
О т в е т: 4.
2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной
Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.
Пример 3. Решить уравнение х 4 + х 2 - 20 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = х 2 . Так как х 4 = (х 2) 2 = у 2 , то заданное уравнение можно переписать в виде
у 2 + у - 20 = 0.
Это - квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы
; получим у 1 = 4, у 2 = - 5.
Но у = х 2 , значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x 2 =4; х 2 =-5.
Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Уравнение вида ах 4 + bx 2 +c = 0 называют биквадратным уравнением («би» - два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х 2 , решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х 2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х 2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной
- и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):
А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.
1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:
= 0
2) Преобразуем левую часть уравнения
Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду
3) Из уравнения - 7у 2 + 29у -4 = 0 находим (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).
4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1). Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: 
Поскольку у = х 2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и , - нам еще предстоит решить два уравнения: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх = . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения - числа
В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.
Пример 5.
Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х 2 - Зх.
С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у 2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два уравнения х 2 - Зх = 4 и х 2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х 1 = 4, х 2 = - 1; второе уравнение не имеет корней.
О т в е т: 4, - 1.
Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).
Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.
- Иногда НОЗ – очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
- Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
- Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).
- Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
- Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).
Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.
- В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить 2 дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
- В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15х = х - 5. Решите и получите: х = -5/14.
\(\bullet\)
Рациональное уравнение - это уравнение, представимое в виде \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\]
где \(P(x), \ Q(x)\)
- многочлены (сумма “иксов” в различных степенях, умноженных на различные числа).
Выражение в левой части уравнения называется рациональным выражением.
ОДЗ (область допустимых значений) рационального уравнения – это все значения \(x\)
, при которых знаменатель НЕ обращается в нуль, то есть \(Q(x)\ne 0\)
.
\(\bullet\)
Например, уравнения \[\dfrac{x+2}{x-3}=0,\qquad \dfrac 2{x^2-1}=3, \qquad x^5-3x=2\]
являются рациональными уравнениями.
В первом уравнении ОДЗ – это все \(x\)
, такие что \(x\ne 3\)
(пишут \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)
); во втором уравнении – это все \(x\)
, такие что \(x\ne -1; x\ne 1\)
(пишут \(x\in
(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)
); а в третьем уравнении никаких ограничений на ОДЗ нет, то есть ОДЗ – это все \(x\)
(пишут \(x\in\mathbb{R}\)
).
\(\bullet\)
Теоремы:
1) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, следовательно, уравнение \(f(x)\cdot g(x)=0\)
равносильно системе \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned}
&f(x)=0\\
&g(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ \text{ОДЗ уравнения}
\end{cases}\]
2) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, следовательно, уравнение \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\)
равносильно системе уравнений \[\begin{cases}
f(x)=0\\
g(x)\ne 0 \end{cases}\]
\(\bullet\)
Рассмотрим несколько примеров.
1) Решите уравнение \(x+1=\dfrac 2x\)
.
Найдем ОДЗ данного уравнения – это \(x\ne 0\)
(так как \(x\)
находится в знаменателе).
Значит, ОДЗ можно записать так: .
Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю: \[\dfrac{(x+1)\cdot x}x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad
\dfrac{x^2+x-2}x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}
x^2+x-2=0\\x\ne 0\end{cases}\]
Решением первого уравнения системы будут \(x=-2, x=1\)
. Видим, что оба корня ненулевые. Следовательно, ответ: \(x\in \{-2;1\}\)
.
2) Решите уравнение \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot
(x^2-x)=0\)
.
Найдем ОДЗ данного уравнения. Видим, что единственное значение \(x\)
, при котором левая часть не имеет смысла – это \(x=0\)
. Значит, ОДЗ можно записать так: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)
.
Таким образом, данное уравнение равносильно системе:
\[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned}
&\dfrac 4x-2=0\\
&x^2-x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned}
&\dfrac 4x=2\\
&x(x-1)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned}
&x=2\\
&x=1\\
&x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad
\left[ \begin{gathered}\begin{aligned}
&x=2\\
&x=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Действительно, несмотря на то, что \(x=0\)
- корень второго множителя, если подставить \(x=0\)
в изначальное уравнение, то оно не будет иметь смысла, т.к. не определено выражение \(\dfrac 40\)
.
Таким образом, решением данного уравнения являются \(x\in
\{1;2\}\)
.
3) Решите уравнение \[\dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1}\]
В нашем уравнении \(4x^2-1\ne 0\)
, откуда \((2x-1)(2x+1)\ne 0\)
, то есть \(x\ne -\frac12; \frac12\)
.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
\(\dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2+4x-3+x+x^2}{4x^2-1}=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2x^2+5x-3}{4x^2-1}=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (2x-1)(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end{aligned}\end{gathered} \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x=-3\)
Ответ: \(x\in \{-3\}\) .
Замечание. Если ответ состоит из конечного набора чисел, то их можно записывать через точку с запятой в фигурных скобках, как показано в предыдущих примерах.
Задачи, в которых требуется решить рациональные уравнения, в ЕГЭ по математике встречаются каждый год, поэтому при подготовке к прохождению аттестационного испытания выпускникам непременно стоит самостоятельно повторить теорию по данной теме. Уметь справляться с такими заданиями обязательно должны выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень экзамена. Усвоив теорию и разобравшись с практическими упражнениями по теме «Рациональные уравнения», учащиеся смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Как подготовиться к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»?
Иногда найти источник, в котором полноценно представлена базовая теория для решения математических задач, оказывается достаточно сложно. Учебника может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно сложно даже в Интернете.
Образовательный портал «Школково» избавит вас от необходимости поиска нужного материала и поможет качественного подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Всю необходимую теорию по теме «Рациональные уравнения» наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, учащиеся смогут восполнить пробелы в знаниях.
Для успешной подготовки к ЕГЭ выпускникам необходимо не только освежить в памяти базовый теоретический материал по теме «Рациональные уравнения», но попрактиковаться в выполнении заданий на конкретных примерах. Большая подборка задач представлена в разделе «Каталог».
Для каждого упражнения на сайте наши специалисты прописали алгоритм решения и указали правильный ответ. Учащиеся могут практиковаться в решении задач различной степени сложности в зависимости от уровня подготовки. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.
Изучить теоретический материал и отточить навыки решения задач по теме «Рациональные уравнения», подобных тем, которые включены в тесты ЕГЭ, можно в режиме онлайн. В случае необходимости любое из представленных заданий можно добавить в раздел «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию по теме «Рациональные уравнения», старшеклассник сможет в дальнейшем вернуться к задаче, чтобы обсудить ход ее решения с преподавателем на уроке алгебры.
Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.
Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.
Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где 
- рациональные выражения.
Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.
Пример 1
Решить уравнение: .
Решение:
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Получаем следующую систему:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:
Получаем два корня: ; .
Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.
Ответ: .
Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:
1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.
2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.
3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: 
.
4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.
Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример 2
Решить уравнение: 
.
Решение
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.
Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:
Получаем два корня: ; .
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.
Ответ: .
На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.
На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
- Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Домашнее задание
Решение дробно-рациональных уравнений
Справочное пособие
Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.
(Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления - например: 6x; (m – n)2; x/3y и т.п.)
Дробно-рациональные уравнения, как правило, приводятся к виду:
Где P (x ) и Q (x ) – многочлены.
Для решения подобных уравнений умножить обе части уравнения на Q(x), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, при решении дробно-рациональных уравнений необходима проверка найденных корней.
Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.
Примеры целого рационального уравнения:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2x – 10
4
Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.
Пример дробного рационального уравнения:
15
x + - = 5x – 17
x
Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:
1) находят общий знаменатель дробей и умножают на него обе части уравнения;
2) решают получившееся целое уравнение;
3) исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.
Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.
Пример 1. Решим целое уравнение
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Решение:
Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:
3(x – 1) + 4x 5х
------ = --
6 6
Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение:
3(x – 1) + 4x = 5х.
Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:
3х – 3 + 4х = 5х
3х + 4х – 5х = 3
Пример решен.
Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:
х 2 – 3х x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:
х 2 – 3x + x – 5 = x + 5
х 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
х 2 – 3x – 10 = 0.
Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5.
Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.
При x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.
При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: x = –2
Ещё примеры
Пример 1.
x 1 =6, x 2 = - 2,2.
Ответ:-2,2;6.
Пример 2.
