Инструкция
Если заданный треугольник равнобедренным или правильным, то есть у него
две или три стороны, то его биссектриса, согласно свойству треугольника
, будет являться также и медианой. А, следовательно, противолежащая будет делиться биссектрисой пополам.
Измерьте линейкой противолежащую строну треугольника , куда будет стремиться биссектриса. Поделите данную строну пополам и поставьте в середине стороны точку.
Проведите прямую линию, проходящую через построенную точку и противолежащую вершину. Это и будет биссектриса треугольника .
Источники:
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Делить угол пополам и вычислить длину линии, проведенной из его вершины к противоположной стороне, необходимо уметь раскройщикам, землемерам, монтажникам и людям некоторых других профессий.
Вам понадобится
- Инструменты Карандаш Линейка Транспортир Таблицы синусов и косинусов Математические формулы и понятия: Определение биссектрисы Теоремы синусов и косинусов Теорема о биссектрисе
Инструкция
Постройте треугольник необходимой и величины, в зависимости от того, что вам дано? дфе стороны и угол между ними, три стороны или два угла и расположенная между ними сторона.
Обозначьте вершины углов и стороны традиционными латинскими А, В и С. Вершины углов обозначают , противолежащие стороны - строчными. Обозначьте углы греческими буквами?,? и?
По теоремам синусов и косинусов вычислите углов и сторон треугольника .
Вспомните биссектрисы. Биссектриса - , делящая угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую на два отрезка, которых равно отношению двух прилежащих сторон треугольника .
Проведите биссектрисы углов. Полученные отрезки обозначьте названиами углов, написанными строчными буквами, с нижним индексом l. Сторона с делится на отрезки a и b с индексами l.
Вычислите длины получившихся отрезков по теореме синусов.
Видео по теме
Обратите внимание
Длина отрезка, которая одновременно является стороной треугольника, образованного одной из сторон исходного треугольника, биссектрисой и собственно отрезком, вычисляется по теореме синусов. Для того, чтобы вычислить длину другого отрезка этой же стороны, воспользуйтесь соотношением получившихся отрезков и прилежащих сторон исходного треугольника.
Полезный совет
Для того, чтобы не запутаться, проведите биссектрисы разных углов разным цветом.
Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису , нужно найти середину угла . Наиболее простой способ это сделать - при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно проводить никаких вычислений, и результат не будет зависеть от того, является ли величина угла целым числом.
Вам понадобится
- циркуль, карандаш, линейка.
Инструкция
Оставив ширину раствора циркуля прежней, установите иглу в конце отрезка на одной из сторон и начертите часть окружности так, чтобы она располагалась внутри угла . То же самое сделайте и со второй . У вас получится две части окружностей, которые будут пересекаться внутри угла - примерно посередине. Пересекаться части окружностей могут в одной или двух точках.
Видео по теме
Полезный совет
Для построения биссектрисы угла можно использовать транспортир, но этот способ требует большей точности. При этом, если величина угла не будет являться целым числом, вероятность погрешностей в построении биссектрисы возрастает.
При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол , равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.
Инструкция
Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.
Для обозначения углов используйте три : одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.
Встречаются ситуации, когда необходимо угол , чтобы он был уже данному углу. Если при построении использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, с линией MN угол , который будет равен углу В.
В начале отметьте по точке на каждой стороне данного угла, например, точки А и С, дальше соедините точки С и А прямой линией. Получите треугол ьник АВС.
Сейчас постройте на прямой MN такой же треугол ьник, чтобы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугол ьника по трем . Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.
Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения двух окружностей соедините с К. Получите треугол ьник КPL, который будет равен треугол ьнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Чтобы это удобнее и быстрее, от вершины В отложите равные отрезки, используя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.
Видео по теме
Совет 5: Как построить треугольник по двум сторонам и медиане
Треугольник - это простейшая геометрическая фигура, имеющая три вершины, попарно соединенные между собой отрезками, которые образуют стороны этого многоугольника. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Зная длины двух сторон и медианы, соединяющихся в одной из вершин, можно построить треугольник, не имея данных о длине третьей стороны или величинах углов.
Инструкция
Проведите из точки A отрезок, длина которого одной из известных сторон треугольника (a). Точку окончания этого отрезка обозначьте буквой B. После этого одну из сторон (AB) искомого треугольника уже можно считать построенной.
Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным удвоенной длине медианы (2∗m), и с центром в точке A.
Начертите с помощью циркуля вторую окружность с радиусом, равным длине известной стороны (b), и с центром в точке B. Отложите на время циркуль, но оставьте на нем отмеренный - он вам снова понадобится немного позже.
Постройте отрезок, соединяющий точку A с точкой пересечения двух нарисованных вами . Половина этого отрезка будет , который вы строите - отмерьте эту половину и поставьте точку M. На этот момент у вас есть одна сторона искомого треугольника (AB) и его медиана (AM).
Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным длине второй известной стороны (b), и с центром в точке A.
Проведите отрезок, который должен начинаться в точке B, проходить через точку M и заканчиваться в точке пересечения прямой с проведенной вами на предыдущем шаге окружностью. Обозначьте точку пересечения буквой C. Теперь в искомом построена и неизвестная по условиям задачи сторона BC.
Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам.
Все в школе учили шуточное про крысу, которая бегает по углам и делит угол пополам. Звали этого шустрого и умного грызуна Биссектрисой. Не известно, каким образом крыса делила угол, а математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.
С помощью транспортира
Самый простой способ проведения биссектрисы - с использованием прибора для . Нужно приложить транспортир к одной стороне угла, совместив точку отсчета с его острием О. Затем замерить величину угла в градусах или радианах и разделить ее на два. Отложить с помощью того же транспортира полученные градусы от одной из сторон и провести прямую линию, которая и станет биссектрисой, до точки начала угла О.С помощью циркуля
Нужно взять циркуль и развести его на любой произвольный размер (в пределах чертежа). Установив острие в точке начала угла О, начертить дугу, пересекающую лучи, отметив на них две точки. Обозначают их А1 и А2. Затем, устанавливая циркуль поочередно в эти точки, следует провести две окружности одинакового произвольного диаметра (в масштабе чертежа). Точки их пересечения обозначаются С и В. Далее необходимо провести прямую линию через точки О, С и В, которая и будет искомой биссектрисой.С помощью линейки
Для того чтобы начертить биссектрису угла с помощью линейки, нужно отложить от точки О на лучах (сторонах) отрезки одинаковой длины и обозначить их точками А и В. Затем следует соединить их прямой линией и с помощью линейки разделить получившийся отрезок пополам, обозначив точку С. Биссектриса получится, если провести прямую через точки С и О.Без инструментов
Если нет измерительных инструментов, можно воспользоваться смекалкой. Достаточно просто начертить угол на кальке или обычной нетолстой бумаге и аккуратно сложить листок так, чтобы лучи угла совместились. Линия сгиба на чертеже и будет искомой биссектрисой.Развернутый угол
Угол больше 180 градусов можно разделить биссектрисой такими же способами. Только делить надо будет не его, а прилежащий к нему острый угол, оставшийся от окружности. Продолжение найденной биссектрисы и станет искомой прямой, делящей развернутый угол пополам.Углы в треугольнике
Следует помнить, что в равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой. Поэтому в нем биссектрису можно найти, просто опустив перпендикуляр на противоположную от угла сторону (высота) или разделив эту сторону пополам и соединив точку середины с противоположным углом (медиана).Видео по теме
Мнемоническое правило «биссектриса-это крыса, которая бегает по углам и делит их пополам» описывает суть понятия, но не дает рекомендаций по построению биссектрисы. Чтобы ее начертить, кроме правила вам понадобится циркуль и линейка.
Инструкция
Допустим, что вам нужно построить биссектрису угла A. Возьмите циркуль, поставьте его острием в точку A ( угла) и начертите окружность любого . Там, где она пересечет стороны угла, поставьте точки B и C.
Замерьте радиус первой окружности. Начертите еще одну, с таким же радиусом, поставив циркуль в точку B.
Проведите следующую окружность (по размеру равную предыдущим) с центром в точке C.
Все три окружности должны пересечься в одной точке – назовем ее F. С помощью линейки проведите луч, проходящий через точки A и F. Это и будет искомая биссектриса угла A.
Существует несколько правил, помогут вам в нахождении . Например, она противоположную в , равном отношению двух прилежащих сторон. В равнобедренном
Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. К примеру, если угол треугольника 120 0 , то проведя биссектрису, мы построим два угла по 60 0 .
А так как в треугольнике имеется три угла, то можно провести три биссектрисы. Все они имеют одну точку пресечения. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. По-другому эту точку пересечений называют инцентром треугольника.
При пересечении двух биссектрис внутреннего и внешнего угла, получается угол 90 0 . Внешний угол в треугольнике угол, смежный с внутренним углом треугольника.
Рис. 1. Треугольник, в котором проведены 3 биссектрисы
Биссектриса делит противоположную сторону на два отрезки, которые имеют связь со сторонами:
$${CL\over{LB}} = {AC\over{AB}}$$
Точки биссектрисы равноудаленные от сторон угла, это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла. То есть, если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла треугольника, то эти перпендикуляры будут равны..
Если с одной вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана будет самым длинным отрезком, а высота самым коротким.
Некоторые свойства биссектрисы
В определенных видах треугольников, биссектриса имеет особые свойства. В первую очередь это относится к равнобедренному треугольнику. Эта фигура имеет две одинаковые боковые стороны, а третья называется основанием.
Если из вершины угла равнобедренного треугольника провести биссектрису к основанию, то она будет иметь свойства одновременно и высоты и медианы. Соответственно, длина биссектрисы совпадает с длиной медианы и высоты.
Определения:
- Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне..
- Медиана – отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Рис. 2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике
Это касается и равностороннего треугольника, то есть треугольника, в котором все три стороны равны.
Пример задания
В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.
Рис. 3. Биссектриса в треугольнике
Решение:
Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.
- ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
- $RC={6\over{4}}*2=3 см$
Тогда весь отрезок AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 см.
Всего получено оценок: 107.
Тема урока
Биссектриса угла
Цели урока
Пополнить знания школьников о биссектрисе угла и ее свойствах;
Ознакомить с новой информацией о биссектрисе угла;
Расширить знания учеников о том, что теорему о свойствах биссектрисы можно доказывать разными способами;
Развивать логическое мышление, интерес к математическим наукам, настойчивость и способность к анализу.
Задачи урока
Расширить знания учеников о биссектрисе угла;
Закрепить навыки построения биссектрисы угла при помощи чертежных инструментов;
Получить дополнительные и интересные сведения по данной теме;
Дать сведения о значении теоремы в развитии математики;
Закрепить полученные знания путем решения задач;
Воспитывать усидчивость, любознательность и желание изучать математические науки.
План урока
1. Раскрытие главной темы урока о биссектрисе угла;
2. Повторение пройденного материала;
3. Занимательная информация о биссектрисе.
4. Историческая справка, греческая геометрия.
5. Домашнее задание.
Биссектриса угла
Сегодняшний урок мы с вами посвятим теме биссектрисы. Давайте вспомним определения биссектрисы.
Биссектрисой является геометрическое место точек, равноудаленное от сторон угла.
Если говорить проще, то биссектриса – это линия, разделяющая угол пополам.
Биссектрисой угла - луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два других равных угла.
Слово «биссектриса» в переводе с французского языка обозначает, как надвое рассекающая или равноделящая угол пополам.
Биссектриса треугольника
Кроме биссектрисы угла еще бывает биссектриса треугольника, ведь треугольник содержит целых три угла, соответственно каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы.
Что же такое биссектриса треугольника? Биссектриса треугольника является отрезком биссектрисы угла, соединяющим в треугольнике его вершину с точкой на противоположной стороне.
Биссектриса треугольник обладает определенными уникальными свойствами. Так, например, она разделяет противоположную сторону на отрезки, которые являют пропорциональными другим двум сторонам.
Что касается прямоугольного треугольника, то его биссектрисы именно острых углов, когда пересекаются, образуют угол именно в 45 градусов.
К тому же, не стоит забывать и такое свойство биссектрис треугольника, как то, что пересекаются они строго в центре вписанного в треугольник круга.
Ну а самое интересное то, что для равнобедренного треугольника линия, которая проведена к основанию, будет и биссектрисой, и медианой, и высотой. Соответственно и обратное правило, что если медиана, высота и биссектриса, которое проведены из одной вершины треугольника, совпадают, то перед нами равнобедренный треугольник.
А какие вы можете вспомнить свойства прямоугольного и равнобедренного треугольника?
Построение биссектрисы
Биссектрису угла строится с помощью транспортира, при использовнии его градусной меры. Чтобы приступить к построению биссектрисы, мы берем и делим градусную меру пополам и, отложив на одной стороне вершины градусную меру половинного угла, и тогда вторая половина становится биссектрисой заданного угла.
Берем заданный угол, который имеет градусную меру в девяносто градусов, и с помощью биссектрисы получаем два построенных угла по 45 градусов.
Развернутый угол при помощи биссектрисы разделяет угол на 2 прямых угла. Тупой же угол при построении биссектрисы разделяет его на 2 острых угла.
Из определения биссектрисы нам известно, что она является лучом, разделяющим угол пополам. Чтобы построить биссектрису, значит, нужно угол разделить пополам.
Алгоритм построения биссектрисы угла
1. Вначале чертим окружность с центром в вершине угла таким образом, чтобы она пересекала его стороны.
3. Чертим 2 окружности радиусом так, чтобы они имели точку пересечения внутри этого угла.
4. Теперь проводим из вершины угла луч таким методом, чтобы он проходил через точку пересечения этих окружностей. Этот луч и является биссектрисой данного угла.
А теперь давайте попробуем доказать, что полученный луч является биссектрисой этого угла. Возьмем на примере двух треугольников, у которых одна сторона общая, то есть отрезок от вершины до точки пересечения окружностей, которую мы получили в 3п.
2-я пара соответствующих сторон – это полученные в 1п., отрезки, которые идут от вершины угла до точек пересечения окружности с его сторонами.
Третья пара соответствующих сторон - это соответственно отрезки, полученные в 1п. от точек пересечения окружности, до точки пересечения окружностей, но полученных в 3п.
Следовательно, 2 пары данных отрезков равны, поскольку являются радиусами одной или двух окружностей, но с одинаковым радиусом. Отсюда следует, что по всем трем сторонам треугольники равны. Известно, что когда треугольники равны, то равны и их углы. Поэтому при вершине два новых угла и данных угла по условию задачи равны, следовательно, что построенный луч будет биссектрисой.
Занимательная информация о биссектрисе
Знали ли вы, что существует такая наука, которая называется мнемоника, что в переводе с греческого языка обозначает искусство запоминания. И чтобы лучше запомнить определение биссектрисы существует такое мнемоническое правило, по которому биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
Известно ли вам, что еще Архимед использовал теорему о биссектрисе. Он ее применял для деления основания на части, которые пропорциональны боковым сторонам с целью определения длины полу сторон двенадцати угольника, 24-угольника и т. д.
Легенда о биссектрисе угла
Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла.
Однажды два угла повстречались на одной площади. Старшему углу было около 130 градусов, а младшему всего пятьдесят. Так как это сказка, то заменим годы на градусы. Вот они встретились и начали спорить, кто из них лучше и важнее. Старший считал, что приоритет на его стороне, так как он старше, мудрее и больше на своем веку повидал за свои 130°. Младший наоборот твердил, что он моложе, потому сильнее и выносливее. И чтобы спор не длился вечность, они приняли решение провести турнир. Об этих состязаниях узнала Биссектриса и решила победить своих врагов одновременно и возглавить Геометрию.
И вот настало долгожданное время турнира, на котором было 2 Угла. В момент полного разгара сражений появилась Биссектриса и решила принять участие. Но тут в бой с Биссектрисой вступил вначале старший Угол, затем подтянулся и младший, и победа все равно оказалась на стороне Биссектрисы.
Среди многочисленных предметов среднеобразовательной школы есть такой, как «геометрия». Традиционно считается, что родоначальниками этой систематической науки являются греки. На сегодняшний день греческую геометрию называют элементарной, так как именно она начала изучение простейших форм: плоскостей, прямых, и треугольников. На последних мы и остановим свое внимание, а точнее на биссектрисе этой фигуры. Для тех, кто уже подзабыл, биссектриса треугольника представляет собой отрезок биссектрисы одного из углов треугольника, который делит его пополам и соединяет вершину с точкой, размещенной на противолежащей стороне.
Биссектриса треугольника имеет ряд свойств, которые необходимо знать при решении тех или иных задач:
- Биссектриса угла представляет собой геометрическое место точек, удаленных на равных расстояниях от прилегающих к углу сторон.
- Биссектриса в треугольнике делит противоположную от угла сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Например, дан треугольник MKB, где из угла K выходит биссектриса, соединяющая вершину этого угла с точкой A на противолежащей стороне MB. Проанализировав данное свойство и наш треугольник, имеем MA/AB=MK/KB.
- Точка, в которой пересекаются биссектрисы всех трех углов треугольника, является центром окружности, которая вписана в этот же треугольник.
- Основание биссектрис одного внешнего и двух внутренних углов находятся на одной прямой, при условии, что биссектриса внешнего угла не является параллельной противоположной стороне треугольника.
- Если две биссектрисы одного то этот
Необходимо отметить, что если заданы три биссектрисы, то построение треугольника по ним, даже с помощью циркуля, невозможно.
Очень часто при решении задач биссектриса треугольника неизвестна, а необходимо определить ее длину. Для решения такой задачи необходимо знать угол, который делится биссектрисой пополам, и прилегающие к этому углу стороны. В этом случае искомая длина определяется как отношение удвоенного произведения прилегающих к углу сторон и косинуса угла деленного пополам к сумме прилегающих к углу сторон. Например, дан все тот же треугольник MKB. Биссектриса выходит из угла K и пересекает противоположную сторону МВ в точке А. Угол, из которого выходит биссектриса, обозначим y. Теперь запишем все то, что сказано словами в виде формулы: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Если величина угла, из которого выходит биссектриса треугольника, неизвестна, но известны все его стороны, то для вычисления длины биссектрисы мы воспользуемся дополнительной переменной, которую назовем полупериметр и обозначим буквой P: P=1/2*(MK+KB+MB). После этого внесем некоторые изменения в предыдущую формулу, по которой определялась длина биссектрисы, а именно, в числитель дроби ставим удвоенный из произведения длин сторон, прилегающих к углу, на полупериметр и частное, где из полупериметра вычитается длина третьей стороны. Знаменатель оставим без изменения. В виде формулы это будет выглядеть так: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Биссектриса равнобедренного треугольника вместе с общими свойствами имеет и несколько своих. Вспомним, что это за треугольник. У такого треугольника две стороны равны, и равны прилегающие к основанию углы. Отсюда следует, что биссектрисы, которые опускаются на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны между собой. Кроме того, биссектриса, опущенная на основание, одновременно является и высотой, и медианой.
Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.
Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.
И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)
Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:
Примеры углов: острый, тупой и прямой
Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $\angle AOB$).
Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.
Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.
Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:
Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла
Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).
Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.
Основное свойство биссектрисы угла
На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:
Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.
В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:
- Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
- И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.
Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:
Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.
Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $H\in l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.
Графическое представление расстояния от точки до прямой
Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:
Определяем расстояние от точки до сторон угла
Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.
Как и обещал, разобьём доказательство на две части:
1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы
Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:
Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.
Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:
Провели перпендикуляры к сторонам угла
Получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:
- $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
- $\angle M{{H}_{1}}O=\angle M{{H}_{2}}O=90{}^\circ $ по построению;
- $\angle OM{{H}_{1}}=\angle OM{{H}_{2}}=90{}^\circ -\angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.
Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)
2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе
Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:
Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$.
Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:
Провели луч $OM$ внутри угла
Снова получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:
- Гипотенуза $OM$ — общая;
- Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
- Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.
Следовательно, треугольники $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.
В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:
Биссектриса разбила угол $\angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных
Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)
Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.
