Felicitaciones: hoy analizaremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado. :)
Muchas personas se confunden acerca de las raíces, no porque sean complejas (lo cual es complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de tales comodines que solo los autores de los libros de texto mismos puede entender este garabato. Y aun así solo con una botella de buen whisky. :)
Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de la raíz, la única que realmente debe recordar. Y solo entonces explicaré: por qué todo esto es necesario y cómo aplicarlo en la práctica.
Pero primero, recuerde un punto importante, que por alguna razón muchos compiladores de libros de texto "olvidan":
Las raíces pueden ser de grado par (nuestra $\sqrt(a)$ favorita, así como cualquier $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (cualquier $\sqrt(a)$ , $\ raíz cuadrada(a)$ etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente de la de par.
Aquí en este jodido “algo diferente” se esconde, probablemente, el 95% de todos los errores y malentendidos asociados a las raíces. Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:
Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo un número $b$ tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz de un grado impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.
En cualquier caso, la raíz se denota así:
\(a)\]
El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz, y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada “favorita” (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (de grado impar), que también se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.
Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:
\[\begin(alinear) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]
Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.
Las raíces cúbicas también son comunes, no les tengas miedo:
\[\begin(alinear) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]
Bueno, un par de "ejemplos exóticos":
\[\begin(alinear) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]
Si no entiende cuál es la diferencia entre un grado par y uno impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!
Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual necesitábamos introducir una definición separada para exponentes pares e impares.
¿Por qué necesitamos raíces en absoluto?
Después de leer la definición, muchos estudiantes preguntarán: "¿Qué fumaron los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué necesitamos todas estas raíces?
Para responder a esta pregunta, volvamos a la escuela primaria por un momento. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar correctamente los números. Bueno, algo en el espíritu de "cinco por cinco - veinticinco", eso es todo. Pero después de todo, no puedes multiplicar números en pares, sino en tresillos, cuatros y, en general, conjuntos completos:
\[\begin(alinear) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son unos vagos, así que tenían que escribir la multiplicación de diez por cinco así:
Entonces se les ocurrieron los grados. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Como éste:
¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen varias veces, y no puede gastar un montón de hojas de pergamino de cuadernos para escribir unos 5 183 . Tal entrada se llamó el grado de un número, se encontraron un montón de propiedades en él, pero la felicidad resultó ser de corta duración.
Después de una bebida grandiosa, que se organizó solo sobre el "descubrimiento" de los grados, un matemático especialmente drogado preguntó de repente: "¿Qué pasa si sabemos el grado de un número, pero no sabemos el número en sí?" De hecho, si sabemos que un determinado número $b$, por ejemplo, da 243 elevado a la quinta potencia, ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el propio número $b$?
Este problema resultó ser mucho más global de lo que podría parecer a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los títulos "prefabricados" no existen tales números "iniciales". Juzga por ti mismo:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]
¿Qué pasa si $((b)^(3))=50$? Resulta que necesitas encontrar un cierto número que, cuando se multiplica por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Claramente es mayor que 3 porque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Es decir este número se encuentra en algún lugar entre tres y cuatro, pero lo que es igual a - FIG lo entenderá.
Esta es exactamente la razón por la que a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$-ésima. Por eso se introdujo el icono radical $\sqrt(*)$. Para denotar el mismo número $b$, que elevado a la potencia especificada, nos dará un valor previamente conocido
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
No discuto: a menudo estas raíces se consideran fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego tratas de extraer la raíz de un grado arbitrario de él, te encontrarás con un fastidio cruel.
¡Lo que está ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual, como un número entero o una fracción. Y si introduce este número en una calculadora, verá esto:
\[\raíz cuadrada(2)=1.414213562...\]
Como ves, tras el punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puede redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:
\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox. 1.4 \lt 1.5\]
O aquí hay otro ejemplo:
\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox. 1.7 \gt 1.5\]
Pero todos estos redondeos son, en primer lugar, bastante toscos; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados, de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, la habilidad de comparación y redondeo se verifica necesariamente en el examen de perfil).
Por lo tanto, en matemáticas serias uno no puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, así como fracciones y números enteros que nos son familiares desde hace mucho tiempo.
La imposibilidad de representar la raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es un número racional. Dichos números se denominan irracionales y no pueden representarse con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para esto (logaritmos, grados, límites, etc.). Pero más sobre eso en otro momento.
Considere algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales aún permanecerán en la respuesta.
\[\begin(alinear) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\aprox. -1,2599... \\ \end(alinear)\]
Naturalmente, por la apariencia de la raíz, es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, es posible calcular con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada nos da solo los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas como $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.
Para eso se inventaron. Para que sea fácil escribir las respuestas.
¿Por qué se necesitan dos definiciones?
El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos se toman de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se extraen con calma de absolutamente cualquier número, incluso positivo, incluso negativo.
¿Por qué está pasando esto? Observa la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:
La gráfica de una función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa Tratemos de calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para ello, se dibuja sobre la gráfica una recta horizontal $y=4$ (marcada en rojo), que corta a la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x )_(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que
Todo está claro con el primer número: es positivo, por lo tanto, es la raíz:
Pero entonces, ¿qué hacer con el segundo punto? ¿El 4 tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir $\sqrt(4)=-2$ entonces? ¿Y por qué los maestros miran esos registros como si quisieran comerte? :)
El problema es que si no se imponen condiciones adicionales, los cuatro tendrán dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán raíces en absoluto; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. no toma valores negativos.
Un problema similar ocurre para todas las raíces con un exponente par:
- En rigor, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
- De números negativos, la raíz con $n$ pares no se extrae en absoluto.
Es por eso que la definición de una raíz par $n$ estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.
Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, echemos un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:
La parábola cúbica toma cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se puede sacar de cualquier número De este gráfico se pueden sacar dos conclusiones:
- Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de la habitual, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, a cualquier altura que dibujemos una línea horizontal, esta línea definitivamente se cruzará con nuestro gráfico. Por lo tanto, la raíz cúbica siempre se puede sacar, absolutamente, de cualquier número;
- Además, dicha intersección siempre será única, por lo que no necesita pensar qué número considerar la raíz "correcta" y cuál anotar. Es por eso que la definición de raíces para un grado impar es más simple que para uno par (no hay requisito de no negatividad).
Es una pena que estas cosas simples no estén explicadas en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a volar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.
Sí, no discuto: qué es una raíz aritmética, también necesita saberlo. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de él, porque sin él, todas las reflexiones sobre las raíces de la $n$-ésima multiplicidad estarían incompletas.
Pero primero debe comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, comenzará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada en absoluto.
Y todo lo que necesitas entender es la diferencia entre números pares e impares. Por eso, una vez más recopilaremos todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:
- Una raíz par existe solo a partir de un número no negativo y en sí misma siempre es un número no negativo. Para números negativos, tal raíz no está definida.
- Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser ella misma cualquier número: para números positivos es positiva, y para números negativos, como indica la mayúscula, es negativa.
¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Claro? ¡Sí, es obvio! Por lo tanto, ahora practicaremos un poco con los cálculos.
Propiedades básicas y limitaciones
Las raíces tienen muchas propiedades y restricciones extrañas; esta será una lección aparte. Por lo tanto, ahora consideraremos solo el "chip" más importante, que se aplica solo a las raíces con un exponente par. Escribimos esta propiedad en forma de fórmula:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]
En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz del mismo grado de este, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que es fácil de probar (basta con considerar por separado $x$ no negativos, y luego considerar por separado los negativos). Los maestros hablan constantemente de eso, se da en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen el signo del radical), los estudiantes olvidan esta fórmula juntos.
Para comprender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos contar dos números por delante:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Estos son ejemplos muy simples. El primer ejemplo lo resolverá la mayoría de la gente, pero en el segundo muchos se quedan. Para resolver cualquier basura de este tipo sin problemas, siempre considere el procedimiento:
- Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es un poco fácil. Se obtendrá un nuevo número, que incluso se puede encontrar en la tabla de multiplicar;
- Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz de cuarto grado. Aquellos. no hay "reducción" de raíces y grados; estas son acciones secuenciales.
Tratemos con la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero debe calcular la expresión debajo de la raíz:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:
Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, para lo cual necesitamos multiplicarlo por sí mismo 4 veces:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]
Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de menos en el producto es de 4 piezas, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). A continuación, extraiga la raíz de nuevo:
En principio, esta línea no se podría escribir, ya que es obvio que la respuesta será la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" los menos, y en este sentido el resultado es indistinguible del módulo habitual:
\[\begin(alinear) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecho|=3. \\ \end(alinear)\]
Estos cálculos concuerdan bien con la definición de la raíz de un grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también es siempre un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.
Nota sobre el orden de las operaciones.
- La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que un número no negativo siempre se encuentra debajo del signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ de todos modos;
- Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero extraemos la raíz de un cierto número $a$ y luego elevamos al cuadrado el resultado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; este es un requisito obligatorio incluido en la definición.
Por lo tanto, en ningún caso se debe reducir irreflexivamente las raíces y los grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si debajo de la raíz hay un número negativo, y su exponente es par, tendremos muchos problemas.
Sin embargo, todos estos problemas son relevantes solo para indicadores pares.
Eliminar un signo menos debajo del signo raíz
Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que, en principio, no existe para los pares. A saber:
\[\raíz cuadrada(-a)=-\raíz cuadrada(a)\]
En resumen, puede sacar un menos de debajo del signo de las raíces de un grado impar. Esta es una propiedad muy útil que le permite "deshacerse" de todas las desventajas:
\[\begin(alinear) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]
Esta propiedad simple simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no necesita preocuparse: ¿qué sucede si una expresión negativa se encuentra debajo de la raíz y el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todas las desventajas fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas, que en el caso de las raíces "clásicas" están garantizadas para llevarnos a un error.
Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que la mayoría de las escuelas comienzan el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Reunir!
raíz aritmética
Supongamos por un momento que solo los números positivos o, en casos extremos, el cero pueden estar bajo el signo de la raíz. Anotemos en indicadores pares / impares, anotemos en todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?
Y luego obtenemos la raíz aritmética: se cruza parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.
Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.
Como puede ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma también es no negativa.
Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a los gráficos de la parábola cuadrada y cúbica que ya nos son familiares:
Área de búsqueda raíz: números no negativos Como puede ver, de ahora en adelante, solo nos interesan las piezas de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ y $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no necesita mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a rootear un número negativo o no. Porque los números negativos ya no se consideran en principio.
Puede preguntar: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan castrada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada arriba?"
Bueno, daré solo una propiedad, por la cual la nueva definición se vuelve apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:
\[\raíz cuadrada[n](a)=\raíz cuadrada(((a)^(k)))\]
Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente de la raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay unos ejemplos:
\[\begin(alinear) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(alinear)\]
Bueno, ¿qué hay de malo en eso? ¿Por qué no pudimos hacerlo antes? Este es el por qué. Considere una expresión simple: $\sqrt(-2)$ es un número bastante normal en nuestro sentido clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Como puede ver, en el primer caso, sacamos el menos de debajo del radical (tenemos toda la razón, porque el indicador es impar), y en el segundo, usamos la fórmula anterior. Aquellos. desde el punto de vista de las matemáticas, todo se hace de acuerdo con las reglas.
¡¿Qué diablos?! ¿Cómo puede el mismo número ser tanto positivo como negativo? De ninguna manera. Es solo que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, comienza a dar una completa herejía en el caso de los números negativos.
Aquí, para deshacerse de tal ambigüedad, se les ocurrieron raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos en detalle todas sus propiedades. Así que ahora no nos detendremos en ellos; la lección resultó ser demasiado larga de todos modos.
Raíz algebraica: para los que quieren saber más
Pensé durante mucho tiempo: hacer este tema en un párrafo aparte o no. Al final, decidí irme de aquí. Este material está destinado a aquellos que desean comprender las raíces aún mejor, ya no en el nivel promedio de "escuela", sino en el nivel cercano a la Olimpiada.
Entonces: además de la definición "clásica" de la raíz del $n$-ésimo grado de un número y la división asociada en indicadores pares e impares, hay una definición más "adulta", que no depende de la paridad y otras sutilezas en absoluto. A esto se le llama raíz algebraica.
Definición. Una raíz algebraica $n$-ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación bien establecida para tales raíces, así que simplemente coloque un guión en la parte superior:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que la raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como estamos trabajando con números reales, este conjunto es de solo tres tipos:
- Conjunto vacio. Ocurre cuando se requiere encontrar una raíz algebraica de grado par a partir de un número negativo;
- Un conjunto que consta de un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares a partir de cero, entran en esta categoría;
- Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar función cuadrática. En consecuencia, dicha alineación solo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.
El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.
Ejemplo. Calcular expresiones:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Solución. La primera expresión es simple:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Son dos números que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Aquí vemos un conjunto que consta de un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente de la raíz es impar.
Finalmente, la última expresión:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnada\]
Tenemos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta (¡es decir, par!) potencia, nos dé un número negativo −16.
nota final Tenga en cuenta: no fue casualidad que noté en todas partes que estamos trabajando con números reales. Debido a que también hay números complejos, es bastante posible calcular $\sqrt(-16)$ y muchas otras cosas extrañas allí.
Sin embargo, en el currículo escolar moderno de matemáticas, los números complejos casi nunca se encuentran. Se han omitido de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es "demasiado difícil de entender".
Eso es todo. En la próxima lección, veremos todas las propiedades clave de las raíces y finalmente aprenderemos a simplificar expresiones irracionales. :)
Para utilizar con éxito la operación de extraer la raíz en la práctica, debe familiarizarse con las propiedades de esta operación.
Todas las propiedades se formulan y prueban solo para valores no negativos de variables contenidas bajo signos de raíz.
Teorema 1. La raíz enésima (n=2, 3, 4,...) del producto de dos conjuntos de chips no negativos es igual al producto de las raíces enésimas de estos números:
Comentario:
1.
El teorema 1 sigue siendo válido para el caso en que la expresión radical es el producto de más de dos números no negativos.
Teorema 2.si un,
y n es un número natural mayor que 1, entonces la igualdad
Breve(aunque inexacta) formulación que es más conveniente de usar en la práctica: la raíz de la fracción es igual a la fracción de las raíces.
El teorema 1 nos permite multiplicar m sólo raíces del mismo grado
, es decir. sólo raíces con el mismo exponente.
Teorema 3. Si ,k es un número natural y n es un número natural mayor que 1, entonces la igualdad
En otras palabras, para elevar una raíz a una potencia natural, basta elevar la expresión raíz a esta potencia.
Esto es una consecuencia del Teorema 1. De hecho, por ejemplo, para k = 3 obtenemos
Teorema 4. Si ,k, n son números naturales mayores que 1, entonces la igualdad
En otras palabras, para sacar una raíz de una raíz, basta con multiplicar los exponentes de las raíces.
Por ejemplo,
¡Ten cuidado! Aprendimos que se pueden realizar cuatro operaciones en las raíces: multiplicación, división, exponenciación y extracción de la raíz (de la raíz). Pero, ¿qué pasa con la suma y resta de raíces? De ninguna manera.
Por ejemplo, no puedes escribir en lugar de Indeed, pero es obvio que
Teorema 5. Si los indicadores de la raíz y la expresión de la raíz se multiplican o dividen por el mismo número natural, entonces el valor de la raíz no cambiará, es decir
Ejemplos de resolución de problemas
Ejemplo 1 Calcular
Solución. Usando la primera propiedad de las raíces (Teorema 1), obtenemos:
Ejemplo 2 Calcular
Solución. Convierte el número mixto en una fracción impropia.
Tenemos Usando la segunda propiedad de las raíces ( teorema 2
), obtenemos:
Ejemplo 3 Calcular: 
Solución. Cualquier fórmula en álgebra, como bien sabes, se usa no solo "de izquierda a derecha", sino también "de derecha a izquierda". Entonces, la primera propiedad de las raíces significa que se puede representar como y, a la inversa, se puede reemplazar por la expresión. Lo mismo se aplica a la segunda propiedad de las raíces. Con esto en mente, hagamos los cálculos.
Lección y presentación sobre el tema: "Propiedades de la raíz del grado n. Teoremas"
Materiales adicionales
Estimados usuarios, ¡no olviden dejar sus comentarios, opiniones, sugerencias! Todos los materiales son revisados por un programa antivirus.
Medios didácticos y simuladores en la tienda online "Integral" para grado 11
Manual interactivo para los grados 9-11 "Trigonometría"
Manual interactivo para los grados 10-11 "Logaritmos"
Propiedades de la raíz de grado n. teoremas
Chicos, seguimos estudiando las raíces del grado n de un número real. Como casi todos los objetos matemáticos, las raíces de grado n tienen algunas propiedades, hoy las estudiaremos.Todas las propiedades que consideramos están formuladas y demostradas solo para valores no negativos de las variables contenidas bajo el signo de la raíz.
En el caso de un exponente de raíz impar, también se cumplen para variables negativas.
Teorema 1. La raíz enésima del producto de dos números no negativos es igual al producto de las raíces enésimas de estos números: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .
Demostremos el teorema.
Prueba. Chicos, para probar el teorema, introduzcamos nuevas variables, denotemos:
$\raíz cuadrada[n](a*b)=x$.
$\raíz cuadrada[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Necesitamos probar que $x=y*z$.
Tenga en cuenta que las siguientes identidades también son válidas:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Entonces también se cumple la siguiente identidad: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Los grados de dos números no negativos y sus exponentes son iguales, entonces las bases de los mismos grados son iguales. Por lo tanto $x=y*z$, que es lo que se requería probar.
Teorema 2. Si $a≥0$, $b>0$ y n es un número natural mayor que 1, entonces se cumple la siguiente igualdad: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.
Es decir, la raíz n-ésima del cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas.
Prueba.
Para probar esto, usamos un esquema simplificado en forma de tabla:
Ejemplos de cálculo de la raíz enésima
Ejemplo.Calcular: $\sqrt(16*81*256)$.
Solución. Usemos el Teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Ejemplo.
Calcula: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Solución. Representemos la expresión radical como una fracción impropia: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Usemos el Teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Ejemplo.
Calcular:
a) $\raíz cuadrada(24)*\raíz cuadrada(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Solución:
a) $\raíz cuadrada(24)*\raíz cuadrada(54)=\raíz cuadrada(24*54)=\raíz cuadrada(8*3*2*27)=\raíz cuadrada(16*81)=\raíz cuadrada(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorema 3. Si $a≥0$, k y n son números naturales mayores que 1, entonces la igualdad es verdadera: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Para elevar una raíz a una potencia natural, basta elevar la expresión radical a esta potencia.
Prueba.
Consideremos un caso especial para $k=3$. Usemos el Teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\raíz cuadrada[n](a^3)$.
Lo mismo puede probarse para cualquier otro caso. Chicos, pruébenlo ustedes mismos para el caso cuando $k=4$ y $k=6$.
Teorema 4. Si $a≥0$ b n,k son números naturales mayores que 1, entonces la igualdad es verdadera: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Para sacar una raíz de una raíz, basta con multiplicar los exponentes de las raíces.
Prueba.
Probemos de nuevo brevemente usando la tabla. Para probar esto, usamos un esquema simplificado en forma de tabla: 
Ejemplo.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Teorema 5. Si los índices de la raíz y la expresión de la raíz se multiplican por el mismo número natural, entonces el valor de la raíz no cambiará: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) ps
Prueba.
El principio de la prueba de nuestro teorema es el mismo que en otros ejemplos. Introduzcamos nuevas variables:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (por definición).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (por definición).
Elevamos la última igualdad a la potencia p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Obtuvo:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Es decir, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, que debía probarse.
Ejemplos:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dividido por 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (dividido por 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (multiplicado por 3).
Ejemplo.
Ejecutar acciones: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Solución.
Los exponentes de las raíces son números diferentes, por lo que no podemos usar el Teorema 1, pero al aplicar el Teorema 5 podemos obtener exponentes iguales.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (multiplicado por 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (multiplicado por 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Tareas para solución independiente
1. Calcular: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Calcula: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Calcula:
a) $\raíz cuadrada(81)*\raíz cuadrada(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Simplifica:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Realice acciones: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
