Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.
Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.
Очевидно, что
фермер имеет одного кролика в первый
месяц и одного кролика – во второй
месяц. На третий месяц будет уже два
кролика, на четвертый – три и т.д.
Обозначим количество кроликов в n
месяце как
.
Таким образом,
,
,
,
,
,
…
Можно построить
алгоритм, позволяющий найти
при любомn
.
Согласно условию
задачи общее количество кроликов
вn
+1
месяце раскладывается на три составляющие:
одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве
;
Таким образом, получим
. (8.1)
Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …
Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи .
Если
принять
и
,
то с помощью формулы (8.1) можно определить
все остальные числа Фибоначчи. Формула
(8.1) называется рекуррентной
формулой (recurrence
– «возвращение» на латыни).
Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?
Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.
В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Для
того чтобы ответить на заданный вопрос
при произвольном n
,
обозначим количество вариантов как
,
и попробуем определить
по известным
и
.
Если мы стартуем с единичного шага, то
имеем
комбинаций для оставшихсяn
ступенек. Если стартуем с двойного шага,
то имеем
комбинаций для оставшихсяn
–1
ступенек. Общее количество вариантов
для n
+1
ступенек равно
. (8.2)
Полученная
формула как близнец напоминает формулу
(8.1). Тем не менее, это не позволяет
отождествлять количество комбинаций
с числами Фибоначчи
.
Мы видим, например, что
,
но
.
Однако имеет место следующая зависимость:
.
Это
справедливо для n
= 1, 2, и также справедливо для каждого n
.
Числа Фибоначчи и количество комбинаций
вычисляются по одной и той же формуле,
однако начальные значения
,
и
,
у них различаются.
Пример 8.2.
Этотпример имеет
практическое
значение для задач помехоустойчивого
кодирования. Найдем число всех двоичных
слов длины n
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Обозначим это число через
.
Очевидно,
,
а слова длины 2, удовлетворяющие нашему
ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е.
.
Пусть
– такое слово изn
символов. Если символ
,
то
может быть произвольным (
)-буквенным
словом, не содержащим несколько нулей
подряд. Значит, число слов с единицей
на конце равно
.
Если же символ
,
то обязательно
,
а первые
символа
могут быть произвольными с учетом
рассматриваемых ограничений. Следовательно,
имеется
слов длины
n
с нулем на конце. Таким образом, общее
число интересующих нас слов равно
.
С учетом того, что
и
,
полученная последовательность чисел
– это числа Фибоначчи.
Пример 8.3.
В
примере 7.6 мы нашли, что число двоичных
слов постоянного веса t
(и длиной k
)
равно
.
Теперь найдем число двоичных слов
постоянного весаt
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Рассуждать можно
так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах.
В любом слове имеется
промежутков между ближайшими нулями,
в каждом из которых находится одна или
несколько единиц. Предполагается, что
.
В противном случае нет ни одного слова
без рядом стоящих нулей.
Если из каждого
промежутка удалить ровно по одной
единице, то получим слово длины
,
содержащее
нулей. Любое такое слово может быть
получено указанным образом из некоторого
(и притом только одного)k
-буквенного
слова, содержащего
нулей, никакие два из которых не стоят
рядом. Значит, искомое число совпадает
с числом всех слов длины
,
содержащих ровно
нулей, т.е. равно
.
Пример 8.4.
Докажем,что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого
.
Символ
обозначаетнаименьшее
целое число, большее или равное
.
Например, если
,
то
;
а если
,
то
ceil
(«потолок»). Также встречается символ
,
который обозначаетнаибольшее
целое число, меньшее или равное
.
По-английски эту операцию называютfloor
(«пол»).
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:
.
И оно действительно выполняется:
Здесь мы использовали
полученную ранее формулу (4.4):
.
Сумма чисел Фибоначчи
Определим сумму первых n чисел Фибоначчи.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Легко заметить, что прибавлением к правой части каждого уравнения единицы мы снова получаем число Фибоначчи. Общая формула для определения суммы первых n чисел Фибоначчи имеет вид:
Докажем это, используя метод математической индукции. Для этого запишем:
Эта
сумма должна быть равна
.
Сократив левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение (6.1).
Формула для чисел Фибоначчи
Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле
.
Доказательство . Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:
Мы
видим, что отношение этих чисел колеблется
около значения 1.618 (если игнорировать
несколько первых значений). Этим свойством
числа Фибоначчи напоминают члены
геометрической прогрессии. Примем
,
(
).
Тогда выражение
преобразуется в
которое после упрощений выглядит так
.
Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:
Теперь можем записать:
(где
c
является константой). Оба члена 
и
не дают чисел Фибоначчи,
например
,
в то время как
.
Однако разность 
удовлетворяет
рекуррентному уравнению:
Для
n
=0
эта разность дает
,
то есть: 
.
Однако при n
=1
мы имеем 
.
Чтобы получить
,
необходимо принять:
.
Теперь
мы имеем две последовательности: 
и 
,
которые начинаются с одинаковых двух
чисел и удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле. Они должны быть
равны: 
.
Теорема доказана.
При
возрастании n
член
становится очень большим, в то время
как
,
и роль члена
в разности сокращается.
Поэтому при больших n
приближенно можем записать
.
Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).
Отношение
называется золотым
сечением
,
его используют за пределами математики
(например, в скульптуре и архитектуре).
Золотым сечением является отношение
между диагональю и стороной правильного
пятиугольника
(рис. 8.1).
Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали
Для обозначения
золотого сечения принято использовать
букву
в честь известного афинского скульптора
Фидия.
Простые числа
Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на два класса. К первому относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, единицу и самого себя, ко второму – все остальные. Числа первого класса называют простыми , а второго – составными . Простые числа в пределах первых трех десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучалась Евклидом (3 век до нашей эры). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает. На первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е. меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше 8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число бесконечно.
Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (так называемые простые близнецы ), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.
Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причем каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Таким образом, простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда.
Изучение распределения
простых чисел привело к созданию
алгоритма, позволяющего получать таблицы
простых чисел. Таким алгоритмом является
решето
Эратосфена
(3 век до нашей эры). Этот метод заключается
в отсеивании (например, путем зачеркивания)
тех целых чисел заданной последовательности
,
которые делятся хотя бы на одно из
простых чисел, меньших
.
Теорема 8 . 2 . (теорема Евклида). Число простых чисел бесконечно .
Доказательство . Теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел докажем способом, предложенным Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам p :
при
.
Это произведение сходится, и если его
раскрыть, то в силу однозначности
разложения натуральных чисел на простые
сомножители получается, что оно равняется
сумме ряда
,
откуда следует тождество Эйлера:
.
Так как при
ряд справа расходится (гармонический
ряд), то из тождества Эйлера следует
теорема Евклида.
Русский математик
П.Л. Чебышев (1821–1894) вывел формулу,
определяющую пределы, в которых заключено
число простых чисел
,
не превосходящихX
:
,
где
,
.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«КРИВЛЯНСКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА»
ЖАБИНКОВСКОГО РАЙОНА
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Исследовательская работа
Работу выполнила:
учащаяся 10 класса
Садовничик Валерия Алексеевна
Руководитель:
Лавренюк Лариса Николаевна,
учитель информатики и
математики 1 квалификационной
Числа Фибоначчи и природа
Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов.
На первый взгляд может показаться, что число листьев, цветков может изменяться в очень широких пределах и принимать любые значения. Но такой вывод оказывается несостоятельным. Исследования показали, что число одноименных органов в растениях не является произвольным, существуют значения, часто встречающиеся и значения, которые встречаются очень редко.
В живой природе широко распространены формы, основанные на пентагональной симметрии – морские звезды, морские ежи, цветы.
Фот.13 . Лютик
В ромашке число лепестков 55 или 89.
Фот.14 . Ромашка
Пиретрум имеет 34 лепестка.
Фот. 15. Пиретрум
Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.
Фот.16 . Шишка
В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34/55, 55/89.
Фот.17 . Подсолнух
Присмотримся к ракушкам. Если пересчитать число «ребер жесткости» у первой, взятой наугад ракушки - получилось 21. Возьмем вторую, третью, пятую, десятую ракушку - у всех будет 21 ребро на поверхности. Видно, моллюски были не только хорошими инженерами, они «знали» числа Фибоначчи.
Фот.18 . Ракушка
Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Их отношение в пределе стремится к золотой пропорции, выраженной числом 0,61803…
Числа Фибоначчи и животные
Число лучей у морских звезд отвечает ряду чисел Фибоначчи или очень близко к ним и равно 5,8, 13,21,34,55.
Фот.19 . Морская звезда
Современные членистоногие очень разнообразны. У лангуста также пять пар ног, на хвосте пять перьев, брюшко делится на пять сегментов, а каждая нога состоит из пяти частей.
Фот. 20. Лангуст
У некоторых насекомых брюшко состоит из восьми сегментов, имеется три пары конечностей, состоящих из восьми частей, а из ротового отверстия выходят восемь различных усикоподобных органов. У нашего хорошо знакомого комара - три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков - антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов.
Фот. 21. Комар
У мухи капустной брюшко членится на пять частей, имеется три пары ног, а личинка разделена на восемь сегментов. Каждое из двух крыльев разделено тонкими прожилками на восемь частей.
Гусеницы многих насекомых членятся на 13 сегментов, например, у шкуроеда, мукоеда, козявки мавританской. У большинства жуков-вредителей гусеница членится на 13 сегментов. Очень характерно строение ног у жуков. Каждая нога состоит из трех частей, как и у высших животных, - из плечевой, предплечья и лапы. Тонкие, ажурные лапы жуков членятся на пять частей.
Ажурные, прозрачные, невесомые крылья стрекозы - это шедевр «инженерного» мастерства природы. Какие же пропорции положены в основу конструкции этого крохотного летательного мускулолета? Отношение размаха крыльев к длине тела у многих стрекоз равно 4/3. Тело стрекозы делится на две основные части: массивный корпус и длинный тонкий хвост. В корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко. Брюшко разбито на пять сегментов, а хвост состоит из восьми частей. Сюда еще необходимо добавить три пары ног с их членением на три части.
Фот. 22. Стрекоза
Нетрудно увидеть в этой последовательности членения целого на части развертывание ряда чисел Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса и общая длина стрекозы связаны между собой золотой пропорцией: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.
Неудивительно, что стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции.
Вид черепахи на фоне покрытого трещинами такыра - явление удивительное. В центре панциря большое овальное поле с крупными сросшимися роговыми пластинами, а по краям - кайма из более мелких пластинок.
Фот. 23. Черепаха
Возьмите любую черепаху - от близкой нам болотной до гигантской морской, суповой черепахи - и вы убедитесь, что рисунок на панцире у них аналогичный: на овальном поле расположено 13 сросшихся роговых пластин - 5 пластин в центре и 8 - по краям, а на периферийной кайме около 21 пластинки (у чилийской черепахи по периферии панциря точно 21 пластина). На лапах у черепах по 5 пальцев, а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Нетрудно заметить, что все указанные величины отвечают числам Фибоначчи. Следовательно, развитие черепахи, формирование ее тела, членение целого на части осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.
Высшим типом животных на планете являются млекопитающие. Число ребер у многих видов животных равно или близко к тринадцати. У совершенно разных млекопитающих - кита, верблюда, оленя, тура - число ребер составляет 13 ± 1. Число позвонков меняется очень сильно, особенно за счет хвостов, которые могут быть различной длины даже у одного и того же вида животного. Но у многих из них число позвонков равно или близко к 34 и 55. Так, 34 позвонка у гигантского оленя, 55 - у кита.
Скелет конечностей домашних животных состоит из трех тождественных костных звеньев: плечевой (тазовой) кости, кости предплечья (голени) и кости лапы (стопы). Стопа, в свою очередь, состоит из трех костных звеньев.
Число зубов у многих домашних животных тяготеет к числам Фибоначчи: у кролика 14 пар, у собаки, свиньи, лошади - 21 ± 1 пара зубов. У диких животных число зубов изменяется более широко: у одного сумчатого хищника оно равно 54, у гиены - 34, у одного из видов дельфинов достигает 233. Общее число костей в скелете домашних животных (с учетом зубов) у одной группы близко к 230, а у другой - к 300. Следует учесть, что в число костей скелета не включены маленькие слуховые косточки и непостоянные косточки. С их учетом общее число костей скелета у многих животных станет близким к 233, а у других - превысит 300. Как видим, членение тела, сопровождавшееся развитием скелета, характеризуется дискретным изменением числа костей в различных органах животных, и эти числа отвечают числам Фибоначчи или очень близки к ним, образуя ряд 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Отношение размеров у большинства куриных яиц равно 4:3 (у некоторых 3/2), семечек тыквы - 3:2, арбузных семечек - 3/2. Отношение длины сосновых шишек к их диаметру оказалось равным 2:1. Размеры березовых листьев в среднем очень близки к, а желудей - 5:2.
Считается, что если необходимо разбить на две части цветочный газон (трава и цветы), то не следует делать эти полосы равными по ширине, красивее будет, если взять их в отношении 5: 8 или 8: 13, т.е. воспользоваться такой пропорцией, которые называется «золотым сечением».
Числа Фибоначчи и фотография
Применительно к фотографическому искусству правило золотого сечения делит кадр двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями на 9 неравных прямоугольников. Чтобы облегчить себе задачу съемки сбалансированных изображений, фотографы немного упростили задачу и стали делить кадр на 9 равных прямоугольников в соответствии с числами Фибоначчи. Так правило золотого сечения трансформировалось в правило третей, которое относится к одному из принципов построения композиции.
Фот. 24. Кадр и золотое сечение
В видоискателях современных цифровых камер точки фокусировки расположены на позициях 2/8 или на воображаемых линиях, делящих кадр по правилу золотого сечения.
Фот.25. Цифровая фотокамера и точки фокусировки
Фот.26.
Фот.27. Фотография и точки фокусировки
Правило третей применимо ко всем сюжетным композициям: снимаете вы пейзаж или портрет, натюрморт или репортаж. Пока ваше чувство гармонии не стало приобретенным и бессознательным, соблюдение нехитрого правила третей позволит вам делать снимки выразительные, гармоничные, сбалансированные.
Фот.28. Фотография и отношение неба и земли 1 к 2.
Наиболее удачным примером для демонстрации является пейзаж. Принцип композиции заключается в том, что небо и суша (либо водная гладь) должны иметь соотношение 1:2. Одну треть кадра следует отвести под небо, а две трети под сушу или наоборот.
Фот.29. Фотография цветка закручивается по спирали
Фибоначчи и космос
Соотношение воды и суши на планете Земля составляет 62% и 38%.
Размеры Земли и Луны находятся в золотой пропорции.
Фот.30. Размеры Земли и Луны
На рисунке показаны относительные размеры Земли и Луны в масштабе.
Нарисуем радиус Земли. Проведем отрезок от центральной точки Земли до центральной точки Луны, длина которого будет равна). Нарисуем отрезок для соединения двух данных отрезков, чтобы сформировать треугольник. Получаем золотой треугольник.
Сатурн показывает золотую пропорцию в нескольких ее измерениях
Фот.31. Сатурн и его кольца
Диаметр Сатурна очень близко находится в отношении золотой пропорции с диаметром колец, как показано зелеными линиями. Радиус в нутренней части колец находится в отношении, очень близком к с внешним диаметром колец, как показано синей линией.
Расстояние планет от Солнца также подчиняется золотой пропорции.
Фот.32. Расстояние планет от Солнца
Золотое сечение в быту
Золотое сечение также используется, чтобы придать стиль и привлекательность в области маркетинга и дизайна повседневных потребительских товаров. Примеров множество, но проиллюстрируем лишь некоторые.
Фот.33. Эмблема Toyota
Фот.34. Золотое сечение и одежда
Фот.34. Золотое сечение и автомобильный дизайн
Фот.35. Эмблема Apple
Фот.36. Эмблема Google
Практические исследования
Теперь применим полученные знания на практике. Проведем сначала измерения среди учащихся 8 класса.
В эксперименте приняли участие 7 учащихся 8 класса, 5 девочек и 2 мальчика. Измерялся рост и расстояние от пупка до пола. Результаты отражены в таблицы. Одна учащаяся идеального телосложения, для неё отношение роста к расстоянию от пупка до пола равно 1,6185. Ещё одна учащаяся очень близка к золотому сечению, . В результате проведенных измерений 29% участников имеют идеальные параметры. Эти результаты в процентах тоже близки к золотому сечению 68% и 32%. Для первой испытуемой мы видим, что 3 отношения из 5 близки к золотому сечению, в процентном соотношении это 60% к 40%. А для второй – 4 из 5, то есть 80% к 20%.Если внимательно посмотреть на телевизионную картинку, то ее размеры будут 16 к 9 или 16 к 10, что тоже близко к золотому сечению.
Проводя измерения и построения в CorelDRAW X4 и используя кадр новостного канала Россия 24, можно обнаружить следующее:
а) отношение длины к ширине кадра равно 1,7.
б) человек в кадре расположен ровно в точках фокусировки, расположенных на расстоянии 3/8.
Далее обратимся к официальному микроблогу газеты «Известия», другими словами, к твиттер-страничке. Для экрана монитора со сторонами 4:3видим, что «шапка» странички составляет 3/8 от всей высоты странички.
Внимательно посмотрев на фуражки военных, можно обнаружить следующее:
а) фуражка министра обороны РФ имеет отношение указанных частей 21,73 к 15,52, равное 1,4.
б) фуражка пограничника РБ имеет размеры указанных частей 44,42 к 21,33 , что равно 2,1.
в) фуражка времен СССР имеет размеры указанных частей 49,67 к 31,04, что равно 1,6.
Для данной модели подойдет длина платья 113,13 мм.
Если «дорисовать» платье до «идеальной» длины, то получим вот такую картинку.
Все измерения имеют некоторую погрешность, так как проводились по фотографии, что не мешает увидеть тенденцию – всё, что идеально, содержит золотое сечение в той или иной степени.
Заключение
Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".
“Золотое сечение” представляется тем моментом истины, без выполнения которого не возможно, вообще, что-либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях.
Воистину природа оказывается однообразной (и потому единой!) в проявлении своих фундаментальных закономерностей. Найденные ею «наиболее удачные» решения распространяются на самые различные объекты, на самые разнообразные формы организации. Непрерывность и дискретность организации исходит из двуединства материи - ее корпускулярной и волновой природы, проникает в химию, где дает законы целочисленной стехиометрии, химические соединения постоянного и переменного состава. В ботанике непрерывность и дискретность находят свое специфическое выражение в филлотаксисе, квантах дискретности, квантах роста, единстве дискретности и непрерывности пространственно-временной организации. И вот уже в числовых соотношениях органов растений появляется «принцип кратных отношений», введенный А. Гурским, - полное повторение основного закона химии.
Конечно, заявление, что все эти явления построены на последовательности Фибоначчи, звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама она далека от совершенства, как и всё в этом мире.
Есть предположение, что ряд Фибоначчи - это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любого ряда достаточно знать три его члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.
Каждый член золотой логарифмической последовательности является степенью Золотой Пропорции (). Часть ряда выглядит примерно так: ... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим =1,618 , тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618 , но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.
И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?
Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...
Список используемых источников
Васютинский, Н. Золотая пропорция/ Васютинский Н, Москва, Молодая гвардия, 1990, - 238 с. - (Эврика).
Воробьев, Н.Н. Числа Фибоначчи,
Режим доступа: . Дата доступа: 17. 11. 2015.
Режим доступа: . Дата доступа: 16. 11. 2015.
Режим доступа: . Дата доступа: 13. 11. 2015.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВЫСШЕЕ НАЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ НАХОДИТЬ СКРЫТЫЙ ПОРЯДОК В ХАОСЕ, КОТОРЫЙ НАС ОКРУЖАЕТ.
Винер Н.
Человек всю жизнь стремится к знаниям, пытается изучить окружающий его мир. И в процессе наблюдений у него возникают вопросы, на которые требуется найти ответы. Ответы находятся, но появляются новые вопросы. В археологических находках, в следах цивилизации, отдаленных друг от друга во времени и в пространстве, встречается один и тот же элемент - узор в виде спирали. Некоторые считают его символом солнца и связывают с легендарной Атлантидой, но истинное его значение неизвестно. Что общего между формами галактики и атмосферного циклона, расположением листьев на стебле и семян в подсолнухе? Эти закономерности сводятся к так называемой «золотой» спирали, удивительной последовательности Фибоначчи, открытой великим итальянским математиком XIII века.
История возникновения чисел Фибоначчи
Впервые о том, что такое числа Фибоначчи, я услышал от учителя математики. Но, кроме того, каким образом складывается последовательность этих чисел, я не знал. Вот чем на самом деле знаменита эта последовательность, каким образом она влияет на человека, я и хочу вам рассказать. О Леонардо Фибоначчи известно немного. Нет даже точной даты его рождения. Известно, что он родился в 1170 году в семье купца, в городе Пизе в Италии. Отец Фибоначчи часто бывал в Алжире по торговым делам, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Впоследствии он написал несколько математических трудов, наиболее известным из которых является «Книга об абаке», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени. 2
Числа Фибоначчи - это последовательность чисел, обладающая рядом свойств. Эту числовую последовательность Фибоначчи открыл случайно, когда пытался в 1202 году решить практическую задачу о кроликах. «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения». При решении задачи он учел, что каждая пара кроликов порождает на протяжении жизни еще две пары, а затем погибает. Так появилась последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … В этой последовательности каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Её назвали последовательностью Фибоначчи. Математические свойства последовательности
Мне захотелось исследовать эту последовательность, и я выявил некоторые её свойства. Эта закономерность имеет большое значение. Последовательность все медленнее приближается к некоему постоянному отношению, равному примерно 1, 618, а отношение любого числа к последующему примерно равно 0, 618.
Можно заметить ряд любопытных свойств чисел Фибоначчи: два соседних числа взаимно просты; каждое третье число четно; каждое пятнадцатое оканчивается нулем; каждое четвертое кратно трем. Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их вместе, всегда получится число, кратное 11. Но это еще не все. Каждая сумма равна числу 11, умноженному на седьмой член взятой последовательности. А вот еще одна любопытная особенность. Для любого n сумма первыхn членов последовательности всегда будет равна разности (n+ 2) - го и первого члена последовательности. Этот факт можно выразить формулой: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Теперь в нашем распоряжении имеется следующий трюк: чтобы найти сумму всех членов
последовательности между двумя данными членами, достаточно найти разность соответствующих (n+2)-x членов. Например, a 26 +…+a 40 =a 42 - a 27 . Теперь поищем связь между Фибоначчи, Пифагором и «золотым сечением». Самым известным свидетельством математического гения человечества является теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов: c 2 =b 2 +a 2 . С геометрической точки зрения мы можем рассматривать все стороны прямоугольного треугольника, как стороны трех построенных на них квадратов. Теорема Пифагора говорит о том, что общая площадь квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Если длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то они образуют группу из трех чисел, называемых пифагоровыми тройками. С помощью последовательности Фибоначчи можно отыскать такие тройки. Возьмем любые четыре последовательные числа из последовательности, например, 2, 3, 5 и 8, и построим еще три числа следующим образом:1) произведение двух крайних чисел: 2*8=16;2) удвоенное произведение двух чисел в середине: 2*(3*5)=30;3) сумма квадратов двух средних чисел: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2 . Этот метод работает для любых четырех последовательных чисел Фибоначчи. Предсказуемым образом ведут себя любые три последовательных числа ряда Фибоначчи. Если перемножить из них два крайних и результат сравнить с квадратом среднего числа, то результат всегда будет отличаться на единицу. Например, для чисел 5, 8 и 13 получим: 5*13=8 2 +1. Если рассмотреть это свойство с точки зрения геометрии, можно заметить нечто странное. Разделим квадрат
размером 8х8 (всего 64 маленьких квадратика) на четыре части, длины сторон которых равны числам Фибоначчи. Теперь из этих частей построим прямоугольник размером 5х13. Его площадь составляют 65 маленьких квадратиков. Откуда же берется дополнительный квадрат? Все дело в том, что идеальный прямоугольник не образуется, а остаются крошечные зазоры, которые в сумме и дают эту дополнительную единицу площади. Треугольник Паскаля также имеет связь с последовательностью Фибоначчи. Надо только написать строки треугольника Паскаля одну под другой, а затем складывать элементы по диагонали. Получится последовательность Фибоначчи.
Теперь рассмотрим «золотой» прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой. На первый взгляд он может показаться нам обычным прямоугольником. Тем не менее, давайте проделаем простой эксперимент с двумя обыкновенными банковскими картами. Положим одну из них горизонтально, а другую вертикально так, чтобы их нижние стороны находились на одной линии. Если в горизонтальной карте провести диагональную линию и продлить ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты - приятная неожиданность. Может быть, это случайность, а может, такие прямоугольники и другие геометрические формы, использующие «золотое сечение», особенно приятны глазу. Думал ли Леонардо да Винчи о золотом сечении, работая над своим шедевром? Это кажется маловероятным. Однако можно утверждать, что он придавал большое значение связи между эстетикой и математикой.
Числа Фибоначчи в природе
Связь золотого сечения с красотой - вопрос не только человеческого восприятия. Похоже, сама природа выделила Ф особую роль. Если в «золотой» прямоугольник последовательно вписать квадраты, затем в каждом квадрате провести дугу, то получится элегантная кривая, которая называется логарифмической спиралью. Она вовсе не является математическим курьезом. 5
Наоборот, эта замечательная линия часто встречается в физическом мире: от раковины наутилуса до рукавов галактик, и в элегантной спирали лепестков распустившейся розы. Связи между золотым сечением и числами Фибоначчи многочисленны и неожиданны. Рассмотрим цветок, внешне сильно отличающийся от розы, - подсолнечник с семенами. Первое, что мы видим, - семена расположены по спиралям двух видов: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Если посчитаем спирали почасовой стрелки, то получим два, казалось бы, обычных числа: 21 и 34. Это не единственный пример, когда можно встретить числа Фибоначчи в структуре растений.
Природа даёт нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом - против. Числа спиралей одного и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Так, взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу вправо вверх. На многих шишках семена расположены в трёх спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удаётся наблюдать 5 и 8, и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны спирали Фибоначчи и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.
Отросток цикория делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок ещё меньшего размера и снова выброс. Импульсы его роста постепенно уменьшаются в пропорции «золотого» сечения. Чтобы оценить огромную роль чисел Фибоначчи, достаточно лишь взглянуть на красоту окружающей нас природы. Числа Фибоначчи можно найти в количестве
ответвлений на стебле каждого растущего растения и в числе лепестков.
Пересчитаем лепестки некоторых цветов —ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т.д. Случайно ли это, или это закон природы? Посмотрите на стебли и цветы тысячелистника. Таким образом, суммарной последовательностью Фибоначчи можно легко трактовать закономерность проявлений «Золотых» чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют независимо от нашего сознания и желания принимать их или нет. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов, в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Числа Фибоначчи в архитектуре
«Золотое сечение» проявляется и во многих замечательных архитектурных творениях на протяжении всей истории человечества. Оказывается, еще древнегреческие и древнеегипетские математики знали эти коэффициенты задолго до Фибоначчи и называли их «золотым сечением». Принцип «золотого сечения» греки использовали при строительстве Парфенона, египтяне - Великой пирамиды в Гизе. Достижения в области строительной техники и разработки новых материалов открыли новые возможности для архитекторов ХХ века. Американец Фрэнк Ллойд Райт был одним из главных сторонников органической архитектуры. Незадолго до смерти он спроектировал музей Соломона Гуггенхайма в Нью-Йорке, представляющий собой опрокинутую спираль, а интерьер музея напоминает раковину наутилуса. Польско-израильский архитектор Цви Хекер также использовал спиральные конструкции в проекте школы имени Хайнца Галински в Берлине, построенной в 1995 году. Хекер начал с идеи подсолнечника с центральным кругом, откуда
расходятся все архитектурные элементы. Здание представляет собой сочетание
ортогональных и концентрических спиралей, символизируя взаимодействие ограниченных человеческих знаний и управляемого хаоса природы. Его архитектура имитирует растение, которое следует за движением Солнца, поэтому классные комнаты освещены в течение всего дня.
В Куинси-парке, расположенном в Кембридже, штат Массачусетс (США), «золотую» спираль можно встретить часто. Парк был спроектирован в 1997 году художником Дэвидом Филлипсом и находится недалеко от Математического института Клэя. Это заведение является известным центром математических исследований. В Куинси-парке можно прогуливаться среди «золотых» спиралей и металлических кривых, рельефов из двух раковин и скалы с символом квадратного корня. На табличке написана информация о «золотой» пропорции. Даже парковка для велосипедов использует символ Ф.
Числа Фибоначчи в психологии
В психологии отмечены переломные моменты, кризисы, перевороты, знаменующие на жизненном пути человека преобразования структуры и функций души. Если человек успешно преодолел эти кризисы, то становится способным решать задачи нового класса, о которых раньше даже не задумывался.
Наличие коренных изменений дает основание рассматривать время жизни в качестве решающего фактора развития духовных качеств. Ведь природа отмеряет нам время не щедро, «ни сколько будет, столько и будет», а ровно столько, чтобы процесс развития материализовался:
в структурах тела;
в чувствах, мышлении и психомоторике — пока они не приобретут гармонию , необходимую для возникновения и запуска механизма
творчества;
в структуре энергопотенциала человека.
Развитие тела нельзя остановить: ребенок становится взрослым человеком. С механизмом же творчества не так все просто. Его развитие можно остановить и изменить его направление.
Существует ли шанс догнать время? Безусловно. Но для этого нужно выполнить огромную работу над собой. То, что развивается свободно, естественным путем, не требует специальных усилий: ребенок свободно развивается и не замечает этой огромной работы, потому что процесс свободного развития создается без насилия над собой.
Как понимается смысл жизненного пути в обыденном сознании? Обыватель видит его так: у подножия — рождение, на вершине — расцвет сил, а потом — все идет под горку.
Мудрец же скажет: все намного сложнее. Восхождение он разделяет на этапы: детство, отрочество, юность… Почему так? Мало, кто способен ответить, хотя каждый уверен, что это замкнутые, целостные этапы жизни.
Чтобы выяснить, как развивается механизм творчества, В.В. Клименко воспользовался математикой, а именно законами чисел Фибоначчи и пропорцией «золотого сечения» — законами природы и жизни человека.
Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет: 0 — начало отсчета — ребенок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он — начало новой жизни, новой гармонии;
1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;
2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;
3 — действует посредством слова, задает вопросы;
5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности;
8 — на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни;
13 — начинает работать механизм таланта, направленный на превращение приобретенного в процессе наследования материала, развивая свой собственный талант;
21 — механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу;
34— гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе;
55 — в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее…
Что же такое засечки «Чисел Фибоначчи»? Они могут быть сравнимы с плотинами на жизненном пути. Эти плотины ожидают каждого из нас. Прежде всего необходимо преодолеть каждую их них, а потом терпеливо поднимать свой уровень развития, пока в один прекрасный день она не развалится, открывая свободному течению путь к следующей.
Теперь, когда нам понятен смысл этих узловых точек возрастного развития, попробуем расшифровать, как все это происходит.
В1 год ребенок овладевает ходьбой. До этого он познавал мир передней частью головы. Теперь же он познает мир руками — исключительная привилегия человека. Животное передвигается в пространстве, а он, познавая, овладевает пространством и осваивает территорию, на которой живет.
2 года — понимает слово и действует в соответствии с ним. Это значит, что:
ребенок усваивает минимальное количество слов — смыслов и образов действий;
пока что не отделяет себя от окружающей среды и слит в целостность с окружающим,
поэтому действует по чужому указанию. В этом возрасте он самый послушный и приятный для родителей. Из человека чувственного ребенок превращается в человека познающего.
3 года — действие при помощи собственного слова. Уже произошло отделение этого человека от окружающей среды — и он учится быть самостоятельно действующей личностью. Отсюда он:
сознательно противостоит среде и родителям, воспитателям в детском саду и т.д.;
осознает свой суверенитет и борется за самостоятельность;
старается подчинить своей воле близких и хорошо знакомых людей.
Теперь для ребенка слово — это действие. С этого начинается действующий человек.
5 лет — «возраст грации». Он — олицетворение гармонии. Игры, танцы, ловкие движения — все насыщено гармонией, которой человек старается овладеть собственными силами. Гармоничная психомоторика содействует приведению к новому состоянию. Поэтому ребенок направлен на психомоторную активность и стремится к максимально активным действиям.
Материализация продуктов работы чувствительности осуществляется посредством:
способности к отображению окружающей среды и себя как части этого мира (мы слышим, видим, прикасаемся, нюхаем и т.д. — все органы чувств работают на этот процесс);
способности к проектированию внешнего мира, в том числе и себя
(создание второй природы, гипотез — сделать завтра то и другое, построить новую машину, решить проблему), силами критичности мышления, чувств и воображения;
способности к созиданию второй, рукотворной природы, продуктов деятельности (реализация задуманного, конкретные умственные или психомоторные действия с конкретными предметами и процессами).
После 5 лет механизм воображения выходит вперед и начинает доминировать над остальными. Ребенок выполняет гигантскую работу, создавая фантастические образы, и живет в мире сказок и мифов. Гипертрофированность воображения ребенка вызывает у взрослых удивление, потому что воображение никак не соответствует действительности.
8 лет — на передний план выходят чувства и возникают собственные мерки чувств (познавательных, нравственных, эстетических), когда ребенок безошибочно:
оценивает известное и неизвестное;
отличает моральное от аморального, нравственное от безнравственного;
прекрасное от того, что угрожает жизни, гармонию от хаоса.
13 лет — начинает работать механизм творчества. Но это не значит, что он работает на полную мощность. На первый план выходит один из элементов механизма, а все остальные содействуют его работе. Если и в этом возрастном периоде развития сохраняется гармония, которая почти все время перестраивает свою структуру, то отрок безболезненно доберется до следующей плотины, незаметно для себя преодолеет ее и будет жить в возрасте революционера. В возрасте революционера отрок должен сделать новый шаг вперед: отделиться от ближайшего социума и жить в нем гармоничной жизнью и деятельностью. Не каждый может решить эту задачу, возникающую перед каждым из нас.
21 год. Если революционер успешно преодолел первую гармоничную вершину жизни, то его механизм таланта способен выполнять талантливую
работу. Чувства (познавательные, моральные или эстетические) иногда затмевают мышление, но в общем все элементы работают слаженно: чувства открыты миру, а логическое мышление способно с этой вершины называть и находить меры вещей.
Механизм творчества, развиваясь нормально, достигает состояния, позволяющего получать определенные плоды. Он начинает работать. В этом возрасте вперед выходит механизм чувств. По мере того, как воображение и его продукты оцениваются чувствами и мышлением, между ними возникает антагонизм. Побеждают чувства. Эта способность постепенно набирает мощность, и отрок начинает ею пользоваться.
34 года — уравновешенность и гармоничность, продуктивная действенность таланта. Гармония мышления, чувств и воображения, психомоторики, которая пополняется оптимальным энергопотенциалом, и механизм в целом — рождается возможность исполнять гениальную работу.
55 лет — человек может стать творцом. Третья гармоничная вершина жизни: мышление подчиняет себе силу чувств.
Числа Фибоначчи называют этапы развития человека. Пройдет ли человек этот путь без остановок, зависит от родителей и учителей, образовательной системы, а дальше — от него самого и от того, как человек будет познавать и преодолевать самого себя.
На жизненном пути человек открывает 7 предметов отношений:
От дня рождения до 2-х лет — открытие физического и предметного мира ближайшего окружения.
От 2-х до 3-х лет — открытие себя: «Я — Сам».
От 3-х до 5-ти лет — речь, действенный мир слов, гармонии и системы «Я — Ты».
От 5-ти до 8-ми лет — открытие мира чужих мыслей, чувств и образов — системы «Я — Мы».
От 8 до 13 лет — открытие мира задач и проблем, решенных гениями и талантами человечества — системы «Я — Духовность».
От 13 до 21 года — открытие способностей самостоятельно решать всем известные задачи, когда мысли, чувства и воображение начинают активно работать, возникает система «Я — Ноосфера».
От 21 до 34 лет — открытие способности создавать новый мир или его фрагменты — осознание самоконцепции «Я — Творец».
Жизненный путь имеет пространственно-временную структуру. Он состоит из возрастных и индивидуальных фаз, определяемых по многим параметрам жизни. Человек овладевает в определенной мере обстоятельствами своей жизни, становится творцом своей истории и творцом истории общества. Подлинно творческое отношение к жизни, однако, появляется далеко не сразу и даже не у всякого человека. Между фазами жизненного пути существуют генетические связи, и это обусловливает закономерный его характер. Отсюда следует, что в принципе можно предсказывать будущее развитие на основе знания о ранних его фазах.
Числа Фибоначчи в астрономии
Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью ряда Фибоначчи нашёл закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Но один случай, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Но после смерти Тициуса в начале XIX в. сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов.
Заключение
В процессе исследования я выяснил, что числа Фибоначчи нашли широкое применение в техническом анализе цен на бирже. Один из простейших способов применения чисел Фибоначчи на практике - определение отрезков времени, через которое произойдёт то или иное событие, например, изменение цены. Аналитик отсчитывает определённое количество фибоначчиевских дней или недель (13,21,34,55 и т.д.) от предыдущего сходного события и делает прогноз. Но в этом мне ещё слишком сложно разобраться. Хотя Фибоначчи и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи - это статуя напротив Пизанской башни и две улицы, которые носят его имя: одна - в Пизе, а другая - во Флоренции. И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным мною возникают вполне закономерные вопросы. Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Что же будет дальше? Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, тринадцатью и т.д. Не забывайте, что на двух руках по пять пальцев, два из которых состоят из двух фаланг, а восемь - из трёх.
Литература:
Волошинов А.В. «Математика и искусство», М., Просвещение, 1992г.
Воробьёв Н.Н. «Числа Фибоначчи», М., Наука, 1984г.
Стахов А.П. «Код да Винчи и ряд Фибоначчи», Питер формат, 2006 г.
Ф. Корвалан «Золотое сечение. Математический язык красоты», М., Де Агостини, 2014 г.
Максименко С.Д. «Сенситивные периоды жизни и их коды».
«Числа Фибоначчи». Википедия
В последнее время, работая в индивидуальных и групповых процессах с людьми, я возвращался к мыслям об объединении всех процессов (кармических, психических, физиологических, духовных, трансформационных и др.) в одно.
Друзья за завесой всё шире раскрывали образ многомерного Человека и взаимосвязи всего во всём.
Внутреннее побуждение подтолкнуло меня вернуться к старым исследованиям с цифрами и ещё раз просмотреть книгу Друнвало Мельхиседека "Древняя тайна цветка жизни".
В это время в кинотеатрах показывали фильм "Код да Винчи". Я не намерен обсуждать качество, ценность и истинность этого фильма. Но момент с кодом, когда цифры стали стремительно прокручиваться, стал для меня одним из ключевых в этом фильме.
Интуиция подсказывала мне о том, что стоит обратить внимание на числовую последовательность Фибоначчи и Золотое Сечение. Если вы заглянете в Интернет с целью найти что-нибудь о Фибоначчи, то на вас обрушится лавина информации. Вы узнаете, что об этой последовательности знали во все времена. Она представлена в природе и космосе, в технике и науке, в архитектуре и живописи, в музыке и пропорциях в теле человека, в ДНК и РНК. Многие исследователи этой последовательности пришли к мнению, что ключевые события в жизни человека, государства, цивилизации также подчинены закону золотого сечения.
Создаётся впечатление, что Человеку дана фундаментальная подсказка .
Тогда возникает мысль, что Человек осознанно может применить принцип Золотого Сечения для восстановления здоровья и коррекции судьбы, т.е. упорядочивания происходящих процессов в собственной вселенной, расширения Сознания, возвращения в Благосостояние.
Вместе вспомним последовательность Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…
Каждое последующее число образуется путём сложения двух предыдущих:
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 и т.д.
Теперь я предлагаю каждое число ряда привести к одной цифре: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…
Вот что у нас получилось:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…
последовательность из 24 чисел, которая снова повторяется с 25-го:
75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…
Не кажется ли вам странным или закономерным, что
- в сутках — 24 часа,
- космических домов — 24,
- нитей ДНК — 24,
- 24 старца с Бого-Звезды Сириус,
- повторяющаяся последовательность в ряде Фибоначчи — 24 цифры.
Если получившуюся последовательность записать следующим образом,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9
8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,
то мы увидим, что 1-е и 13-е число последовательности, 2-е и 14-е,3-е и 15-е, 4-е и 16-е … 12-е и 24-е в сумме дают 9.
3 3 6 9 6 6 3 9
При тестировании этих числовых рядов у нас получился:
- Детский Принцип;
- Отцовский Принцип;
- Материнский Принцип;
- Принцип Единства.
Матрица Золотого Сечения
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9
4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9
3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9
4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9
6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9
2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Практическое применение ряда Фибоначчи
Один мой друг выразил намерение индивидуально поработать с ним на тему развития своих возможностей и способностей.
Неожиданно в самом начале в процесс пришёл Саи Баба и пригласил следовать за ним.
Мы стали подниматься вверх внутри Божественной Монады друга и, выйдя из неё через Причинное Тело, оказались в другой реальности на уровне Космического Дома.
Кто изучал труды Марка и Элизабет Клер Профетов, знают учение о Космических Часах, которое им передала Мать Мария.
На уровне Космического Дома Юрий увидел круг, обладающий внутренним центром с 12-ю стрелками.
Старец, который встретил нас на этом уровне, сказал, что перед нами Божественные Часы и 12-ть стрелок олицетворяют 12-ть (24) Проявлений Божественных Аспектов… (возможно Творцов).
Что касается Космических Часов, то они располагались под Божественными по принципу энергетической восьмёрки.
— В каком режиме по отношению к тебе находятся Божественные Часы?
— Стрелки у Часов стоят, нет движения. Ко мне приходят сейчас мысли о том, что много эонов лет назад я отказался от Божественного Сознания и пошёл другим путём, путём Мага. Все мои магические артефакты и амулеты, которые у меня и во мне скопились за множество воплощений, на этом уровне выглядят как детские погремушки. На тонком плане они представляют собой образ магических энергетических одежд.
— Завершен. Тем не менее, я благословляю мой магический опыт. Проживание этого опыта искренне побудило меня вернуться к первоистоку, к целостности. Мне предлагают снять с себя магические артефакты и встать в центр Часов.
— Что необходимо сделать, чтобы активировать Божественные Часы?
— Появился опять Саи Баба и предлагает выразить намерение о соединении Серебряной Струны с Часами. Ещё он говорит, что у тебя есть какой-то числовой ряд. Он — ключ к активации. Перед внутренним взором возникает образ Человека Леонарда да Винчи.
— 12 раз.
— Прошу богоцентрировать весь процесс и направляю действие энергии числового ряда на активацию Божественных Часов.
Читаю вслух 12 раз
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…
В процессе чтения стрелки на Часах пошли.
По серебряной струне пошла энергия, которая соединила все уровни Юриной Монады, а также — земную и небесную энергии…
Самое неожиданное в этом процессе было то, что на Часах появились четыре Сущности, которые являются некоторыми частями Единого Целого с Юрой.
Во время общения выяснилось, что когда-то произошло разделение Центральной Души, и каждая часть выбрала свою область в мироздании для реализации.
Было принято решение об интеграции, что и произошло в центре Божественных Часов.
Результатом этого процесса явилось создание на этом уровне Общего Кристалла.
После этого, я вспомнил, что Саи Баба как-то говорил о неком Плане, который предполагает соединение сначала двух Сущностей в одно, потом четырёх и так далее по бинарному принципу.
Безусловно, что этот числовой ряд не является панацеей. Это всего лишь инструмент, позволяющий быстро произвести необходимую работу с человеком, сонастроить его вертикально с разными уровнями Бытия.
Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и закон золотого сечения.
Если вы зададитесь целью отыскать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений. Например, черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: полного оборота - у орешника, - у дуба, - у тополя и груши, - у ивы.
Семена подсолнечника, эхинацеи пурпурной и многих других растений, расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления - числа Фибоначчи.
Подсолнечник, 21 и 34 спирали. Эхинацея, 34 и 55 спиралей.
Чёткая, симметричная форма цветов также подчинена строгому закону.
У многих цветов количество лепесточков – именно числа из ряда Фибоначчи. Например:
ирис, 3леп. лютик, 5 леп. златоцвет, 8 леп. дельфиниум,
цикорий,21леп. астра, 34 леп. маргаритки,55леп.
Ряд Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем.
Мы уже говорили, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число φ = 1,618. Оказывается, что и сам человек – просто кладезь числа фи.
Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы.
M/m=1,618
Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.
Рука человека
Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.
Золотая пропорция в строении легких человека
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека 
также существует золотое сечение.
Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.
Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.
Есть и другое, более прозаическое применение пропорций тела человека. Например, используя эти соотношения, криминальные аналитики и археологи по фрагментам частей человеческого тела восстанавливают облик целого.
