આજે એક ખૂબ જ સરળ પાઠ હશે. અમે માત્ર એક ઑબ્જેક્ટ પર વિચાર કરીશું - કોણ દ્વિભાજક - અને તેની સૌથી મહત્વપૂર્ણ મિલકત સાબિત કરીશું, જે ભવિષ્યમાં આપણા માટે ખૂબ ઉપયોગી થશે.

ફક્ત આરામ કરશો નહીં: કેટલીકવાર જે વિદ્યાર્થીઓ સમાન યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઉચ્ચ સ્કોર મેળવવા માંગે છે તેઓ પ્રથમ પાઠમાં દ્વિભાજકની વ્યાખ્યા પણ ચોક્કસ રીતે ઘડી શકતા નથી.

અને ખરેખર રસપ્રદ કાર્યો કરવાને બદલે, આપણે આવી સરળ બાબતોમાં સમય બગાડે છે. તો વાંચો, જુઓ અને અપનાવો. :)

શરૂ કરવા માટે, થોડો વિચિત્ર પ્રશ્ન: કોણ શું છે? તે સાચું છે: કોણ એ એક જ બિંદુમાંથી નીકળતી બે કિરણો છે. દાખ્લા તરીકે:

ખૂણાઓના ઉદાહરણો: તીવ્ર, સ્થૂળ અને જમણે

જેમ તમે ચિત્રમાંથી જોઈ શકો છો, ખૂણા તીવ્ર, સ્થૂળ, સીધા હોઈ શકે છે - તે હવે વાંધો નથી. ઘણીવાર, સગવડ માટે, દરેક કિરણ પર વધારાના બિંદુને ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે અને તેઓ કહે છે કે આપણી સામે કોણ $AOB$ છે ($\angle AOB$ તરીકે લખાયેલ છે).

કેપ્ટન ઓબ્વિયનેસ એ સંકેત આપે છે કે $OA$ અને $OB$ કિરણો ઉપરાંત, $O$ બિંદુથી વધુ કિરણોનો સમૂહ દોરવાનું હંમેશા શક્ય છે. પરંતુ તેમની વચ્ચે એક વિશેષ હશે - તેને દ્વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ખૂણાનો દ્વિભાજક એ કિરણ છે જે તે ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી બહાર આવે છે અને કોણને દ્વિભાજિત કરે છે.

ઉપરોક્ત ખૂણાઓ માટે, દ્વિભાજકો આના જેવો દેખાશે:

તીવ્ર, સ્થૂળ અને જમણા ખૂણા માટે દ્વિભાજકોના ઉદાહરણો

વાસ્તવિક રેખાંકનોમાં તે હંમેશા સ્પષ્ટ નથી હોતું કે ચોક્કસ કિરણ (અમારા કિસ્સામાં તે $OM$ કિરણ છે) મૂળ કોણને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, ભૂમિતિમાં સમાન ખૂણાઓને સમાન સંખ્યામાં ચાપ સાથે ચિહ્નિત કરવાનો રિવાજ છે ( અમારા ડ્રોઇંગમાં આ એક્યુટ એંગલ માટે 1 ચાપ છે, બે સ્થૂળ માટે, ત્રણ સીધા માટે).

ઠીક છે, અમે વ્યાખ્યા ગોઠવી દીધી છે. હવે તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે દ્વિભાજકમાં શું ગુણધર્મો છે.

કોણ દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત

હકીકતમાં, દ્વિભાજકમાં ઘણી બધી મિલકતો છે. અને અમે ચોક્કસપણે તેમને આગામી પાઠમાં જોઈશું. પરંતુ એક યુક્તિ છે જે તમારે હમણાં સમજવાની જરૂર છે:

પ્રમેય. કોણનું દ્વિભાજક એ આપેલ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

ગાણિતિકમાંથી રશિયનમાં અનુવાદિત, આનો અર્થ એક સાથે બે હકીકતો છે:

1. ચોક્કસ ખૂણાના દ્વિભાજક પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ આ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે.
2. અને ઊલટું: જો કોઈ બિંદુ આપેલ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલું હોય, તો તે આ ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલા હોવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે.

આ વિધાનોને સાબિત કરતાં પહેલાં, ચાલો એક મુદ્દો સ્પષ્ટ કરીએ: એક બિંદુથી ખૂણાની બાજુ સુધીના અંતરને બરાબર શું કહેવાય? અહીં એક બિંદુથી એક રેખા સુધીના અંતરનું સારું જૂનું નિર્ધારણ આપણને મદદ કરશે:

વ્યાખ્યા. એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ આપેલ બિંદુથી આ રેખા સુધી દોરેલા લંબરૂપની લંબાઈ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખા $l$ અને બિંદુ $A$ને ધ્યાનમાં લો જે આ રેખા પર ન હોય. ચાલો $AH$ પર લંબ દોરીએ, જ્યાં $H\in l$. પછી આ લંબની લંબાઈ બિંદુ $A$ થી સીધી રેખા $l$ સુધીનું અંતર હશે.

બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરનું ગ્રાફિક પ્રતિનિધિત્વ

કારણ કે ખૂણો ફક્ત બે કિરણો છે, અને દરેક કિરણ એક સીધી રેખાનો ટુકડો છે, તેથી એક બિંદુથી ખૂણાની બાજુઓ સુધીનું અંતર નક્કી કરવું સરળ છે. આ માત્ર બે લંબ છે:

બિંદુથી ખૂણાની બાજુઓ સુધીનું અંતર નક્કી કરો

બસ એટલું જ! હવે આપણે જાણીએ છીએ કે અંતર શું છે અને દ્વિભાજક શું છે. તેથી, અમે મુખ્ય મિલકત સાબિત કરી શકીએ છીએ.

વચન મુજબ, અમે પુરાવાને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરીશું:

1. દ્વિભાજક પરના બિંદુથી કોણની બાજુઓ સુધીનું અંતર સમાન છે

શિરોબિંદુ $O$ અને દ્વિભાજક $OM$ સાથેના મનસ્વી કોણને ધ્યાનમાં લો:

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ જ બિંદુ $M$ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે.

પુરાવો. ચાલો બિંદુ $M$ થી ખૂણાની બાજુઓ સુધી લંબ દોરીએ. ચાલો તેમને $M((H)_(1))$ અને $M((H)_(2))$ કહીએ:

કોણની બાજુઓ પર લંબ દોરો

અમે બે કાટકોણ મેળવ્યા: $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$. તેમની પાસે સામાન્ય કર્ણ છે $OM$ અને સમાન ખૂણા:

1. $\કોણ MO((H)_(1))=\ કોણ MO((H)_(2))$ શરત દ્વારા (કારણ કે $OM$ એ દ્વિભાજક છે);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ બાંધકામ દ્વારા;
3. $\કોણ OM((H)_(1))=\કોણ OM((H)_(2))=90()^\circ -\કોણ MO((H)_(1))$, ત્યારથી સરવાળો કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા હંમેશા 90 અંશ હોય છે.

પરિણામે, ત્રિકોણ બાજુમાં સમાન છે અને બે અડીને આવેલા ખૂણા (ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો જુઓ). તેથી, ખાસ કરીને, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, એટલે કે. બિંદુ $O$ થી કોણની બાજુઓ સુધીનું અંતર ખરેખર સમાન છે. Q.E.D. :)

2. જો અંતર સમાન હોય, તો બિંદુ દ્વિભાજક પર આવેલું છે

હવે સ્થિતિ ઉલટી છે. એક ખૂણો $O$ આપવા દો અને આ ખૂણાની બાજુઓમાંથી એક બિંદુ $M$ સમાન છે:

ચાલો સાબિત કરીએ કે કિરણ $OM$ એ દ્વિભાજક છે, એટલે કે. $\કોણ MO((H)_(1))=\કોણ MO((H)_(2))$.

પુરાવો. પ્રથમ, ચાલો આ ખૂબ જ કિરણ $OM$ દોરીએ, અન્યથા સાબિત કરવા માટે કંઈ રહેશે નહીં:

ખૂણાની અંદર $OM$ બીમનું સંચાલન કર્યું

ફરીથી આપણને બે કાટકોણ મળે છે: $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$. દેખીતી રીતે તેઓ સમાન છે કારણ કે:

1. હાયપોટેન્યુઝ $OM$ - સામાન્ય;
2. પગ $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ શરત દ્વારા (છેવટે, બિંદુ $M$ કોણની બાજુઓથી સમાન છે);
3. બાકીના પગ પણ સમાન છે, કારણ કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$ દ્વારા.

તેથી, ત્રિકોણ $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$ ત્રણ બાજુઓ પર છે. ખાસ કરીને, તેમના ખૂણા સમાન છે: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. અને આનો અર્થ એ થાય કે $OM$ એ દ્વિભાજક છે.

પુરાવાને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે પરિણામી સમાન ખૂણાઓને લાલ ચાપ સાથે ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

દ્વિભાજક કોણ $\કોણ ((H)_(1))O((H)_(2))$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કંઈ જટિલ નથી. અમે સાબિત કર્યું છે કે કોણનું દ્વિભાજક એ આ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન બિંદુઓનું સ્થાન છે. :)

હવે જ્યારે આપણે પરિભાષા વિશે વધુ કે ઓછું નક્કી કર્યું છે, તે આગલા સ્તર પર જવાનો સમય છે. આગળના પાઠમાં આપણે દ્વિભાજકના વધુ જટિલ ગુણધર્મો જોઈશું અને વાસ્તવિક સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે તેમને કેવી રીતે લાગુ કરવું તે શીખીશું.

ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ એક ખંડ છે જે ત્રિકોણના ખૂણાને બે સમાન ખૂણાઓમાં વિભાજીત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્રિકોણનો કોણ 120 0 છે, તો દ્વિભાજક દોરીને, આપણે દરેક 60 0 ના બે ખૂણાઓ બનાવીશું.

અને ત્રિકોણમાં ત્રણ ખૂણા હોવાથી, ત્રણ દ્વિભાજકો દોરી શકાય છે. તેઓ બધા પાસે એક કટ-ઓફ બિંદુ છે. આ બિંદુ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. બીજી રીતે, આ આંતરછેદ બિંદુને ત્રિકોણનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

જ્યારે આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાના બે દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે 90 0 નો ખૂણો મળે છે. ત્રિકોણમાં બાહ્ય કોણ એ ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો છે.

ચોખા. 1. 3 દ્વિભાજકો ધરાવતો ત્રિકોણ

દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને બે ભાગોમાં વહેંચે છે જે બાજુઓ સાથે જોડાયેલા છે:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

દ્વિભાજક બિંદુઓ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે. એટલે કે, જો દ્વિભાજકના કોઈપણ બિંદુ પરથી આપણે ત્રિકોણના ખૂણાની દરેક બાજુઓ પર લંબ મૂકીએ, તો આ લંબ સમાન હશે..

જો તમે એક શિરોબિંદુમાંથી મધ્ય, દ્વિભાજક અને ઊંચાઈ દોરો છો, તો મધ્યક સૌથી લાંબો ખંડ હશે, અને ઊંચાઈ સૌથી ટૂંકી હશે.

દ્વિભાજકની કેટલીક મિલકતો

ચોક્કસ પ્રકારના ત્રિકોણમાં, દ્વિભાજક વિશેષ ગુણધર્મો ધરાવે છે. આ મુખ્યત્વે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે. આ આંકડો બે સમાન બાજુઓ ધરાવે છે, અને ત્રીજીને આધાર કહેવામાં આવે છે.

જો તમે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાના શિરોબિંદુથી આધાર તરફ દ્વિભાજક દોરો છો, તો તેમાં ઊંચાઈ અને મધ્ય બંનેના ગુણધર્મો હશે. તદનુસાર, દ્વિભાજકની લંબાઈ મધ્ય અને ઊંચાઈની લંબાઈ સાથે એકરુપ છે.

વ્યાખ્યાઓ:

• ઊંચાઈ- ત્રિકોણના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ દોરેલ લંબ.
• મધ્યક– એક સેગમેન્ટ જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુ અને વિરુદ્ધ બાજુની મધ્યને જોડે છે.

ચોખા. 2. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં દ્વિભાજક

આ એક સમબાજુ ત્રિકોણને પણ લાગુ પડે છે, એટલે કે, એક ત્રિકોણ જેમાં ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોય છે.

ઉદાહરણ સોંપણી

ત્રિકોણ ABC માં: BR એ દ્વિભાજક છે, જેમાં AB = 6 cm, BC = 4 cm અને RC = 2 cm છે. ત્રીજી બાજુની લંબાઈ બાદ કરો.

ચોખા. 3. ત્રિકોણમાં દ્વિભાજક

ઉકેલ:

દ્વિભાજક ત્રિકોણની બાજુને ચોક્કસ પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો આ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીએ અને AR ને વ્યક્ત કરીએ. પછી દ્વિભાજક દ્વારા આ બાજુ વિભાજિત કરવામાં આવી હતી તે વિભાગોના સરવાળા તરીકે આપણે ત્રીજી બાજુની લંબાઈ શોધીશું.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

પછી સમગ્ર સેગમેન્ટ AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 સેમી.

કુલ પ્રાપ્ત રેટિંગઃ 107.

BISSECTRIX ની મિલકતો

દ્વિભાજક ગુણધર્મ: ત્રિકોણમાં, દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક ત્રિકોણના બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક તેની બાજુના વિસ્તરણને એક બિંદુ પર છેદે છે, આ બાજુના છેડા સુધીના અંતર અનુક્રમે ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર છે. સી બી એ ડી

દ્વિભાજકની લંબાઈ માટેના સૂત્રો:

વિભાગોની લંબાઈ શોધવા માટેનું સૂત્ર જેમાં દ્વિભાજક ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે

વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટેનું સૂત્ર જેમાં દ્વિભાજકને દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુથી વિભાજિત કરવામાં આવે છે

સમસ્યા 1. ત્રિકોણના દ્વિભાજકોમાંથી એકને શિરોબિંદુમાંથી ગણીને 3:2 ના ગુણોત્તરમાં દ્વિભાજકોના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો જો ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ 12 સે.મી.

ઉકેલ ચાલો ત્રિકોણમાં દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુથી દ્વિભાજક વિભાજિત થયેલ હોય તેવા વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. જવાબ: P = 30cm.

કાર્ય 2. દ્વિભાજકો BD અને CE ∆ ABC બિંદુ O પર છેદે છે. AB=14, BC=6, AC=10. ઓ ડી શોધો.

ઉકેલ. ચાલો દ્વિભાજકની લંબાઈ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: આપણી પાસે છે: BD = BD = = વિભાગોના ગુણોત્તર માટેના સૂત્ર અનુસાર જેમાં દ્વિભાજકને દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુથી વિભાજિત કરવામાં આવે છે: l = . કુલ 2 + 1 = 3 ભાગો.

આ ભાગ 1 છે  OD = જવાબ: OD =

સમસ્યાઓ ∆ ABC માં AL અને BK દ્વિભાજકો દોરેલા છે. KL સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધો જો AB = 15, AK =7.5, BL = 5. ∆ ABC પર એક દ્વિભાજક AD છે, અને બિંદુ D દ્વારા એક રેખા AC ની સમાંતર અને બિંદુ E પર AB ને છેદે છે. આનો ગુણોત્તર શોધો વિસ્તારો ∆ ABC અને ∆ BDE , જો AB = 5, AC = 7. પગ 24 cm અને 18 cm ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાના દ્વિભાજકો શોધો. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, એક્યુટ એંગલનો દ્વિભાજક સામેના પગને 4 અને 5 સેમી લાંબા ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરો.

5. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર અને બાજુ અનુક્રમે 5 અને 20 સે.મી.ના સમાન હોય છે. ત્રિકોણના પાયા પરના ખૂણાના દ્વિભાજકને શોધો. 6. ત્રિકોણના કાટખૂણાના દ્વિભાજક શોધો જેના પગ a અને b સમાન હોય. 7. બાજુની લંબાઈ a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm સાથે ત્રિકોણ ABC ના કોણ A ના દ્વિભાજકની લંબાઈની ગણતરી કરો. 8. ત્રિકોણ ABC માં, બાજુઓની લંબાઈ AB, BC અને AC માં હોય છે. અનુક્રમે ગુણોત્તર 2:4:5. ગુણોત્તર શોધો જેમાં આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો તેમના આંતરછેદના બિંદુએ વિભાજિત થાય છે.

જવાબો: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =

સોરોકિના વીકા

ત્રિકોણના દ્વિભાજકના ગુણધર્મોના પુરાવા આપવામાં આવે છે અને સમસ્યાના ઉકેલ માટે સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

સારાટોવના વહીવટની શિક્ષણ સમિતિ, ઓક્ટ્યાબ્રસ્કી જિલ્લા મ્યુનિસિપલ સ્વાયત્ત શૈક્ષણિક સંસ્થા લિસિયમ નંબર 3 નામ આપવામાં આવ્યું છે. એ.એસ. પુષ્કિન.

મ્યુનિસિપલ વૈજ્ઞાનિક-વ્યવહારિક

પરિષદ

"પ્રથમ પગલાં"

વિષય: દ્વિભાજક અને તેના ગુણધર્મો.

આના દ્વારા પૂર્ણ થયેલ કાર્ય: 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થી

સોરોકિના વિક્ટોરિયાવૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષક: ઉચ્ચતમ શ્રેણીના ગણિત શિક્ષકપોપોવા નીના ફેડોરોવના.

સારાટોવ 2011

1. શીર્ષક પૃષ્ઠ………………………………………………………….1
2. સામગ્રીઓ……………………………………………………… 2
3. પરિચય અને ઉદ્દેશો ……………………………………………………………… ..3
4. દ્વિભાજકના ગુણધર્મોની વિચારણા

• બિંદુઓનું ત્રીજું સ્થાન………………………………….3
• પ્રમેય 1 ……………………………………………………………… 4
• પ્રમેય 2 ……………………………………………………………… 4
• ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત:

1. પ્રમેય 3 ……………………………………………………………… 4
2. કાર્ય 1 ………………………………………………………………….7
3. કાર્ય 2……………………………………………………….8
4. કાર્ય 3 ………………………………………………………………………
5. કાર્ય 4……………………………………………………………….9-10

• પ્રમેય 4……………………………………………………………… 10-11
• દ્વિભાજક શોધવા માટેના સૂત્રો:

1. પ્રમેય 5……………………………………………………………….11
2. પ્રમેય 6……………………………………………………………….11
3. પ્રમેય 7……………………………………………………………….12
4. કાર્ય 5 ……………………………………………………… 12-13

• પ્રમેય 8……………………………………………………………….13
• કાર્ય 6………………………………………………………….14
• કાર્ય 7 ……………………………………………………………………… 14-15
• દ્વિભાજકનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય દિશાઓનું નિર્ધારણ………………15

1. નિષ્કર્ષ અને નિષ્કર્ષ………………………………………………………..15
2. સંદર્ભોની યાદી………………………………………..16

દ્વિભાજક

ભૂમિતિના વર્ગમાં, સમાન ત્રિકોણના વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે, મને વિપરિત બાજુઓ સાથે દ્વિભાજકના સંબંધ વિશે પ્રમેય પર સમસ્યા આવી. એવું લાગે છે કે દ્વિભાજક વિષયમાં કંઈક રસપ્રદ હોઈ શકે છે, પરંતુ આ વિષય મને રસ ધરાવતો હતો, અને હું તેનો ઊંડો અભ્યાસ કરવા માંગતો હતો. છેવટે, દ્વિભાજક તેના અદ્ભુત ગુણધર્મોમાં ખૂબ સમૃદ્ધ છે જે વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરે છે.

આ વિષય પર વિચાર કરતી વખતે, તમે જોશો કે ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકો દ્વિભાજકના ગુણધર્મો વિશે બહુ ઓછું કહે છે, પરંતુ પરીક્ષાઓમાં, તેમને જાણીને, તમે સમસ્યાઓને વધુ સરળ અને ઝડપી હલ કરી શકો છો. વધુમાં, રાજ્ય પરીક્ષા અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માટે, આધુનિક વિદ્યાર્થીઓએ શાળાના અભ્યાસક્રમ માટે વધારાની સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે. તેથી જ મેં દ્વિભાજક વિષયનો વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું.

દ્વિભાજક (લેટિન દ્વિ- "ડબલ", અને વિભાગોમાંથી કોણનું "કટીંગ") એ કોણના શિરોબિંદુ પર શરૂઆત સાથેનો કિરણ છે, જે ખૂણાને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. કોણનું દ્વિભાજક (તેના વિસ્તરણ સાથે) એ કોણની બાજુઓ (અથવા તેમના વિસ્તરણો) થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે)

પોઈન્ટનું ત્રીજું સ્થાન

આકૃતિ એફ અમુક ગુણધર્મ ધરાવતા બિંદુઓનું સ્થાન (બિંદુઓનો સમૂહ) છેએ, જો બે શરતો પૂરી થાય છે:

1. હકીકત એ છે કે બિંદુ આકૃતિનો છે F, તે અનુસરે છે કે તેની પાસે મિલકત છેએ;
2. હકીકત એ છે કે બિંદુ મિલકતને સંતોષે છેએ, તે અનુસરે છે કે તે આકૃતિની છેએફ.

ભૂમિતિમાં ગણવામાં આવતા બિંદુઓનું પ્રથમ સ્થાન એક વર્તુળ છે, એટલે કે. એક નિશ્ચિત બિંદુથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓનું સ્થાન. બીજો સેગમેન્ટનો લંબ દ્વિભાજક છે, એટલે કે. સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓનું સ્થાન. અને અંતે, ત્રીજો - દ્વિભાજક - કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન

પ્રમેય 1:

દ્વિભાજક બિંદુઓ બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છેતે ખૂણે છે.

પુરાવો:

ચાલો આર - દ્વિભાજક બિંદુએ. ચાલો બિંદુ પરથી છોડી દોપી કાટખૂણેઆરવી અને ખૂણાની બાજુઓ પર પીસી. પછી VAR = SAR કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા. તેથી, PB = PC

પ્રમેય 2:

જો બિંદુ P કોણ A ની બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર હોય, તો તે દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

સાબિતી: PB = PC => VAR = CAP => BAP = CAP => AR એ દ્વિભાજક છે.

મૂળભૂત ભૌમિતિક તથ્યોમાં એ પ્રમેય છે કે દ્વિભાજક વિરોધી બાજુઓના સંબંધમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે. આ હકીકત લાંબા સમય સુધી પડછાયામાં રહી, પરંતુ દરેક જગ્યાએ એવી સમસ્યાઓ છે જેનું નિરાકરણ કરવું વધુ સરળ છે જો તમે આ અને દ્વિભાજક વિશેના અન્ય તથ્યો જાણો છો. મને રસ પડ્યો અને દ્વિભાજકની આ મિલકતને વધુ શોધવાનું નક્કી કર્યું.

ત્રિકોણના કોણ દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત

પ્રમેય 3. દ્વિભાજક ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુને બાજુની બાજુઓના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે.

પુરાવા 1:

આપેલ: AL - ત્રિકોણ ABC નો દ્વિભાજક

સાબિત કરો:

સાબિતી: F હોઈ દો રેખાના આંતરછેદનું બિંદુએએલ અને બિંદુ પરથી પસાર થતી એક રેખા IN AC બાજુની સમાંતર.

પછી BFA = FAC = BAF. તેથી, B.A.F. સમદ્વિબાજુ અને AB = BF. ત્રિકોણની સમાનતામાંથીઅમારી પાસે ALC અને FLB છે

ગુણોત્તર

જ્યાં

પુરાવા 2

F એ રેખા AL દ્વારા છેદાયેલ બિંદુ અને આધાર AB ની સમાંતર C બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા હોવા દો. પછી તમે તર્કનું પુનરાવર્તન કરી શકો છો.

પુરાવા 3

K અને M ને રેખા પર મુકેલા લંબનો આધાર બનવા દોબિંદુ B અને C થી AL અનુક્રમે ત્રિકોણ ABL અને ACL બે ખૂણા પર સમાન છે. એ કારણે
. અને BKL અને CML ની ​​સમાનતામાંથી અમારી પાસે છે

અહીંથી

પુરાવો 4

ચાલો વિસ્તાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરીએ ABL અને ACL બે રીતે.

અહીંથી.

પુરાવા 5

ચાલો α= You,φ= BLA. ત્રિકોણ ABL માં સાઇનના પ્રમેય દ્વારા

અને ત્રિકોણ ACL માં.

કારણ કે,

પછી, સમાનતાની બંને બાજુઓને બીજાના અનુરૂપ ભાગોમાં વિભાજીત કરીને, આપણને મળે છે.

સમસ્યા 1

આપેલ: ABC ત્રિકોણમાં, VC એ દ્વિભાજક છે, BC = 2, KS = 1,

ઉકેલ:

સમસ્યા 2

આપેલ:

24 અને 18 પગવાળા કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાના દ્વિભાજકો શોધો

ઉકેલ:

ચાલો બાજુ AC = 18, બાજુ BC = 24,

એ.એમ. - ત્રિકોણનો દ્વિભાજક.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ,

કે AB = 30.

ત્યારથી

ચાલો એ જ રીતે બીજા દ્વિભાજકને શોધીએ.

જવાબ:

સમસ્યા 3

કાટકોણ ત્રિકોણમાંકાટકોણ B સાથે ABC કોણ દ્વિભાજકએ બાજુ પાર કરે છેબી.સી.

બિંદુએ ડી. તે જાણીતું છે કે BD = 4, DC = 6.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધોએડીસી

ઉકેલ:

ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મિલકત દ્વારા

ચાલો AB = 2 x, AC = 3 x સૂચવીએ. પ્રમેય દ્વારા

પાયથાગોરસ BC 2 + AB 2 = AC 2, અથવા 100 + 4 x 2 = 9 x 2

અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ x = પછી AB = , S ABC=

આથી,

સમસ્યા 4

આપેલ:

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં ABC બાજુએબી 10 બરાબર, આધાર AC 12 છે.

ખૂણાઓના દ્વિભાજકોએ અને સી એક બિંદુ પર છેદેડી. BD શોધો.

ઉકેલ:

કારણ કે ત્રિકોણના દ્વિભાજકો પર છેદે છે

એક બિંદુ, પછી BD એ B નો દ્વિભાજક છે. ચાલો BD ચાલુ રાખીએ સાથે આંતરછેદ સુધીબિંદુ M પર AC. પછી M એ AC નો મધ્યબિંદુ છે, BM AC. એ કારણે

કારણ કે સી.ડી - ત્રિકોણનો દ્વિભાજકત્યારે BMC

આથી,.

જવાબ:

પ્રમેય 4. ત્રિકોણના ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

ખરેખર, ચાલો પહેલા બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ P ને ધ્યાનમાં લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે AK 1 અને વીકે 2 . આ બિંદુ AB અને AC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, કારણ કે તે દ્વિભાજક પર આવેલું છેA, અને AB અને BC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, જેમ કે દ્વિભાજકથી સંબંધિત છેB. આનો અર્થ એ છે કે તે AC અને BC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે અને આ રીતે તે ત્રીજા દ્વિભાજક SC સાથે સંબંધિત છે 3 , એટલે કે, બિંદુ P પર ત્રણેય દ્વિભાજકો છેદે છે.

દ્વિભાજક શોધવા માટેના સૂત્રો
પ્રમેય 5: (દ્વિભાજક માટેનું પ્રથમ સૂત્ર): જો ત્રિકોણ ABC માં સેગમેન્ટ AL એ દ્વિભાજક છે A, પછી AL² = AB·AC - LB·LC.

પુરાવો: ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 41) ની આસપાસના વર્તુળ સાથે M એ રેખા AL ના આંતરછેદનું બિંદુ છે. એન્ગલ BAM એ કન્વેન્શન દ્વારા એન્ગલ MAC ની બરાબર છે. BMA અને BCA એંગલ્સ એક જ તાર દ્વારા સમાવિષ્ટ કોતરેલ ખૂણાઓ તરીકે એકરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ BAM અને LAC બે ખૂણામાં સમાન છે. તેથી, AL: AC = AB: AM. આનો અર્થ છે AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

પ્રમેય 6:. (દ્વિભાજક માટેનું બીજું સૂત્ર): ABC ત્રિકોણમાં બાજુઓ AB=a, AC=b અનેA 2α અને દ્વિભાજક l, સમાનતા ધરાવે છે:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

પુરાવો : ABC એ આપેલ ત્રિકોણ છે, AL તેનો દ્વિભાજક, a=AB, b=AC, l=AL. પછી એસ ABC = S ALB + S ALC . તેથી, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય 7: જો a, b ત્રિકોણની બાજુઓ છે, તો Y તેમની વચ્ચેનો કોણ છે,આ કોણનો દ્વિભાજક છે. પછી.

સરેરાશ સ્તર

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક. ઉદાહરણો સાથે વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક અને તેના ગુણધર્મો

શું તમે જાણો છો કે સેગમેન્ટનું મધ્યબિંદુ શું છે? અલબત્ત તમે કરો. વર્તુળના કેન્દ્ર વિશે શું? સમાન. કોણનું મધ્યબિંદુ શું છે? તમે કહી શકો કે આવું થતું નથી. પરંતુ એક સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં કેમ વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ કોણ નથી કરી શકતું? તે તદ્દન શક્ય છે - માત્ર એક બિંદુ નહીં, પરંતુ…. રેખા

શું તમને મજાક યાદ છે: દ્વિભાજક એ ઉંદર છે જે ખૂણાઓની આસપાસ ચાલે છે અને ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. તેથી, દ્વિભાજકની વાસ્તવિક વ્યાખ્યા આ મજાક જેવી જ છે:

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક- આ ખૂણાના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના બિંદુ સાથે જોડતા ત્રિકોણના ખૂણાનો આ દ્વિભાજક ભાગ છે.

એક સમયે, પ્રાચીન ખગોળશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ દ્વિભાજકના ઘણા રસપ્રદ ગુણધર્મો શોધી કાઢ્યા હતા. આ જ્ઞાને લોકોના જીવનને ખૂબ જ સરળ બનાવ્યું છે. તે બાંધવું, અંતર ગણવું, તોપોના ફાયરિંગને પણ વ્યવસ્થિત કરવું સરળ બની ગયું છે... આ ગુણધર્મોનું જ્ઞાન અમને કેટલાક GIA અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોને ઉકેલવામાં મદદ કરશે!

આમાં મદદ કરશે તે પ્રથમ જ્ઞાન છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો દ્વિભાજક.

માર્ગ દ્વારા, શું તમને આ બધી શરતો યાદ છે? શું તમને યાદ છે કે તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ છે? ના? ડરામણી નથી. ચાલો હવે તેને શોધી કાઢીએ.

તેથી, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર- આ તે બાજુ છે જે અન્ય કોઈની સમાન નથી. ચિત્ર જુઓ, તમને લાગે છે કે તે કઈ બાજુ છે? તે સાચું છે - આ બાજુ છે.

મધ્યક એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલી રેખા છે અને વિરુદ્ધ બાજુ (તે ફરીથી તે છે) અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

નોંધ લો કે આપણે એમ નથી કહેતા, "સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો મધ્યક." શું તમે જાણો છો શા માટે? કારણ કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક કોઈપણ ત્રિકોણમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે.

ઠીક છે, ઊંચાઈ એ ટોચ પરથી દોરેલી અને પાયા પર લંબરૂપ રેખા છે. તમે નોંધ્યું? અમે ફરીથી કોઈપણ ત્રિકોણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, માત્ર એક સમદ્વિબાજુની નહીં. કોઈપણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ હંમેશા પાયાની લંબ હોય છે.

તો, શું તમે તેને શોધી કાઢ્યું છે? લગભગ. દ્વિભાજક, મધ્ય અને ઊંચાઈ શું છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા અને કાયમ માટે યાદ રાખવા માટે, તમારે તેમની એકબીજા સાથે તુલના કરવાની અને તેઓ કેવી રીતે સમાન છે અને તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ છે તે સમજવાની જરૂર છે. તે જ સમયે, વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે, "માનવ ભાષા" માં દરેક વસ્તુનું વર્ણન કરવું વધુ સારું છે. પછી તમે સરળતાથી ગણિતની ભાષામાં કામ કરશો, પરંતુ શરૂઆતમાં તમે આ ભાષા સમજી શકતા નથી અને તમારે તમારી પોતાની ભાષામાં બધું સમજવાની જરૂર છે.

તો, તેઓ કેવી રીતે સમાન છે? દ્વિભાજક, મધ્ય અને ઊંચાઈ - તે બધા ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી "બહાર આવે છે" અને વિરુદ્ધ બાજુએ આરામ કરે છે અને "કંઈક કરો" કાં તો તે કોણથી બહાર આવે છે અથવા વિરુદ્ધ બાજુથી. મને લાગે છે કે તે સરળ છે, ના?

તેઓ કેવી રીતે અલગ છે?

• દ્વિભાજક ખૂણાને વિભાજિત કરે છે જેમાંથી તે અડધા ભાગમાં બહાર આવે છે.
• મધ્યક વિરુદ્ધ બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.
• ઊંચાઈ હંમેશા વિરુદ્ધ બાજુ પર લંબ હોય છે.

બસ આ જ. તે સમજવું સરળ છે. અને એકવાર તમે સમજો છો, તમે યાદ રાખી શકો છો.

હવે આગળનો પ્રશ્ન. શા માટે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના કિસ્સામાં, દ્વિભાજક મધ્ય અને ઊંચાઈ બંને છે?

તમે ફક્ત આકૃતિને જોઈ શકો છો અને ખાતરી કરી શકો છો કે મધ્ય બે એકદમ સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે. બસ એટલું જ! પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેમની આંખો પર વિશ્વાસ કરવાનું પસંદ કરતા નથી. તેઓએ બધું સાબિત કરવાની જરૂર છે. ડરામણી શબ્દ? એવું કંઈ નથી - તે સરળ છે! જુઓ: બંનેની સમાન બાજુઓ છે અને, સામાન્ય રીતે તેમની પાસે એક સામાન્ય બાજુ છે અને. (- દ્વિભાજક!) અને તેથી તે તારણ આપે છે કે બે ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ અને તેમની વચ્ચે એક ખૂણો છે. અમે ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ સંકેતને યાદ કરીએ છીએ (જો તમને યાદ ન હોય, તો વિષયમાં જુઓ) અને તે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ, અને તેથી = અને.

આ પહેલેથી જ સારું છે - તેનો અર્થ એ છે કે તે મધ્યક હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

પરંતુ તે શું છે?

ચાલો ચિત્ર જોઈએ -. અને અમને તે મળ્યું. તેથી, પણ! છેલ્લે, હુરે! અને.

શું તમને આ સાબિતી થોડી ભારે લાગી? ચિત્ર જુઓ - બે સમાન ત્રિકોણ પોતાને માટે બોલે છે.

કોઈ પણ સંજોગોમાં, નિશ્ચિતપણે યાદ રાખો:

હવે તે વધુ મુશ્કેલ છે: અમે ગણતરી કરીશું કોઈપણ ત્રિકોણમાં દ્વિભાજકો વચ્ચેનો ખૂણો!ડરશો નહીં, તે એટલું મુશ્કેલ નથી. તસ્વીર સામે જો:

ચાલો તેને ગણીએ. શું તમને તે યાદ છે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો છે?

ચાલો આ અદ્ભુત હકીકત લાગુ કરીએ.

એક તરફ, તરફથી:

તે જ.

હવે ચાલો જોઈએ:

પણ દ્વિભાજકો, દ્વિભાજક!

ચાલો આ વિશે યાદ રાખીએ:

હવે પત્રો દ્વારા

\કોણ AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

તે આશ્ચર્યજનક નથી? તે બહાર આવ્યું છે કે બે ખૂણાના દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ ફક્ત ત્રીજા ખૂણા પર આધાર રાખે છે!

સારું, અમે બે દ્વિભાજકો તરફ જોયું. જો તેમાંથી ત્રણ હોય તો?!! શું તેઓ બધા એક બિંદુ પર છેદે છે?

અથવા તે આના જેવું હશે?

તમે કેવી રીતે વિચારો છો? તેથી ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વિચાર્યું અને વિચાર્યું અને સાબિત કર્યું:

તે મહાન નથી?

શું તમે જાણવા માંગો છો કે આવું કેમ થાય છે?

તો...બે કાટકોણ ત્રિકોણ: અને. તેમની પાસે છે:

• સામાન્ય કર્ણ.
• (કારણ કે તે દ્વિભાજક છે!)

આનો અર્થ છે - કોણ અને કર્ણ દ્વારા. તેથી, આ ત્રિકોણના અનુરૂપ પગ સમાન છે! તે જ.

અમે સાબિત કર્યું કે બિંદુ કોણની બાજુઓથી સમાન (અથવા સમાન રીતે) દૂર છે. પોઈન્ટ 1 સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવે છે. હવે ચાલો બિંદુ 2 પર આગળ વધીએ.

શા માટે 2 સાચું છે?

અને ચાલો બિંદુઓને જોડીએ અને.

આનો અર્થ એ કે તે દ્વિભાજક પર આવેલું છે!

બસ એટલું જ!

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બધું કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય? ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યાઓમાં ઘણીવાર નીચેનો વાક્ય હોય છે: "એક વર્તુળ ખૂણાની બાજુઓને સ્પર્શે છે...". સારું, તમારે કંઈક શોધવાની જરૂર છે.

પછી તમને તે ઝડપથી ખ્યાલ આવશે

અને તમે સમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

3. ત્રિકોણમાં ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે

દ્વિભાજકના ગુણધર્મમાંથી એક ખૂણાની બાજુઓથી સમાન અંતરના બિંદુઓના સ્થાન તરીકે, નીચેનું વિધાન નીચે મુજબ છે:

તે બરાબર કેવી રીતે બહાર આવે છે? પરંતુ જુઓ: બે દ્વિભાજકો ચોક્કસપણે છેદશે, બરાબર?

અને ત્રીજો દ્વિભાજક આની જેમ જઈ શકે છે:

પરંતુ વાસ્તવમાં, બધું વધુ સારું છે!

ચાલો બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદ બિંદુને જોઈએ. ચાલો તેને કૉલ કરીએ.

અમે અહીં બંને વખત શું વાપર્યું? હા ફકરો 1, અલબત્ત! જો કોઈ બિંદુ દ્વિભાજક પર સ્થિત છે, તો તે કોણની બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે.

અને તેથી તે થયું.

પરંતુ આ બે સમાનતાને ધ્યાનથી જુઓ! છેવટે, તે તેમની પાસેથી અનુસરે છે અને તેથી, .

અને હવે તે અમલમાં આવશે બિંદુ 2: જો કોઈ ખૂણાની બાજુઓનું અંતર સમાન હોય, તો બિંદુ દ્વિભાજક પર આવેલું છે... કયો ખૂણો? ચિત્રને ફરીથી જુઓ:

અને કોણની બાજુઓનું અંતર છે, અને તે સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ કોણના દ્વિભાજક પર આવેલું છે. ત્રીજું દ્વિભાજક એ જ બિંદુ પરથી પસાર થયું! ત્રણેય દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે! અને વધારાની ભેટ તરીકે -

રેડી અંકિતવર્તુળો

(ખાતરી કરવા માટે, બીજો વિષય જુઓ).

સારું, હવે તમે ક્યારેય ભૂલશો નહીં:

ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ એ તેમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ચાલો આગળની પ્રોપર્ટી પર જઈએ... વાહ, દ્વિભાજકમાં ઘણી મિલકતો છે, ખરું ને? અને આ મહાન છે, કારણ કે વધુ ગુણધર્મો, દ્વિભાજક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે વધુ સાધનો.

4. દ્વિભાજક અને સમાંતરતા, અડીને આવેલા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો

હકીકત એ છે કે દ્વિભાજક કેટલાક કિસ્સાઓમાં ખૂણાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે તે સંપૂર્ણપણે અનપેક્ષિત પરિણામો તરફ દોરી જાય છે. દાખ્લા તરીકે,

કેસ 1

મહાન, અધિકાર? ચાલો સમજીએ કે આવું કેમ છે.

એક તરફ, આપણે દ્વિભાજક દોરીએ છીએ!

પરંતુ, બીજી બાજુ, એવા ખૂણાઓ છે જે ક્રોસવાઇઝ આવેલા છે (થીમ યાદ રાખો).

અને હવે તે બહાર આવ્યું છે કે; વચ્ચે ફેંકી દો: ! - સમદ્વિબાજુ!

કેસ 2

ત્રિકોણની કલ્પના કરો (અથવા ચિત્ર જુઓ)

ચાલો મુદ્દાની બહાર બાજુ ચાલુ રાખીએ. હવે આપણી પાસે બે ખૂણા છે:

• - આંતરિક ખૂણો
• - બાહ્ય ખૂણો બહાર છે, બરાબર?

તેથી, હવે કોઈ એક નહીં, પરંતુ એક સાથે બે દ્વિભાજક દોરવા માંગે છે: બંને માટે અને માટે. શું થશે?

તે કામ કરશે? લંબચોરસ!

આશ્ચર્યજનક રીતે, આ બરાબર કેસ છે.

ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

તમને શું લાગે છે કે રકમ શું છે?

અલબત્ત, - છેવટે, તેઓ બધા સાથે મળીને એવો કોણ બનાવે છે કે તે સીધી રેખા બની જાય છે.

હવે યાદ રાખો કે અને દ્વિભાજકો છે અને જુઓ કે કોણની અંદર બરાબર છે અડધાચારેય ખૂણાઓના સરવાળામાંથી: અને - - એટલે કે બરાબર. તમે તેને સમીકરણ તરીકે પણ લખી શકો છો:

તેથી, અવિશ્વસનીય પરંતુ સાચું:

ત્રિકોણના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાના દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ સમાન છે.

કેસ 3

શું તમે જુઓ છો કે અહીં બધું આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓ જેવું જ છે?

અથવા ચાલો ફરી વિચારીએ કે આવું કેમ થાય છે?

ફરીથી, અડીને આવેલા ખૂણાઓ માટે,

(સમાંતર પાયા સાથે અનુરૂપ).

અને ફરીથી, તેઓ બનાવે છે બરાબર અડધુરકમમાંથી

નિષ્કર્ષ:જો સમસ્યામાં દ્વિભાજકોનો સમાવેશ થાય છે અડીનેખૂણા અથવા દ્વિભાજકો સંબંધિતસમાંતર ચતુષ્કોણ અથવા ટ્રેપેઝોઇડના ખૂણા, પછી આ સમસ્યામાં ચોક્કસપણેજમણો ત્રિકોણ સામેલ છે, અથવા કદાચ આખો લંબચોરસ પણ છે.

5. દ્વિભાજક અને વિરુદ્ધ બાજુ

તે તારણ આપે છે કે ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને માત્ર અમુક રીતે જ નહીં, પરંતુ ખાસ અને ખૂબ જ રસપ્રદ રીતે વિભાજિત કરે છે:

તે જ:

એક આશ્ચર્યજનક હકીકત, તે નથી?

હવે અમે આ હકીકત સાબિત કરીશું, પરંતુ તૈયાર થઈ જાઓ: તે પહેલા કરતા થોડું વધુ મુશ્કેલ હશે.

ફરીથી - "જગ્યા" પર બહાર નીકળો - વધારાની રચના!

ચાલો સીધા જઈએ.

શેના માટે? હવે જોઈશું.

ચાલો દ્વિભાજકને ચાલુ રાખીએ જ્યાં સુધી તે રેખા સાથે છેદે નહીં.

શું આ એક પરિચિત ચિત્ર છે? હા, હા, હા, પોઈન્ટ 4, કેસ 1 માં બરાબર એ જ છે - તે તારણ આપે છે કે (- દ્વિભાજક)

ક્રોસવાઇઝ બોલવું

તેથી, તે પણ.

હવે ચાલો ત્રિકોણ જોઈએ અને.

તમે તેમના વિશે શું કહી શકો?

તેઓ સમાન છે. સારું, હા, તેમના ખૂણાઓ લંબરૂપ સમાન છે. તેથી, બે ખૂણામાં.

હવે અમને સંબંધિત પક્ષોના સંબંધો લખવાનો અધિકાર છે.

અને હવે ટૂંકી નોંધમાં:

ઓહ! મને કંઈક યાદ અપાવે છે, બરાબર ને? શું આ આપણે સાબિત કરવા માગતા નથી? હા, હા, બરાબર તે!

તમે જુઓ છો કે "સ્પેસવૉક" કેટલું મહાન સાબિત થયું - એક વધારાની સીધી રેખાનું નિર્માણ - તેના વિના કંઈ થયું ન હોત! અને તેથી, અમે તે સાબિત કર્યું છે

હવે તમે સુરક્ષિત રીતે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો! ચાલો ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોની વધુ એક મિલકત જોઈએ - ગભરાશો નહીં, હવે સૌથી મુશ્કેલ ભાગ સમાપ્ત થઈ ગયો છે - તે સરળ બનશે.

અમે તે મેળવીએ છીએ

પ્રમેય 1:

પ્રમેય 2:

પ્રમેય 3:

પ્રમેય 4:

પ્રમેય 5:

પ્રમેય 6: