Домой Гастроэнтерология Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Гастроэнтерология

Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Хотя пугающий вид символа квадратного корня и может заставить съежиться человека, не сильного в математике, задачи с квадратным корнем не такие уж и трудные, как это может вначале показаться. Простые задачи с квадратным корнем довольно часто можно решить так же легко, как обычные задачи с умножением или делением. С другой стороны, более сложные задачи могут потребовать некоторых усилий, но с правильным подходом даже они не составят вам труда. Начните решать задачи с корнем уже сегодня, чтобы научиться этому радикально новому математическому умению!

Шаги

Часть 1

Понимание квадратов чисел и квадратных корней

Возведите число в квадрат, умножив его само на себя. Для того чтобы понять квадратные корни, лучше начать с квадратов чисел. Квадраты чисел довольно просты: возведение числа в квадрат означает умножение его само на себя. Например, 3 в квадрате это то же самое, что и 3 × 3 = 9, а 9 в квадрате это то же самое, что и 9 × 9 = 81. Квадраты помечаются написанием небольшой цифры «2» справа над возводящим в квадрат числом. Пример: 3 2 , 9 2 , 100 2 и так далее.
- Попробуйте сами возвести в квадрат еще несколько чисел, чтобы опробовать эту концепцию. Помните, возведение числа в квадрат означает, что это число следует умножить само на себя. Это можно сделать даже для отрицательных чисел. В таком случае результат всегда будет положительным. Например: -8 2 = -8 × -8 = 64 .
Когда речь идет о квадратных корнях, то здесь идет обратный процесс возведению в квадрат. Символ корня (√, его также называют радикалом) по существу означает противоположность символа 2 . Когда вы видите радикал, вы должны спросить себя: «Какое число может умножиться само на себя, чтобы получилось число под корнем?». Например, если вы видите √(9), тогда вы должны найти число, которое при возведении в квадрат давало бы число девять. В нашем случае этим числом будет три, потому что 3 2 = 9.
- Рассмотрим еще один пример и найдем корень из 25 (√(25)). Это означает, что нам необходимо найти число, которое бы в квадрате давало нам 25. Так как 5 2 = 5 × 5 = 25, можно сказать, что √(25) = 5.
- Вы также может думать об этом, как об «аннулировании» возведения в квадрат. Например, если нам необходимо найти √(64), квадратный корень 64, то давайте думать об этом числе, как о 8 2 . Так как символ корня «отменяет» возведение в квадрат, то мы можем сказать, что √(64) = √(8 2) = 8.
Знайте разницу между идеальным и не идеальным возведением в квадрат. До этих пор ответами на наши задачи с корнем были хорошие и круглые числа, но это не всегда так. Ответами задач с квадратным корнем могут быть очень длинные и неудобные числа с десятичной дробью. Числа, корень которых представляет собой целые числа (другими словами, числа которые не являются дробью) называются полными квадратами. Все вышеупомянутые примеры (9, 25 и 64) являются полными квадратами, потому что их корнем будет целое число (3,5 и 8).
- С другой стороны, числа, которые при возведении под корень не дают целого числа, называются неполными квадратами. Если поставить одно из этих чисел под корень, то вы получите число с десятичной дробью. Иногда такое число может оказаться весьма длинным. Например, √(13) = 3,605551275464...
Запомните первые 1-12 полных квадратов. Как вы, вероятно, уже заметили, найти корень полного квадрата довольно легко! Из-за того, что эти задачи такие простые, стоит запомнить корни первой дюжины полных квадратов. Вы не раз столкнетесь с этими числами, так что потратьте немного времени, чтобы запомнить их пораньше и сэкономить время в будущем.
- 1 2 = 1 × 1 = 1
- 2 2 = 2 × 2 = 4
- 3 2 = 3 × 3 = 9
- 4 2 = 4 × 4 = 16
- 5 2 = 5 × 5 = 25
- 6 2 = 6 × 6 = 36
- 7 2 = 7 × 7 = 49
- 8 2 = 8 × 8 = 64
- 9 2 = 9 × 9 = 81
- 10 2 = 10 × 10 = 100
- 11 2 = 11 × 11 = 121
- 12 2 = 12 × 12 = 144
Упростите корни, убрав из него полные квадраты, если это возможно. Найти корень неполного квадрата иногда может оказаться нелегко, особенно если вы не используете калькулятор (в разделе ниже вы найдете несколько трюков, как сделать этот процесс легче). Однако зачастую можно упростить число под корнем, чтобы с ним было легче работать. Чтобы сделать это, вам просто необходимо разделить число под корнем на множители, а затем найти корень множителя, который является полным квадратом, и записать его снаружи корня. Это проще, чем кажется. Читайте далее, чтобы получить больше информации.
- Давайте предположим, что нам необходимо найти квадратный корень 900. На первый взгляд это кажется довольно тяжелой задачей! Однако это не будет так тяжело, если мы разделим число 900 на множители. Множители – это числа, которые умножаются друг на друга для того, чтобы дать новое число. Например, число 6 можно получить, умножив 1 × 6 и 2 × 3, его множителями будут числа 1, 2, 3 и 6.
- Вместо того чтобы искать корень числа 900, что немного затруднительно, давайте запишем 900, как умножение 9 × 100. Теперь, когда число 9, которое является полным квадратом, отделено от 100, мы можем найти его корень. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Другими словами, √(900) = 3√(100).
- Мы даже можем пойти еще дальше, разделив 100 на два множителя, 25 и 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Поэтому мы можем сказать, что √(900) = 3(10) = 30
Используйте мнимые числа, чтобы найти корень отрицательного числа. Спросите себя, какое число при умножении само на себя даст -16? Это не 4 и не -4, так как возведение этих чисел в квадрат даст нам положительное число 16. Сдались? На самом деле не существует способа записать корень -16 или любого другого отрицательного числа обычными числами. В таком случае мы должны подставить мнимые числа (обычно в форме букв или символов), чтобы они оказались вместо корня отрицательного числа. Например, переменная «i» обычно используется для возведения под корень числа -1. Как правило, корнем отрицательного числа всегда будет мнимое число (или включенное в него).
- Знайте, что хотя мнимые числа и не могут быть представлены обычными цифрами, к ним все равно можно относиться, как к таковым. Например, квадратный корень отрицательного числа можно возвести в квадрат, чтобы придать этим отрицательным числам, как и любым другим, квадратный корень. Например, i 2 = -1
Часть 2
Использование алгоритма деления столбиком
1. Запишите задачу с корнем, как задачу деления столбиком. Хотя это может отнять довольно много времени, таким образом, вы сможете решить задачу с корнем неполных квадратов, не прибегая к помощи калькулятора. Для этого мы воспользуемся методом решения (или алгоритмом), который похож (но не точно такой же) на обычное деление столбиком.
  - Для начала запишите задачу с корнем в такую же форму, что и при делении столбиком. Предположим, что мы хотим найти квадратный корень числа 6,45, которое точно не является полным квадратом. Сперва мы напишем обычный символ квадрата, а затем под ним мы напишем число. Далее над числом мы нарисуем линию, чтобы оно оказалось в небольшой «коробочке», так же как и при делении столбиком. После этого у нас получится корень с длинным хвостом и числом 6,45 под ним.
  - Над корнем мы будем писать числа, так что обязательно оставьте там место.
2. Сгруппируйте цифры по парам. Для того чтобы начать решать задачу, необходимо сгруппировать цифры числа под радикалом по парам, начав с точки в десятичной дроби. Если хотите, можете делать небольшие отметки (вроде точек, косой линии, запятых и прочего) между парами, чтобы не запутаться.
  - В нашем примере, мы должны разделить на пары число 6,45 следующим образом: 6-,45-00. Обратите внимание, что слева присутствует «оставшаяся» цифра – это нормально.
3. Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен первой «группе». Начните с первого числа или пары слева. Выберите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен оставшейся «группе». Например, если бы группа была равна 37, вы бы выбрали число 6, потому что 6 2 = 36 < 37, а 7 2 = 49 > 37. Запишите это число над первой группой. Это будет первой цифрой вашего ответа.
  - В нашем примере, первой группой в 6-,45-00 будет цифра 6. Наибольшее число, которое в квадрате будет меньше или равно 6 это 2 2 = 4. Напишите цифру 2 над цифрой 6, которая стоит под корнем.
4. Удвойте только что написанное число, затем опустите его под корень и отнимите. Возьмите первую цифру вашего ответа (число, которое вы только что нашли) и удвойте ее. Запишите результат под первой своей группой и отнимите, чтобы найти разницу. Опустите следующую пару чисел рядом с ответом. И наконец, напишите слева последнюю цифру удвоения первой цифры своего ответа, а рядом оставьте пробел.
  - В нашем примере, мы начнем с удвоения цифры 2, которая является первой цифрой нашего ответа. 2 × 2 = 4. Затем мы отнимем 4 от 6 (нашей первой «группы»), получив при этом 2. Далее мы опустим следующую группу (45), чтобы получить 245. И наконец, слева мы еще раз напишем цифру 4, оставив в конце небольшой пробел, вот так: 4_
5. Заполните пробел. Затем вы должны прибавить цифру к правой части записанного числа, которое находится слева. Выберите цифру, перемножив которую с вашим новым числом, вы получили бы максимально большой результат, но который бы был меньше или равен «опущенному «числу». Например, если ваше «опущенное» число равно 1700, а ваше число слева это 40_, в пробел необходимо написать цифру 4, так как 404 × 4 = 1616 < 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.
  - В нашем примере, мы должны найти число и записать его в пробелы 4_ × _, что сделает ответ как можно большим, но все же меньшим или равным 245. В нашем случае это цифра 5. 45 × 5 = 225, в то время как 46 × 6 = 276
6. Продолжайте использовать «пустые» числа, чтобы найти ответ. Продолжайте решать это измененное деление столбиком, пока не начнете получать нули при вычитании «опущенного» числа или пока не получите желаемый уровень точности ответа. Когда вы закончите, числа, которые вы использовали, чтобы заполнить пробелы в каждом шаге (плюс самое первое число) будут составлять число вашего ответа.
  - Продолжая наш пример, мы отнимем 225 от 245, чтобы получить 20. Затем, мы опустим следующую пару чисел, 00, чтобы получить 2000. Удвоим число над знаком корня. Мы получим 25 × 2 = 50. Решив пример с пробелами, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.
7. Передвиньте точку десятичной дроби вперед от изначального «делимого» числа. Чтобы завершить свой ответ, вы должны поставить точку десятичной дроби в правильное место. К счастью, сделать это довольно легко. Все, что вам необходимо сделать, это выровнять ее относительно точки изначального числа. Например, если под корнем будет стоять число 49,8, вы должны будете поставить точку между двумя цифрами над девяткой и восьмеркой.
  - В нашем примере под радикалом стоит число 6,45, так что мы просто переместим точку и поставим ее между цифрами 2 и 5 в нашем ответе, получив при этом ответ равный 2,539.
Часть 3
Быстрый подсчет неполных квадратов
1. Найдите неполные квадраты, подсчитав их. Когда вы запомните полные квадраты, поиск корня неполных квадратов станет намного проще. Так как вы уже знаете дюжину полных квадратов, любое число, которое попадает в область между этими двумя полными квадратами можно найти, сведя все к приблизительному подсчету между этих значений. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится ваше число. Затем определите, к которому из этих чисел ваше число находится ближе.
  - Например, предположим, что нам необходимо найти квадратный корень числа 40. Так как мы запомнили полные квадраты, мы можем сказать, что число 40 находится между 6 2 и 7 2 или числам 36 и 49. Так как 40 больше 6 2 , его корень будет больше 6, а так как оно меньше 7 2 , его корень также будет и меньше 7. 40 немного ближе к 36, чем к 49, так что ответ, скорее всего, будет немного ближе к 6. В следующих нескольких шагах мы сузим наш ответ.
2. Продолжайте расчет. На этом этапе, если вы довольны своим ответом, вы можете просто взять первое угаданное приблизительное значение. Однако если вы хотите получить более точный ответ, все что вам необходимо сделать, это выбрать приблизительное значение с двумя знаками десятичной дроби, которое ставит это приблизительное значение между первыми двумя числами. Продолжив этот подсчет, вы сможете получить для своего ответа три, четыре и больше знаков после запятой. Все зависит от того, насколько далеко вы захотите зайти.
  - В нашем примере давайте выберем 6,33 в качестве приблизительного значения с двумя знаками после запятой. Умножьте 6,33 само на себя, чтобы получить 6,33 × 6,33 = 40,0689. так как это немного больше нашего числа, мы возьмем число поменьше, например, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Этот ответ немного меньше нашего числа, так что мы знаем, что точный квадратный корень находится между 6,32 и 6,33. Если бы мы захотели продолжить, мы бы продолжали использовать тот же подход, чтобы получить ответ, который становился бы все точнее и точнее.
- Для быстрого поиска решения, воспользуйтесь калькулятором. Большинство современных калькуляторов могут мгновенно найти квадратный корень числа. Все что вам необходимо сделать, это ввести свое число, а затем нажать на кнопку со знаком корня. Например, для того чтобы найти корень 841, вы должны будет нажать 8, 4, 1 и (√). В результате чего вы получите ответ 39.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем - иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

Ответ: \

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:

Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:

Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g (x ) ≥ 0.
Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?

Решение иррационального уравнения

Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.

Как упростить решение

Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.

Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g (x ) = 5 − x , которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:

g (x ) ≥ 0

Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1 < 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Из полученных значений следует, что корень x 1 = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x 2 = −2 нам вполне подходит, потому что:

Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x 2 = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.

Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6: x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · (x − 1) = 19 , x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · (8 + 1) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · (x + 17) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Пример 3

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня - 2 , 1 и 5 , то пишем - 2 , 1 , 5 или { - 2 , 1 , 5 } .

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3 , 4) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком корня. Таковы, например, уравнения

Во многих случаях, применяя однократно или многократно возведение в степень обеих частей уравнения, удается свести иррациональное уравнение к алгебраическому уравнению той или иной степени (являющемуся следствием исходного уравнения). Так как при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние решения, то, решив алгебраическое уравнение, к которому мы привели данное иррациональное уравнение, следует найденные корни проверить подстановкой в исходное уравнение и сохранить лишь те, которые ему удовлетворяют, а остальные - посторонние - отбросить.

При решении иррациональных уравнений мы ограничиваемся только их действительными корнями; все корни четной степени в записи уравнений понимаются в арифметическом смысле.

Рассмотрим некоторые типичные примеры иррациональных уравнений.

А. У равнения, содержащие неизвестную под знаком квадратного корня. Если данное уравнение содержит только один квадратный корень, под знаком которого имеется неизвестная то следует этот корень уединить, т. е. поместить в одной части уравнения, а все другие члены перенести в другую часть. После возведения в квадрат обеих частей уравнения мы уже освободимся от иррациональности и получим алгебраическое уравнение для

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Уединяем корень в левой части уравнения;

Возводим полученное равенство в квадрат:

Находим корни этого уравнения:

Проверка показывает, что лишь удовлетворяет исходному уравнению.

Если в уравнение входит два и более корня, содержащих х, то возведение в квадрат приходится повторять несколько раз.

Пример 2. Решить следующие уравнения:

Решение, а) Возводим обе части уравнения в квадрат:

Уединяем корень:

Полученное уравнение снова возводим в квадрат:

После преобразований получаем для следующее квадратное уравнение:

решаем его:

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся в том, что есть его корень, а является для него посторонним корнем.

б) Пример можно решить тем же методом, каким был решен пример а). Однако, воспользовавшись тем, что правая часть данного уравнения не содержит неизвестной величины, поступим иначе. Умножим уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью; получим

Справа стоит произведение суммы на разность, т. е. разность квадратов. Отсюда

В левой части данного уравнения стояла сумма квадратных корней; в левой части полученного теперь уравнения стоит разность тех же корней. Запишем данное и полученное уравнения: