축하합니다: 오늘 우리는 8학년에서 가장 충격적인 주제 중 하나인 뿌리를 분석할 것입니다. :)
많은 사람들이 뿌리에 대해 혼동하는 이유는 뿌리가 복잡하기 때문이 아니라(복잡한 - 몇 가지 정의와 몇 가지 속성이 더 있음), 대부분의 학교 교과서에서 뿌리가 교과서의 저자만이 정의할 수 있는 야생을 통해 정의되기 때문입니다. 이 낙서를 이해할 수 있습니다. 그래도 좋은 위스키 한 병과 함께라면 말이죠. :)
따라서 이제 루트에 대한 가장 정확하고 유능한 정의를 제공하겠습니다. 실제로 기억해야 할 유일한 것입니다. 그리고 나서야 설명할 것입니다. 이 모든 것이 필요한 이유와 실제로 적용하는 방법입니다.
그러나 먼저 한 가지 중요한 점을 기억하십시오. 어떤 이유로 교과서의 많은 컴파일러는 다음을 "잊습니다".
루트는 짝수 차수(우리가 가장 좋아하는 $\sqrt(a)$, 모든 $\sqrt(a)$ 및 짝수 $\sqrt(a)$) 및 홀수 차수(모든 $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ 등). 그리고 홀수 차수의 근의 정의는 짝수 차수와 다소 다릅니다.
여기 이 빌어먹을 "다소 다른" 부분이, 아마 뿌리와 관련된 모든 오류와 오해의 95%가 숨겨져 있을 것입니다. 따라서 용어를 한 번에 정리하자면 다음과 같습니다.
정의. 짝수 루트 N숫자에서 $a$는 임의입니다. 음이 아닌$((b)^(n))=a$와 같은 숫자 $b$. 그리고 동일한 수 $a$에서 홀수 차수의 근은 일반적으로 동일한 평등이 유지되는 임의의 수 $b$입니다: $((b)^(n))=a$.
어쨌든 루트는 다음과 같이 표시됩니다.
\(ㅏ)\]
이러한 표기법에서 숫자 $n$를 근 지수라고 하고 숫자 $a$를 급진적 표현이라고 합니다. 특히 $n=2$의 경우 "좋아하는" 제곱근(그런데 이것은 짝수 차수의 근)을 얻고 $n=3$의 경우 세제곱근(홀수 차수)을 얻습니다. 문제와 방정식에서도 종종 발견됩니다.
예. 제곱근의 고전적인 예:
\[\begin(정렬) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \끝(정렬)\]
그건 그렇고, $\sqrt(0)=0$이고 $\sqrt(1)=1$입니다. $((0)^(2))=0$ 및 $((1)^(2))=1$이므로 이것은 매우 논리적입니다.
입방 뿌리도 일반적입니다. 두려워하지 마십시오.
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \끝(정렬)\]
글쎄, 몇 가지 "이국적인 예":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \끝(정렬)\]
짝수와 홀수 차수의 차이점이 무엇인지 이해하지 못하면 정의를 다시 읽으십시오. 매우 중요합니다!
그 동안, 우리는 짝수 지수와 홀수 지수에 대한 별도의 정의를 도입할 필요가 있었기 때문에 근의 불쾌한 특징 중 하나를 고려할 것입니다.
뿌리가 필요한 이유는 무엇입니까?
정의를 읽은 후 많은 학생들이 "수학자들은 이것을 생각해 냈을 때 무엇을 피웠습니까?"라고 묻습니다. 그리고 정말로: 왜 우리는 이 모든 뿌리가 필요한가?
이 질문에 답하기 위해 잠시 초등학교로 돌아가 보겠습니다. 기억하십시오. 나무가 더 푸르고 만두가 더 맛있었던 먼 옛날에 우리의 주된 관심사는 숫자를 정확하게 곱하는 것이었습니다. 글쎄, "5 x 5 - 25"의 정신에 있는 것, 그게 다야. 그러나 결국 숫자를 쌍이 아니라 세 쌍, 네 쌍 및 일반적으로 전체 집합으로 곱할 수 있습니다.
\[\begin(정렬) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(정렬)\]
그러나 이것이 요점이 아닙니다. 트릭은 다릅니다. 수학자들은 게으른 사람들이므로 다음과 같이 105의 곱셈을 적어야 했습니다.
그래서 그들은 학위를 생각해 냈습니다. 긴 문자열 대신 위첨자로 요인 수를 쓰지 않는 이유는 무엇입니까? 이 같은:
매우 편리합니다! 모든 계산은 몇 배로 줄어들고, 몇 장의 양피지 공책을 사용하여 약 5 183 을 쓸 수 없습니다. 그러한 항목은 숫자의 정도라고 불리며 많은 속성이 발견되었지만 행복은 일시적인 것으로 나타났습니다.
도의 "발견"에 대해 조직된 엄청난 양의 술을 마신 후, 특히 돌이 많은 수학자는 갑자기 이렇게 물었다. 실제로, 예를 들어 특정 숫자 $b$가 243의 5제곱을 제공한다는 것을 안다면 숫자 $b$ 자체가 무엇인지 어떻게 추측할 수 있습니까?
이 문제는 언뜻 보기에 보이는 것보다 훨씬 더 글로벌한 것으로 판명되었습니다. 대부분의 "기성품" 학위에는 그러한 "초기" 숫자가 없다는 것이 밝혀졌기 때문입니다. 스스로 판단:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\오른쪽 화살표 b=3\cdot 3\cdot 3\오른쪽 화살표 b=3; \\ & ((b)^(3))=64\오른쪽 화살표 b=4\cdot 4\cdot 4\오른쪽 화살표 b=4. \\ \끝(정렬)\]
$((b)^(3))=50$이면? 특정 숫자를 찾아야 하는 것으로 나타났습니다. 이 숫자는 자체적으로 세 번 곱하면 50이 됩니다. 하지만 이 숫자는 무엇인가요? 3 3 = 27이기 때문에 분명히 3보다 큽니다.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. 즉 이 숫자는 3과 4 사이의 어딘가에 있지만 그것이 무엇과 같은지 이해하게 될 것입니다.
이것이 바로 수학자들이 $n$-번째 근을 생각해 낸 이유입니다. 이것이 급진적 아이콘 $\sqrt(*)$가 도입된 이유입니다. 지정된 거듭제곱에 대해 이전에 알려진 값을 제공하는 동일한 숫자 $b$를 표시하려면
\[\sqrt[n](a)=b\오른쪽 화살표 ((b)^(n))=a\]
나는 주장하지 않습니다. 종종 이러한 뿌리는 쉽게 고려됩니다. 우리는 위에서 몇 가지 그러한 예를 보았습니다. 그러나 여전히 대부분의 경우 임의의 숫자를 생각한 다음 그로부터 임의의 정도의 근을 추출하려고 하면 잔인한 곤경에 빠지게 됩니다.
어떤이! 가장 단순하고 가장 친숙한 $\sqrt(2)$조차도 일반적인 형식(정수 또는 분수)으로 나타낼 수 없습니다. 이 숫자를 계산기에 입력하면 다음과 같이 표시됩니다.
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
보시다시피, 소수점 뒤에는 논리를 따르지 않는 끝없는 숫자 시퀀스가 있습니다. 물론 이 숫자를 반올림하여 다른 숫자와 빠르게 비교할 수 있습니다. 예를 들어:
\[\sqrt(2)=1.4142...\약 1.4 \lt 1.5\]
또는 다른 예가 있습니다.
\[\sqrt(3)=1.73205...\약 1.7 \gt 1.5\]
그러나 이 모든 반올림은 우선 다소 거칠다. 둘째, 대략적인 값으로 작업할 수 있어야 합니다. 그렇지 않으면 여러 가지 분명하지 않은 오류를 잡을 수 있습니다(그런데 비교 및 반올림 기술은 프로필 시험에서 반드시 확인해야 함).
따라서 진지한 수학에서는 근 없이는 할 수 없습니다. 그들은 모든 실수 $\mathbb(R)$의 집합과 오랫동안 우리에게 친숙한 분수와 정수의 동일한 대표자입니다.
$\frac(p)(q)$ 형식의 분수로 근을 나타낼 수 없다는 것은 이 근이 유리수가 아님을 의미합니다. 이러한 숫자를 무리수라고 하며, 이를 위해 특별히 설계된 급수 또는 기타 구조(로그, 도, 극한 등)를 사용하지 않는 한 정확하게 나타낼 수 없습니다. 그러나 다른 시간에 더 자세히 설명합니다.
모든 계산 후에도 무리수가 여전히 답에 남아 있는 몇 가지 예를 고려하십시오.
\[\begin(정렬) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\약 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\대략 -1,2599... \\ \end(정렬)\]
당연히 근의 모양으로 소수점 뒤에 어떤 숫자가 올지 추측하는 것은 거의 불가능합니다. 그러나 계산기로 계산하는 것은 가능하지만 가장 발전된 날짜 계산기라도 무리수의 처음 몇 자리만 제공합니다. 따라서 $\sqrt(5)$ 및 $\sqrt(-2)$로 답을 작성하는 것이 훨씬 정확합니다.
그것이 그들이 발명 된 이유입니다. 답을 쉽게 쓸 수 있도록.
두 가지 정의가 필요한 이유는 무엇입니까?
주의 깊은 독자는 예제에 제공된 모든 제곱근이 양수에서 가져온 것임을 이미 알아차렸을 것입니다. 글쎄, 적어도 0에서. 그러나 입방체 루트는 절대적으로 모든 숫자에서 침착하게 추출됩니다. 심지어 양수, 심지어 음수입니다.
왜 이런 일이 발생합니까? $y=((x)^(2))$ 함수의 그래프를 보십시오.
이차 함수의 그래프는 양수와 음수라는 두 개의 근을 제공합니다. 이 그래프를 사용하여 $\sqrt(4)$를 계산해 봅시다. 이를 위해 $((x)_(1))=2$ 및 $((x)의 두 점에서 포물선과 교차하는 수평선 $y=4$(빨간색으로 표시)가 그래프에 그려집니다. _(2)) =-2$. 이것은 매우 논리적입니다. 왜냐하면
첫 번째 숫자로 모든 것이 명확합니다. 양수이므로 루트입니다.
그러나 두 번째 점은 어떻게 해야 합니까? 4는 한 번에 두 개의 뿌리를 가지고 있습니까? 결국, 숫자 −2를 제곱하면 4도 나옵니다. 그러면 $\sqrt(4)=-2$를 작성하지 않겠습니까? 그리고 선생님들은 왜 그런 기록을 빤히 쳐다보시죠? :)
문제는 추가 조건이 부과되지 않으면 네 개의 제곱근이 양수와 음수라는 두 개의 제곱근을 갖게 된다는 것입니다. 그리고 모든 양수에는 두 가지가 있습니다. 그러나 음수에는 근이 없습니다. 포물선은 축 아래로 떨어지지 않기 때문에 동일한 그래프에서 볼 수 있습니다. 와이, 즉. 음수 값을 사용하지 않습니다.
지수가 짝수인 모든 근에 대해 유사한 문제가 발생합니다.
- 엄밀히 말하면, 각 양수에는 짝수 지수 $n$가 있는 두 개의 근이 있습니다.
- 음수에서 $n$가 짝수인 루트는 전혀 추출되지 않습니다.
이것이 짝수 루트 $n$의 정의에서 답이 음수가 아니어야 한다고 구체적으로 규정하는 이유입니다. 이것이 우리가 모호성을 제거하는 방법입니다.
그러나 홀수 $n$의 경우에는 그런 문제가 없습니다. 이를 보기 위해 $y=((x)^(3))$ 함수의 그래프를 살펴보겠습니다.
3차 포물선은 임의의 값을 취하므로 3차 루트는 임의의 수에서 가져올 수 있습니다. 이 그래프에서 두 가지 결론을 도출할 수 있습니다.
- 일반 포물선과 달리 3차 포물선의 가지는 위아래로 양방향으로 무한대로 이동합니다. 따라서 수평선을 그리는 높이에 관계없이이 선은 그래프와 확실히 교차합니다. 따라서 세제곱근은 항상 절대적으로 임의의 숫자에서 가져올 수 있습니다.
- 또한 이러한 교차점은 항상 고유하므로 "정확한" 근을 고려해야 할 숫자와 점수를 매길 숫자에 대해 생각할 필요가 없습니다. 이것이 홀수 차수에 대한 근의 정의가 짝수 차수에 대한 것보다 더 간단한 이유입니다(음수가 아닌 요구 사항이 없음).
대부분의 교과서에 이런 간단한 내용이 설명되어 있지 않아 안타깝습니다. 대신, 우리의 두뇌는 모든 종류의 산술 뿌리와 그 속성으로 치솟기 시작합니다.
예, 나는 주장하지 않습니다. 산술 루트가 무엇인지도 알아야 합니다. 그리고 이에 대해서는 별도의 강의에서 자세히 설명하겠습니다. 오늘 우리는 그것에 대해 이야기할 것입니다. 왜냐하면 그것 없이는 $n$-th 다중성의 근에 대한 모든 반성이 불완전할 것이기 때문입니다.
그러나 먼저 위에서 설명한 정의를 명확하게 이해해야 합니다. 그렇지 않으면 용어가 풍부하기 때문에 그러한 혼란이 머리에서 시작되어 결국에는 아무 것도 이해하지 못할 것입니다.
그리고 이해해야 할 것은 짝수와 홀수의 차이뿐입니다. 따라서 다시 한 번 뿌리에 대해 알아야 할 모든 것을 수집합니다.
- 짝수 루트는 음수가 아닌 숫자에서만 존재하며 항상 음수가 아닌 숫자입니다. 음수의 경우 이러한 근은 정의되지 않습니다.
- 그러나 홀수 차수의 근은 임의의 숫자에서 존재하며 그 자체가 임의의 숫자일 수 있습니다. 양수의 경우 양수이고 캡에서 알 수 있듯이 음수의 경우 음수입니다.
그거 어렵 니? 아니요, 어렵지 않습니다. 분명한? 예, 분명합니다! 따라서 이제 우리는 계산을 조금 연습할 것입니다.
기본 속성 및 제한 사항
뿌리에는 이상한 속성과 제한 사항이 많이 있습니다. 이것은 별도의 수업이 될 것입니다. 따라서 이제 지수가 짝수인 루트에만 적용되는 가장 중요한 "칩"만 고려할 것입니다. 이 속성을 수식 형식으로 작성합니다.
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\왼쪽| x\오른쪽|\]
다시 말해, 숫자를 짝수 거듭제곱한 다음 여기서 같은 차수의 근을 추출하면 원래 숫자가 아니라 모듈러스가 나옵니다. 이것은 증명하기 쉬운 간단한 정리입니다(음수가 아닌 $x$를 별도로 고려한 다음 음수를 별도로 고려하면 됩니다). 선생님들은 끊임없이 그것에 대해 이야기하고 모든 학교 교과서에 나와 있습니다. 그러나 불합리한 방정식(즉, 급진적 기호를 포함하는 방정식)을 풀자마자 학생들은 이 공식을 함께 잊어버립니다.
문제를 자세히 이해하려면 잠시 동안 모든 공식을 잊어버리고 두 개의 숫자를 미리 계산해 보겠습니다.
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
이것들은 매우 간단한 예입니다. 첫 번째 예는 대부분의 사람들이 해결하지만 두 번째 예는 많은 사람들이 고수합니다. 이러한 쓰레기를 문제 없이 해결하려면 항상 다음 절차를 고려하십시오.
- 먼저 숫자를 4제곱합니다. 글쎄요, 좀 쉽습니다. 구구단에서도 찾을 수 있는 새로운 숫자가 생성됩니다.
- 그리고 이제 이 새로운 숫자에서 4도의 근을 추출해야 합니다. 저것들. 뿌리와 정도의 "감소"는 없습니다. 이는 순차적 작업입니다.
첫 번째 표현식인 $\sqrt(((3)^(4)))$를 처리해 보겠습니다. 분명히, 먼저 루트 아래의 표현식을 계산해야 합니다.
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
그런 다음 숫자 81의 네 번째 루트를 추출합니다.
이제 두 번째 표현식과 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 먼저 숫자 −3을 4승으로 제곱하여 4번 곱해야 합니다.
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ 왼쪽(-3 \오른쪽)=81\]
제품의 총 빼기 수가 4개이기 때문에 양수를 얻었으며 모두 서로를 취소합니다(결국 빼기에 의한 빼기는 더하기를 제공함). 다음으로 루트를 다시 추출합니다.
원칙적으로 이 줄은 쓸 수 없습니다. 답이 같을 것이라는 것은 당연한 일이기 때문입니다. 저것들. 동일한 짝수 전력의 짝수 루트는 마이너스를 "타고", 이러한 의미에서 결과는 일반 모듈과 구별할 수 없습니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\오른쪽|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \오른쪽|=3. \\ \끝(정렬)\]
이러한 계산은 짝수 차수의 근에 대한 정의와 잘 일치합니다. 결과는 항상 음수가 아니고 급수 부호도 항상 음수가 아닙니다. 그렇지 않으면 루트가 정의되지 않습니다.
작업 순서 참고
- $\sqrt(((a)^(2)))$ 표기법은 먼저 숫자 $a$를 제곱한 다음 결과 값의 제곱근을 취한다는 것을 의미합니다. 따라서 $((a)^(2))\ge 0$ 이므로 음수가 아닌 숫자는 항상 루트 기호 아래에 위치합니다.
- 그러나 반대로 $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ 표기법은 먼저 특정 숫자 $a$에서 근을 추출한 다음 결과를 제곱한다는 것을 의미합니다. 따라서 숫자 $a$는 어떠한 경우에도 음수가 될 수 없습니다. 이는 정의에 포함된 필수 요구 사항입니다.
따라서 어떤 경우에도 뿌리와 각도를 생각 없이 줄여 원래 표현을 "단순화"해서는 안 됩니다. 루트 아래에 음수가 있고 지수가 짝수이면 많은 문제가 발생하기 때문입니다.
그러나 이러한 모든 문제는 짝수 지표에만 해당됩니다.
루트 기호 아래에서 빼기 기호 제거
당연히, 지수가 홀수인 뿌리에도 원칙적으로 짝수에는 존재하지 않는 고유한 기능이 있습니다. 즉:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
요컨대, 홀수 정도의 뿌리 기호 아래에서 마이너스를 꺼낼 수 있습니다. 이것은 모든 마이너스를 "던질"수있게 해주는 매우 유용한 속성입니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \끝(정렬)\]
이 간단한 속성은 많은 계산을 크게 단순화합니다. 이제 걱정할 필요가 없습니다. 부정적인 표현이 루트 아래에 있고 루트의 정도가 짝수로 밝혀지면 어떻게 될까요? 뿌리 외부의 모든 마이너스를 "던지기"만하면 충분합니다. 그 후에 서로 곱하고 나눌 수 있으며 일반적으로 "고전적인"뿌리의 경우 우리를 오류.
그리고 여기에 또 다른 정의가 등장합니다. 대부분의 학교에서 비합리적인 표현에 대한 연구를 시작하는 바로 그 정의입니다. 그리고 그것 없이는 우리의 추론이 불완전할 것입니다. 만나다!
산술 루트
잠시 동안 양수 또는 극단적인 경우 0이 루트 기호 아래에 있을 수 있다고 가정해 보겠습니다. 짝수/홀수 지표에 점수를 매기고 위에 제공된 모든 정의에 점수를 매기자. 음수가 아닌 숫자로만 작업할 것입니다. 그럼?
그런 다음 산술 루트를 얻습니다. "표준"정의와 부분적으로 교차하지만 여전히 다릅니다.
정의. 음수가 아닌 숫자 $a$의 $n$번째 차수의 산술 루트는 $((b)^(n))=a$와 같은 음수가 아닌 숫자 $b$입니다.
보시다시피, 우리는 더 이상 패리티에 관심이 없습니다. 대신 새로운 제한이 나타났습니다. 급진적 표현은 이제 항상 음수가 아니며 어근 자체도 음수가 아닙니다.
산술 루트가 일반적인 루트와 어떻게 다른지 더 잘 이해하려면 이미 우리에게 익숙한 제곱 및 3차 포물선의 그래프를 살펴보십시오.
루트 검색 영역 - 음수가 아닌 숫자 보시다시피, 이제부터는 $x$ 및 $y$ 좌표가 양수(또는 최소 0)인 첫 번째 좌표 분기에 있는 그래프 조각에만 관심이 있습니다. 음수를 근절할 권리가 있는지 여부를 이해하기 위해 더 이상 지표를 볼 필요가 없습니다. 음수는 더 이상 원칙적으로 고려되지 않기 때문입니다.
“글쎄요, 왜 그런 거세 정의가 필요한가요?”라고 물을 수 있습니다. 또는: "왜 우리는 위에 주어진 표준 정의를 사용할 수 없습니까?"
글쎄, 나는 새로운 정의가 적절하기 때문에 단 하나의 속성을 줄 것입니다. 예를 들어, 지수화 규칙은 다음과 같습니다.
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
참고: 우리는 급진적 표현을 임의의 거듭제곱으로 올릴 수 있고 동시에 루트 지수에 동일한 거듭제곱을 곱할 수 있습니다. 그러면 결과는 동일한 숫자가 됩니다! 여기 몇 가지 예가 있어요.
\[\begin(정렬) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(정렬)\]
그게 무슨 문제야? 왜 우리는 전에 그것을 할 수 없었습니까? 여기 이유가 있습니다. 간단한 식을 생각해 보십시오. $\sqrt(-2)$는 우리의 고전적 의미에서 매우 정상적이지만 산술 루트의 관점에서 절대 받아들일 수 없는 숫자입니다. 변환해 보겠습니다.
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(정렬)$
보시다시피, 첫 번째 경우에 우리는 급진적 아래에서 마이너스를 빼냈고(지표가 홀수이기 때문에 우리는 모든 권리를 가집니다), 두 번째 경우에는 위의 공식을 사용했습니다. 저것들. 수학의 관점에서 모든 것은 규칙에 따라 수행됩니다.
쯧쯧?! 어떻게 같은 수가 양수와 음수일 수 있습니까? 안 돼요. 그것은 양수와 0에 대해 잘 작동하는 지수 공식이 음수의 경우에 완전한 이단을 제공하기 시작한다는 것입니다.
여기에서 이러한 모호성을 없애기 위해 산술 뿌리를 생각해 냈습니다. 우리는 그들의 모든 속성을 자세히 고려하는 별도의 큰 교훈을 그들에게 할애합니다. 이제 우리는 그것에 대해 이야기하지 않을 것입니다. 어쨌든 수업은 너무 길었습니다.
대수근: 더 알고 싶은 사람들을 위해
나는 오랫동안 생각했습니다. 이 주제를 별도의 단락으로 만들지 말지. 결국 이곳을 떠나기로 했습니다. 이 자료는 평균적인 "학교" 수준이 아니라 올림피아드에 가까운 수준에서 뿌리를 더 잘 이해하고자 하는 사람들을 위한 것입니다.
따라서: 숫자에서 $n$-th 차수의 근에 대한 "고전적인" 정의 및 짝수 및 홀수 표시기로 관련된 분할 외에도 패리티 및 전혀 다른 미묘함. 이것을 대수근이라고 합니다.
정의. 모든 $a$의 대수 $n$-번째 근은 $((b)^(n))=a$와 같은 모든 숫자 $b$의 집합입니다. 그러한 뿌리에 대해 잘 정립된 명칭이 없으므로 상단에 대시(-)를 붙이기만 하면 됩니다.
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right.\right\) \]
수업 초반에 제시한 표준 정의와 근본적인 차이점은 대수근이 특정 숫자가 아니라 집합이라는 점입니다. 그리고 우리는 실수로 작업하기 때문에 이 집합은 세 가지 유형만 있습니다.
- 빈 세트입니다. 음수에서 짝수 차수의 대수근을 찾아야 할 때 발생합니다.
- 단일 요소로 구성된 집합입니다. 홀수 거듭제곱의 모든 근과 0에서 짝수 거듭제곱의 근이 이 범주에 속합니다.
- 마지막으로 세트에는 두 개의 숫자가 포함될 수 있습니다. 동일한 $((x)_(1))$ 및 $((x)_(2))=-((x)_(1))$ 차트 2차 함수. 따라서 이러한 정렬은 양수에서 짝수 차수의 근을 추출해야만 가능하다.
후자의 경우는 더 자세히 고려할 가치가 있습니다. 차이점을 이해하기 위해 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.
예시. 표현식 계산:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
해결책. 첫 번째 표현식은 간단합니다.
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
집합의 일부인 두 개의 숫자입니다. 각각의 제곱은 4를 제공하기 때문입니다.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
여기서 우리는 하나의 숫자로만 구성된 집합을 봅니다. 루트의 지수가 홀수이기 때문에 이것은 매우 논리적입니다.
마지막으로, 마지막 표현:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
우리는 빈 세트를 얻었다. 4승(즉, 짝수!)으로 거듭제곱하면 음수 -16이 되는 실수는 하나도 없기 때문입니다.
마지막 메모. 참고: 우리가 실수로 작업하고 있다는 사실을 모든 곳에서 언급한 것은 우연이 아닙니다. 복소수도 있기 때문에 $\sqrt(-16)$ 및 기타 많은 이상한 것들을 계산할 수 있습니다.
그러나 현대 학교 수학 과정에서 복소수는 거의 발견되지 않습니다. 우리 관리들이 주제를 "이해하기 너무 어렵다"고 생각하기 때문에 대부분의 교과서에서 생략되었습니다.
그게 다야. 다음 수업에서는 근의 모든 주요 속성을 살펴보고 마지막으로 무리수 표현을 단순화하는 방법을 배웁니다. :)
실제로 루트 추출 작업을 성공적으로 사용하려면 이 작업의 속성을 알아야 합니다.
모든 속성은 루트 기호 아래에 포함된 변수의 음이 아닌 값에 대해서만 공식화되고 증명됩니다.
정리 1. 두 개의 음이 아닌 칩셋 곱의 n번째 루트(n=2, 3, 4,...)는 다음 숫자의 n번째 루트의 곱과 같습니다.
논평:
1.
정리 1은 급진적 표현이 두 개 이상의 음수가 아닌 숫자의 곱인 경우에 유효합니다.
정리 2.만약,
n이 1보다 큰 자연수이면 같음
짧은(정확하지는 않지만) 실제로 사용하는 것이 더 편리한 공식: 분수의 근은 근의 분수와 같습니다.
정리 1을 통해 m을 곱할 수 있습니다. 같은 정도의 뿌리만
, 즉. 지수가 같은 근만.
정리 3. 만약 ,k는 자연수이고 n은 1보다 큰 자연수이면 같음
즉, 뿌리를 자연의 힘으로 올리려면 이 힘으로 뿌리 표현을 올리면 됩니다.
이것은 정리 1의 결과입니다. 실제로, 예를 들어 k = 3에 대해 우리는 다음을 얻습니다.
정리 4. 만약 ,k, n은 1보다 큰 자연수이고 같음
즉, 근에서 근을 추출하려면 근의 지수를 곱하면 됩니다.
예를 들어,
조심하세요!우리는 네 가지 연산이 근에 대해 수행될 수 있음을 배웠습니다: 곱하기, 나누기, 지수 및 근(근에서) 추출. 그러나 근의 덧셈과 뺄셈은 어떻습니까? 안 돼요.
예를 들어 인디드 대신 글을 쓸 수는 없지만
정리 5. 만약 루트와 루트 표현식의 지표를 동일한 자연수로 곱하거나 나누면 루트 값이 변경되지 않습니다.
문제 해결의 예
실시예 1계산하다
해결책.루트의 첫 번째 속성(정리 1)을 사용하여 다음을 얻습니다.
실시예 2계산하다
해결책.대분수를 가분수로 변환합니다.
우리는 루트의 두 번째 속성을 사용하고 있습니다( 정리 2
), 우리는 다음을 얻습니다:
실시예 3계산하다: 
해결책.알다시피 대수학의 모든 공식은 "왼쪽에서 오른쪽으로"뿐만 아니라 "오른쪽에서 왼쪽으로"도 사용됩니다. 따라서 근의 첫 번째 속성은 로 나타낼 수 있고 반대로 식으로 대체할 수 있음을 의미합니다. 뿌리의 두 번째 속성에도 동일하게 적용됩니다. 이것을 염두에 두고 계산을 해보자.
주제에 대한 수업 및 프레젠테이션 : "n 차 루트의 속성. 정리"
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n차 루트의 속성입니다. 정리
얘들 아, 우리는 실수의 n 차 뿌리를 계속 연구합니다. 거의 모든 수학적 객체와 마찬가지로 n차의 뿌리에는 몇 가지 속성이 있습니다. 오늘 우리는 그것들을 연구할 것입니다.우리가 고려하는 모든 속성은 루트 기호 아래에 포함된 변수의 음이 아닌 값에 대해서만 공식화되고 증명됩니다.
홀수 루트 지수의 경우 음수 변수에도 적용됩니다.
정리 1. 음이 아닌 두 수의 곱의 n번째 근은 다음 숫자의 n번째 근의 곱과 같습니다. $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ 제곱[n]( b) $ .
정리를 증명합시다.
증거. 여러분, 정리를 증명하기 위해 다음을 나타내는 새로운 변수를 도입하겠습니다.
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$임을 증명해야 합니다.
다음 ID도 보유하고 있습니다.
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
그러면 $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$도 성립합니다.
두 음수가 아닌 숫자의 차수와 해당 지수가 같으면 차수 자체의 밑이 동일합니다. 따라서 $x=y*z$가 증명되어야 했습니다.
정리 2. $a≥0$, $b>0$ 및 n이 1보다 큰 자연수이면 $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.
즉, 몫의 n번째 루트는 n번째 루트의 몫과 같습니다.
증거.
이를 증명하기 위해 테이블 형태의 단순화된 체계를 사용합니다.
n번째 루트 계산의 예
예시.계산: $\sqrt(16*81*256)$.
해결책. 정리 1을 사용합시다: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
예시.
계산: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
해결책. 급진적 표현을 가분수로 나타내자: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
정리 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
예시.
계산하다:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
해결책:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ 제곱(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
정리 3. $a≥0$, k 및 n이 1보다 큰 자연수이면 등식은 참입니다. $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
자연적인 힘에 뿌리를 내리기 위해서는 이 힘에 대한 급진적인 표현을 올리는 것으로 충분하다.
증거.
$k=3$에 대한 특별한 경우를 생각해 봅시다. 정리 1을 사용합시다.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
다른 경우에도 동일하게 증명할 수 있습니다. 여러분, $k=4$ 및 $k=6$인 경우에 대해 직접 증명하십시오.
정리 4. $a≥0$ b n,k가 1보다 큰 자연수이면 등식은 참입니다. $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
루트에서 루트를 추출하려면 루트의 지수를 곱하면 충분합니다.
증거.
표를 이용하여 다시 간단히 증명해보자. 이를 증명하기 위해 테이블 형태의 단순화된 체계를 사용합니다. 
예시.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
정리 5. 루트와 루트 표현식의 인덱스에 동일한 자연수를 곱하면 루트 값은 변경되지 않습니다. $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
증거.
우리 정리의 증명 원리는 다른 예와 동일합니다. 새로운 변수를 소개하겠습니다.
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (정의에 따라).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$(정의에 따라).
우리는 마지막 평등을 거듭제곱 p로 올립니다.
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
갖다:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
즉, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, 증명해야 했습니다.
예:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5로 나누어짐).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2로 나눔).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 곱하기).
예시.
실행 작업: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
해결책.
근의 지수는 다른 숫자이므로 정리 1을 사용할 수 없지만 정리 5를 적용하면 동일한 지수를 얻을 수 있습니다.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 곱하기).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 곱하기).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
독립 솔루션을 위한 작업
1. 계산: $\sqrt(32*243*1024)$.2. 계산: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. 계산:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. 단순화:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$ 작업을 수행합니다.
