એક પ્રકારનું લઘુચિત્ર અને તેના બદલે સરળ કાર્ય જે તરતા વિદ્યાર્થી માટે જીવનરેખા તરીકે કામ કરે છે. પ્રકૃતિમાં, જુલાઇના મધ્યમાં નિંદ્રાધીન ક્ષેત્ર છે, તેથી તે બીચ પર લેપટોપ સાથે સ્થાયી થવાનો સમય છે. વહેલી સવારે, પ્રેક્ટિસ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા માટે સિદ્ધાંતનો એક સૂર્યકિરણ વગાડવામાં આવ્યો, જે તેની ઘોષિત હળવાશ હોવા છતાં, રેતીમાં કાચના ટુકડા ધરાવે છે. આ સંદર્ભે, હું ભલામણ કરું છું કે આ પૃષ્ઠના કેટલાક ઉદાહરણોને પ્રમાણિકપણે ધ્યાનમાં લો. વ્યવહારુ કાર્યોને ઉકેલવા માટે, તમારે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધોઅને લેખની સામગ્રીને સમજો એકવિધતાના અંતરાલો અને કાર્યની આત્યંતિકતા.
પ્રથમ, મુખ્ય વસ્તુ વિશે ટૂંકમાં. વિશેના પાઠમાં કાર્ય સાતત્યમેં એક બિંદુ પર સાતત્ય અને અંતરાલ પર સાતત્યની વ્યાખ્યા આપી. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની અનુકરણીય વર્તણૂક સમાન રીતે ઘડવામાં આવે છે. ફંક્શન સેગમેન્ટ પર સતત હોય છે જો:
1) તે અંતરાલ પર સતત છે;
2) એક બિંદુ પર સતત જમણી બાજુએઅને બિંદુ પર બાકી.
બીજો ફકરો કહેવાતા સાથે વહેવાર કરે છે એકપક્ષીય સાતત્યએક બિંદુ પર કાર્યો. તેની વ્યાખ્યા માટે ઘણા અભિગમો છે, પરંતુ હું અગાઉ શરૂ કરેલી લાઇનને વળગી રહીશ:
કાર્ય એક બિંદુ પર સતત છે જમણી બાજુએ, જો તે આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેની જમણી બાજુની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર કાર્યના મૂલ્ય સાથે એકરુપ છે: 
. તે બિંદુ પર સતત છે બાકી, જો આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેની ડાબી બાજુની મર્યાદા તે બિંદુના મૂલ્યની બરાબર છે: 
કલ્પના કરો કે લીલા બિંદુઓ એ નખ છે જેના પર જાદુઈ રબર બેન્ડ જોડાયેલ છે:
માનસિક રીતે તમારા હાથમાં લાલ રેખા લો. દેખીતી રીતે, ભલે આપણે આલેખને ઉપર અને નીચે (અક્ષ સાથે) ગમે તેટલો લંબાવીએ, કાર્ય હજુ પણ રહેશે. મર્યાદિત- ઉપર હેજ, નીચે હેજ, અને અમારું ઉત્પાદન વાડોમાં ચરાય છે. આમ, સેગમેન્ટ પર સતત કાર્ય તેના પર બંધાયેલ છે. ગાણિતિક પૃથ્થકરણ દરમિયાન, આ દેખીતી રીતે સરળ હકીકત જણાવવામાં આવી છે અને સખત રીતે સાબિત થઈ છે. વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રથમ પ્રમેય.… ઘણા લોકો નારાજ છે કે પ્રાથમિક વિધાનો ગણિતમાં કંટાળાજનક રીતે સાબિત થાય છે, પરંતુ તેનો એક મહત્વપૂર્ણ અર્થ છે. ધારો કે ટેરી મધ્ય યુગના ચોક્કસ રહેવાસીએ ગ્રાફને દૃશ્યતાની મર્યાદાની બહાર આકાશમાં ખેંચ્યો, તો આ દાખલ કરવામાં આવ્યું હતું. ટેલિસ્કોપની શોધ પહેલાં, અવકાશમાં મર્યાદિત કાર્ય બિલકુલ સ્પષ્ટ ન હતું! ખરેખર, તમે કેવી રીતે જાણો છો કે ક્ષિતિજની બહાર આપણી રાહ શું છે? છેવટે, એકવાર પૃથ્વી સપાટ માનવામાં આવતી હતી, તેથી આજે પણ સામાન્ય ટેલિપોર્ટેશનને પુરાવાની જરૂર છે =)
અનુસાર બીજું વેયરસ્ટ્રાસ પ્રમેય, સેગમેન્ટ પર સતતકાર્ય તેના સુધી પહોંચે છે ચોક્કસ ટોચની ધારઅને તેના ચોક્કસ તળિયે ધાર
.
નંબર પણ બોલાવવામાં આવે છે સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું મહત્તમ મૂલ્યઅને , અને નંબર દ્વારા સૂચિત - સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું ન્યૂનતમ મૂલ્યનોટિસ સાથે.
અમારા કિસ્સામાં:
નૉૅધ
: સિદ્ધાંતમાં, રેકોર્ડ સામાન્ય છે 
.
આશરે કહીએ તો, સૌથી મોટું મૂલ્ય જ્યાં આલેખનું સૌથી ઊંચું બિંદુ છે ત્યાં સ્થિત છે અને સૌથી નાનું - જ્યાં સૌથી નીચું બિંદુ છે.
મહત્વપૂર્ણ!પર લેખમાં પહેલેથી જ નિર્દેશ કર્યો છે કાર્યની અંતિમ, કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્યઅને સૌથી નાનું કાર્ય મૂલ્ય – સરખું નથી, શું કાર્ય મહત્તમઅને કાર્ય ન્યૂનતમ. તેથી, આ ઉદાહરણમાં, સંખ્યા એ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ છે, પરંતુ ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.
માર્ગ દ્વારા, સેગમેન્ટની બહાર શું થાય છે? હા, પૂર પણ, વિચારણા હેઠળની સમસ્યાના સંદર્ભમાં, આ અમને બિલકુલ રસ નથી. કાર્યમાં ફક્ત બે નંબરો શોધવાનો સમાવેશ થાય છે 
અને તે છે!
તદુપરાંત, ઉકેલ સંપૂર્ણ રીતે વિશ્લેષણાત્મક છે, તેથી, દોરવાની જરૂર નથી!
અલ્ગોરિધમ સપાટી પર આવેલું છે અને ઉપરોક્ત આકૃતિમાંથી પોતાને સૂચવે છે:
1) માં ફંક્શન મૂલ્યો શોધો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ, જે આ સેગમેન્ટના છે.
એક વધુ ગુડી પકડો: એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ તપાસવાની જરૂર નથી, કારણ કે, હમણાં જ બતાવ્યા પ્રમાણે, ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમની હાજરી હજુ ખાતરી નથીન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ મૂલ્ય શું છે. નિદર્શન કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે અને, ભાગ્યની ઇચ્છાથી, સમાન સંખ્યા એ અંતરાલ પરના કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે. પરંતુ, અલબત્ત, આવા સંયોગ હંમેશા થતો નથી.
તેથી, પ્રથમ પગલા પર, સેગમેન્ટને લગતા નિર્ણાયક બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી ઝડપી અને સરળ છે, તેમની પાસે એક્સ્ટ્રીમા છે કે નહીં તેની ચિંતા કર્યા વિના.
2) અમે સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ.
3) 1લા અને 2જા ફકરામાં મળેલ ફંક્શનના મૂલ્યોમાંથી, સૌથી નાની અને સૌથી મોટી સંખ્યા પસંદ કરો, જવાબ લખો.
અમે વાદળી સમુદ્રના કિનારે બેસીએ છીએ અને છીછરા પાણીમાં રાહ જોવીએ છીએ:
ઉદાહરણ 1
સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો
નિર્ણય:
1) આ સેગમેન્ટના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
ચાલો બીજા નિર્ણાયક બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ:
2) સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
3) "બોલ્ડ" પરિણામો ઘાતાંકીય અને લઘુગણક સાથે મેળવવામાં આવ્યા હતા, જે તેમની સરખામણીને નોંધપાત્ર રીતે જટિલ બનાવે છે. આ કારણોસર, અમે અમારી જાતને કેલ્ક્યુલેટર અથવા એક્સેલ સાથે સજ્જ કરીશું અને અંદાજિત મૂલ્યોની ગણતરી કરીશું, તે ભૂલીશું નહીં:
હવે બધું સ્પષ્ટ છે.
જવાબ આપો:
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત ઉદાહરણ:
ઉદાહરણ 6
સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો
વ્યવહારમાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવો એકદમ સામાન્ય છે. અમે આ ક્રિયા ત્યારે કરીએ છીએ જ્યારે આપણે શોધીએ છીએ કે કેવી રીતે ખર્ચ ઘટાડવો, નફો વધારવો, ઉત્પાદન પરના શ્રેષ્ઠ ભારની ગણતરી કરવી વગેરે, એટલે કે તે કિસ્સાઓમાં જ્યારે પરિમાણનું શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય નક્કી કરવું જરૂરી હોય. આવી સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે ઉકેલવા માટે, ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શું છે તેની સારી સમજ હોવી જોઈએ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
સામાન્ય રીતે આપણે અમુક અંતરાલ x ની અંદર આ મૂલ્યોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે બદલામાં ફંક્શનના સમગ્ર અવકાશ અથવા તેના ભાગને અનુરૂપ હોઈ શકે છે. તે કાં તો સેગમેન્ટ હોઈ શકે છે [ a ; b ] , અને ખુલ્લું અંતરાલ (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , અનંત અંતરાલ (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) અથવા અનંત અંતરાલ - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞), (- ∞; + ∞) .
આ લેખમાં, અમે વર્ણન કરીશું કે એક ચલ y=f(x) y = f (x) સાથે સ્પષ્ટ રીતે આપેલ ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે.
મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ
અમે હંમેશની જેમ, મુખ્ય વ્યાખ્યાઓની રચના સાથે પ્રારંભ કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા 1
અમુક અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y = f (x 0) x ∈ X છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય x x ∈ X , x ≠ x 0 માટે, અસમાનતા f (x) બનાવે છે. ) ≤ f (x 0) .
વ્યાખ્યા 2
અમુક અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી નાનું મૂલ્ય m i n x ∈ X y = f (x 0) છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય x ∈ X , x ≠ x 0 માટે, અસમાનતા f(X) બનાવે છે. f (x) ≥ f(x0) .
આ વ્યાખ્યાઓ એકદમ સ્પષ્ટ છે. આ કહેવું વધુ સરળ હોઈ શકે છે: ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય એ એબ્સીસા x 0 પર જાણીતા અંતરાલમાં તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે, અને સૌથી નાનું એ x 0 પર સમાન અંતરાલમાં સૌથી નાનું સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.
વ્યાખ્યા 3
સ્થિર બિંદુઓ ફંક્શન દલીલના આવા મૂલ્યો છે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન 0 બને છે.
આપણે શા માટે એ જાણવાની જરૂર છે કે સ્થિર બિંદુઓ શું છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે ફર્મેટના પ્રમેયને યાદ રાખવાની જરૂર છે. તે તેના પરથી અનુસરે છે કે સ્થિર બિંદુ એ એક બિંદુ છે કે જેના પર વિભેદક કાર્યનો અંતિમ ભાગ સ્થિત છે (એટલે કે, તેનું સ્થાનિક લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ). પરિણામે, ફંક્શન ચોક્કસ અંતરાલ પર એકદમ સ્થિર બિંદુઓમાંથી એક પર સૌથી નાનું અથવા સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે.
અન્ય ફંક્શન તે બિંદુઓ પર સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય લઈ શકે છે જ્યાં ફંક્શન પોતે નિશ્ચિત છે, અને તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.
આ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે પહેલો પ્રશ્ન ઉદ્ભવે છે: બધા કિસ્સાઓમાં, શું આપણે આપેલ અંતરાલ પર ફંક્શનનું મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય નક્કી કરી શકીએ? ના, અમે આ કરી શકતા નથી જ્યારે આપેલ અંતરાલની સીમાઓ વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમાઓ સાથે સુસંગત હશે, અથવા જો આપણે અનંત અંતરાલ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. એવું પણ બને છે કે આપેલ અંતરાલમાં અથવા અનંતમાં ફંક્શન અનંત નાના અથવા અનંત મોટા મૂલ્યો લે છે. આ કિસ્સાઓમાં, સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરવું શક્ય નથી.
ગ્રાફ પરની છબી પછી આ ક્ષણો વધુ સમજી શકાય તેવું બનશે:
પ્રથમ આકૃતિ આપણને એક કાર્ય બતાવે છે જે અંતરાલ [ - 6 ; 6].
ચાલો બીજા ગ્રાફમાં દર્શાવેલ કેસની વિગતવાર તપાસ કરીએ. ચાલો સેગમેન્ટની કિંમત [ 1 ; 6] અને આપણે મેળવીએ છીએ કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય અંતરાલની જમણી સીમામાં abscissa સાથેના બિંદુ પર અને સૌથી નાનું - સ્થિર બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે.
ત્રીજી આકૃતિમાં, પોઈન્ટના એબ્સીસાસ સેગમેન્ટના સીમા બિંદુઓને રજૂ કરે છે [ - 3 ; 2]. તેઓ આપેલ કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
હવે ચાલો ચોથું ચિત્ર જોઈએ. તેમાં, ફંક્શન ખુલ્લા અંતરાલ (- 6 ; 6) માં સ્થિર બિંદુઓ પર m a x y (સૌથી મોટું મૂલ્ય) અને m i n y (સૌથી નાનું મૂલ્ય) લે છે.
જો આપણે અંતરાલ લઈએ [ 1 ; 6) , તો પછી આપણે કહી શકીએ કે તેના પર ફંક્શનની સૌથી નાની કિંમત સ્થિર બિંદુ પર પહોંચી જશે. અમે મહત્તમ મૂલ્ય જાણતા નથી. જો x = 6 અંતરાલ સાથે સંબંધિત હોય તો ફંક્શન 6 ની બરાબર x પર સૌથી મોટું મૂલ્ય લઈ શકે છે. તે આ કેસ છે જે આકૃતિ 5 માં બતાવેલ છે.
ગ્રાફ 6 પર, આ ફંક્શન અંતરાલ (- 3 ; 2 ] ની જમણી સરહદમાં સૌથી નાનું મૂલ્ય મેળવે છે અને આપણે સૌથી મોટા મૂલ્ય વિશે ચોક્કસ નિષ્કર્ષ કાઢી શકતા નથી.
આકૃતિ 7 માં, આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનમાં સ્થિર બિંદુ પર m a x y હશે, જેનું abscissa 1 ની બરાબર હશે. ફંક્શન જમણી બાજુએ અંતરાલ સીમા પર તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. માઈનસ અનંત પર, ફંક્શનના મૂલ્યો એસિમ્પટોટિક રીતે y = 3 સુધી પહોંચશે.
જો આપણે અંતરાલ x ∈ 2 લઈએ; + ∞ , પછી આપણે જોઈશું કે આપેલ ફંક્શન તેના પર નાનું અથવા સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે નહીં. જો x 2 તરફ વળે છે, તો ફંક્શનના મૂલ્યો માઈનસ અનંત તરફ વળશે, કારણ કે સીધી રેખા x = 2 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે. જો એબ્સીસા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો ફંક્શનના મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે. આ આકૃતિ 8 માં બતાવેલ કેસ છે.
આ ફકરામાં, અમે ક્રિયાઓનો ક્રમ આપીશું જે ચોક્કસ અંતરાલ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અથવા સૌથી નાની કિંમત શોધવા માટે થવી જોઈએ.
- પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનનું ડોમેન શોધીએ. ચાલો તપાસીએ કે શરતમાં ઉલ્લેખિત સેગમેન્ટ તેમાં શામેલ છે કે કેમ.
- હવે ચાલો આ સેગમેન્ટમાં સમાવિષ્ટ બિંદુઓની ગણતરી કરીએ કે જેના પર પ્રથમ ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં નથી. મોટેભાગે, તેઓ એવા કાર્યોમાં મળી શકે છે કે જેની દલીલ મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે, અથવા પાવર ફંક્શન્સમાં, જેનો ઘાતાંક અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યા છે.
- આગળ, આપણે શોધીએ છીએ કે કયા સ્થિર બિંદુઓ આપેલ સેગમેન્ટમાં આવે છે. આ કરવા માટે, તમારે ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પછી તેને 0 સાથે સમાન કરો અને પરિણામી સમીકરણને હલ કરો, અને પછી યોગ્ય મૂળ પસંદ કરો. જો આપણને એક પણ સ્થિર બિંદુ ન મળે અથવા તે આપેલ સેગમેન્ટમાં ન આવે, તો અમે આગળના પગલા પર આગળ વધીએ છીએ.
- ચાલો આપણે નિર્ધારિત કરીએ કે આપેલ સ્થિર બિંદુઓ (જો કોઈ હોય તો) અથવા તે બિંદુઓ પર જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (જો કોઈ હોય તો) અથવા આપણે x = a અને x માટેના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ. = b.
- 5. અમારી પાસે ફંક્શન મૂલ્યોની શ્રેણી છે, જેમાંથી હવે આપણે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો હશે જે આપણે શોધવાની જરૂર છે.
ચાલો જોઈએ કે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ અલ્ગોરિધમને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લાગુ કરવું.
ઉદાહરણ 1
શરત:ફંક્શન y = x 3 + 4 x 2 આપેલ છે. સેગમેન્ટ્સ પર તેની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત નક્કી કરો [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - એક].
નિર્ણય:
ચાલો આ ફંક્શનનું ડોમેન શોધીને શરૂઆત કરીએ. આ કિસ્સામાં, તે 0 સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ શરતમાં ઉલ્લેખિત બંને વિભાગો વ્યાખ્યા વિસ્તારની અંદર હશે.
હવે આપણે અપૂર્ણાંકના તફાવતના નિયમ અનુસાર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
અમે શીખ્યા કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પર અસ્તિત્વમાં રહેશે [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - એક].
હવે આપણે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો આ સમીકરણ x 3 - 8 x 3 = 0 સાથે કરીએ. તે માત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, જે 2 છે. તે ફંક્શનનું સ્થિર બિંદુ હશે અને તે પ્રથમ સેગમેન્ટમાં આવશે [ 1 ; 4]
ચાલો પ્રથમ સેગમેન્ટના છેડે અને આપેલ બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ, એટલે કે. x = 1 , x = 2 અને x = 4 માટે:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
અમે મેળવ્યું છે કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 એ x = 1 પર પ્રાપ્ત થશે, અને સૌથી નાનો m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 પર .
બીજા સેગમેન્ટમાં કોઈ સ્થિર પોઈન્ટનો સમાવેશ થતો નથી, તેથી આપણે આપેલ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શન વેલ્યુની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
તેથી, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
જવાબ:સેગમેન્ટ માટે [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , સેગમેન્ટ માટે [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
ચિત્ર જુઓ:
અભ્યાસ કરતા પહેલા આ તરફ, અમે તમને એકતરફી મર્યાદા અને અનંતતા પરની મર્યાદાની યોગ્ય રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી તેનું પુનરાવર્તન કરવાની સલાહ આપીએ છીએ, તેમજ તેમને શોધવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ શીખીએ છીએ. ખુલ્લા અથવા અનંત અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે ક્રમમાં નીચેના પગલાંઓ કરીએ છીએ.
- પ્રથમ તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે શું આપેલ અંતરાલ આપેલ કાર્યના ડોમેનનો સબસેટ હશે.
- ચાલો આપણે તે બધા બિંદુઓ નક્કી કરીએ જે જરૂરી અંતરાલમાં સમાયેલ છે અને જેના પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. સામાન્ય રીતે તેઓ ફંક્શન્સમાં થાય છે જ્યાં દલીલ મોડ્યુલના ચિહ્નમાં અને પાવર ફંક્શન્સમાં અપૂર્ણાંક તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે બંધ હોય છે. જો આ બિંદુઓ ખૂટે છે, તો પછી તમે આગલા પગલા પર આગળ વધી શકો છો.
- હવે આપણે નક્કી કરીએ છીએ કે કયા સ્થિર બિંદુઓ આપેલ અંતરાલમાં આવે છે. પ્રથમ, આપણે વ્યુત્પન્નને 0 સાથે સરખાવીએ છીએ, સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ અને યોગ્ય મૂળ શોધીએ છીએ. જો અમારી પાસે એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી અથવા તે નિર્દિષ્ટ અંતરાલમાં આવતા નથી, તો અમે તરત જ આગળની ક્રિયાઓ પર આગળ વધીએ છીએ. તેઓ અંતરાલના પ્રકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
- જો અંતરાલ [ a ; b) , તો આપણે બિંદુ x = a અને એક બાજુની મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
- જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a ; b ] હોય, તો આપણે બિંદુ x = b અને એક બાજુની મર્યાદા lim x → a + 0 f (x) પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
- જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a ; b) હોય, તો આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
- જો અંતરાલ [ a ; + ∞).
- જો અંતરાલ (- ∞ ; b ] જેવો દેખાય છે, તો આપણે બિંદુ x = b પરની કિંમત અને માઇનસ અનંત લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ.
- જો - ∞ ; b , પછી આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) અને માઈનસ અનંત lim x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
- જો - ∞ ; + ∞ , પછી આપણે માઈનસ અને વત્તા અનંતની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- અંતે, તમારે કાર્ય અને મર્યાદાના પ્રાપ્ત મૂલ્યોના આધારે નિષ્કર્ષ દોરવાની જરૂર છે. અહીં ઘણા બધા વિકલ્પો છે. તેથી, જો એકતરફી મર્યાદા માઈનસ અનંત અથવા વત્તા અનંતની બરાબર હોય, તો તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્ય વિશે કંઈ કહી શકાય નહીં. નીચે આપણે એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈશું. વિગતવાર વર્ણનો તમને શું છે તે સમજવામાં મદદ કરશે. જો જરૂરી હોય તો, તમે સામગ્રીના પ્રથમ ભાગમાં આંકડા 4 - 8 પર પાછા આવી શકો છો.
ઉદાહરણ 2 શરત: ફંક્શન y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 આપેલ છે. અંતરાલોમાં તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરો - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).
નિર્ણય
સૌ પ્રથમ, આપણે ફંક્શનનું ડોમેન શોધીએ છીએ. અપૂર્ણાંકનો છેદ એક ચોરસ ત્રિપદી છે, જે 0 પર ન જવો જોઈએ:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2 ; + ∞)
અમે ફંક્શનનો અવકાશ મેળવ્યો છે, જેમાં શરતમાં ઉલ્લેખિત તમામ અંતરાલો સંબંધિત છે.
હવે ચાલો ફંક્શનને અલગ કરીએ અને મેળવીએ:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
પરિણામે, ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધવા તરફ આગળ વધીએ. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન x = - 1 2 પર 0 બને છે. આ એક સ્થિર બિંદુ છે જે અંતરાલોમાં છે (- 3 ; 1 ] અને (- 3 ; 2) .
ચાલો અંતરાલ માટે x = - 4 પર ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ (- ∞ ; - 4 ] , તેમજ માઈનસ અનંત પરની મર્યાદા:
y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
3 e 1 6 - 4 > - 1 થી , પછી m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. આ અમને ફંક્શનની સૌથી નાની કિંમત અનન્ય રીતે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. આપણે માત્ર એ તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે નીચે એક મર્યાદા છે - 1 , કારણ કે તે આ મૂલ્ય છે કે ફંક્શન એસિમ્પટોટિક રીતે માઈનસ અનંત પર પહોંચે છે.
બીજા અંતરાલની વિશેષતા એ છે કે તેમાં એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી અને એક પણ કડક સીમા નથી. તેથી, આપણે ફંક્શનના સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્યની ગણતરી કરી શકતા નથી. માઇનસ અનંત પર મર્યાદાને વ્યાખ્યાયિત કરીને અને દલીલ ડાબી બાજુએ - 3 તરફ વળે છે, આપણે ફક્ત મૂલ્યોની શ્રેણી મેળવીએ છીએ:
લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય મૂલ્યો અંતરાલમાં સ્થિત થશે - 1 ; +∞
ત્રીજા અંતરાલમાં ફંક્શનની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે, અમે તેનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ x = - 1 2 જો x = 1 પર નક્કી કરીએ છીએ. જ્યારે દલીલ જમણી બાજુએ - 3 તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે આપણે કેસ માટે એકતરફી મર્યાદા પણ જાણવાની જરૂર છે:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
તે બહાર આવ્યું છે કે ફંક્શન સ્થિર બિંદુ m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 પર સૌથી મોટી કિંમત લેશે. સૌથી નાની કિંમત માટે, આપણે તે નક્કી કરી શકતા નથી. જાણો , - 4 ની નીચી મર્યાદાની હાજરી છે.
અંતરાલ (- 3 ; 2) માટે, ચાલો અગાઉની ગણતરીના પરિણામો લઈએ અને ફરી એકવાર ગણતરી કરીએ કે જ્યારે ડાબી બાજુથી 2 તરફ વળીએ ત્યારે એકતરફી મર્યાદા કેટલી બરાબર છે:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 લિમ x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
આથી, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , અને સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકાતું નથી, અને ફંક્શનના મૂલ્યો નંબર - 4 દ્વારા નીચેથી બંધાયેલા છે.
અમે અગાઉની બે ગણતરીઓમાં શું કર્યું તેના આધારે, અમે અંતરાલ [ 1 ; 2) ફંક્શન x = 1 પર સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે, અને સૌથી નાનું શોધવાનું અશક્ય છે.
અંતરાલ પર (2 ; + ∞), ફંક્શન સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચશે નહીં, એટલે કે. તે અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લેશે - 1 ; +∞
લિમ x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
x = 4 પર ફંક્શનની કિંમત કેટલી હશે તેની ગણતરી કર્યા પછી, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , અને વત્તા અનંત પર આપેલ ફંક્શન એસિમ્પ્ટોટિક રીતે રેખા y = - 1 સુધી પહોંચશે.
આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે દરેક ગણતરીમાં આપણને શું મળ્યું તેની સરખામણી કરીએ. આકૃતિમાં, એસિમ્પ્ટોટ્સ ડોટેડ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધવા વિશે આપણે આટલું જ વાત કરવા માગીએ છીએ. અમે આપેલ ક્રિયાઓના તે ક્રમ તમને શક્ય તેટલી ઝડપથી અને સરળ રીતે જરૂરી ગણતરીઓ કરવામાં મદદ કરશે. પરંતુ યાદ રાખો કે ફંક્શન કયા અંતરાલો પર ઘટશે અને કયા પર તે વધશે તે શોધવા માટે તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે, જેના પછી વધુ તારણો દોરી શકાય છે. તેથી તમે કાર્યનું સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું મૂલ્ય વધુ સચોટ રીતે નક્કી કરી શકો છો અને પરિણામોને યોગ્ય ઠેરવી શકો છો.
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ જણાય, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
આ સેવા સાથે, તમે કરી શકો છો ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધોવર્ડમાં સોલ્યુશનની ડિઝાઇન સાથે એક ચલ f(x). જો ફંક્શન f(x,y) આપવામાં આવ્યું હોય, તો બે ચલોના ફંક્શનની સીમા શોધવાની જરૂર છે. તમે કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો પણ શોધી શકો છો.
કાર્ય પ્રવેશ નિયમો:
એક ચલના કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી સ્થિતિ
સમીકરણ f "0 (x *) \u003d 0 એ એક ચલના ફંક્શનની સીમા માટે જરૂરી શરત છે, એટલે કે બિંદુ x * પર ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અદૃશ્ય થઈ જવું જોઈએ. તે સ્થિર બિંદુઓ x c પસંદ કરે છે કે જેના પર કાર્ય વધતું નથી અને ઘટતું નથી. એક ચલના ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી સ્થિતિ
F 0 (x) એ સેટ D સાથે જોડાયેલા xના સંદર્ભમાં બે વાર ભિન્ન છે. જો બિંદુ x * પર શરત પૂરી થાય છે: F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
પછી બિંદુ x * એ કાર્યના સ્થાનિક (વૈશ્વિક) ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
જો બિંદુ x * પર શરત પૂરી થાય છે:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
તે બિંદુ x * એ સ્થાનિક (વૈશ્વિક) મહત્તમ છે.
ઉદાહરણ #1. ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો: સેગમેન્ટ પર.
નિર્ણય.
નિર્ણાયક બિંદુ એક x 1 = 2 (f'(x)=0) છે. આ બિંદુ સેગમેન્ટનો છે. (બિંદુ x=0 મહત્વપૂર્ણ નથી, કારણ કે 0∉).
અમે સેગમેન્ટના છેડે અને નિર્ણાયક બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
જવાબ: x=2 માટે f મિનિટ = 5/2; f મહત્તમ =9 પર x=1
ઉદાહરણ #2. ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શન y=x-2sin(x) ની સીમા શોધો.
નિર્ણય.
ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો: y’=1-2cos(x) . ચાલો નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. આપણે y''=2sin(x) શોધીએ છીએ, ગણતરી કરીએ છીએ, તેથી x= π / 3 +2πk, k∈Z એ ફંક્શનના ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે; 
, તેથી x=- π / 3 +2πk, k∈Z એ ફંક્શનના મહત્તમ બિંદુઓ છે.
ઉદાહરણ #3. બિંદુ x=0 ની પડોશમાં એક્સ્ટ્રીમમ ફંક્શનની તપાસ કરો.
નિર્ણય. અહીં ફંક્શનની સીમા શોધવાનું જરૂરી છે. જો એક્સટ્રીમમ x=0 હોય, તો તેનો પ્રકાર (ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ) શોધો. જો મળેલા બિંદુઓ વચ્ચે કોઈ x = 0 ન હોય, તો ફંક્શન f(x=0) ની કિંમતની ગણતરી કરો.
એ નોંધવું જોઈએ કે જ્યારે આપેલ બિંદુની દરેક બાજુ પરનું વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને બદલતું નથી, ત્યારે સંભવિત પરિસ્થિતિઓ અલગ-અલગ કાર્યો માટે પણ ખતમ થતી નથી: એવું બની શકે છે કે બિંદુ x 0 અથવા 0 ની એક બાજુએ મનસ્વી રીતે નાના પડોશી માટે બંને બાજુએ, વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન. આ બિંદુઓ પર, વ્યક્તિએ એક્સ્ટ્રીમમ સુધીના કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટે અન્ય પદ્ધતિઓ લાગુ કરવી પડશે.
કાર્ય કરવા દો y=f(X)અંતરાલ પર સતત [ a, b]. જેમ જાણીતું છે, આવા કાર્ય આ સેગમેન્ટમાં તેના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. ફંક્શન આ મૂલ્યોને સેગમેન્ટના આંતરિક બિંદુએ લઈ શકે છે [ a, b], અથવા સેગમેન્ટની સીમા પર.
સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા માટે [ a, b] જરૂરી:
1) અંતરાલમાં કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો ( a, b);
2) મળેલા નિર્ણાયક બિંદુઓ પર કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરો;
3) સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરો, એટલે કે, માટે x=aઅને x = b;
4) ફંક્શનના તમામ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોમાંથી, સૌથી મોટું અને નાનું પસંદ કરો.
ઉદાહરણ.ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો
સેગમેન્ટ પર.
નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધવી:
આ બિંદુઓ સેગમેન્ટની અંદર આવેલા છે; y(1)
= ‒ 3; y(2)
= ‒ 4; y(0)
= ‒ 8; y(3)
= 1;
બિંદુ પર x= 3 અને બિંદુ પર x=
0.
બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુ માટે કાર્યની તપાસ.
કાર્ય y
=
f
(x)
કહેવાય છે બહિર્મુખવચ્ચે (a,
b)
, જો તેનો ગ્રાફ આ અંતરાલના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકની નીચે રહેલો હોય, અને તેને કહેવામાં આવે છે બહિર્મુખ નીચે (અંતર્મુખ)જો તેનો ગ્રાફ સ્પર્શકની ઉપર આવેલો છે.
સંક્રમણ પરના બિંદુ કે જેના દ્વારા બહિર્મુખતાને અવતરણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે અથવા તેનાથી ઊલટું કહેવામાં આવે છે. વળાંક બિંદુ.
બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુ માટે અભ્યાસ માટે અલ્ગોરિધમ:
1. બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, એટલે કે, તે બિંદુઓ કે જેના પર બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
2. સંખ્યા રેખા પર નિર્ણાયક બિંદુઓ મૂકો, તેને અંતરાલોમાં તોડીને. દરેક અંતરાલ પર બીજા વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન શોધો; જો , તો ફંક્શન બહિર્મુખ ઉપરની તરફ છે, જો, તો ફંક્શન બહિર્મુખ નીચેની તરફ છે.
3. જો, જ્યારે બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે ચિહ્નમાં ફેરફાર કરે છે અને આ બિંદુએ બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, તો આ બિંદુ એ ઇન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટનો એબ્સીસા છે. તેનું ઓર્ડિનેટ શોધો.
ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ. એસિમ્પ્ટોટ્સમાં કાર્યની તપાસ.
વ્યાખ્યા.ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટને કહેવામાં આવે છે સીધા, જેમાં ગુણધર્મ છે કે આલેખના કોઈપણ બિંદુથી આ રેખા સુધીનું અંતર મૂળમાંથી ગ્રાફ બિંદુને અમર્યાદિત દૂર કરીને શૂન્ય તરફ વળે છે.
ત્રણ પ્રકારના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે: વર્ટિકલ, હોરીઝોન્ટલ અને વળેલું.
વ્યાખ્યા.સીધો ફોન કર્યો વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફ y = f(x), જો આ બિંદુએ ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અનંત સમાન હોય, તો તે છે
ફંક્શનનું વિરામ બિંદુ ક્યાં છે, એટલે કે, તે વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત નથી.
ઉદાહરણ.
ડી( y)
= (‒ ∞; 2)
(2; + ∞)
x= 2 - બ્રેકિંગ પોઈન્ટ.
વ્યાખ્યા.સીધું y=એકહેવાય છે આડી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફ y = f(x)ખાતે, જો
ઉદાહરણ.
વ્યાખ્યા.સીધું y=kx +b
(k≠ 0) કહેવાય છે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફ y = f(x)ક્યાં
કાર્યો અને પ્લોટિંગના અભ્યાસ માટે સામાન્ય યોજના.
કાર્ય સંશોધન અલ્ગોરિધમy = f(x)
:
1. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો ડી
(y).
2. સંકલન અક્ષો (સાથે) ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ (જો શક્ય હોય તો) શોધો x= 0 અને ખાતે y
= 0).
3. સમ અને વિષમ કાર્યો માટે તપાસ કરો ( y
(‒
x)
= y
(x)
‒
સમાનતા y(‒
x)
= ‒
y
(x)
‒
એકી).
4. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.
5. કાર્યની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો.
6. ફંક્શનની સીમા શોધો.
7. ફંક્શનના આલેખના બહિર્મુખતા (અંતર્મુખતા) અને વળાંક બિંદુઓના અંતરાલ શોધો.
8. હાથ ધરાયેલા સંશોધનના આધારે, કાર્યનો આલેખ બનાવો.
ઉદાહરણ.કાર્યની તપાસ કરો અને તેનો આલેખ બનાવો.
1)
ડી
(y)
=
x= 4 - બ્રેકિંગ પોઈન્ટ.
2) ક્યારે x
= 0,
(0; – 5) – સાથે છેદન બિંદુ ઓય.
મુ y
= 0,
3)
y(‒
x)=
સામાન્ય કાર્ય (ન તો સમાન કે વિષમ).
4) અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે તપાસ કરીએ છીએ.
a) ઊભી
b) આડી
c) જ્યાં ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો
- ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ
5) આ સમીકરણમાં, કાર્યની એકવિધતાના અંતરાલો શોધવાની જરૂર નથી.
6)
આ નિર્ણાયક બિંદુઓ અંતરાલ (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) અને (10; +∞) પર ફંક્શનના સમગ્ર ડોમેનનું વિભાજન કરે છે. પ્રાપ્ત પરિણામોને નીચેના કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરવું અનુકૂળ છે.
સેગમેન્ટ પર. 
