ઘર ઓન્કોલોજી સરેરાશ કેવી રીતે નક્કી કરવી. વિતરણનો સરેરાશ, ભિન્નતા અને આકાર નક્કી કરવું

ઓન્કોલોજી

સરેરાશ કેવી રીતે નક્કી કરવી. વિતરણનો સરેરાશ, ભિન્નતા અને આકાર નક્કી કરવું

અંકગણિત સરેરાશ એ આંકડાકીય સૂચક છે જે આપેલ ડેટા એરેનું સરેરાશ મૂલ્ય દર્શાવે છે. આ સૂચક અપૂર્ણાંક તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેનો અંશ એરેમાંના તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો છે, અને છેદ તેમની સંખ્યા છે. અંકગણિત સરેરાશ એ એક મહત્વપૂર્ણ ગુણાંક છે જેનો ઉપયોગ રોજિંદા ગણતરીઓમાં થાય છે.

ગુણાંકનો અર્થ

અંકગણિત સરેરાશ એ ડેટાની સરખામણી કરવા અને સ્વીકાર્ય મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટેનું પ્રાથમિક સૂચક છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિવિધ સ્ટોર્સ ચોક્કસ ઉત્પાદક પાસેથી બીયરનું કેન વેચે છે. પરંતુ એક સ્ટોરમાં તેની કિંમત 67 રુબેલ્સ છે, બીજામાં - 70 રુબેલ્સ, ત્રીજામાં - 65 રુબેલ્સ, અને છેલ્લામાં - 62 રુબેલ્સ. કિંમતોની વિશાળ શ્રેણી છે, તેથી ખરીદનારને કેનની સરેરાશ કિંમતમાં રસ હશે જેથી કરીને ઉત્પાદન ખરીદતી વખતે તે તેના ખર્ચની તુલના કરી શકે. શહેરમાં બીયરના કેન માટે સરેરાશ કિંમત છે:

સરેરાશ કિંમત = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 રુબેલ્સ.

સરેરાશ કિંમત જાણીને, તે નિર્ધારિત કરવું સરળ છે કે ઉત્પાદન ખરીદવું ક્યાં નફાકારક છે, અને તમારે ક્યાં વધુ ચૂકવણી કરવી પડશે.

આંકડાકીય ગણતરીમાં અંકગણિત સરેરાશનો સતત ઉપયોગ થાય છે જ્યાં ડેટાના એકરૂપ સમૂહનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. ઉપરના ઉદાહરણમાં, આ સમાન બ્રાન્ડની બીયરના કેનનો ભાવ છે. જો કે, અમે વિવિધ ઉત્પાદકો પાસેથી બીયરની કિંમત અથવા બીયર અને લેમોનેડની કિંમતોની તુલના કરી શકતા નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં મૂલ્યોનો ફેલાવો વધુ હશે, સરેરાશ કિંમત અસ્પષ્ટ અને અવિશ્વસનીય હશે, અને ગણતરીઓનો ખૂબ જ અર્થ. "હોસ્પિટલમાં સરેરાશ તાપમાન" ના કેરીકેચરમાં વિકૃત કરવામાં આવશે. વિજાતીય ડેટા સેટની ગણતરી કરવા માટે, જ્યારે દરેક મૂલ્ય તેના પોતાના વેઇટીંગ ગુણાંક મેળવે છે ત્યારે ભારિત અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી

ગણતરી માટેનું સૂત્ર અત્યંત સરળ છે:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

જ્યાં a એ જથ્થાનું મૂલ્ય છે, n એ મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા છે.

આ સૂચક શા માટે વાપરી શકાય? તેનો પ્રથમ અને સ્પષ્ટ ઉપયોગ આંકડાઓમાં થાય છે. લગભગ દરેક આંકડાકીય અભ્યાસ અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરે છે. આ રશિયામાં લગ્નની સરેરાશ ઉંમર, શાળાના બાળક માટે વિષયમાં સરેરાશ ગ્રેડ અથવા દરરોજ કરિયાણા પર સરેરાશ ખર્ચ હોઈ શકે છે. ઉપર જણાવ્યા મુજબ, વજનને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સરેરાશની ગણતરી કરવાથી વિચિત્ર અથવા વાહિયાત મૂલ્યો ઉત્પન્ન થઈ શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, રશિયન ફેડરેશનના પ્રમુખે એક નિવેદન આપ્યું હતું કે, આંકડા અનુસાર, રશિયનનો સરેરાશ પગાર 27,000 રુબેલ્સ છે. રશિયાના મોટાભાગના રહેવાસીઓ માટે, પગારનું આ સ્તર વાહિયાત લાગતું હતું. ગણતરી કરતી વખતે, આપણે એક તરફ અલીગાર્ક, ઔદ્યોગિક સાહસોના વડાઓ, મોટા બેંકરો અને બીજી તરફ શિક્ષકો, સફાઈ કામદારો અને વેચાણકર્તાઓના પગારને ધ્યાનમાં લઈએ તો આશ્ચર્યજનક નથી. એક વિશેષતામાં પણ સરેરાશ પગાર, ઉદાહરણ તરીકે, એકાઉન્ટન્ટ, મોસ્કો, કોસ્ટ્રોમા અને યેકાટેરિનબર્ગમાં ગંભીર તફાવતો હશે.

વિજાતીય ડેટા માટે સરેરાશની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

પગારપત્રકની પરિસ્થિતિઓમાં, દરેક મૂલ્યના વજનને ધ્યાનમાં લેવું મહત્વપૂર્ણ છે. આનો અર્થ એ છે કે ઓલિગાર્ક અને બેંકરોના પગારનું વજન, ઉદાહરણ તરીકે, 0.00001, અને વેચાણકર્તાઓના પગાર - 0.12 પ્રાપ્ત થશે. આ વાદળીમાંથી બહારની સંખ્યાઓ છે, પરંતુ તેઓ રશિયન સમાજમાં અલીગાર્ક અને સેલ્સમેનના વ્યાપને લગભગ સમજાવે છે.

આમ, વિજાતીય ડેટા સેટમાં સરેરાશ અથવા સરેરાશ મૂલ્યોની સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. નહિંતર, તમને રશિયામાં સરેરાશ પગાર 27,000 રુબેલ્સ મળશે. જો તમે ગણિતમાં તમારો સરેરાશ ગ્રેડ અથવા પસંદ કરેલા હોકી ખેલાડીએ કરેલા ગોલની સરેરાશ સંખ્યા શોધવા માંગતા હો, તો અંકગણિત સરેરાશ કેલ્ક્યુલેટર તમારા માટે યોગ્ય છે.

અમારો પ્રોગ્રામ અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી માટે એક સરળ અને અનુકૂળ કેલ્ક્યુલેટર છે. ગણતરીઓ કરવા માટે, તમારે ફક્ત પરિમાણ મૂલ્યો દાખલ કરવાની જરૂર છે.

ચાલો એક-બે ઉદાહરણો જોઈએ

સરેરાશ સ્કોર ગણતરી

ઘણા શિક્ષકો વિષય માટે વાર્ષિક ધોરણ નક્કી કરવા માટે અંકગણિત સરેરાશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. ચાલો કલ્પના કરીએ કે બાળકે ગણિતમાં નીચેના ક્વાર્ટરમાં ગુણ મેળવ્યા છે: 3, 3, 5, 4. શિક્ષક તેને કયો વાર્ષિક ગ્રેડ આપશે? ચાલો કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીએ અને અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ. શરૂ કરવા માટે, ફીલ્ડ્સની યોગ્ય સંખ્યા પસંદ કરો અને દેખાતા કોષોમાં રેટિંગ મૂલ્યો દાખલ કરો:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

શિક્ષક વિદ્યાર્થીની તરફેણમાં મૂલ્યને રાઉન્ડ કરશે, અને વિદ્યાર્થીને વર્ષ માટે નક્કર B પ્રાપ્ત થશે.

ખાવામાં આવેલી કેન્ડીની ગણતરી

ચાલો અંકગણિત સરેરાશની કેટલીક વાહિયાતતા સમજાવીએ. ચાલો કલ્પના કરીએ કે માશા અને વોવા પાસે 10 કેન્ડી હતી. માશાએ 8 કેન્ડી ખાધી, અને વોવાએ માત્ર 2. દરેક બાળકે સરેરાશ કેટલી કેન્ડી ખાધી? કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, તે ગણતરી કરવી સરળ છે કે સરેરાશ બાળકોએ 5 કેન્ડી ખાધી છે, જે વાસ્તવિકતા અને સામાન્ય સમજ સાથે સંપૂર્ણપણે અસંગત છે. આ ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે અર્થપૂર્ણ ડેટા સેટ માટે અંકગણિત સરેરાશ મહત્વપૂર્ણ છે.

નિષ્કર્ષ

અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી ઘણા વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. આ સૂચક માત્ર આંકડાકીય ગણતરીઓમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, મિકેનિક્સ, અર્થશાસ્ત્ર, દવા અથવા નાણામાં પણ લોકપ્રિય છે. અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે સહાયક તરીકે અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો.

મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, ડેટા અમુક કેન્દ્રીય બિંદુની આસપાસ કેન્દ્રિત હોય છે. આમ, ડેટાના કોઈપણ સેટનું વર્ણન કરવા માટે, તે સરેરાશ મૂલ્ય સૂચવવા માટે પૂરતું છે. ચાલો આપણે ક્રમિક રીતે ત્રણ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ જેનો ઉપયોગ વિતરણના સરેરાશ મૂલ્યનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે: અંકગણિત સરેરાશ, મધ્ય અને સ્થિતિ.

સરેરાશ

અંકગણિત સરેરાશ (ઘણીવાર ફક્ત સરેરાશ કહેવાય છે) એ વિતરણના સરેરાશનો સૌથી સામાન્ય અંદાજ છે. તે તમામ અવલોકન કરેલ સંખ્યાત્મક મૂલ્યોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવાનું પરિણામ છે. નંબરો ધરાવતા નમૂના માટે X 1, X 2, …, Xn, નમૂનાનો અર્થ (દ્વારા સૂચિત ) બરાબર = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, અથવા

નમૂનાનો અર્થ ક્યાં છે, n- નમૂનાનું કદ, એક્સi- નમૂનાનું i-th તત્વ.

નોંધ ડાઉનલોડ કરો અથવા ફોર્મેટ કરો, ઉદાહરણો ફોર્મેટમાં

15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડ્સ (આકૃતિ 1) ના પાંચ વર્ષના સરેરાશ વાર્ષિક વળતરની અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાનું વિચારો.

ચોખા. 1. 15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડનું સરેરાશ વાર્ષિક વળતર

નમૂનાનો સરેરાશ નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

આ એક સારું વળતર છે, ખાસ કરીને 3-4% વળતરની સરખામણીમાં જે બેંક અથવા ક્રેડિટ યુનિયન થાપણદારોએ સમાન સમયગાળા દરમિયાન મેળવે છે. જો આપણે વળતરને સૉર્ટ કરીએ, તો તે જોવાનું સરળ છે કે આઠ ફંડ્સનું વળતર સરેરાશ કરતાં વધુ છે, અને સાત - સરેરાશ કરતાં ઓછું. અંકગણિત સરેરાશ સંતુલન બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે, જેથી ઓછા વળતરવાળા ફંડ્સ ઊંચા વળતરવાળા ભંડોળને સંતુલિત કરે છે. નમૂનાના તમામ ઘટકો સરેરાશની ગણતરીમાં સામેલ છે. વિતરણના સરેરાશના અન્ય કોઈપણ અંદાજમાં આ ગુણધર્મ નથી.

તમારે અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી ક્યારે કરવી જોઈએ?અંકગણિત સરેરાશ નમૂનાના તમામ ઘટકો પર આધારિત હોવાથી, આત્યંતિક મૂલ્યોની હાજરી પરિણામને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરે છે. આવી પરિસ્થિતિઓમાં, અંકગણિત સરેરાશ આંકડાકીય માહિતીના અર્થને વિકૃત કરી શકે છે. તેથી, આત્યંતિક મૂલ્યો ધરાવતા ડેટા સેટનું વર્ણન કરતી વખતે, મધ્યક અથવા અંકગણિત સરેરાશ અને મધ્યક દર્શાવવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે નમૂનામાંથી RS ઇમર્જિંગ ગ્રોથ ફંડના વળતરને દૂર કરીએ, તો 14 ફંડના વળતરની નમૂના સરેરાશ લગભગ 1% થી 5.19% ઘટી જાય છે.

મધ્યક

મધ્યક સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ શ્રેણીના મધ્યમ મૂલ્યને રજૂ કરે છે. જો એરેમાં પુનરાવર્તિત સંખ્યાઓ શામેલ ન હોય, તો તેના અડધા ઘટકો કરતાં ઓછા હશે અને અડધા મધ્યક કરતાં વધુ હશે. જો નમૂનામાં આત્યંતિક મૂલ્યો હોય, તો સરેરાશનો અંદાજ કાઢવા માટે અંકગણિત સરેરાશને બદલે મધ્યકનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે. નમૂનાના મધ્યકની ગણતરી કરવા માટે, તેને પ્રથમ ઓર્ડર આપવો આવશ્યક છે.

આ સૂત્ર અસ્પષ્ટ છે. તેનું પરિણામ એ સંખ્યા સમ કે બેકી છે તેના પર આધાર રાખે છે n:

જો નમૂનામાં ઘટકોની વિચિત્ર સંખ્યા હોય, તો મધ્યક છે (n+1)/2-મું તત્વ.
જો નમૂનામાં ઘટકોની સમાન સંખ્યા હોય, તો મધ્યક નમૂનાના બે મધ્યમ ઘટકોની વચ્ચે આવેલું છે અને આ બે ઘટકો પર ગણતરી કરાયેલ અંકગણિત સરેરાશની બરાબર છે.

15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડના વળતર ધરાવતા નમૂનાના મધ્યકની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પહેલા કાચા ડેટાને સૉર્ટ કરવાની જરૂર છે (આકૃતિ 2). પછી મધ્યક નમૂનાના મધ્ય તત્વની સંખ્યાની વિરુદ્ધ હશે; અમારા ઉદાહરણ નંબર 8 માં. એક્સેલ પાસે ખાસ ફંક્શન =MEDIAN() છે જે ક્રમ વગરના એરે સાથે પણ કામ કરે છે.

ચોખા. 2. સરેરાશ 15 ફંડ

આમ, મધ્ય 6.5 છે. આનો અર્થ એ છે કે અત્યંત ઊંચા જોખમવાળા ફંડના અડધા ભાગ પરનું વળતર 6.5 કરતાં વધી જતું નથી અને બીજા અડધા ભંડોળનું વળતર તેનાથી વધી જાય છે. નોંધ કરો કે 6.5 નો મધ્યક 6.08 ના સરેરાશ કરતા ઘણો મોટો નથી.

જો આપણે નમૂનામાંથી RS ઇમર્જિંગ ગ્રોથ ફંડનું વળતર કાઢી નાખીએ, તો બાકીના 14 ફંડનો મધ્યક ઘટીને 6.2% થાય છે, એટલે કે અંકગણિત સરેરાશ (આકૃતિ 3) જેટલું નોંધપાત્ર નથી.

ચોખા. 3. સરેરાશ 14 ફંડ્સ

ફેશન

આ શબ્દ સૌપ્રથમ પિયર્સન દ્વારા 1894 માં બનાવવામાં આવ્યો હતો. ફેશન એ સંખ્યા છે જે નમૂનામાં મોટાભાગે જોવા મળે છે (સૌથી વધુ ફેશનેબલ). ફેશન સારી રીતે વર્ણવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચાલતા રોકવા માટે ટ્રાફિક લાઇટ સિગ્નલ પર ડ્રાઇવરોની લાક્ષણિક પ્રતિક્રિયા. ફેશનના ઉપયોગનું ઉત્તમ ઉદાહરણ જૂતાના કદ અથવા વૉલપેપરના રંગની પસંદગી છે. જો વિતરણમાં અનેક મોડ્સ હોય, તો તે મલ્ટિમોડલ અથવા મલ્ટિમોડલ (બે અથવા વધુ "શિખરો" ધરાવે છે) કહેવાય છે. વિતરણની બહુવિધતા અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા ચલની પ્રકૃતિ વિશે મહત્વપૂર્ણ માહિતી પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાજશાસ્ત્રીય સર્વેક્ષણોમાં, જો કોઈ ચલ કોઈ વસ્તુ પ્રત્યેની પસંદગી અથવા વલણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો બહુવિધતાનો અર્થ એવો થઈ શકે છે કે ઘણા અલગ અલગ અભિપ્રાયો છે. મલ્ટિમોડેલિટી એ સૂચક તરીકે પણ કામ કરે છે કે નમૂના એકરૂપ નથી અને અવલોકનો બે અથવા વધુ "ઓવરલેપિંગ" વિતરણો દ્વારા જનરેટ થઈ શકે છે. અંકગણિત સરેરાશથી વિપરીત, આઉટલાયર્સ મોડને અસર કરતા નથી. સતત વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે, જેમ કે મ્યુચ્યુઅલ ફંડના સરેરાશ વાર્ષિક વળતર માટે, મોડ ક્યારેક અસ્તિત્વમાં નથી (અથવા તેનો કોઈ અર્થ નથી). આ સૂચકાંકો ખૂબ જ અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે, તેથી પુનરાવર્તિત મૂલ્યો અત્યંત દુર્લભ છે.

ચતુર્થાંશ

ચતુર્થાંશ એ મોટા આંકડાકીય નમૂનાઓના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરતી વખતે ડેટાના વિતરણનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે મોટાભાગે ઉપયોગમાં લેવાતા મેટ્રિક્સ છે. જ્યારે મધ્યક ક્રમાંકિત એરેને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરે છે (એરેના ઘટકોના 50% મધ્ય કરતા ઓછા અને 50% મોટા હોય છે), ચતુર્થાંશ ક્રમાંકિત ડેટા સેટને ચાર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. Q 1 , મધ્યક અને Q 3 ની કિંમતો અનુક્રમે 25મી, 50મી અને 75મી પર્સન્ટાઈલ છે. પ્રથમ ચતુર્થાંશ Q 1 એ એક સંખ્યા છે જે નમૂનાને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: 25% તત્વો તેના કરતા ઓછા છે અને 75% પ્રથમ ચતુર્થાંશ કરતા વધારે છે.

ત્રીજો ચતુર્થાંશ Q 3 એ એવી સંખ્યા છે જે નમૂનાને પણ બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: 75% તત્વો તેનાથી ઓછા છે અને 25% ત્રીજા ચતુર્થાંશ કરતાં વધુ છે.

2007 પહેલા એક્સેલના વર્ઝનમાં ક્વાર્ટાઈલ્સની ગણતરી કરવા માટે, =QUARTILE(એરે,પાર્ટ) ફંક્શનનો ઉપયોગ કરો. એક્સેલ 2010 થી શરૂ કરીને, બે કાર્યોનો ઉપયોગ થાય છે:

=QUARTILE.ON(એરે, ભાગ)
=QUARTILE.EXC(એરે, ભાગ)

આ બે કાર્યો સહેજ અલગ મૂલ્યો આપે છે (આકૃતિ 4). ઉદાહરણ તરીકે, 15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડના સરેરાશ વાર્ષિક વળતર ધરાવતા નમૂનાના ચતુર્થાંશની ગણતરી કરતી વખતે, અનુક્રમે Q 1 = 1.8 અથવા –0.7 QUARTILE.IN અને QUARTILE.EX માટે. માર્ગ દ્વારા, અગાઉ વપરાયેલ QUARTILE કાર્ય આધુનિક QUARTILE.ON કાર્યને અનુરૂપ છે. ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને એક્સેલમાં ક્વાર્ટાઇલ્સની ગણતરી કરવા માટે, ડેટા એરેને ઓર્ડર કરવાની જરૂર નથી.

ચોખા. 4. એક્સેલમાં ચતુર્થાંશની ગણતરી

ચાલો ફરીથી ભાર આપીએ. એક્સેલ અવિભાજ્ય માટે ચતુર્થાંશની ગણતરી કરી શકે છે અલગ શ્રેણી, રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો ધરાવતો. આવર્તન-આધારિત વિતરણ માટે ચતુર્થાંશની ગણતરી વિભાગમાં નીચે આપેલ છે.

ભૌમિતિક સરેરાશ

અંકગણિત સરેરાશથી વિપરીત, ભૌમિતિક સરેરાશ તમને સમય જતાં ચલમાં ફેરફારની ડિગ્રીનો અંદાજ કાઢવા દે છે. ભૌમિતિક સરેરાશ મૂળ છે nકાર્યમાંથી મી ડિગ્રી nજથ્થાઓ (એક્સેલમાં =SRGEOM ફંક્શનનો ઉપયોગ થાય છે):

જી= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

સમાન પરિમાણ - નફાના દરનું ભૌમિતિક સરેરાશ મૂલ્ય - સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

જ્યાં આર આઇ- માટે નફાનો દર iમી સમયગાળો.

ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે પ્રારંભિક રોકાણ $100,000 છે. પ્રથમ વર્ષના અંત સુધીમાં, તે ઘટીને $50,000 થઈ જાય છે, અને બીજા વર્ષના અંત સુધીમાં તે $100,000ના પ્રારંભિક સ્તરે પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. આ રોકાણ પર વળતરનો દર બે કરતાં વધુ -વર્ષનો સમયગાળો 0 બરાબર છે, કારણ કે ભંડોળની પ્રારંભિક અને અંતિમ રકમ એકબીજાની સમાન છે. જો કે, વળતરના વાર્ષિક દરોની અંકગણિત સરેરાશ = (–0.5 + 1) / 2 = 0.25 અથવા 25% છે, કારણ કે પ્રથમ વર્ષમાં વળતરનો દર R 1 = (50,000 – 100,000) / 100,000 = –0.5 , અને બીજામાં R 2 = (100,000 – 50,000) / 50,000 = 1. તે જ સમયે, બે વર્ષ માટે નફાના દરનું ભૌમિતિક સરેરાશ મૂલ્ય બરાબર છે: G = [(1–0.5) * (1+ 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. આમ, ભૌમિતિક અર્થ બે વર્ષના સમયગાળામાં રોકાણના જથ્થામાં ફેરફાર (વધુ ચોક્કસ રીતે, ફેરફારોની ગેરહાજરી) કરતાં વધુ ચોક્કસ રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે. અંકગણિત સરેરાશ.

રસપ્રદ તથ્યો.પ્રથમ, ભૌમિતિક સરેરાશ હંમેશા સમાન સંખ્યાઓના અંકગણિત સરેરાશ કરતા ઓછો હશે. કેસ સિવાય જ્યારે લેવામાં આવેલી બધી સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન હોય. બીજું, કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈને, તમે સમજી શકો છો કે સરેરાશને ભૌમિતિક કેમ કહેવામાં આવે છે. કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ, કર્ણ પરના પગના અંદાજો વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણ છે, અને દરેક પગ એ કર્ણ અને તેના કર્ણ પરના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણ છે (ફિગ. 5). આ બે (લંબાઈ) સેગમેન્ટના ભૌમિતિક સરેરાશને બાંધવાની ભૌમિતિક રીત આપે છે: તમારે વ્યાસ તરીકે આ બે વિભાગોના સરવાળા પર વર્તુળ બનાવવાની જરૂર છે, પછી વર્તુળ સાથે આંતરછેદ સુધી તેમના જોડાણના બિંદુથી ઊંચાઈ પુનઃસ્થાપિત કરવામાં આવે છે. ઇચ્છિત મૂલ્ય આપશે:

ચોખા. 5. ભૌમિતિક સરેરાશની ભૌમિતિક પ્રકૃતિ (વિકિપીડિયામાંથી આકૃતિ)

સંખ્યાત્મક ડેટાની બીજી મહત્વપૂર્ણ મિલકત તેમની છે વિવિધતા, માહિતી વિખેરવાની ડિગ્રી લાક્ષણિકતા. બે અલગ-અલગ નમૂનાઓ અર્થ અને ભિન્નતા બંનેમાં ભિન્ન હોઈ શકે છે. જો કે, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 6 અને 7, બે નમૂનાઓમાં સમાન ભિન્નતા હોઈ શકે છે પરંતુ વિવિધ માધ્યમો, અથવા સમાન માધ્યમો અને સંપૂર્ણપણે અલગ ભિન્નતાઓ હોઈ શકે છે. ફિગમાં બહુકોણ B ને અનુરૂપ ડેટા. 7, જે ડેટા પર બહુકોણ A બનાવવામાં આવ્યો હતો તેના કરતા ઘણો ઓછો બદલો.

ચોખા. 6. સમાન સ્પ્રેડ અને અલગ-અલગ સરેરાશ મૂલ્યો સાથે બે સપ્રમાણ ઘંટડી આકારના વિતરણો

ચોખા. 7. સમાન સરેરાશ મૂલ્યો અને વિવિધ સ્પ્રેડ સાથે બે સપ્રમાણ ઘંટડી આકારનું વિતરણ

ડેટા ભિન્નતાના પાંચ અંદાજો છે:

અવકાશ
ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જ,
વિક્ષેપ,
પ્રમાણભૂત વિચલન,
વિવિધતાનો ગુણાંક.

અવકાશ

શ્રેણી એ નમૂનાના સૌથી મોટા અને નાના ઘટકો વચ્ચેનો તફાવત છે:

શ્રેણી = Xમહત્તમ - એક્સમિનિ

15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડના સરેરાશ વાર્ષિક વળતર ધરાવતા નમૂનાની શ્રેણીની ગણતરી ઓર્ડર કરેલ એરેનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે (આકૃતિ 4 જુઓ): શ્રેણી = 18.5 – (–6.1) = 24.6. આનો અર્થ એ છે કે ખૂબ જ ઊંચા જોખમવાળા ફંડના સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછા સરેરાશ વાર્ષિક વળતર વચ્ચેનો તફાવત 24.6% છે.

શ્રેણી ડેટાના એકંદર ફેલાવાને માપે છે. જો કે નમૂના શ્રેણી એ ડેટાના એકંદર ફેલાવાનો ખૂબ જ સરળ અંદાજ છે, તેની નબળાઈ એ છે કે તે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ તત્વો વચ્ચે ડેટા કેવી રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે તે બરાબર ધ્યાનમાં લેતું નથી. આ અસર ફિગમાં સ્પષ્ટપણે દેખાય છે. 8, જે સમાન શ્રેણી ધરાવતા નમૂનાઓને દર્શાવે છે. સ્કેલ B દર્શાવે છે કે જો નમૂનામાં ઓછામાં ઓછું એક આત્યંતિક મૂલ્ય હોય, તો નમૂના શ્રેણી એ ડેટાના ફેલાવાનો ખૂબ જ અચોક્કસ અંદાજ છે.

ચોખા. 8. સમાન શ્રેણી સાથે ત્રણ નમૂનાઓની સરખામણી; ત્રિકોણ સ્કેલના સમર્થનનું પ્રતીક છે, અને તેનું સ્થાન નમૂનાના સરેરાશને અનુરૂપ છે

ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ શ્રેણી

ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ, અથવા સરેરાશ, શ્રેણી એ નમૂનાના ત્રીજા અને પ્રથમ ચતુર્થાંશ વચ્ચેનો તફાવત છે:

ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જ = Q 3 - Q 1

આ મૂલ્ય અમને 50% તત્વોના સ્કેટરનો અંદાજ કાઢવા અને આત્યંતિક તત્વોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લેતા નથી. 15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડના સરેરાશ વાર્ષિક વળતર ધરાવતા નમૂનાની ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જની ગણતરી ફિગમાંના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. 4 (ઉદાહરણ તરીકે, QUARTILE.EXC કાર્ય માટે): ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ શ્રેણી = 9.8 – (–0.7) = 10.5. 9.8 અને -0.7 નંબરો દ્વારા બંધાયેલ અંતરાલને ઘણીવાર મધ્ય અર્ધ કહેવામાં આવે છે.

એ નોંધવું જોઇએ કે Q 1 અને Q 3 ની કિંમતો, અને તેથી ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જ, આઉટલાયર્સની હાજરી પર આધાર રાખતી નથી, કારણ કે તેમની ગણતરીમાં Q 1 કરતાં ઓછી અથવા વધુ હોય તેવા કોઈપણ મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી. Q 3 કરતાં. સારાંશના પગલાં જેમ કે મધ્ય, પ્રથમ અને તૃતીય ચતુર્થાંશ, અને ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જ કે જે આઉટલિયર્સથી પ્રભાવિત નથી તેને મજબૂત પગલાં કહેવામાં આવે છે.

જો કે શ્રેણી અને ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જ અનુક્રમે નમૂનાના એકંદર અને સરેરાશ ફેલાવાના અંદાજો પ્રદાન કરે છે, આમાંથી કોઈ પણ અંદાજ ડેટા કેવી રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે તે બરાબર ધ્યાનમાં લેતું નથી. વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલનઆ ખામીથી વંચિત છે. આ સૂચકાંકો તમને સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ ડેટાની વધઘટની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. નમૂના તફાવતદરેક નમૂનાના ઘટક અને નમૂનાના સરેરાશ વચ્ચેના તફાવતોના વર્ગોમાંથી ગણવામાં આવતા અંકગણિત સરેરાશનો અંદાજ છે. નમૂના X 1, X 2, ... X n માટે, નમૂનાનો તફાવત (ચિહ્ન S 2 દ્વારા સૂચિત નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

સામાન્ય રીતે, સેમ્પલ વેરિઅન્સ એ સેમ્પલ એલિમેન્ટ્સ અને સેમ્પલ મીન વચ્ચેના તફાવતોના ચોરસનો સરવાળો છે, જે સેમ્પલ સાઈઝ માઈનસ વનના સમાન મૂલ્યથી વિભાજિત થાય છે:

જ્યાં - અંકગણિત સરેરાશ, n- નમૂનાનું કદ, X i - iમી પસંદગી તત્વ એક્સ. વર્ઝન 2007 પહેલા એક્સેલમાં, સેમ્પલ વેરિઅન્સની ગણતરી કરવા માટે =VARIN() ફંક્શનનો ઉપયોગ થતો હતો; વર્ઝન 2010 થી, =VARIAN() ફંક્શનનો ઉપયોગ થાય છે.

ડેટાના ફેલાવાનો સૌથી વ્યવહારુ અને વ્યાપકપણે સ્વીકૃત અંદાજ છે નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન. આ સૂચક S પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તે નમૂનાના વિચલનના વર્ગમૂળની બરાબર છે:

વર્ઝન 2007 પહેલા Excel માં, ફંક્શન =STDEV.() નો ઉપયોગ પ્રમાણભૂત નમૂનાના વિચલનની ગણતરી કરવા માટે થતો હતો; સંસ્કરણ 2010 થી, ફંક્શન =STDEV.V() નો ઉપયોગ થાય છે. આ કાર્યોની ગણતરી કરવા માટે, ડેટા એરે અવ્યવસ્થિત હોઈ શકે છે.

નમૂનો તફાવત કે નમૂનો પ્રમાણભૂત વિચલન નકારાત્મક હોઈ શકે નહીં. એકમાત્ર પરિસ્થિતિ કે જેમાં સૂચકાંકો S 2 અને S શૂન્ય હોઈ શકે છે જો નમૂનાના તમામ ઘટકો એકબીજા સાથે સમાન હોય. આ સંપૂર્ણપણે અસંભવિત કિસ્સામાં, શ્રેણી અને ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ શ્રેણી પણ શૂન્ય છે.

સંખ્યાત્મક માહિતી સ્વાભાવિક રીતે ચલ છે. કોઈપણ ચલ ઘણા વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિવિધ મ્યુચ્યુઅલ ફંડમાં વળતર અને નુકસાનના અલગ-અલગ દર હોય છે. આંકડાકીય માહિતીની પરિવર્તનશીલતાને લીધે, માત્ર સરેરાશના અંદાજોનો અભ્યાસ કરવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, જે પ્રકૃતિમાં સારાંશ છે, પણ તફાવતના અંદાજો પણ છે, જે ડેટાના ફેલાવાને લાક્ષણિકતા આપે છે.

વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન તમને સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસના ડેટાના પ્રસારનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નિર્ધારિત કરો કે કેટલા નમૂના ઘટકો સરેરાશ કરતાં ઓછા છે અને કેટલા વધારે છે. વિક્ષેપમાં કેટલાક મૂલ્યવાન ગાણિતિક ગુણધર્મો છે. જો કે, તેનું મૂલ્ય માપનના એકમનો ચોરસ છે - ચોરસ ટકા, ચોરસ ડોલર, ચોરસ ઇંચ, વગેરે. તેથી, વિક્ષેપનું કુદરતી માપ પ્રમાણભૂત વિચલન છે, જે આવકની ટકાવારી, ડોલર અથવા ઇંચના સામાન્ય એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે.

માનક વિચલન તમને સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસના નમૂના તત્વોના વિવિધતાના જથ્થાનો અંદાજ કાઢવા દે છે. લગભગ તમામ પરિસ્થિતિઓમાં, મોટાભાગના અવલોકન કરેલ મૂલ્યો સરેરાશથી વત્તા અથવા ઓછા એક પ્રમાણભૂત વિચલનની શ્રેણીમાં આવેલા છે. પરિણામે, નમૂનાના ઘટકોના અંકગણિત સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત નમૂનાના વિચલનને જાણીને, તે અંતરાલ નક્કી કરવાનું શક્ય છે કે જેનો મોટાભાગનો ડેટા સંબંધિત છે.

15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડ માટે વળતરનું પ્રમાણભૂત વિચલન 6.6 છે (આકૃતિ 9). આનો અર્થ એ છે કે મોટા ભાગના ભંડોળની નફાકારકતા સરેરાશ મૂલ્યથી 6.6% કરતાં વધુ અલગ નથી (એટલે કે, તે આની શ્રેણીમાં વધઘટ થાય છે. - એસ= 6.2 – 6.6 = –0.4 થી +એસ= 12.8). હકીકતમાં, ફંડના 53.3% (15 માંથી 8) નું પાંચ વર્ષનું સરેરાશ વાર્ષિક વળતર આ શ્રેણીમાં આવેલું છે.

ચોખા. 9. નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન

નોંધ કરો કે જ્યારે વર્ગના તફાવતોનો સારાંશ આપે છે, ત્યારે નમૂનો આઇટમ્સ જે સરેરાશથી વધુ દૂર હોય છે તે સરેરાશની નજીકની વસ્તુઓ કરતાં વધુ ભારે ભારિત કરવામાં આવે છે. આ ગુણધર્મ એ મુખ્ય કારણ છે કે શા માટે અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ મોટાભાગે વિતરણના સરેરાશનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે.

વિવિધતાનો ગુણાંક

સ્કેટરના અગાઉના અંદાજોથી વિપરીત, વિવિધતાના ગુણાંક એ સંબંધિત અંદાજ છે. તે હંમેશા ટકાવારી તરીકે માપવામાં આવે છે અને મૂળ ડેટાના એકમોમાં નહીં. ભિન્નતાના ગુણાંક, પ્રતીકો CV દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જે સરેરાશની આસપાસના ડેટાના ફેલાવાને માપે છે. ભિન્નતાનો ગુણાંક એ અંકગણિત સરેરાશ દ્વારા વિભાજિત અને 100% દ્વારા ગુણાકાર કરેલ પ્રમાણભૂત વિચલન સમાન છે:

જ્યાં એસ- પ્રમાણભૂત નમૂના વિચલન, - નમૂના સરેરાશ.

વિવિધતાનો ગુણાંક તમને બે નમૂનાઓની તુલના કરવાની મંજૂરી આપે છે જેના તત્વો માપનના વિવિધ એકમોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેઇલ ડિલિવરી સેવાના મેનેજર તેના ટ્રકના કાફલાને નવીકરણ કરવાનો ઇરાદો ધરાવે છે. પેકેજો લોડ કરતી વખતે, ધ્યાનમાં લેવાના બે નિયંત્રણો છે: દરેક પેકેજનું વજન (પાઉન્ડમાં) અને વોલ્યુમ (ઘન ફૂટમાં). ધારો કે 200 બેગ ધરાવતા નમૂનામાં, સરેરાશ વજન 26.0 પાઉન્ડ છે, વજનનું પ્રમાણભૂત વિચલન 3.9 પાઉન્ડ છે, સરેરાશ બેગનું પ્રમાણ 8.8 ક્યુબિક ફીટ છે અને વોલ્યુમનું પ્રમાણભૂત વિચલન 2.2 ઘન ફીટ છે. પેકેજોના વજન અને વોલ્યુમમાં તફાવતની તુલના કેવી રીતે કરવી?

વજન અને જથ્થાના માપનના એકમો એકબીજાથી અલગ હોવાથી, મેનેજરે આ જથ્થાઓના સંબંધિત ફેલાવાની તુલના કરવી જોઈએ. વજનની વિવિધતાનો ગુણાંક CV W = 3.9 / 26.0 * 100% = 15% છે, અને વોલ્યુમની વિવિધતાનો ગુણાંક CV V = 2.2 / 8.8 * 100% = 25% છે. આમ, પેકેટના જથ્થામાં સંબંધિત ભિન્નતા તેમના વજનમાં સંબંધિત વિવિધતા કરતાં ઘણી વધારે છે.

વિતરણ ફોર્મ

નમૂનાની ત્રીજી મહત્વની મિલકત તેના વિતરણનો આકાર છે. આ વિતરણ સપ્રમાણ અથવા અસમપ્રમાણ હોઈ શકે છે. વિતરણના આકારનું વર્ણન કરવા માટે, તેના સરેરાશ અને મધ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. જો બે સમાન હોય, તો ચલને સમપ્રમાણરીતે વિતરિત ગણવામાં આવે છે. જો ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય મધ્યક કરતા વધારે હોય, તો તેના વિતરણમાં સકારાત્મક વિકૃતિ હોય છે (ફિગ. 10). જો મધ્યક સરેરાશ કરતા વધારે હોય, તો ચલનું વિતરણ નકારાત્મક રીતે ત્રાંસુ છે. સકારાત્મક વિકૃતિ ત્યારે થાય છે જ્યારે સરેરાશ વધીને અસામાન્ય રીતે ઊંચા મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. જ્યારે સરેરાશ અસામાન્ય રીતે નાના મૂલ્યો સુધી ઘટે છે ત્યારે નકારાત્મક વિકૃતિઓ થાય છે. ચલને સમપ્રમાણરીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે જો તે કોઈપણ દિશામાં કોઈપણ આત્યંતિક મૂલ્યો લેતું નથી, જેથી ચલના મોટા અને નાના મૂલ્યો એકબીજાને રદ કરે.

ચોખા. 10. ત્રણ પ્રકારના વિતરણ

સ્કેલ A પર દર્શાવેલ ડેટા નકારાત્મક રીતે ત્રાંસી છે. આ આંકડો અસામાન્ય રીતે નાના મૂલ્યોની હાજરીને કારણે લાંબી પૂંછડી અને ડાબી બાજુનો ત્રાંસી દર્શાવે છે. આ અત્યંત નાના મૂલ્યો સરેરાશ મૂલ્યને ડાબી તરફ શિફ્ટ કરે છે, જે તેને મધ્ય કરતાં ઓછું બનાવે છે. સ્કેલ B પર દર્શાવેલ ડેટા સમપ્રમાણરીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. વિતરણના ડાબા અને જમણા ભાગો એ પોતાની પ્રતિબિંબિત છબીઓ છે. મોટા અને નાના મૂલ્યો એકબીજાને સંતુલિત કરે છે, અને સરેરાશ અને મધ્ય સમાન છે. સ્કેલ B પર દર્શાવેલ ડેટા હકારાત્મક રીતે ત્રાંસી છે. આ આંકડો એક લાંબી પૂંછડી અને અસામાન્ય રીતે ઊંચા મૂલ્યોની હાજરીને કારણે જમણી તરફનો ત્રાંસી દર્શાવે છે. આ ખૂબ મોટા મૂલ્યો સરેરાશને જમણી બાજુએ ખસેડે છે, તેને મધ્ય કરતા મોટો બનાવે છે.

એક્સેલમાં, વર્ણનાત્મક આંકડા એડ-ઇનનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે વિશ્લેષણ પેકેજ. મેનુ મારફતે જાઓ ડેટા → માહિતી વિશ્લેષણ, ખુલતી વિંડોમાં, લાઇન પસંદ કરો વર્ણનાત્મક આંકડાઅને ક્લિક કરો બરાબર. બારી માં વર્ણનાત્મક આંકડાસૂચવવાની ખાતરી કરો ઇનપુટ અંતરાલ(ફિગ. 11). જો તમે મૂળ ડેટાની સમાન શીટ પર વર્ણનાત્મક આંકડા જોવા માંગતા હો, તો રેડિયો બટન પસંદ કરો આઉટપુટ અંતરાલઅને કોષનો ઉલ્લેખ કરો જ્યાં પ્રદર્શિત આંકડાઓનો ઉપરનો ડાબો ખૂણો મૂકવો જોઈએ (અમારા ઉદાહરણમાં, $C$1). જો તમે નવી શીટ અથવા નવી વર્કબુકમાં ડેટા આઉટપુટ કરવા માંગતા હો, તો તમારે ફક્ત યોગ્ય રેડિયો બટન પસંદ કરવાની જરૂર છે. બાજુના બોક્સને ચેક કરો સારાંશ આંકડા. જો ઇચ્છિત હોય, તો તમે પણ પસંદ કરી શકો છો મુશ્કેલી સ્તર,kth સૌથી નાનું અનેkth સૌથી મોટું.

જો ડિપોઝિટ પર હોય ડેટાવિસ્તારમાં વિશ્લેષણતમને ચિહ્ન દેખાતું નથી માહિતી વિશ્લેષણ, તમારે પહેલા એડ-ઓન ઇન્સ્ટોલ કરવાની જરૂર છે વિશ્લેષણ પેકેજ(ઉદાહરણ તરીકે જુઓ).

ચોખા. 11. એડ-ઇનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરાયેલા જોખમના ઉચ્ચ સ્તર સાથેના ભંડોળના પાંચ વર્ષના સરેરાશ વાર્ષિક વળતરના વર્ણનાત્મક આંકડા માહિતી વિશ્લેષણએક્સેલ પ્રોગ્રામ્સ

Excel ઉપર ચર્ચા કરેલ સંખ્યાબંધ આંકડાઓની ગણતરી કરે છે: સરેરાશ, મધ્ય, સ્થિતિ, પ્રમાણભૂત વિચલન, વિચલન, શ્રેણી ( અંતરાલ), લઘુત્તમ, મહત્તમ અને નમૂનાનું કદ ( તપાસો). એક્સેલ કેટલાક આંકડાઓની પણ ગણતરી કરે છે જે અમારા માટે નવા છે: પ્રમાણભૂત ભૂલ, કર્ટોસિસ અને સ્ક્યુનેસ. માનક ભૂલનમૂનાના કદના વર્ગમૂળ દ્વારા વિભાજિત પ્રમાણભૂત વિચલનની સમાન. અસમપ્રમાણતાવિતરણની સમપ્રમાણતામાંથી વિચલનને લાક્ષણિકતા આપે છે અને તે એક કાર્ય છે જે નમૂના તત્વો અને સરેરાશ મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતના ઘન પર આધાર રાખે છે. કર્ટોસિસ એ વિતરણની પૂંછડીઓની તુલનામાં સરેરાશની આસપાસના ડેટાની સંબંધિત સાંદ્રતાનું માપ છે અને તે નમૂના તત્વો અને ચોથા ઘાત સુધી વધેલા સરેરાશ વચ્ચેના તફાવતો પર આધાર રાખે છે.

વસ્તી માટે વર્ણનાત્મક આંકડાઓની ગણતરી

ઉપર ચર્ચા કરેલ વિતરણનો સરેરાશ, ફેલાવો અને આકાર એ નમૂનામાંથી નક્કી કરાયેલી લાક્ષણિકતાઓ છે. જો કે, જો ડેટા સેટમાં સમગ્ર વસ્તીના સંખ્યાત્મક માપનો સમાવેશ થાય છે, તો તેના પરિમાણોની ગણતરી કરી શકાય છે. આવા પરિમાણોમાં અપેક્ષિત મૂલ્ય, વિક્ષેપ અને વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનનો સમાવેશ થાય છે.

અપેક્ષિત મૂલ્યવસ્તીના કદ દ્વારા વિભાજિત વસ્તીના તમામ મૂલ્યોના સરવાળાની સમાન:

જ્યાં µ - અપેક્ષિત મૂલ્ય, એક્સi- iચલનું અવલોકન એક્સ, એન- સામાન્ય વસ્તીનું પ્રમાણ. Excel માં, ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરવા માટે, એ જ ફંક્શનનો ઉપયોગ અંકગણિત સરેરાશ માટે થાય છે: =AVERAGE().

વસ્તી તફાવતસામાન્ય વસ્તીના તત્વો અને સાદડી વચ્ચેના તફાવતોના વર્ગોના સરવાળાની બરાબર. વસ્તીના કદ દ્વારા વિભાજિત અપેક્ષા:

જ્યાં σ 2- સામાન્ય વસ્તીનું વિખેરવું. વર્ઝન 2007 પહેલાના એક્સેલમાં, વર્ઝન 2010 =VARP() થી શરૂ કરીને, ફંક્શન =VARP() નો ઉપયોગ વસ્તીના ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલનવસ્તી તફાવતના વર્ગમૂળની સમાન:

વર્ઝન 2007 પહેલાના એક્સેલમાં, =STDEV() ફંક્શનનો ઉપયોગ વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવા માટે થાય છે, જે વર્ઝન 2010 =STDEV.Y() થી શરૂ થાય છે. નોંધ કરો કે વસ્તી ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલન માટેના સૂત્રો નમૂનાના તફાવત અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી માટેના સૂત્રોથી અલગ છે. નમૂનાના આંકડાઓની ગણતરી કરતી વખતે એસ 2અને એસઅપૂર્ણાંકનો છેદ છે n – 1, અને પરિમાણોની ગણતરી કરતી વખતે σ 2અને σ - સામાન્ય વસ્તીનું પ્રમાણ એન.

અંગૂઠો નિયમ

મોટાભાગની પરિસ્થિતિઓમાં, અવલોકનોનો મોટો હિસ્સો મધ્યની આસપાસ કેન્દ્રિત હોય છે, એક ક્લસ્ટર બનાવે છે. સકારાત્મક ત્રાંસી સાથેના ડેટા સેટમાં, આ ક્લસ્ટર ગાણિતિક અપેક્ષાની ડાબી બાજુએ (એટલે કે, નીચે) સ્થિત છે, અને નકારાત્મક skewness સાથેના સેટમાં, આ ક્લસ્ટર ગાણિતિક અપેક્ષાની જમણી બાજુએ (એટલે કે, ઉપર) સ્થિત છે. સપ્રમાણ માહિતી માટે, સરેરાશ અને મધ્ય સમાન હોય છે, અને સરેરાશની આસપાસ અવલોકનો સમૂહ હોય છે, જે ઘંટડી આકારનું વિતરણ બનાવે છે. જો વિતરણ સ્પષ્ટ રીતે ત્રાંસી ન હોય અને ડેટા ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રની આસપાસ કેન્દ્રિત હોય, તો અંગૂઠાનો નિયમ કે જેનો ઉપયોગ પરિવર્તનશીલતાનો અંદાજ કાઢવા માટે થઈ શકે છે તે એ છે કે જો ડેટામાં ઘંટડીના આકારનું વિતરણ હોય, તો અંદાજે 68% અવલોકનો અંદર હોય છે. અપેક્ષિત મૂલ્યનું એક પ્રમાણભૂત વિચલન. અંદાજે 95% અવલોકનો ગાણિતિક અપેક્ષાથી બે કરતાં વધુ પ્રમાણભૂત વિચલનો દૂર નથી અને 99.7% અવલોકનો ગાણિતિક અપેક્ષાથી વધુ ત્રણ પ્રમાણભૂત વિચલનોથી દૂર નથી.

આમ, પ્રમાણભૂત વિચલન, જે અપેક્ષિત મૂલ્યની આસપાસના સરેરાશ ભિન્નતાનો અંદાજ છે, તે સમજવામાં મદદ કરે છે કે અવલોકનો કેવી રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે અને આઉટલાયર્સને ઓળખવામાં આવે છે. અંગૂઠાનો નિયમ એ છે કે ઘંટડીના આકારના વિતરણો માટે, વીસમાં માત્ર એક મૂલ્ય બે કરતાં વધુ પ્રમાણભૂત વિચલનો દ્વારા ગાણિતિક અપેક્ષાથી અલગ પડે છે. તેથી, અંતરાલની બહારના મૂલ્યો µ ± 2σ, બહારના ગણી શકાય. વધુમાં, 1000 અવલોકનોમાંથી માત્ર ત્રણ ત્રણ કરતાં વધુ પ્રમાણભૂત વિચલનોથી ગાણિતિક અપેક્ષાથી અલગ છે. આમ, અંતરાલની બહારના મૂલ્યો µ ± 3σલગભગ હંમેશા આઉટલીયર હોય છે. ખૂબ જ ત્રાંસી અથવા ઘંટડીના આકારના ન હોય તેવા વિતરણો માટે, અંગૂઠાનો બિનામે-ચેબીશેવ નિયમ લાગુ કરી શકાય છે.

સો કરતાં વધુ વર્ષો પહેલાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ બિનામે અને ચેબીશેવે સ્વતંત્ર રીતે પ્રમાણભૂત વિચલનની ઉપયોગી મિલકત શોધી કાઢી હતી. તેઓએ જોયું કે કોઈપણ ડેટા સેટ માટે, વિતરણના આકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અવલોકનોની ટકાવારી kગાણિતિક અપેક્ષામાંથી પ્રમાણભૂત વિચલનો, ઓછા નહીં (1 – 1/ k 2)*100%.

ઉદાહરણ તરીકે, જો k= 2, બિએનનામ-ચેબીશેવ નિયમ જણાવે છે કે ઓછામાં ઓછા (1 – (1/2) 2) x 100% = 75% અવલોકનો અંતરાલમાં હોવા જોઈએ µ ± 2σ. આ નિયમ કોઈપણ માટે સાચો છે k, એક ઓળંગી. Bienamay-Chebyshev નિયમ ખૂબ જ સામાન્ય અને કોઈપણ પ્રકારના વિતરણ માટે માન્ય છે. તે અવલોકનોની ન્યૂનતમ સંખ્યાને નિર્દિષ્ટ કરે છે, જેમાંથી ગાણિતિક અપેક્ષાનું અંતર નિર્દિષ્ટ મૂલ્ય કરતાં વધુ નથી. જો કે, જો વિતરણ ઘંટડીના આકારનું હોય, તો અંગૂઠાનો નિયમ અપેક્ષિત મૂલ્યની આસપાસ ડેટાની સાંદ્રતાનો વધુ ચોક્કસ અંદાજ લગાવે છે.

આવર્તન-આધારિત વિતરણ માટે વર્ણનાત્મક આંકડાઓની ગણતરી

જો મૂળ ડેટા ઉપલબ્ધ ન હોય, તો આવર્તન વિતરણ માહિતીનો એકમાત્ર સ્ત્રોત બની જાય છે. આવી પરિસ્થિતિઓમાં, વિતરણના માત્રાત્મક સૂચકાંકોના અંદાજિત મૂલ્યોની ગણતરી કરવી શક્ય છે, જેમ કે અંકગણિત સરેરાશ, પ્રમાણભૂત વિચલન અને ચતુર્થાંશ.

જો નમૂનાના ડેટાને ફ્રીક્વન્સી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તો દરેક વર્ગની અંદરના તમામ મૂલ્યો વર્ગ મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે તે ધારીને અંકગણિત સરેરાશની અંદાજિત ગણતરી કરી શકાય છે:

જ્યાં - નમૂના સરેરાશ, n- અવલોકનોની સંખ્યા, અથવા નમૂનાનું કદ, સાથે- આવર્તન વિતરણમાં વર્ગોની સંખ્યા, m j- મધ્યબિંદુ jમી વર્ગ, fj- અનુરૂપ આવર્તન j-મું વર્ગ.

આવર્તન વિતરણમાંથી પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવા માટે, એવું પણ માનવામાં આવે છે કે દરેક વર્ગની અંદરના તમામ મૂલ્યો વર્ગ મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે.

ફ્રીક્વન્સીઝના આધારે શ્રેણીના ચતુર્થાંશ કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે તે સમજવા માટે, સરેરાશ માથાદીઠ નાણાકીય આવક (ફિગ. 12) દ્વારા રશિયન વસ્તીના વિતરણ પર 2013 માટેના ડેટાના આધારે નીચલા ચતુર્થાંશની ગણતરીને ધ્યાનમાં લો.

ચોખા. 12. દર મહિને સરેરાશ માથાદીઠ રોકડ આવક સાથે રશિયન વસ્તીનો હિસ્સો, રુબેલ્સ

અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણીના પ્રથમ ચતુર્થાંશની ગણતરી કરવા માટે, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

જ્યાં Q1 એ પ્રથમ ચતુર્થાંશનું મૂલ્ય છે, xQ1 એ પ્રથમ ચતુર્થાંશ ધરાવતા અંતરાલની નીચલી મર્યાદા છે (અંતરાલ સંચિત આવર્તન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે પ્રથમ 25% કરતાં વધી જાય છે); i - અંતરાલ મૂલ્ય; Σf - સમગ્ર નમૂનાની ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો; કદાચ હંમેશા 100% ની બરાબર; SQ1–1 - નીચલા ચતુર્થાંશ ધરાવતા અંતરાલની પહેલાના અંતરાલની સંચિત આવર્તન; fQ1 - નીચલા ચતુર્થાંશ ધરાવતા અંતરાલની આવર્તન. ત્રીજા ચતુર્થાંશ માટેનું સૂત્ર અલગ છે કે તમામ જગ્યાએ તમારે Q1 ને બદલે Q3 નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, અને ¼ ને બદલે ¾ નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

અમારા ઉદાહરણમાં (ફિગ. 12), નીચલા ચતુર્થાંશ 7000.1 - 10,000 ની રેન્જમાં છે, જેની સંચિત આવર્તન 26.4% છે. આ અંતરાલની નીચલી મર્યાદા 7000 રુબેલ્સ છે, અંતરાલનું મૂલ્ય 3000 રુબેલ્સ છે, નીચલા ચતુર્થાંશ ધરાવતા અંતરાલની પહેલાના અંતરાલની સંચિત આવર્તન 13.4% છે, નીચલા ચતુર્થાંશ ધરાવતા અંતરાલની આવર્તન 13.0% છે. આમ: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13.4) / 13 = 9677 ઘસવું.

વર્ણનાત્મક આંકડા સાથે સંકળાયેલ મુશ્કેલીઓ

આ પોસ્ટમાં, અમે વિવિધ આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને ડેટા સેટનું વર્ણન કેવી રીતે કરવું તે જોયું જે તેના સરેરાશ, ફેલાવા અને વિતરણનું મૂલ્યાંકન કરે છે. આગળનું પગલું ડેટા વિશ્લેષણ અને અર્થઘટન છે. અત્યાર સુધી, અમે ડેટાના ઉદ્દેશ્ય ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો છે, અને હવે અમે તેમના વ્યક્તિલક્ષી અર્થઘટન તરફ આગળ વધીએ છીએ. સંશોધક બે ભૂલોનો સામનો કરે છે: વિશ્લેષણનો ખોટી રીતે પસંદ કરેલ વિષય અને પરિણામોનું ખોટું અર્થઘટન.

15 અત્યંત જોખમી મ્યુચ્યુઅલ ફંડના વળતરનું વિશ્લેષણ તદ્દન નિષ્પક્ષ છે. તેમણે સંપૂર્ણપણે ઉદ્દેશ્યપૂર્ણ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી: બધા મ્યુચ્યુઅલ ફંડમાં અલગ-અલગ વળતર હોય છે, ફંડ રિટર્નનો ફેલાવો -6.1 થી 18.5 સુધીનો હોય છે અને સરેરાશ વળતર 6.08 છે. વિતરણના સારાંશ માત્રાત્મક સૂચકાંકોની યોગ્ય પસંદગી દ્વારા ડેટા વિશ્લેષણની નિરપેક્ષતાની ખાતરી કરવામાં આવે છે. ડેટાના સરેરાશ અને સ્કેટરનો અંદાજ કાઢવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, અને તેમના ફાયદા અને ગેરફાયદા સૂચવવામાં આવ્યા હતા. ઉદ્દેશ્ય અને નિષ્પક્ષ વિશ્લેષણ પ્રદાન કરવા માટે તમે યોગ્ય આંકડા કેવી રીતે પસંદ કરશો? જો ડેટા વિતરણ સહેજ ત્રાંસી હોય, તો તમારે સરેરાશને બદલે મધ્યક પસંદ કરવું જોઈએ? કયા સૂચક ડેટાના પ્રસારને વધુ સચોટ રીતે દર્શાવે છે: પ્રમાણભૂત વિચલન અથવા શ્રેણી? શું આપણે નિર્દેશ કરવો જોઈએ કે વિતરણ હકારાત્મક રીતે ત્રાંસુ છે?

બીજી બાજુ, ડેટા અર્થઘટન એ વ્યક્તિલક્ષી પ્રક્રિયા છે. સમાન પરિણામોનું અર્થઘટન કરતી વખતે જુદા જુદા લોકો જુદા જુદા નિષ્કર્ષ પર આવે છે. દરેકનો પોતાનો દૃષ્ટિકોણ હોય છે. કોઈ વ્યક્તિ ખૂબ ઊંચા સ્તરના જોખમ સાથે 15 ફંડના કુલ સરેરાશ વાર્ષિક વળતરને સારું માને છે અને પ્રાપ્ત આવકથી તદ્દન સંતુષ્ટ છે. અન્ય લોકોને લાગે છે કે આ ફંડ્સમાં ખૂબ ઓછું વળતર છે. આમ, વિષયાસક્તતાને પ્રમાણિકતા, તટસ્થતા અને નિષ્કર્ષોની સ્પષ્ટતા દ્વારા વળતર આપવું જોઈએ.

નૈતિક મુદ્દાઓ

ડેટા વિશ્લેષણ નૈતિક મુદ્દાઓ સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલું છે. તમારે અખબારો, રેડિયો, ટેલિવિઝન અને ઈન્ટરનેટ દ્વારા પ્રસારિત થતી માહિતીની ટીકા કરવી જોઈએ. સમય જતાં, તમે માત્ર પરિણામો જ નહીં, પણ સંશોધનના લક્ષ્યો, વિષયવસ્તુ અને ઉદ્દેશ્ય વિશે પણ શંકાશીલ બનવાનું શીખી શકશો. પ્રખ્યાત બ્રિટિશ રાજકારણી બેન્જામિન ડિઝરાયલીએ શ્રેષ્ઠ કહ્યું: "ત્રણ પ્રકારના જૂઠાણાં છે: જૂઠાણું, તિરસ્કૃત જૂઠાણું અને આંકડા."

નોંધમાં જણાવ્યા મુજબ, રિપોર્ટમાં રજૂ થનારા પરિણામોની પસંદગી કરતી વખતે નૈતિક મુદ્દાઓ ઉદ્ભવે છે. હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને પરિણામો પ્રકાશિત કરવા જોઈએ. વધુમાં, અહેવાલ અથવા લેખિત અહેવાલ બનાવતી વખતે, પરિણામો પ્રામાણિકપણે, તટસ્થપણે અને ઉદ્દેશ્યપૂર્વક રજૂ કરવા જોઈએ. અસફળ અને અપ્રમાણિક રજૂઆતો વચ્ચે તફાવત કરવો જરૂરી છે. આ કરવા માટે, વક્તાનો ઇરાદો શું હતો તે નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે. કેટલીકવાર વક્તા અજ્ઞાનતાથી મહત્વપૂર્ણ માહિતીને છોડી દે છે, અને કેટલીકવાર તે ઇરાદાપૂર્વક હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો તે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવવા માટે સ્પષ્ટ રીતે ત્રાંસી ડેટાની સરેરાશનો અંદાજ કાઢવા માટે અંકગણિતના માધ્યમનો ઉપયોગ કરે છે). સંશોધકના દૃષ્ટિકોણને અનુરૂપ ન હોય તેવા પરિણામોને દબાવવા પણ અપ્રમાણિક છે.

લેવિન એટ અલ. મેનેજરો માટેના આંકડાઓ પુસ્તકમાંથી સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. – એમ.: વિલિયમ્સ, 2004. – પી. 178-209

એક્સેલના પહેલાનાં વર્ઝન સાથે સુસંગતતા માટે QUARTILE ફંક્શનને જાળવી રાખવામાં આવ્યું છે.

સરેરાશની ગણતરી કરવામાં તે ખોવાઈ જાય છે.

સરેરાશ અર્થસંખ્યાઓનો સમૂહ આ સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા ભાગ્યા S સંખ્યાઓના સરવાળો સમાન છે. એટલે કે, તે તારણ આપે છે કે સરેરાશ અર્થબરાબર: 19/4 = 4.75.

નૉૅધ

જો તમારે માત્ર બે સંખ્યાઓ માટે ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવાની જરૂર હોય, તો તમારે એન્જિનિયરિંગ કેલ્ક્યુલેટરની જરૂર નથી: તમે સૌથી સામાન્ય કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ સંખ્યાના બીજા મૂળ (વર્ગમૂળ)ને બહાર કાઢી શકો છો.

મદદરૂપ સલાહ

અંકગણિત સરેરાશથી વિપરીત, અભ્યાસ હેઠળના સૂચકોના સમૂહમાં વ્યક્તિગત મૂલ્યો વચ્ચેના મોટા વિચલનો અને વધઘટથી ભૌમિતિક સરેરાશ પ્રભાવિત નથી.

સ્ત્રોતો:

ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર જે ભૌમિતિક સરેરાશની ગણતરી કરે છે
ભૌમિતિક સરેરાશ સૂત્ર

સરેરાશમૂલ્ય એ સંખ્યાઓના સમૂહની લાક્ષણિકતાઓમાંની એક છે. સંખ્યાના તે સમૂહમાં સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો દ્વારા નિર્ધારિત શ્રેણીની બહાર ન આવી શકે તેવી સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સરેરાશઅંકગણિત મૂલ્ય એ સરેરાશનો સૌથી સામાન્ય પ્રકારનો ઉપયોગ છે.

સૂચનાઓ

અંકગણિત સરેરાશ મેળવવા માટે સમૂહમાં બધી સંખ્યાઓ ઉમેરો અને તેમને પદોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો. ચોક્કસ ગણતરીની શરતોના આધારે, સેટમાંના મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા દરેક સંખ્યાને વિભાજીત કરવી અને પરિણામનો સરવાળો કરવો ક્યારેક સરળ બને છે.

ઉપયોગ કરો, ઉદાહરણ તરીકે, Windows OS માં સમાવિષ્ટ જો તમારા માથામાં અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવી શક્ય ન હોય. તમે પ્રોગ્રામ લોંચ ડાયલોગનો ઉપયોગ કરીને તેને ખોલી શકો છો. આ કરવા માટે, હોટ કીઝ WIN + R દબાવો અથવા સ્ટાર્ટ બટનને ક્લિક કરો અને મુખ્ય મેનુમાંથી રન પસંદ કરો. પછી ઇનપુટ ફીલ્ડમાં calc લખો અને Enter દબાવો અથવા OK બટન પર ક્લિક કરો. તે જ મુખ્ય મેનૂ દ્વારા કરી શકાય છે - તેને ખોલો, "બધા પ્રોગ્રામ્સ" વિભાગ પર જાઓ અને "સ્ટાન્ડર્ડ" વિભાગમાં જાઓ અને "કેલ્ક્યુલેટર" લાઇન પસંદ કરો.

દરેક નંબર પછી (છેલ્લા એક સિવાય) પ્લસ કી દબાવીને અથવા કેલ્ક્યુલેટર ઈન્ટરફેસમાં અનુરૂપ બટનને ક્લિક કરીને સેટમાંના તમામ નંબરો ક્રમિક રીતે દાખલ કરો. તમે કીબોર્ડમાંથી અથવા અનુરૂપ ઇન્ટરફેસ બટનો પર ક્લિક કરીને પણ નંબરો દાખલ કરી શકો છો.

સ્લેશ કી દબાવો અથવા છેલ્લું સેટ મૂલ્ય દાખલ કર્યા પછી કેલ્ક્યુલેટર ઇન્ટરફેસમાં આને ક્લિક કરો અને ક્રમમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા લખો. પછી સમાન ચિહ્ન દબાવો અને કેલ્ક્યુલેટર અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરશે અને પ્રદર્શિત કરશે.

તમે આ જ હેતુ માટે Microsoft Excel સ્પ્રેડશીટ એડિટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, સંપાદક લોંચ કરો અને નજીકના કોષોમાં સંખ્યાઓના ક્રમના તમામ મૂલ્યો દાખલ કરો. જો, દરેક નંબર દાખલ કર્યા પછી, તમે Enter અથવા નીચે અથવા જમણી એરો કી દબાવો, તો સંપાદક પોતે જ ઇનપુટ ફોકસને અડીને આવેલા કોષમાં ખસેડશે.

જો તમે માત્ર સરેરાશ જોવા ન માંગતા હોવ તો દાખલ કરેલ છેલ્લા નંબરની બાજુના કોષ પર ક્લિક કરો. હોમ ટેબ પર સંપાદિત આદેશો માટે ગ્રીક સિગ્મા (Σ) ડ્રોપ-ડાઉન મેનૂને વિસ્તૃત કરો. લીટી પસંદ કરો " સરેરાશ" અને એડિટર પસંદ કરેલ કોષમાં અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી માટે ઇચ્છિત સૂત્ર દાખલ કરશે. એન્ટર કી દબાવો અને મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવશે.

અંકગણિત સરેરાશ એ કેન્દ્રીય વલણના માપદંડોમાંનું એક છે, જેનો વ્યાપકપણે ગણિત અને આંકડાકીય ગણતરીઓમાં ઉપયોગ થાય છે. કેટલાક મૂલ્યો માટે અંકગણિત સરેરાશ શોધવી ખૂબ જ સરળ છે, પરંતુ દરેક કાર્યની પોતાની ઘોંઘાટ હોય છે, જે સાચી ગણતરીઓ કરવા માટે ફક્ત જાણવી જરૂરી છે.

અંકગણિત અર્થ શું છે

અંકગણિત સરેરાશ સંખ્યાઓની સમગ્ર મૂળ શ્રેણી માટે સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યાઓના ચોક્કસ સમૂહમાંથી બધા તત્વો માટે સમાન મૂલ્ય પસંદ કરવામાં આવે છે, જેની ગાણિતિક સરખામણી તમામ તત્વો સાથે લગભગ સમાન હોય છે. અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે નાણાકીય અને આંકડાકીય અહેવાલો તૈયાર કરવા અથવા સમાન પ્રયોગોના પરિણામોની ગણતરી માટે થાય છે.

અંકગણિતનો સરેરાશ કેવી રીતે શોધવો

સંખ્યાઓની શ્રેણી માટે અંકગણિત સરેરાશ શોધવાનું આ મૂલ્યોના બીજગણિત સરવાળા નક્કી કરીને શરૂ થવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો એરેમાં સંખ્યાઓ 23, 43, 10, 74 અને 34 હોય, તો તેમનો બીજગણિતીય સરવાળો 184 ની બરાબર હશે. લખતી વખતે, અંકગણિત સરેરાશ અક્ષર μ (mu) અથવા x (x સાથે a સાથે સૂચવવામાં આવે છે. બાર). આગળ, બીજગણિતીય સરવાળો એરેમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થવો જોઈએ. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં પાંચ સંખ્યાઓ હતી, તેથી અંકગણિત સરેરાશ 184/5 ની બરાબર હશે અને 36.8 હશે.

નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરવાની સુવિધાઓ

જો એરેમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોય, તો સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને અંકગણિત સરેરાશ જોવા મળે છે. પ્રોગ્રામિંગ વાતાવરણમાં ગણતરી કરતી વખતે, અથવા જો સમસ્યામાં વધારાની શરતો હોય ત્યારે જ તફાવત અસ્તિત્વમાં છે. આ કિસ્સાઓમાં, વિવિધ ચિહ્નો સાથે સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવાનું ત્રણ પગલાં નીચે આવે છે:

1. પ્રમાણભૂત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય અંકગણિત સરેરાશ શોધવી;
2. નકારાત્મક સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવો.
3. હકારાત્મક સંખ્યાઓના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી.

દરેક ક્રિયા માટેના જવાબો અલ્પવિરામથી અલગ કરીને લખવામાં આવે છે.

કુદરતી અને દશાંશ અપૂર્ણાંક

જો સંખ્યાઓની શ્રેણીને દશાંશ અપૂર્ણાંકો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો પૂર્ણાંકોના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ હાથ ધરવામાં આવે છે, પરંતુ જવાબની ચોકસાઈ માટે કાર્યની આવશ્યકતાઓ અનુસાર પરિણામ ઘટાડવામાં આવે છે.

કુદરતી અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે, તેઓને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવું જોઈએ, જે એરેમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. જવાબનો અંશ મૂળ અપૂર્ણાંક તત્વોના આપેલા અંશનો સરવાળો હશે.

એન્જિનિયરિંગ કેલ્ક્યુલેટર.

સૂચનાઓ

ધ્યાનમાં રાખો કે સામાન્ય રીતે, સંખ્યાઓનો ભૌમિતિક સરેરાશ આ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને અને તેમાંથી શક્તિનું મૂળ લેવાથી મળે છે, જે સંખ્યાઓની સંખ્યાને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારે પાંચ સંખ્યાઓનો ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવાની જરૂર હોય, તો તમારે ઉત્પાદનમાંથી શક્તિનું મૂળ કાઢવાની જરૂર પડશે.

બે સંખ્યાઓનો ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવા માટે, મૂળભૂત નિયમનો ઉપયોગ કરો. તેમનું ઉત્પાદન શોધો, પછી તેનું વર્ગમૂળ લો, કારણ કે સંખ્યા બે છે, જે મૂળની શક્તિને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, 16 અને 4 નંબરોનો ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવા માટે, તેમના ગુણાંક 16 4=64 શોધો. પરિણામી સંખ્યામાંથી, વર્ગમૂળ √64=8 કાઢો. આ ઇચ્છિત મૂલ્ય હશે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ બે સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ 10 કરતા મોટો અને બરાબર છે. જો સંપૂર્ણ મૂળ કાઢવામાં ન આવે તો, પરિણામને ઇચ્છિત ક્રમમાં રાઉન્ડ કરો.

બે કરતાં વધુ સંખ્યાઓનો ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવા માટે, મૂળભૂત નિયમનો પણ ઉપયોગ કરો. આ કરવા માટે, બધી સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શોધો જેના માટે તમારે ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવાની જરૂર છે. પરિણામી ઉત્પાદનમાંથી, સંખ્યાઓની સંખ્યા જેટલી શક્તિના મૂળને બહાર કાઢો. ઉદાહરણ તરીકે, 2, 4 અને 64 નંબરોના ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવા માટે, તેમનું ઉત્પાદન શોધો. 2 4 64=512. તમારે ત્રણ સંખ્યાઓના ભૌમિતિક સરેરાશનું પરિણામ શોધવાની જરૂર હોવાથી, ઉત્પાદનમાંથી ત્રીજો મૂળ લો. આ મૌખિક રીતે કરવું મુશ્કેલ છે, તેથી એન્જિનિયરિંગ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો. આ હેતુ માટે તેની પાસે "x^y" બટન છે. નંબર 512 ડાયલ કરો, "x^y" બટન દબાવો, પછી નંબર 3 ડાયલ કરો અને "1/x" બટન દબાવો, 1/3 ની કિંમત શોધવા માટે, "=" બટન દબાવો. અમને 1/3 પાવરમાં 512 વધારવાનું પરિણામ મળે છે, જે ત્રીજા મૂળને અનુરૂપ છે. 512^1/3=8 મેળવો. આ 2.4 અને 64 નંબરોનો ભૌમિતિક સરેરાશ છે.

એન્જિનિયરિંગ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, તમે ભૌમિતિક સરેરાશને બીજી રીતે શોધી શકો છો. તમારા કીબોર્ડ પર લોગ બટન શોધો. તે પછી, દરેક સંખ્યાઓ માટે લઘુગણક લો, તેનો સરવાળો શોધો અને તેને સંખ્યાઓની સંખ્યાથી વિભાજીત કરો. પરિણામી સંખ્યામાંથી એન્ટિલોગરિધમ લો. આ સંખ્યાઓનો ભૌમિતિક સરેરાશ હશે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન નંબરો 2, 4 અને 64 નો ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવા માટે, કેલ્ક્યુલેટર પર ક્રિયાઓનો સમૂહ કરો. નંબર 2 ડાયલ કરો, પછી લોગ બટન દબાવો, "+" બટન દબાવો, નંબર 4 ડાયલ કરો અને લોગ દબાવો અને ફરીથી "+" દબાવો, 64 ડાયલ કરો, લોગ દબાવો અને "=" દબાવો. પરિણામ એ સંખ્યા 2, 4 અને 64ના દશાંશ લઘુગણકના સરવાળાની બરાબર હશે. પરિણામી સંખ્યાને 3 વડે વિભાજીત કરો, કારણ કે આ તે સંખ્યાઓની સંખ્યા છે જેના માટે ભૌમિતિક સરેરાશ માંગવામાં આવે છે. પરિણામમાંથી, કેસ બટનને સ્વિચ કરીને એન્ટિલોગરિધમ લો અને તે જ લોગ કીનો ઉપયોગ કરો. પરિણામ નંબર 8 હશે, આ ઇચ્છિત ભૌમિતિક સરેરાશ છે.

ધારો કે તમારે વિવિધ કર્મચારીઓ દ્વારા કાર્યો પૂર્ણ કરવા માટે સરેરાશ દિવસોની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે. અથવા તમે ચોક્કસ દિવસે 10 વર્ષના સરેરાશ તાપમાનના સમય અંતરાલની ગણતરી કરવા માંગો છો. સંખ્યાઓની શ્રેણીની સરેરાશની ગણતરી ઘણી રીતે કરવી.

સરેરાશ એ કેન્દ્રીય વલણના માપનનું કાર્ય છે કે જેના પર આંકડાકીય વિતરણમાં સંખ્યાઓની શ્રેણીનું કેન્દ્ર સ્થિત છે. કેન્દ્રીય વલણના ત્રણ સૌથી સામાન્ય માપદંડ છે.

સરેરાશઅંકગણિત સરેરાશની ગણતરી સંખ્યાઓની શ્રેણી ઉમેરીને અને પછી તે સંખ્યાઓની સંખ્યાને વિભાજિત કરીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2, 3, 3, 5, 7 અને 10 ની સરેરાશ 30 ભાગ્યા 6.5 છે;

મધ્યકસંખ્યાઓની શ્રેણીની સરેરાશ સંખ્યા. અડધી સંખ્યાઓમાં એવા મૂલ્યો હોય છે જે મધ્ય કરતા વધારે હોય છે, અને અડધી સંખ્યાઓમાં એવા મૂલ્યો હોય છે જે મધ્ય કરતા ઓછા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2, 3, 3, 5, 7 અને 10 નો મધ્યક 4 છે.

મોડસંખ્યાઓના જૂથમાં સૌથી સામાન્ય સંખ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, મોડ 2, 3, 3, 5, 7 અને 10 - 3.

કેન્દ્રીય વલણના આ ત્રણ માપદંડો, સંખ્યાઓની શ્રેણીનું સપ્રમાણ વિતરણ, સમાન છે. સંખ્યાબંધ સંખ્યાના અસમપ્રમાણ વિતરણમાં, તેઓ અલગ હોઈ શકે છે.

સમાન પંક્તિ અથવા કૉલમમાં સંલગ્ન કોષોની સરેરાશની ગણતરી કરો

આ પગલાં અનુસરો:

રેન્ડમ કોષોની સરેરાશની ગણતરી

આ કાર્ય કરવા માટે, ફંક્શનનો ઉપયોગ કરો સરેરાશ. કાગળની ખાલી શીટ પર નીચેના કોષ્ટકની નકલ કરો.

ભારિત સરેરાશની ગણતરી

SUMPRODUCTઅને રકમ. v આ ઉદાહરણ ત્રણ ખરીદીઓમાં ચૂકવવામાં આવતી સરેરાશ એકમ કિંમતની ગણતરી કરે છે, જ્યાં દરેક ખરીદી અલગ-અલગ યુનિટ કિંમતો પર અલગ-અલગ સંખ્યાના યુનિટ માટે હોય છે.

કાગળની ખાલી શીટ પર નીચેના કોષ્ટકની નકલ કરો.

શૂન્ય મૂલ્યોને બાદ કરતાં, સંખ્યાઓની સરેરાશની ગણતરી

આ કાર્ય કરવા માટે, કાર્યોનો ઉપયોગ કરો સરેરાશઅને જો. નીચેના કોષ્ટકની નકલ કરો અને ધ્યાનમાં રાખો કે આ ઉદાહરણમાં, તેને સમજવામાં સરળ બનાવવા માટે, તેને કાગળની ખાલી શીટ પર કૉપિ કરો.

અંકગણિત સરેરાશ અને ભૌમિતિક સરેરાશનો વિષય ગ્રેડ 6-7 માટેના ગણિત કાર્યક્રમમાં સામેલ છે. ફકરો સમજવા માટે એકદમ સરળ હોવાથી, તે ઝડપથી પસાર થઈ જાય છે, અને શાળા વર્ષના અંત સુધીમાં, વિદ્યાર્થીઓ તેને ભૂલી ગયા છે. પરંતુ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા તેમજ આંતરરાષ્ટ્રીય SAT પરીક્ષાઓ પાસ કરવા માટે મૂળભૂત આંકડાઓમાં જ્ઞાન જરૂરી છે. અને રોજિંદા જીવન માટે, વિકસિત વિશ્લેષણાત્મક વિચાર ક્યારેય નુકસાન કરતું નથી.

અંકગણિત સરેરાશ અને સંખ્યાઓના ભૌમિતિક સરેરાશની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

ચાલો કહીએ કે સંખ્યાઓની શ્રેણી છે: 11, 4, અને 3. અંકગણિત સરેરાશ એ આપેલ સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. એટલે કે, સંખ્યા 11, 4, 3 ના કિસ્સામાં, જવાબ 6 હશે. તમે 6 કેવી રીતે મેળવશો?

ઉકેલ: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

છેદમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા જેટલી સંખ્યા હોવી જોઈએ જેની સરેરાશ શોધવાની જરૂર છે. સરવાળો 3 વડે ભાગી શકાય છે, કારણ કે ત્રણ પદ છે.

હવે આપણે ભૌમિતિક સરેરાશ શોધવાની જરૂર છે. ચાલો કહીએ કે સંખ્યાઓની શ્રેણી છે: 4, 2 અને 8.

સંખ્યાઓનો ભૌમિતિક સરેરાશ એ બધી આપેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે, જે આપેલ સંખ્યાઓની સંખ્યાની સમાન શક્તિ સાથે મૂળ હેઠળ સ્થિત છે. એટલે કે, સંખ્યા 4, 2 અને 8 ના કિસ્સામાં, જવાબ 4 હશે. અહીં કેવી રીતે છે તે જુઓ તે બહાર આવ્યું:

ઉકેલ: ∛(4 × 2 × 8) = 4

બંને વિકલ્પોમાં, અમને સંપૂર્ણ જવાબો મળ્યા, કારણ કે ઉદાહરણ માટે વિશેષ સંખ્યાઓ લેવામાં આવી હતી. આવું હંમેશા થતું નથી. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, જવાબ ગોળાકાર અથવા મૂળ પર છોડી દેવાનો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 11, 7 અને 20 માટે, અંકગણિત સરેરાશ ≈ 12.67 છે, અને ભૌમિતિક સરેરાશ ∛1540 છે. અને 6 અને 5 નંબરો માટે, જવાબો અનુક્રમે 5.5 અને √30 હશે.

શું એવું થઈ શકે છે કે અંકગણિત સરેરાશ ભૌમિતિક સરેરાશ સમાન બને?

અલબત્ત તે કરી શકે છે. પરંતુ માત્ર બે કિસ્સાઓમાં. જો ત્યાં સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં ફક્ત એક અથવા શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે. તે પણ નોંધનીય છે કે જવાબ તેમની સંખ્યા પર આધારિત નથી.

એકમો સાથેનો પુરાવો: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (અંકગણિત સરેરાશ).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(ભૌમિતિક સરેરાશ).